অনুপাত সমানুপাত: কষে দেখি 5.3
- (i) সমাধান:
প্রদত্ত: $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{7}$
প্রমাণ করতে হবে: $ \frac{a+b+c}{c} = 2$
সমাধান:
ধরি, $ \frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{7} = k$ (যেখানে $latex k \neq 0$ একটি ধ্রুবক)
সুতরাং,
$ a = 3k$
$ b = 4k$
$ c = 7k$
এখন, বামপক্ষ (L.H.S.) = $x \frac{a+b+c}{c}$
$ k$-এর মান বসিয়ে পাই,
$ L.H.S. = \frac{3k + 4k + 7k}{7k}$
$ L.H.S. = \frac{14k}{7k}$
$ L.H.S. = 2$
= ডানপক্ষ (R.H.S.)
$ \therefore \frac{a+b+c}{c} = 2$ (প্রমাণিত) - (ii) সমাধান:
প্রদত্ত: $latex \frac{a}{q-r} = \frac{b}{r-p} = \frac{c}{p-q}$
প্রমাণ করতে হবে: $latex a+b+c = 0$ এবং $latex pa+qb+rc = 0$
সমাধান:
ধরি, $latex \frac{a}{q-r} = \frac{b}{r-p} = \frac{c}{p-q} = k$ (যেখানে $latex k \neq 0$)
সুতরাং,
$latex a = k(q-r)$
$latex b = k(r-p)$
$latex c = k(p-q)$
প্রথম প্রমাণ ($latex a+b+c = 0$):
বামপক্ষ = $latex a+b+c$
= $latex k(q-r) + k(r-p) + k(p-q)$
= $latex k(q-r+r-p+p-q)$
= $latex k(0)$
= $latex 0$ = ডানপক্ষ
$latex \therefore a+b+c = 0$ (প্রমাণিত)
দ্বিতীয় প্রমাণ ($latex pa+qb+rc = 0$):
বামপক্ষ = $latex pa+qb+rc$
= $latex p[k(q-r)] + q[k(r-p)] + r[k(p-q)]$
= $latex k[p(q-r) + q(r-p) + r(p-q)]$
= $latex k(pq – pr + qr – qp + rp – rq)$
= $latex k(pq – qp – pr + rp + qr – rq)$
= $latex k(0 + 0 + 0)$
= $latex k(0)$
= $latex 0$ = ডানপক্ষ
$latex \therefore pa+qb+rc = 0$ (প্রমাণিত) - (iii) সমাধান:
প্রদত্ত: $latex \frac{ax+by}{a} = \frac{bx-ay}{b}$
প্রমাণ করতে হবে: প্রতিটি অনুপাত $latex x$-এর সমান।
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:
$latex \frac{ax+by}{a} = \frac{bx-ay}{b}$
বজ্রগুণন (Cross-multiplication) করে পাই,
$latex b(ax+by) = a(bx-ay)$
বা, $latex abx + b^2y = abx – a^2y$
বা, $latex b^2y + a^2y = abx – abx$
বা, $latex y(a^2 + b^2) = 0$
যেহেতু $latex a$ এবং $latex b$ অনুপাতের হরে (denominator) আছে, তাই $latex a \neq 0$ এবং $latex b \neq 0$।
অতএব, $latex a^2 + b^2 \neq 0$।
সুতরাং, $latex y(a^2 + b^2) = 0$ সমীকরণটি সিদ্ধ হওয়ার একমাত্র উপায় হলো $latex y = 0$।
এখন, $latex y = 0$ মানটি প্রদত্ত অনুপাতগুলিতে বসিয়ে পাই:
প্রথম অনুপাত:
$latex \frac{ax+b(0)}{a} = \frac{ax}{a} = x$
দ্বিতীয় অনুপাত:
$latex \frac{bx-a(0)}{b} = \frac{bx}{b} = x$
$latex \therefore$ প্রতিটি অনুপাত $latex x$-এর সমান। (প্রমাণিত) - (i) সমাধান:
প্রদত্ত: $latex \frac{a+b}{b+c} = \frac{c+d}{d+a}$
প্রমাণ করতে হবে: $latex c = a$ অথবা $latex a+b+c+d = 0$
