অষ্টম শ্রেণী গণিত: অধ্যায় – 24 মজার অংক

সমাধান:

ভাই 12টি কাঠি দিয়ে যেভাবে 6টি সমবাহু ত্রিভুজ তৈরি করল তা হলো একটি সুষম ষড়ভুজ (Regular Hexagon) যার কেন্দ্রে চাকার স্পোকের মতো কাঠি যুক্ত করা হয়েছে।

গঠন পদ্ধতি:
১. প্রথমে ৬টি কাঠি দিয়ে একটি বড় ষড়ভুজ তৈরি করা হলো।
২. এরপর বাকি ৬টি কাঠি দিয়ে ষড়ভুজের প্রতিটি কৌণিক বিন্দুকে কেন্দ্রের সাথে যুক্ত করা হলো।
এর ফলে ষড়ভুজটির ভেতরে মোট 6টি ছোট সমবাহু ত্রিভুজ তৈরি হবে।

উত্তর: ষড়ভুজাকৃতি গঠন করে এবং কেন্দ্র থেকে কোণগুলি যুক্ত করে এটি করা সম্ভব।

হিসাব:
মোট কাঠি = 26টি।
সরিয়ে নিতে হবে = 14টি।
অবশিষ্ট কাঠি থাকবে = $26 – 14 = 12$টি।

সমাধান:
আমরা জানি, একটি ছোট বর্গক্ষেত্র তৈরি করতে 4টি কাঠি লাগে।
সুতরাং, 12টি কাঠি দিয়ে $12 \div 4 = 3$টি সম্পূর্ণ পৃথক (আলাদা) বর্গক্ষেত্র তৈরি করা সম্ভব।

পদ্ধতি:
প্রদত্ত জালের মাঝখানের এবং সংযোগকারী কাঠিগুলো এমনভাবে সরিয়ে ফেলতে হবে যেন শুধুমাত্র 3টি কোণায় বা আলাদা অবস্থানে 3টি ছোট বর্গক্ষেত্র অবশিষ্ট থাকে। প্রতিটি বর্গক্ষেত্র 4টি করে কাঠি দিয়ে তৈরি হবে।

উত্তর: 14টি কাঠি সরিয়ে এমনভাবে 12টি কাঠি রাখা হলো যাতে 3টি পৃথক বর্গক্ষেত্র তৈরি হয়।

বিশ্লেষণ:
বাইরের বড় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 16টি কাঠি, অর্থাৎ প্রতিটি বাহুতে 4টি করে কাঠি আছে। এর ক্ষেত্রফল $(4 \times 4) = 16$ একক।
ভেতরের ছোট বাড়ির পরিসীমা 4টি কাঠি, অর্থাৎ প্রতিটি বাহুতে 1টি করে কাঠি। এর ক্ষেত্রফল $(1 \times 1) = 1$ একক।
বাগানের মোট ক্ষেত্রফল = $16 – 1 = 15$ বর্গ একক।

সমাধান:
বাগানটিকে 5টি সমান ভাগে ভাগ করতে হবে।
প্রতিটি ভাগের ক্ষেত্রফল হবে = $15 \div 5 = 3$ বর্গ একক।
3টি ছোট বর্গক্ষেত্র মিলে ইংরেজি অক্ষর ‘L’ আকৃতির মতো একটি টুকরো তৈরি হয় (যাকে ট্রোমিনো বলে)।

পদ্ধতি:
10টি নতুন কাঠি ব্যবহার করে বাগানের খালি জায়গাটিকে 5টি সমান ‘L’ আকৃতির অংশে ভাগ করা যাবে।

উত্তর: বাগানটিকে 5টি সমান ‘L’ আকৃতির অংশে ভাগ করা হলো।

সমাধান কৌশল:
এখানে মোট 19টি ঘর (বৃত্ত) আছে এবং 1 থেকে 19 পর্যন্ত সংখ্যা বসাতে হবে। প্রতিটি সরলরেখায় 3টি করে বৃত্ত আছে এবং তাদের যোগফল 30 হতে হবে।

ধরি, কেন্দ্রের বৃত্তের সংখ্যাটি $x$।
যেকোনো একটি রেখার দুই প্রান্তের বৃত্তের সংখ্যার যোগফল হতে হবে $30 – x$।
যদি আমরা কেন্দ্রে 10 বসাই, তবে বাকি দুটি সংখ্যার যোগফল হতে হবে $30 – 10 = 20$।

