অষ্টম শ্রেণি গণিত: মূলদ সংখ্যা কষে দেখি – 3

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ:

$7x = 14$

বা, $x = \frac{14}{7}$ [উভয়পক্ষকে $7$ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $x = 2$

বীজটিকে $\frac{p}{q}$ আকারে (যেখানে $q \neq 0$) প্রকাশ করে পাই:

$x = \frac{2}{1}$

উত্তর: নির্ণেয় বীজ $\frac{2}{1}$

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ:

$4p + 32 = 0$

বা, $4p = -32$ [পক্ষান্তর করে]

বা, $p = \frac{-32}{4}$

বা, $p = -8$

বীজটিকে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করে পাই:

$p = \frac{-8}{1}$

উত্তর: নির্ণেয় বীজ $\frac{-8}{1}$

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ:

$11x = 0$

বা, $x = \frac{0}{11}$

বা, $x = 0$

বীজটিকে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করে পাই:

$x = \frac{0}{1}$ [এখানে $p=0, q=1$]

উত্তর: নির্ণেয় বীজ $\frac{0}{1}$

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ:

$5m – 3 = 0$

বা, $5m = 3$ [পক্ষান্তর করে]

বা, $m = \frac{3}{5}$

এটি ইতিমধ্যেই $\frac{p}{q}$ আকারে আছে।

উত্তর: নির্ণেয় বীজ $\frac{3}{5}$

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ:

$9y + 18 = 0$

বা, $9y = -18$

বা, $y = \frac{-18}{9}$

বা, $y = -2$

বীজটিকে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করে পাই:

$y = \frac{-2}{1}$

উত্তর: নির্ণেয় বীজ $\frac{-2}{1}$

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ:

$t = 8 – 12t$

বা, $t + 12t = 8$ [$t$ যুক্ত পদগুলিকে বামদিকে এনে]

বা, $13t = 8$

বা, $t = \frac{8}{13}$

এটি ইতিমধ্যেই $\frac{p}{q}$ আকারে আছে।

উত্তর: নির্ণেয় বীজ $\frac{8}{13}$

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ:

$6y = 5 + y$

বা, $6y – y = 5$ [$y$ কে বামদিকে পক্ষান্তর করে]

বা, $5y = 5$

বা, $y = \frac{5}{5}$

বা, $y = 1$

বীজটিকে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করে পাই:

$y = \frac{1}{1}$

উত্তর: নির্ণেয় বীজ $\frac{1}{1}$

সমাধান:

ধরি, প্রথম বক্সে $3$ এবং দ্বিতীয় বক্সে $8$ বসালাম।

সুতরাং, সমীকরণটি হলো:

$2x + 3 = 8$

বা, $2x = 8 – 3$

বা, $2x = 5$

বা, $x = \frac{5}{2}$

এটি ইতিমধ্যেই $\frac{p}{q}$ আকারে আছে।

উত্তর: নির্ণেয় বীজ $\frac{5}{2}$ (ধরা মান অনুযায়ী)

সমাধান:

প্রদত্ত, $y = -\frac{5}{4}$

বামপক্ষ (L.H.S.) $= -(-y)$

$= – \left( – \left( -\frac{5}{4} \right) \right)$ [মান বসিয়ে]

প্রথমে ভিতরের কাজ করি: $- \left( -\frac{5}{4} \right) = \frac{5}{4}$

সুতরাং, বামপক্ষ $= – \left( \frac{5}{4} \right) = -\frac{5}{4}$

ডানপক্ষ (R.H.S.) $= y = -\frac{5}{4}$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

উত্তর: যাচাই করা হলো।

সমাধান:

প্রদত্ত, $x = -\frac{3}{8}$

(a) $2x + 5$ এর মান নির্ণয়:

$= 2 \times \left( -\frac{3}{8} \right) + 5$

$= -\frac{6}{8} + 5$

$= -\frac{3}{4} + 5$

$= \frac{-3 + 20}{4} = \frac{17}{4}$

(b) $x + \frac{3}{8}$ এর মান নির্ণয়:

$= -\frac{3}{8} + \frac{3}{8}$

$= 0$

(c) $5 – (-x)$ এর মান নির্ণয়:

$= 5 – \left( – \left( -\frac{3}{8} \right) \right)$

$= 5 – \left( \frac{3}{8} \right)$

$= \frac{40 – 3}{8} = \frac{37}{8}$

(d) $\square – (-x)$ এর মান নির্ণয়:

ধরি, ফাঁকা ঘরে আমরা মূলদ সংখ্যা $2$ বসালাম।

রাশিটি হলো: $2 – (-x)$

$= 2 – \left( – \left( -\frac{3}{8} \right) \right)$

$= 2 – \frac{3}{8}$

$= \frac{16 – 3}{8} = \frac{13}{8}$

উত্তর:
(a) $\frac{17}{4}$
(b) $0$
(c) $\frac{37}{8}$
(d) $\frac{13}{8}$ (ফাঁকা ঘরে 2 ধরে)

সমাধান:

(a) $\frac{9}{11} + \square = 0$

যেহেতু দুটি সংখ্যার যোগফল $0$, তাই ফাঁকা ঘরে $\frac{9}{11}$-এর বিপরীত সংখ্যা বসবে।

উত্তর: $-\frac{9}{11}$

(b) $\square + (-\frac{21}{29}) = 0$

ফাঁকা ঘরে $-\frac{21}{29}$-এর বিপরীত সংখ্যা বসবে।

উত্তর: $\frac{21}{29}$

(c) $\frac{7}{19} \times \square = 1$

যেহেতু গুণফল $1$, তাই ফাঁকা ঘরে $\frac{7}{19}$-এর অনন্যক বা বিপরীত ভগ্নাংশ (Reciprocal) বসবে।

উত্তর: $\frac{19}{7}$

(d) $-5 \times \square = 1$

ফাঁকা ঘরে $-5$-এর অনন্যক বসবে।

উত্তর: $-\frac{1}{5}$

(e) $-\frac{15}{23} \times \square = 1$

ফাঁকা ঘরে $-\frac{15}{23}$-এর অনন্যক বসবে।

উত্তর: $-\frac{23}{15}$

(f) $\left(-\frac{8}{3}\right) \times \left(-\frac{21}{20}\right) = \square$

গণনা: $\frac{-8}{3} \times \frac{-21}{20} = \frac{8 \times 21}{3 \times 20}$ [ঋণাত্মক $\times$ ঋণাত্মক = ধনাত্মক]

$= \frac{2 \times 7}{5}$ [কাটাকাটি করে: $8$ ও $20$ কে $4$ দিয়ে, $21$ ও $3$ কে $3$ দিয়ে]

$= \frac{14}{5}$

উত্তর: $\frac{14}{5}$

উত্তরগুলো সংক্ষেপে:
(a) $-\frac{9}{11}$, (b) $\frac{21}{29}$, (c) $\frac{19}{7}$, (d) $-\frac{1}{5}$, (e) $-\frac{23}{15}$, (f) $\frac{14}{5}$

সমাধান:

প্রথমে $(-\frac{5}{6})$-এর অনন্যক (Reciprocal) নির্ণয় করি।

$(-\frac{5}{6})$-এর অনন্যক হলো $-\frac{6}{5}$।

এখন, $\frac{7}{18}$-কে $-\frac{6}{5}$ দিয়ে গুণ করি:

$= \frac{7}{18} \times (-\frac{6}{5})$

$= – \frac{7 \times 6}{18 \times 5}$

$= – \frac{7 \times 1}{3 \times 5}$ [$6$ দ্বারা $18$-কে ভাগ করে $3$ পাই]

$= -\frac{7}{15}$

উত্তর: নির্ণেয় গুণফল $-\frac{7}{15}$

সমাধান:

বিনিময় ও সংযোগ নিয়ম ব্যবহার করে সাজিয়ে পাই:

$= (\frac{5}{8} + \frac{3}{32}) + (-\frac{7}{15} + \frac{11}{75})$

প্রথম অংশ: $8$ ও $32$-এর ল.সা.গু $32$।

দ্বিতীয় অংশ: $15$ ও $75$-এর ল.সা.গু $75$।

$= \left(\frac{20 + 3}{32}\right) + \left(\frac{-35 + 11}{75}\right)$

$= \frac{23}{32} + \left(\frac{-24}{75}\right)$

$= \frac{23}{32} – \frac{8}{25}$ [$\frac{24}{75}$ কে $3$ দিয়ে কাটাকাটি করে]