সমাধান:
প্রদত্ত, $latex \frac{a+b}{b+c} = \frac{c+d}{d+a}$
বজ্রগুণন করে পাই,
$latex (a+b)(d+a) = (c+d)(b+c)$
বা, $latex ad + a^2 + bd + ab = bc + c^2 + bd + cd$
বা, $latex ad + a^2 + ab = bc + c^2 + cd$
বা, $latex a^2 – c^2 + ab – bc + ad – cd = 0$
বা, $latex (a-c)(a+c) + b(a-c) + d(a-c) = 0$
বা, $latex (a-c)(a+c+b+d) = 0$
সুতরাং, হয় $latex a-c = 0$ অথবা $latex a+b+c+d = 0$।
$latex a-c = 0$ হলে, $latex a = c$।
$latex \therefore c = a$ অথবা $latex a+b+c+d = 0$ (প্রমাণিত) - (ii) সমাধান:
প্রদত্ত: $latex \frac{x}{b+c} = \frac{y}{c+a} = \frac{z}{a+b}$
দেখাতে হবে: $latex \frac{a}{y+z-x} = \frac{b}{z+x-y} = \frac{c}{x+y-z}$
সমাধান:
ধরি, $latex \frac{x}{b+c} = \frac{y}{c+a} = \frac{z}{a+b} = k$ (যেখানে $latex k \neq 0$)
সুতরাং,
$latex x = k(b+c)$
$latex y = k(c+a)$
$latex z = k(a+b)$
এখন, $latex y+z-x = k(c+a) + k(a+b) – k(b+c)$
$latex = k(c+a+a+b-b-c)$
$latex = k(2a) = 2ak$
$latex z+x-y = k(a+b) + k(b+c) – k(c+a)$
$latex = k(a+b+b+c-c-a)$
$latex = k(2b) = 2bk$
$latex x+y-z = k(b+c) + k(c+a) – k(a+b)$
$latex = k(b+c+c+a-a-b)$
$latex = k(2c) = 2ck$
এখন, অনুপাতগুলি বিবেচনা করি:
$latex \frac{a}{y+z-x} = \frac{a}{2ak} = \frac{1}{2k}$
$latex \frac{b}{z+x-y} = \frac{b}{2bk} = \frac{1}{2k}$
$latex \frac{c}{x+y-z} = \frac{c}{2ck} = \frac{1}{2k}$
যেহেতু প্রতিটি অনুপাতের মান $latex \frac{1}{2k}$ (সমান),
$latex \therefore \frac{a}{y+z-x} = \frac{b}{z+x-y} = \frac{c}{x+y-z}$ (প্রমাণিত) - (iii) সমাধান:
প্রদত্ত: $latex \frac{x+y}{3a-b} = \frac{y+z}{3b-c} = \frac{z+x}{3c-a}$
দেখাতে হবে: $latex \frac{x+y+z}{a+b+c} = \frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}$
সমাধান:
ধরি, $latex \frac{x+y}{3a-b} = \frac{y+z}{3b-c} = \frac{z+x}{3c-a} = k$
সংযোজন প্রক্রিয়া (Addition process) ব্যবহার করে পাই,
$latex k = \frac{(x+y) + (y+z) + (z+x)}{(3a-b) + (3b-c) + (3c-a)}$
$latex k = \frac{2x+2y+2z}{3a+3b+3c-a-b-c}$
$latex k = \frac{2(x+y+z)}{2a+2b+2c}$
$latex k = \frac{2(x+y+z)}{2(a+b+c)}$
$latex k = \frac{x+y+z}{a+b+c}$ —- (1)
আবার, $latex k = \frac{a(x+y)}{a(3a-b)} = \frac{b(y+z)}{b(3b-c)} = \frac{c(z+x)}{c(3c-a)}$
$latex k = \frac{ax+ay}{3a^2-ab} = \frac{by+bz}{3b^2-bc} = \frac{cz+cx}{3c^2-ca}$
সংযোজন প্রক্রিয়া ব্যবহার করে,
$latex k = \frac{(ax+ay) + (by+bz) + (cz+cx)}{(3a^2-ab) + (3b^2-bc) + (3c^2-ca)}$
$latex k = \frac{ax+by+cz + ay+bz+cx}{3(a^2+b^2+c^2) – (ab+bc+ca)}$
এই পদ্ধতিটি জটিল হয়ে যাচ্ছে। আমরা অন্যভাবে চেষ্টা করি।
