অষ্টম শ্রেণি গনিত: কষে দেখি – 18 লেখচিত্র
কষে দেখি – 18 (অষ্টম শ্রেণী) : লেখচিত্র
1. (i) পাশের ছক কাগজে উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের $2$টি বাহুর দৈর্ঘ্য $1$ একক নিয়ে বিন্দুগুলি দেখি ও তাদের স্থানাঙ্কগুলি লিখি।
(ii) বিন্দুগুলির মধ্যে কোন বা কোন কোন তিনটি বিন্দু সমরেখ দেখি।
(iii) বিন্দুগুলির মধ্যে তিনটি বিন্দু খুঁজি যারা সমরেখ নয়।
(এই প্রশ্নটি সম্পূর্ণ পর্যবেক্ষণের উপর নির্ভরশীল। পাঠ্যবইয়ের ১নং চিত্রটি দেখে সমাধান করতে হবে। এখানে পদ্ধতিটি দেওয়া হলো।)
(i) স্থানাঙ্ক নির্ণয়:
লেখচিত্রে প্রতিটি বিন্দুর $x$-অক্ষ বরাবর দূরত্ব এবং $y$-অক্ষ বরাবর দূরত্ব গুণতে হবে। যেহেতু প্রশ্নে বলা হয়েছে $2$টি ক্ষুদ্রতম ঘর = $1$ একক, তাই ঘর সংখ্যাকে $2$ দিয়ে ভাগ করে স্থানাঙ্ক পাওয়া যাবে।
উদাহরণস্বরূপ: কোনো বিন্দু যদি ডানদিকে $6$ ঘর এবং উপরে $8$ ঘর যায়, তবে তার স্থানাঙ্ক হবে $(6/2, 8/2) = (3, 4)$।
(ii) সমরেখ বিন্দু (Collinear):
যে তিনটি বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা আঁকা যায় (স্কেল বসালে একই লাইনে থাকে), তারা সমরেখ।
[সাধারণত এই ধরনের প্রশ্নে একই সরলরেখায় থাকা বিন্দুগুলির সেট উত্তর হয়।]
(iii) অসমরেখ বিন্দু (Non-collinear):
যেকোনো তিনটি বিন্দু যারা একই সরলরেখায় নেই, তারা ত্রিভুজ গঠন করতে পারে।
দ্রষ্টব্য: এটি গ্রাফ পেপারে নিজে পর্যবেক্ষণ করে মানগুলি বসাতে হবে।
2. নিজে ছক কাগজে $(1,0), (0, 5), (2, 1), (3, 3), (1, 3), (2, 5)$ ও $(0,0)$ বিন্দু দেখাই।
বিন্দুগুলির অবস্থান নিচে দেওয়া হলো যা গ্রাফ পেপারে বসাতে সাহায্য করবে:
- $(1, 0)$: $x$-অক্ষের উপর মূলবিন্দু থেকে ডানদিকে $1$ ঘর।
- $(0, 5)$: $y$-অক্ষের উপর মূলবিন্দু থেকে উপরের দিকে $5$ ঘর।
- $(2, 1)$: প্রথম পাদে ($1$st Quadrant), ডানদিকে $2$ এবং উপরে $1$।
- $(3, 3)$: প্রথম পাদে, ডানদিকে $3$ এবং উপরে $3$।
- $(1, 3)$: প্রথম পাদে, ডানদিকে $1$ এবং উপরে $3$।
- $(2, 5)$: প্রথম পাদে, ডানদিকে $2$ এবং উপরে $5$।
- $(0, 0)$: মূলবিন্দু (Origin)।
উত্তর: ছক কাগজে বিন্দুগুলি সঠিকভাবে স্থাপন করতে হবে।
3. (i) নিজে $(1, 1), (2, 2)$ ও $(6, 6)$ বিন্দুগুলি ছক কাগজে বসাই ও যোগ করে সমরেখ কিনা দেখি।
গাণিতিক যাচাই (Mathematical Verification):
আমরা জানি, বিন্দুগুলির ভুজ ($x$) ও কোটি ($y$) সমান হলে এবং তাদের অনুপাত ধ্রুবক থাকলে তারা মূলবিন্দুগামী সরলরেখায় থাকে।
এখানে বিন্দুগুলি হলো: $A(1, 1)$, $B(2, 2)$, $C(6, 6)$।
ঢাল বা Slope নির্ণয়:
$m_{AB} = \frac{2 – 1}{2 – 1} = \frac{1}{1} = 1$
$m_{BC} = \frac{6 – 2}{6 – 2} = \frac{4}{4} = 1$
যেহেতু ঢাল সমান, তাই বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।
উত্তর: বিন্দুগুলি যোগ করলে দেখা যাবে তারা সমরেখ (Collinear)।
4. পাশের ছকের লেখচিত্র দেখি ও নীচের প্রশ্নগুলির উত্তর খুঁজি।