এখন, $32$ ও $25$-এর ল.সা.গু = $32 \times 25 = 800$।

$= \frac{23 \times 25 – 8 \times 32}{800}$

$= \frac{575 – 256}{800}$

$= \frac{319}{800}$

উত্তর: নির্ণেয় মান $\frac{319}{800}$

সমাধান:

বিনিময় ও সংযোগ নিয়ম ব্যবহার করে কাটাকাটির সুবিধার্থে সাজিয়ে পাই:

$= \left(\frac{8}{121} \times \frac{55}{36}\right) \times \left(\frac{35}{169} \times \frac{78}{49}\right)$

১ম অংশ সরলীকরণ:

$\frac{8}{121} \times \frac{55}{36}$

$= \frac{2}{11} \times \frac{5}{9}$ [$8$ ও $36$ কে $4$ দিয়ে এবং $55$ ও $121$ কে $11$ দিয়ে ভাগ করে]

$= \frac{10}{99}$

২য় অংশ সরলীকরণ:

$\frac{35}{169} \times \frac{78}{49}$

$= \frac{5}{13} \times \frac{6}{7}$ [$35$ ও $49$ কে $7$ দিয়ে এবং $78$ ও $169$ কে $13$ দিয়ে ভাগ করে]

$= \frac{30}{91}$

চূড়ান্ত গুণফল:

$= \frac{10}{99} \times \frac{30}{91}$

$= \frac{10}{33} \times \frac{10}{91}$ [$30$ ও $99$ কে $3$ দিয়ে ভাগ করে]

$= \frac{100}{3003}$

উত্তর: নির্ণেয় মান $\frac{100}{3003}$

সমাধান:

সংখ্যাগুলিকে সংখ্যারেখায় স্থাপন করার অবস্থান নিচে বর্ণনা করা হলো:

• $\frac{1}{4}$: এটি একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং ধনাত্মক। এটি সংখ্যারেখায় $0$ এবং $1$-এর মধ্যবর্তী স্থানে অবস্থিত। $0$ থেকে $1$-এর মধ্যবর্তী অংশকে সমান $4$ ভাগে ভাগ করলে প্রথম ভাগটি হলো $\frac{1}{4}$।
• $-\frac{3}{4}$: এটি একটি ঋণাত্মক প্রকৃত ভগ্নাংশ। এটি সংখ্যারেখায় $0$ এবং $-1$-এর মধ্যবর্তী স্থানে অবস্থিত। $0$ থেকে বামদিকে $-1$ পর্যন্ত অংশকে সমান $4$ ভাগে ভাগ করলে তৃতীয় ভাগটি হলো $-\frac{3}{4}$।
• $-\frac{2}{3}$: এটি একটি ঋণাত্মক প্রকৃত ভগ্নাংশ। এটি সংখ্যারেখায় $0$ এবং $-1$-এর মধ্যবর্তী স্থানে অবস্থিত। $0$ থেকে বামদিকে $-1$ পর্যন্ত অংশকে সমান $3$ ভাগে ভাগ করলে দ্বিতীয় ভাগটি হলো $-\frac{2}{3}$।
• $\frac{6}{5}$: এটি একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। $\frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$। এটি সংখ্যারেখায় $1$ এবং $2$-এর মধ্যবর্তী স্থানে অবস্থিত। $1$ থেকে $2$-এর মধ্যবর্তী অংশকে সমান $5$ ভাগে ভাগ করলে প্রথম ভাগটি হলো $\frac{6}{5}$।
• $-\frac{8}{3}$: এটি একটি ঋণাত্মক অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। $-\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3}$। এটি সংখ্যারেখায় $-2$ এবং $-3$-এর মধ্যবর্তী স্থানে অবস্থিত। $-2$ থেকে বামদিকে $-3$ পর্যন্ত অংশকে সমান $3$ ভাগে ভাগ করলে দ্বিতীয় ভাগটি হলো $-\frac{8}{3}$।

উত্তর: সংখ্যাগুলির অবস্থান উপরে নির্দেশ করা হলো।

সমাধান:

আমরা $1$ ও $2$-কে এমন ভগ্নাংশে প্রকাশ করি যাদের হর (denominator) সমান এবং লবগুলির (numerator) মধ্যে অন্তত ৪টি সংখ্যার ব্যবধান থাকে।