$latex x+y = k(3a-b)$
$latex y+z = k(3b-c)$
$latex z+x = k(3c-a)$
যোগ করে পাই:
$latex 2(x+y+z) = k(3a-b+3b-c+3c-a) = k(2a+2b+2c)$
$latex 2(x+y+z) = 2k(a+b+c)$
$latex x+y+z = k(a+b+c)$
বা, $latex \frac{x+y+z}{a+b+c} = k$ —- (A)
এখন,
$latex x+y+z – (y+z) = k(a+b+c) – k(3b-c)$
$latex x = k(a+b+c – 3b + c) = k(a-2b+2c)$
$latex x+y+z – (z+x) = k(a+b+c) – k(3c-a)$
$latex y = k(a+b+c – 3c + a) = k(2a+b-2c)$
$latex x+y+z – (x+y) = k(a+b+c) – k(3a-b)$
$latex z = k(a+b+c – 3a + b) = k(-2a+2b+c)$
এখন, $latex ax+by+cz$
$latex = a \cdot k(a-2b+2c) + b \cdot k(2a+b-2c) + c \cdot k(-2a+2b+c)$
$latex = k[ a(a-2b+2c) + b(2a+b-2c) + c(-2a+2b+c) ]$
$latex = k[ a^2-2ab+2ac + 2ab+b^2-2bc – 2ac+2bc+c^2 ]$
$latex = k[ a^2 + b^2 + c^2 ]$
সুতরাং, $latex ax+by+cz = k(a^2+b^2+c^2)$
বা, $latex latex \frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2} = k$ —- (B)
(A) এবং (B) থেকে পাই,
$latex \frac{x+y+z}{a+b+c} = \frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}$ (প্রমাণিত) - (iv) সমাধান:
প্রদত্ত: $latex \frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$
দেখাতে হবে: $latex \frac{x^2-yz}{a^2-bc} = \frac{y^2-zx}{b^2-ca} = \frac{z^2-xy}{c^2-ab}$
সমাধান:
ধরি, $latex \frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = k$
সুতরাং, $x = ak, y = bk, z = ck$
প্রথম অনুপাত:
$latex \frac{x^2-yz}{a^2-bc} = \frac{(ak)^2 – (bk)(ck)}{a^2-bc}$
$latex = \frac{a^2k^2 – bck^2}{a^2-bc}$
$latex = \frac{k^2(a^2 – bc)}{a^2-bc} = k^2$
দ্বিতীয় অনুপাত:
$latex \frac{y^2-zx}{b^2-ca} = \frac{(bk)^2 – (ck)(ak)}{b^2-ca}$
$latex = \frac{b^2k^2 – ack^2}{b^2-ca}$
$latex = \frac{k^2(b^2 – ca)}{b^2-ca} = k^2$
তৃতীয় অনুপাত:
$latex \frac{z^2-xy}{c^2-ab} = \frac{(ck)^2 – (ak)(bk)}{c^2-ab}$
$latex = \frac{c^2k^2 – abk^2}{c^2-ab}$
$latex = \frac{k^2(c^2 – ab)}{c^2-ab} = k^2$
যেহেতু প্রতিটি অনুপাতের মান $latex k^2$ (সমান),
$latex \therefore \frac{x^2-yz}{a^2-bc} = \frac{y^2-zx}{b^2-ca} = \frac{z^2-xy}{c^2-ab}$ (প্রমাণিত) - (i) সমাধান:
প্রদত্ত: $latex \frac{3x+4y}{3u+4v} = \frac{3x-4y}{3u-4v}$
দেখাতে হবে: $latex \frac{x}{u} = \frac{y}{v}$
সমাধান:
প্রদত্ত, $latex \frac{3x+4y}{3u+4v} = \frac{3x-4y}{3u-4v}$
একান্তর প্রক্রিয়া (Alternendo) দ্বারা পাই,
$latex \frac{3x+4y}{3x-4y} = \frac{3u+4v}{3u-4v}$
এখন, যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া (Componendo and Dividendo) প্রয়োগ করে পাই,