তথ্য: $x$ অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের $2$টি বাহুর দৈর্ঘ্য $= 1$টি পেয়ারা এবং $y$ অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের $1$টি বাহুর দৈর্ঘ্য $= 1$ টাকা।
লেখচিত্রে প্রদত্ত বিন্দু: $(4, 12), (10, 30)$ ইত্যাদি।
বিশ্লেষণ:
বিন্দু $(4, 12)$ এর অর্থ: $4$টি পেয়ারার দাম $12$ টাকা।
$\therefore 1$টি পেয়ারার দাম $= \frac{12}{4} = 3$ টাকা।
(i) লেখচিত্র থেকে পেয়ারার সংখ্যা ও দাম কী সম্পর্কে আছে:
যেহেতু পেয়ারার সংখ্যা বাড়লে দামও বাড়ে এবং লেখচিত্রটি মূলবিন্দুগামী সরলরেখা, তাই এটি সরল সমানুপাতী সম্পর্ক (Direct Proportion)।
(ii) $4$টি পেয়ারার দাম কত:
লেখচিত্রে $(4, 12)$ বিন্দুটি নির্দেশ করে যে, $4$টি পেয়ারার দাম $12$ টাকা।
(iii) $30$ টাকায় কতগুলি পেয়ারা পাওয়া যায়:
লেখচিত্রে $(10, 30)$ বিন্দুটি দেখা যাচ্ছে। এখানে $y=30$ হলে $x=10$।
সুতরাং, $30$ টাকায় $10$টি পেয়ারা পাওয়া যায়।
(iv) $9$ টাকায় কতগুলি পেয়ারা পাব:
আমরা জানি $1$টি পেয়ারার দাম $3$ টাকা।
$\therefore$ পেয়ারার সংখ্যা $= \frac{9}{3} = 3$টি।
গ্রাফ থেকে: $y=9$ বরাবর রেখা টানলে তা $x=3$-এ ছেদ করবে।
উত্তর: $3$টি পেয়ারা।
(v) $9$টি পেয়ারার দাম লেখচিত্র থেকে লিখি:
$1$টির দাম $3$ টাকা হলে, $9$টির দাম $= 9 \times 3 = 27$ টাকা।
গ্রাফে $x=9$ বরাবর উপরে উঠলে $y=27$ পাওয়া যাবে।
উত্তর: $27$ টাকা।
সারসংক্ষেপ: পেয়ারার সংখ্যা ও দাম সরল সমানুপাতে আছে এবং প্রতিটি পেয়ারার দাম $3$ টাকা।
5. পাশের সময় ও দূরত্বের লেখচিত্র দেখি ও নীচের প্রশ্নগুলির উত্তর খুঁজি।
(i) সময়ের সাথে দূরত্ব কী সম্পর্কে আছে লিখি।
(ii) লেখচিত্র থেকে $3$ ঘণ্টায় কত দূরত্ব গেছে লিখি।
(iii) $120$ কিমি. পথ যেতে কত ঘণ্টা সময় লাগে লিখি।
(iv) গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিমি. দেখি।
(v) $2$ ঘণ্টা $30$ মিনিটে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে লেখচিত্র থেকে লিখি।
(vi) $45$ কিমি. দূরত্ব অতিক্রম করতে কত সময় লাগে হিসাব করে লিখি।
লেখচিত্রের বিন্দুগুলি লক্ষ্য করলে দেখা যায়: $(1, 30), (2, 60), (3, 90), (4, 120)$।
(i) সম্পর্ক: সময় বাড়ার সাথে সাথে দূরত্ব নির্দিষ্ট হারে বাড়ছে। লেখচিত্রটি মূলবিন্দুগামী একটি সরলরেখা। সুতরাং, সময়ের সাথে দূরত্বের সরল সমানুপাতী সম্পর্ক (Direct Relation) আছে।
(ii) $3$ ঘণ্টায় অতিক্রান্ত দূরত্ব:
লেখচিত্রে সময় অক্ষের $3$ ঘর বরাবর উপরে উঠলে দেখা যায় দূরত্ব $90$ কিমি.
উত্তর: $90$ কিমি.
(iii) $120$ কিমি. যেতে সময়:
লেখচিত্রে দূরত্ব অক্ষের $120$ ঘর বরাবর ডানদিকে গেলে দেখা যায় সময় $4$ ঘণ্টা।
উত্তর: $4$ ঘণ্টা।
(iv) গতিবেগ:
$1$ ঘণ্টায় যায় $30$ কিমি.
উত্তর: গতিবেগ $30$ কিমি./ঘণ্টা।
(v) $2$ ঘণ্টা $30$ মিনিটে দূরত্ব:
$2$ ঘণ্টা $30$ মিনিট $= 2.5$ ঘণ্টা।
লেখচিত্র অনুযায়ী প্রতি ঘণ্টায় $30$ কিমি. যায়।
$\therefore$ দূরত্ব $= 2.5 \times 30 = 75$ কিমি.
উত্তর: $75$ কিমি.