ধরি, হর = $5$।

সুতরাং, $1 = \frac{5}{5}$ এবং $2 = \frac{10}{5}$।

এখন, $5$ ও $10$-এর মধ্যবর্তী পূর্ণসংখ্যাগুলি হলো: $6, 7, 8, 9$।

সুতরাং, $1$ ও $2$-এর মধ্যবর্তী ৪টি মূলদ সংখ্যা হলো: $\frac{6}{5}, \frac{7}{5}, \frac{8}{5}, \frac{9}{5}$।

উত্তর: $\frac{6}{5}, \frac{7}{5}, \frac{8}{5}, \frac{9}{5}$

সমাধান:

প্রথমে ভগ্নাংশ দুটির হরগুলিকে সমান করি। $5$ ও $2$-এর ল.সা.গু হলো $10$।

$-\frac{3}{5} = \frac{-3 \times 2}{5 \times 2} = -\frac{6}{10}$

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10}$

এখন, $-6$ এবং $5$-এর মধ্যবর্তী পূর্ণসংখ্যাগুলি হলো: $-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$।

এখানে ঠিক ১০টি পূর্ণসংখ্যা আছে।

সুতরাং, নির্ণেয় ১০টি মূলদ সংখ্যা হলো:

$-\frac{5}{10}, -\frac{4}{10}, -\frac{3}{10}, -\frac{2}{10}, -\frac{1}{10}, \frac{0}{10}, \frac{1}{10}, \frac{2}{10}, \frac{3}{10}, \frac{4}{10}$

উত্তর: $-\frac{1}{2}, -\frac{2}{5}, -\frac{3}{10}, -\frac{1}{5}, -\frac{1}{10}, 0, \frac{1}{10}, \frac{1}{5}, \frac{3}{10}, \frac{2}{5}$ [কাটাকাটি করে]

সমাধান:

প্রথমে হরগুলিকে সমান করি। $3$ ও $5$-এর ল.সা.গু $15$।

$\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$ এবং $\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$।

কিন্তু $5$ ও $9$-এর মাঝে মাত্র ৩টি সংখ্যা ($6, 7, 8$) আছে। আমাদের ৫টি সংখ্যা প্রয়োজন। তাই হরকে দ্বিগুণ করে $30$ করি।

$\frac{1}{3} = \frac{10}{30}$

$\frac{3}{5} = \frac{18}{30}$

এখন $10$ ও $18$-এর মাঝে ৫টি সংখ্যা বেছে নিই: $11, 12, 13, 14, 15$।

উত্তর: $\frac{11}{30}, \frac{12}{30}, \frac{13}{30}, \frac{14}{30}, \frac{15}{30}$

সমাধান:

এখানে $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$। $\frac{1}{4}$ ও $\frac{2}{4}$-এর মাঝে সংখ্যা পেতে হলে হরকে বড় করতে হবে।

ধরি, আমরা হরকে $24$ করব (কারণ আমাদের ৫টি সংখ্যা চাই, তাই $4 \times 6 = 24$ নিলে সুবিধা হবে)।

$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 6}{4 \times 6} = \frac{6}{24}$

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 12}{2 \times 12} = \frac{12}{24}$

$6$ ও $12$-এর মধ্যবর্তী ৫টি সংখ্যা হলো: $7, 8, 9, 10, 11$।

উত্তর: $\frac{7}{24}, \frac{8}{24}, \frac{9}{24}, \frac{10}{24}, \frac{11}{24}$

সমাধান:

হরগুলিকে সমান করি। $3$ ও $7$-এর ল.সা.গু $21$।

$-\frac{4}{3} = \frac{-4 \times 7}{3 \times 7} = -\frac{28}{21}$

$\frac{3}{7} = \frac{3 \times 3}{7 \times 3} = \frac{9}{21}$

$-28$ এবং $9$-এর মধ্যে বহু সংখ্যা আছে। আমরা সুবিধাজনক যেকোনো ৫টি সংখ্যা নিতে পারি।

যেমন: $-\frac{5}{21}, -\frac{4}{21}, -\frac{3}{21}, -\frac{2}{21}, -\frac{1}{21}$।

উত্তর: $-\frac{5}{21}, -\frac{4}{21}, -\frac{3}{21}, -\frac{2}{21}, -\frac{1}{21}$ (অন্য উত্তরও সম্ভব)