$latex \frac{(3x+4y) + (3x-4y)}{(3x+4y) – (3x-4y)} = \frac{(3u+4v) + (3u-4v)}{(3u+4v) – (3u-4v)}$
বা, $latex \frac{3x+4y+3x-4y}{3x+4y-3x+4y} = \frac{3u+4v+3u-4v}{3u+4v-3u+4v}$
বা, $latex \frac{6x}{8y} = \frac{6u}{8v}$
বা, $latex \frac{x}{y} = \frac{u}{v}$
আবার একান্তর প্রক্রিয়া (Alternendo) দ্বারা পাই,
$latex \frac{x}{u} = \frac{y}{v}$ (প্রমাণিত) - (ii) সমাধান:
প্রদত্ত: $latex (a+b+c+d) : (a+b-c-d) = (a-b+c-d) : (a-b-c+d)$
প্রমাণ করতে হবে: $latex a : b = c : d$
সমাধান:
প্রদত্ত, $latex \frac{a+b+c+d}{a+b-c-d} = \frac{a-b+c-d}{a-b-c+d}$
যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া (Componendo and Dividendo) প্রয়োগ করে পাই,
$latex \frac{(a+b+c+d) + (a+b-c-d)}{(a+b+c+d) – (a+b-c-d)} = \frac{(a-b+c-d) + (a-b-c+d)}{(a-b+c-d) – (a-b-c+d)}$
বা, $latex \frac{a+b+c+d + a+b-c-d}{a+b+c+d – a-b+c+d} = \frac{a-b+c-d + a-b-c+d}{a-b+c-d – a+b+c-d}$
বা, $latex \frac{2a+2b}{2c+2d} = \frac{2a-2b}{2c-2d}$
বা, $latex \frac{2(a+b)}{2(c+d)} = \frac{2(a-b)}{2(c-d)}$
বা, $latex \frac{a+b}{c+d} = \frac{a-b}{c-d}$
একান্তর প্রক্রিয়া (Alternendo) দ্বারা পাই,
$latex \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$
আবার যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া (Componendo and Dividendo) প্রয়োগ করে পাই,
$latex \frac{(a+b) + (a-b)}{(a+b) – (a-b)} = \frac{(c+d) + (c-d)}{(c+d) – (c-d)}$
বা, $latex \frac{a+b+a-b}{a+b-a+b} = \frac{c+d+c-d}{c+d-c+d}$
বা, $latex \frac{2a}{2b} = \frac{2c}{2d}$
বা, $latex \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
$latex \therefore a : b = c : d$ (প্রমাণিত) - (i) সমাধান:
প্রদত্ত: $latex \frac{a^2}{b+c} = \frac{b^2}{c+a} = \frac{c^2}{a+b} = 1$
দেখাতে হবে: $latex \frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c} = 1$
সমাধান:
প্রদত্ত, $latex \frac{a^2}{b+c} = 1 \implies a^2 = b+c$
$latex \frac{b^2}{c+a} = 1 \implies b^2 = c+a$
$latex \frac{c^2}{a+b} = 1 \implies c^2 = a+b$
এখন, বামপক্ষ (L.H.S.) = $latex \frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c}$
= $latex \frac{a}{a(1+a)} + \frac{b}{b(1+b)} + \frac{c}{c(1+c)}$
= $latex \frac{a}{a+a^2} + \frac{b}{b+b^2} + \frac{c}{c+c^2}$
$a^2, b^2, c^2$ -এর মান বসিয়ে পাই,
= $latex \frac{a}{a+(b+c)} + \frac{b}{b+(c+a)} + \frac{c}{c+(a+b)}$
= $latex \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{a+b+c} + \frac{c}{a+b+c}$
= $latex \frac{a+b+c}{a+b+c}$
= $latex 1$ = ডানপক্ষ (R.H.S.)