সংখ্যা বিন্যাস:
কেন্দ্রে: 10
বিপরীত বা প্রান্তিক জোড়াগুলি হবে (যাদের যোগফল 20):
$1 + 19 = 20$
$2 + 18 = 20$
$3 + 17 = 20$
$4 + 16 = 20$
$5 + 15 = 20$
$6 + 14 = 20$
$7 + 13 = 20$
$8 + 12 = 20$
$9 + 11 = 20$

এই জোড়াগুলিকে কেন্দ্রের দুই পাশে বসালে প্রতিটি লাইনের যোগফল হবে $10 + 20 = 30$।

উত্তর: মাঝখানের বৃত্তে 10 এবং প্রতিটি রেখার দুই প্রান্তে এমন দুটি সংখ্যা বসাতে হবে যাদের যোগফল 20 (যেমন 1 ও 19, 2 ও 18 ইত্যাদি)।

(a) সমাধান:
এখানে প্রতি সারিতে (Row) সম্পর্কটি হলো: ১ম সংখ্যা + ২য় সংখ্যা = ৩য় সংখ্যা।
১ম সারি: $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
২য় সারি: $2 + \frac{2}{3} = \frac{6+2}{3} = \frac{8}{3}$
৩য় সারি: $3 + ? = \frac{19}{3}$

অতএব, লুপ্ত সংখ্যাটি হবে:
$? = \frac{19}{3} – 3 = \frac{19 – 9}{3} = \frac{10}{3}$

(b) সমাধান:
এখানে সম্পর্কটি হলো: (১ম সংখ্যা + ২য় সংখ্যা) $\times 2$ = ৩য় সংখ্যা।
১ম সারি: $(4 + 9) \times 2 = 13 \times 2 = 26$
২য় সারি: $(9 + 16) \times 2 = 25 \times 2 = 50$
৩য় সারি: $(16 + ?) \times 2 = 40$

অতএব,
$16 + ? = \frac{40}{2} = 20$
$? = 20 – 16 = 4$

উত্তর: (a) $\frac{10}{3}$, (b) $4$

(a) সমাধান:
এখানে উপরের দুটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি নিচের সংখ্যাটি।
সূত্র: $x^2 + y^2 = z$
১ম চিত্র: $2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$
৩য় চিত্র: $3^2 + 9^2 = 9 + 81 = 90$
২য় চিত্র (নির্ণেয়): $1^2 + 5^2 = 1 + 25 = 26$

(b) সমাধান:
এখানে উপরের দুটি সংখ্যার ঘনের (Cube) সমষ্টি নিচের সংখ্যাটি।
সূত্র: $x^3 + y^3 = z$
১ম চিত্র: $1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9$
৩য় চিত্র: $2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35$
২য় চিত্র (নির্ণেয়): $4^3 + 5^3 = 64 + 125 = 189$

উত্তর: (a) $26$, (b) $189$

(a) সমাধান:
স্তম্ভ বরাবর সম্পর্ক: (১ম সংখ্যা $\times$ ৩য় সংখ্যা) + ২য় সংখ্যা = ৪র্থ সংখ্যা।
১ম স্তম্ভ: $(7 \times 3) + 8 = 21 + 8 = 29$
২য় স্তম্ভ: $(4 \times 3) + 7 = 12 + 7 = 19$
৩য় স্তম্ভ: $(5 \times ?) + 6 = 31$

বা, $5 \times ? = 31 – 6 = 25$
$? = \frac{25}{5} = 5$

(b) সমাধান:
স্তম্ভ বরাবর সম্পর্ক: (১ম সংখ্যা $\times$ ২য় সংখ্যা) – ৩য় সংখ্যা = ৪র্থ সংখ্যা।
১ম স্তম্ভ: $(4 \times 2) – 1 = 8 – 1 = 7$
২য় স্তম্ভ: $(5 \times 3) – 3 = 15 – 3 = 12$
৩য় স্তম্ভ: $(6 \times 7) – ? = 39$

বা, $42 – ? = 39$
$? = 42 – 39 = 3$

উত্তর: (a) $5$, (b) $3$

সমাধান:
এখানে চারপাশের সংখ্যাগুলির সাথে মাঝখানের সংখ্যার সম্পর্ক হলো:
(ডানদিকের সংখ্যা – বামদিকের সংখ্যা) + (উপরের সংখ্যা – নিচের সংখ্যা) = মাঝখানের সংখ্যা

১ম চিত্র: $(15 – 12) + (10 – 9) = 3 + 1 = 4$
২য় চিত্র: $(28 – 12) + (16 – 20) = 16 + (-4) = 12$
৩য় চিত্র (নির্ণেয়): $(23 – 11) + (15 – 16)$