(vi) $45$ কিমি. যেতে সময়:
গতিবেগ $30$ কিমি./ঘণ্টা।
সময় $= \frac{\text{দূরত্ব}}{\text{গতিবেগ}} = \frac{45}{30} = \frac{3}{2}$ ঘণ্টা $= 1.5$ ঘণ্টা।
উত্তর: $1$ ঘণ্টা $30$ মিনিট।
উত্তর সংক্ষেপ: (i) সরল সম্পর্ক, (ii) $90$ কিমি, (iii) $4$ ঘণ্টা, (iv) $30$ কিমি/ঘণ্টা, (v) $75$ কিমি, (vi) $1$ ঘণ্টা $30$ মিনিট।
6. নীচের ছকের তথ্যগুলির লেখচিত্র ছক কাগজে তৈরি করি ও লেখচিত্র রৈখিক কিনা দেখি।
পেনসিল: $3, 5, 7, 8$
দাম (টাকা): $6, 10, 14, 16$
বিন্দুগুলি হলো: $(3, 6), (5, 10), (7, 14), (8, 16)$।
প্রতিটি ক্ষেত্রে অনুপাত (দাম/সংখ্যা) পরীক্ষা করি:
$\frac{6}{3} = 2, \quad \frac{10}{5} = 2, \quad \frac{14}{7} = 2, \quad \frac{16}{8} = 2$
যেহেতু অনুপাত সর্বদা সমান ($2$), তাই বিন্দুগুলি একটি সরলরেখায় অবস্থিত।
উত্তর: লেখচিত্রটি রৈখিক (Linear)।
7. নীচের ছকের তথ্যগুলির লেখচিত্র ছক কাগজে তৈরি করি ও লেখচিত্র রৈখিক কিনা দেখি।
সময় (ঘণ্টা): $2, 4, 6, 8$
দূরত্ব (কিমি): $40, 80, 120, 160$
বিন্দুগুলি হলো: $(2, 40), (4, 80), (6, 120), (8, 160)$।
অনুপাত (দূরত্ব/সময়) পরীক্ষা করি:
$\frac{40}{2} = 20, \quad \frac{80}{4} = 20, \quad \frac{120}{6} = 20, \quad \frac{160}{8} = 20$
যেহেতু গতিবেগ ধ্রুবক ($20$ কিমি/ঘণ্টা), তাই লেখচিত্রটি একটি সরলরেখা হবে।
উত্তর: লেখচিত্রটি রৈখিক (Linear)।
8. নীচের ছকের তথ্যগুলির লেখচিত্র ছক কাগজে তৈরি করি ও লেখচিত্র রৈখিক কিনা দেখি।
ব্যাগ: $1, 2, 3, 4$
দাম (টাকা): $50, 100, 150, 200$
বিন্দুগুলি হলো: $(1, 50), (2, 100), (3, 150), (4, 200)$।
অনুপাত (দাম/ব্যাগ) পরীক্ষা করি:
$\frac{50}{1} = 50, \quad \frac{100}{2} = 50, \quad \frac{150}{3} = 50, \quad \frac{200}{4} = 50$
অনুপাত ধ্রুবক হওয়ায় বিন্দুগুলি একই সরলরেখায় থাকবে।
উত্তর: লেখচিত্রটি রৈখিক (Linear)।
9. নীচের ছকের তথ্যগুলির লেখচিত্র ছক কাগজে তৈরি করি ও লেখচিত্র রৈখিক কিনা দেখি।
বই: $2, 3, 5, 8$
দাম (টাকা): $50, 75, 125, 200$
বিন্দুগুলি হলো: $(2, 50), (3, 75), (5, 125), (8, 200)$।
প্রতিটি বইয়ের দাম বের করি:
$\frac{50}{2} = 25, \quad \frac{75}{3} = 25, \quad \frac{125}{5} = 25, \quad \frac{200}{8} = 25$
যেহেতু প্রতি বইয়ের দাম সমান ($25$ টাকা), তাই সম্পর্কটি সরল সমানুপাতী এবং লেখচিত্রটি সরলরেখা হবে।
উত্তর: লেখচিত্রটি রৈখিক (Linear)।
10. নীচের ছকের তথ্যগুলির লেখচিত্র ছক কাগজে তৈরি করি ও লেখচিত্র রৈখিক কিনা দেখি।
ওভার: $1, 3, 5, 7$
রান সংখ্যা: $4, 12, 20, 24$
বিন্দুগুলি হলো: $(1, 4), (3, 12), (5, 20), (7, 24)$।
রান রেট বা ঢাল (Slope) পরীক্ষা করি:
১ম অংশ: $\frac{4}{1} = 4$
২য় অংশ: $\frac{12}{3} = 4$
৩য় অংশ: $\frac{20}{5} = 4$
৪র্থ অংশ: $\frac{24}{7} \approx 3.43$
শেষ বিন্দুটির ক্ষেত্রে রানের হার কমে গেছে (আগের মতো $4$ নয়, যা $28$ হওয়া উচিত ছিল)। যেহেতু সব বিন্দুর অনুপাত বা ঢাল সমান নয়, তাই বিন্দুগুলি একই সরলরেখায় নেই।
উত্তর: লেখচিত্রটি রৈখিক নয় (Not Linear)।
শেয়ার