$latex \therefore \frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c} = 1$ (প্রমাণিত) - (ii) সমাধান:
প্রদত্ত: $latex \frac{x^2}{by+cz} = \frac{y^2}{cz+ax} = \frac{z^2}{ax+by} = 1$
দেখাতে হবে: $latex \frac{a}{a+x} + \frac{b}{b+y} + \frac{c}{c+z} = 1$
সমাধান:
প্রদত্ত, $x^2 = by+cz$
$y^2 = cz+ax$
$z^2 = ax+by$
এখন, বামপক্ষ (L.H.S.) = $latex \frac{a}{a+x} + \frac{b}{b+y} + \frac{c}{c+z}$
= $latex \frac{ax}{x(a+x)} + \frac{by}{y(b+y)} + \frac{cz}{z(c+z)}$
= $latex \frac{ax}{ax+x^2} + \frac{by}{by+y^2} + \frac{cz}{cz+z^2}$
$x^2, y^2, z^2$ -এর মান বসিয়ে পাই,
= $latex \frac{ax}{ax + (by+cz)} + \frac{by}{by + (cz+ax)} + \frac{cz}{cz + (ax+by)}$
= $latex \frac{ax}{ax+by+cz} + \frac{by}{ax+by+cz} + \frac{cz}{ax+by+cz}$
= $latex \frac{ax+by+cz}{ax+by+cz}$
= $latex 1$ = ডানপক্ষ (R.H.S.)
$latex \therefore \frac{a}{a+x} + \frac{b}{b+y} + \frac{c}{c+z} = 1$ (প্রমাণিত) - (iii) সমাধান:
প্রদত্ত: $latex \frac{a}{y+z} = \frac{b}{z+x} = \frac{c}{x+y}$
প্রমাণ করতে হবে: $latex \frac{a(b-c)}{y^2-z^2} = \frac{b(c-a)}{z^2-x^2} = \frac{c(a-b)}{x^2-y^2}$
সমাধান:
ধরি, $latex \frac{a}{y+z} = \frac{b}{z+x} = \frac{c}{x+y} = k$
সুতরাং, $a = k(y+z), b = k(z+x), c = k(x+y)$
প্রথম অনুপাত:
$latex \frac{a(b-c)}{y^2-z^2} = \frac{k(y+z) [ k(z+x) – k(x+y) ]}{(y-z)(y+z)}$
$latex = \frac{k(y+z) \cdot k(z+x-x-y)}{ (y-z)(y+z) }$
$latex = \frac{k^2 (z-y)}{y-z}$
$latex = \frac{-k^2 (y-z)}{y-z} = -k^2$
দ্বিতীয় অনুপাত:
$latex \frac{b(c-a)}{z^2-x^2} = \frac{k(z+x) [ k(x+y) – k(y+z) ]}{(z-x)(z+x)}$
$latex = \frac{k(z+x) \cdot k(x+y-y-z)}{(z-x)(z+x)}$
$latex = \frac{k^2 (x-z)}{z-x}$
$latex = \frac{-k^2 (z-x)}{z-x} = -k^2$
তৃতীয় অনুপাত:
$latex \frac{c(a-b)}{x^2-y^2} = \frac{k(x+y) [ k(y+z) – k(z+x) ]}{(x-y)(x+y)}$
$latex = \frac{k(x+y) \cdot k(y+z-z-x)}{(x-y)(x+y)}$
$latex = \frac{k^2 (y-x)}{x-y}$
$latex = \frac{-k^2 (x-y)}{x-y} = -k^2$
যেহেতু প্রতিটি অনুপাতের মান $latex -k^2$ (সমান),
$latex \therefore \frac{a(b-c)}{y^2-z^2} = \frac{b(c-a)}{z^2-x^2} = \frac{c(a-b)}{x^2-y^2}$ (প্রমাণিত) - (i) সমাধান:
প্রদত্ত: $latex \frac{x}{xa+yb+zc} = \frac{y}{ya+zb+xc} = \frac{z}{za+xb+yc}$ এবং $latex x+y+z \neq 0$
দেখাতে হবে: প্রতিটি অনুপাত $latex \frac{1}{a+b+c}$ -এর সমান।