$= 12 + (-1)$
$= 11$

উত্তর: $11$

প্রদত্ত নিয়ম অনুযায়ী চিহ্ন পরিবর্তন:
$\div \rightarrow \times$
$+ \rightarrow \div$
$\# \rightarrow +$

রাশিমালা: $2 \div 5 + 5 \# 100$

চিহ্ন পরিবর্তনের পর রাশিটি হয়:
$2 \times 5 \div 5 + 100$

সরলীকরণ (BODMAS নিয়ম মেনে):
প্রথমে ভাগের কাজ: $5 \div 5 = 1$
তাহলে পাই: $2 \times 1 + 100$
গুণের কাজ: $2 \times 1 = 2$
যোগের কাজ: $2 + 100 = 102$

উত্তর: (b) $102$

সম্পর্ক নির্ণয়:
এখানে নিয়মটি হলো: $(\text{প্রথম সংখ্যা} + \text{দ্বিতীয় সংখ্যা})^2 = \text{ফলাফল}$
যাচাই করি:
$(7 + 1)^2 = 8^2 = 64$ (মিলেছে)
$(3 + 9)^2 = 12^2 = 144$ (মিলেছে)

নির্ণেয় মান:
$(5 + 6)^2 = 11^2 = 121$

উত্তর: (d) $121$

সম্পর্ক নির্ণয়:
এখানে নিয়মটি হলো: প্রতিটি সংখ্যার অঙ্কদুটির বিয়োগফল পাশাপাশি বসানো হয়েছে।
১ম সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের অন্তর $\rightarrow$ ফলাফলের ১ম অঙ্ক
২য় সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের অন্তর $\rightarrow$ ফলাফলের ২য় অঙ্ক

যাচাই করি:
$84 \oplus 72 \rightarrow (8-4)$ এবং $(7-2) \rightarrow 4$ এবং $5 \rightarrow 45$
$73 \oplus 41 \rightarrow (7-3)$ এবং $(4-1) \rightarrow 4$ এবং $3 \rightarrow 43$

নির্ণেয় মান:
$94 \oplus 72 \rightarrow (9-4)$ এবং $(7-2) \rightarrow 5$ এবং $5 \rightarrow 55$

উত্তর: (a) $55$

শর্ত:
$\div \leftrightarrow +$
$6 \leftrightarrow 3$

প্রতিটি বিকল্প যাচাই করি:
(a) $3 + 6 \div 2 = 5$: পরিবর্তন করে পাই $6 \div 3 + 2 = 2 + 2 = 4 \neq 5$ (মিথ্যা)
(b) $6 \div 3 + 2 = 8$: পরিবর্তন করে পাই $3 + 6 \div 2 = 3 + 3 = 6 \neq 8$ (মিথ্যা)
(c) $3 + 6 \div 5 = 7$: পরিবর্তন করে পাই $6 \div 3 + 5 = 2 + 5 = 7$ (সত্য)
(d) $3 \div 6 + 1 = 6$: পরিবর্তন করে পাই $6 + 3 \div 1 = 6 + 3 = 9 \neq 6$ (মিথ্যা)

উত্তর: (c) $3 + 6 \div 5 = 7$

শর্ত:
$+ \leftrightarrow -$
$4 \leftrightarrow 8$

বিকল্পগুলি যাচাই করি:
(a) $4 + 8 – 12 = 16$: পরিবর্তন করে পাই $8 – 4 + 12 = 4 + 12 = 16$ (সত্য)

যেহেতু প্রথম বিকল্পটিই সঠিক, তাই এটিই উত্তর। তবুও অন্যগুলো দেখা যেতে পারে:
(b) $4 – 8 + 12 = 6 \rightarrow 8 + 4 – 12 = 0 \neq 6$
(c) $8 + 4 – 12 = 24 \rightarrow 4 – 8 + 12 = 8 \neq 24$

উত্তর: (a) $4 + 8 – 12 = 16$

প্রদত্ত গুণফলগুলি লক্ষ্য করলে দেখা যায়, $142857$-কে $1$ থেকে $6$ দিয়ে গুণ করলে গুণফলের অঙ্কগুলি একই থাকে, শুধু চক্রাকারে স্থান পরিবর্তন করে।

$142857 \times 1 = 142857$
$142857 \times 2 = 285714$
$142857 \times 3 = 428571$
$142857 \times 4 = 571428$

লুপ্ত সংখ্যাগুলি নির্ণয়:
$142857 \times 5 = 714285$
$142857 \times 6 = 857142$

উত্তর: পঞ্চম বাক্সে $714285$ এবং ষষ্ঠ বাক্সে $857142$ হবে।

সমাধান:
একই অঙ্ক তিনবার ব্যবহার করে ২৪ বানানোর দুটি উপায় নিচে দেওয়া হলো:

• ১ম উপায়: $8 + 8 + 8 = 24$ (এখানে $8$ সংখ্যাটি তিনবার ব্যবহার করা হয়েছে)।
• ২য় উপায়: $22 + 2 = 24$ (এখানে $2$ অঙ্কটি তিনবার ব্যবহার করা হয়েছে)।

উত্তর: $8+8+8$ এবং $22+2$

সমাধান:
একই অঙ্ক তিনবার ব্যবহার করে ৩০ বানানোর উপায়গুলো হলো:

• ১ম উপায়: $5 \times 5 + 5 = 25 + 5 = 30$।
• ২য় উপায়: $6 \times 6 – 6 = 36 – 6 = 30$।
• ৩য় উপায়: $33 – 3 = 30$।

উত্তর: $5 \times 5 + 5$ এবং $6 \times 6 – 6$

সমস্যা বিশ্লেষণ:
ছবিতে দেওয়া সংখ্যাগুলো হলো:
বামদিকের স্তম্ভ: $1, 2, 7, 9$ $\rightarrow$ যোগফল $= 19$
ডানদিকের স্তম্ভ: $3, 4, 5, 8$ $\rightarrow$ যোগফল $= 20$
মোট যোগফল $= 19 + 20 = 39$। যেহেতু $39$ বিজোড় সংখ্যা, তাই একে সমান দুই ভাগে ভাগ করা সম্ভব নয়।

সমাধান কৌশল:
এখানে মজার ব্যাপার হলো, ‘$9$’ লেখা কাগজটিকে উল্টে দিলে তা ‘$6$’ হয়ে যায়।
তখন বামদিকের সংখ্যাগুলো হবে: $1, 2, 7, 6$ (যোগফল ১৬)।
ডানদিকের সংখ্যাগুলো হবে: $3, 4, 5, 8$ (যোগফল ২০)।
নতুন মোট যোগফল $= 16 + 20 = 36$।
প্রতিটি স্তম্ভের যোগফল হতে হবে $\frac{36}{2} = 18$।

স্থান পরিবর্তন:
ডানদিকের যোগফল ($20$) বামদিকের ($16$) চেয়ে $4$ বেশি। তাই সমতা আনতে হলে ডানদিক থেকে এমন একটি সংখ্যা বামদিকে নিতে হবে এবং বামদিক থেকে এমন একটি সংখ্যা ডানদিকে নিতে হবে যাদের পার্থক্য $2$ (অর্ধেক পার্থক্য)।
যেমন: ডানদিকের $3$ এবং বামদিকের $1$ অদলবদল করলে:
বামদিক: $3 + 2 + 7 + 6 = 18$
ডানদিক: $1 + 4 + 5 + 8 = 18$

উত্তর: ৯-কে উল্টে ৬ করতে হবে এবং ১ ও ৩ (অথবা ২ ও ৪) এর স্থান বিনিময় করতে হবে।

সমাধান:
মারিয়ার বাবা খামের উপর টাকার পরিমাণ লিখেছিলেন $86$।
মারিয়া খামটিকে উল্টো দিক থেকে দেখায় সংখ্যাটিকে $98$ ভেবেছিল (কারণ $86$-কে উল্টে দিলে $98$-এর মতো দেখায়)।
আসলে খামে ছিল $86$ টাকা, যা বইয়ের দাম $92$ টাকার চেয়ে কম।

উত্তর: আসলে খামে ৮৬ টাকা ছিল, যা উল্টোভাবে দেখলে ৯৮ মনে হয়।

সমাধান (Cryptarithmetic Puzzle):
এই ধরনের অঙ্কে প্রতিটি অক্ষরের জন্য একটি নির্দিষ্ট অঙ্ক (0-9) বরাদ্দ থাকে।
একটি সম্ভাব্য সমাধান নিচে দেওয়া হলো:

ধরি:
$F = 1, O = 2, N = 3, E = 4$
$T = 9, W = 7, U = 0, R = 6$

মান বসিয়ে পাই:
$ONE \rightarrow 234$
$TWO \rightarrow 972$

যোগফল:
$$ \begin{array}{c@{\,}c@{\,}c@{\,}c}
& 2 & 3 & 4 \\
+ & 9 & 7 & 2 \\
\hline
1 & 2 & 0 & 6
\end{array} $$

এখানে $1206$ সংখ্যাটি $FOUR$ এর সাথে মিলে যায় ($F=1, O=2, U=0, R=6$)।

উত্তর: 234 + 972 = 1206 (অন্য সমাধানও সম্ভব হতে পারে)।