সমাধান:
ধরি, $latex \frac{x}{xa+yb+zc} = \frac{y}{ya+zb+xc} = \frac{z}{za+xb+yc} = k$
সংযোজন প্রক্রিয়া (Addition process) ব্যবহার করে পাই,
$latex k = \frac{x+y+z}{(xa+yb+zc) + (ya+zb+xc) + (za+xb+yc)}$
$latex k = \frac{x+y+z}{xa+yb+zc+ya+zb+xc+za+xb+yc}$
$latex k = \frac{x+y+z}{ (xa+ya+za) + (xb+yb+zb) + (xc+yc+zc) }$
$latex k = \frac{x+y+z}{ a(x+y+z) + b(x+y+z) + c(x+y+z) }$
$latex k = \frac{x+y+z}{ (x+y+z)(a+b+c) }$
যেহেতু $latex x+y+z \neq 0$, আমরা লব ও হরকে $latex (x+y+z)$ দিয়ে ভাগ করতে পারি।
$latex k = \frac{1}{a+b+c}$
$latex \therefore$ প্রতিটি অনুপাত $latex \frac{1}{a+b+c}$ -এর সমান। (প্রমাণিত) - (ii) সমাধান:
প্রদত্ত: $latex \frac{x^2-yz}{a} = \frac{y^2-zx}{b} = \frac{z^2-xy}{c}$
প্রমাণ করতে হবে: $latex (a+b+c)(x+y+z) = ax+by+cz$
সমাধান:
ধরি, $latex \frac{x^2-yz}{a} = \frac{y^2-zx}{b} = \frac{z^2-xy}{c} = k$
সুতরাং,
$latex x^2-yz = ak$ —- (1)
$latex y^2-zx = bk$ —- (2)
$latex z^2-xy = ck$ —- (3)
(1) নং সমীকরণকে $latex x$ দিয়ে, (2) নং-কে $latex y$ দিয়ে, এবং (3) নং-কে $latex z$ দিয়ে গুণ করে পাই:
$latex x^3-xyz = akx$
$latex y^3-xyz = bky$
$latex z^3-xyz = ckz$
যোগ করে পাই:
$latex x^3+y^3+z^3 – 3xyz = akx+bky+ckz$
$latex x^3+y^3+z^3 – 3xyz = k(ax+by+cz)$ —- (4)
আবার, (1), (2) ও (3) নং সমীকরণ যোগ করে পাই:
$latex (x^2-yz) + (y^2-zx) + (z^2-xy) = ak+bk+ck$
$latex x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx = k(a+b+c)$ —- (5)
আমরা জানি, $latex x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
এখন, (4) এবং (5) থেকে মান বসিয়ে পাই:
$latex k(ax+by+cz) = (x+y+z) \cdot [ k(a+b+c) ]$
উভয় পক্ষকে $k$ দিয়ে ভাগ করে পাই (ধরে নিচ্ছি $k \neq 0$*),
$latex ax+by+cz = (x+y+z)(a+b+c)$
বা, $latex (a+b+c)(x+y+z) = ax+by+cz $ (প্রমাণিত)
(যদি $latex k=0$ হয়, তবে $latex x^2=yz, y^2=zx, z^2=xy$। এটি গুণ করলে $latex x^2y^2z^2 = (yz)(zx)(xy) = x^2y^2z^2$, যা সর্বদা সত্য। $k=0$ হলে $a=b=c=0$ অথবা $x^2-yz=0$ ইত্যাদি হয়। যদি $latex a=b=c=0$ হয়, তবে প্রমাণ্য বিষয়টির উভয় পক্ষ $latex 0$ হয়ে যায়। যদি $latex x^2=yz$ ইত্যাদি হয়, তাহলেও $latex ax+by+cz = 0$ এবং $latex (a+b+c)(x+y+z)=0$ হয়, ফলে সমতা প্রমাণিত হয়। সাধারণত, এই ধরনের অংকে $latex k \neq 0$ ধরেই এগোতে হয়।)
শেয়ার