অষ্টম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি – 6
অধ্যায় ৬: পূরক কোণ, সম্পূরক কোণ ও সন্নিহিত কোণ (কষে দেখি – 6)
1. মনে মনে ভাবি ও লিখি:
- (a) দুটি সূক্ষ্মকোণ পরস্পর পূরক হতে পারে কিনা লিখি।
উত্তর: হ্যাঁ, পারে। (কারণ দুটি সূক্ষ্মকোণের সমষ্টি $90^\circ$ হতে পারে, যেমন: $30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$)। - (b) দুটি সূক্ষ্মকোণ পরস্পর সম্পূরক হতে পারে কিনা লিখি।
উত্তর: না, পারে না। (কারণ দুটি সূক্ষ্মকোণের প্রতিটির মান $90^\circ$-এর কম, তাই তাদের সমষ্টি সর্বদা $180^\circ$-এর কম হবে)। - (c) একটি সূক্ষ্মকোণ ও একটি স্থূলকোণ পরস্পর পূরক হতে পারে কিনা লিখি।
উত্তর: না, পারে না। (কারণ স্থূলকোণের মানই $90^\circ$-এর বেশি, তাই সমষ্টি $90^\circ$ হওয়া সম্ভব নয়)। - (d) দুটি স্থূলকোণ পরস্পর সম্পূরক হতে পারে কিনা লিখি।
উত্তর: না, পারে না। (কারণ দুটি স্থূলকোণের সমষ্টি সর্বদা $180^\circ$-এর বেশি হয়)। - (e) দুটি সমকোণ পরস্পর সম্পূরক হতে পারে কিনা লিখি।
উত্তর: হ্যাঁ, পারে। (কারণ $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$)। - (f) একটি সূক্ষ্মকোণ ও একটি স্থূলকোণ পরস্পর সম্পূরক হতে পারে কিনা লিখি।
উত্তর: হ্যাঁ, পারে। (যেমন: $30^\circ + 150^\circ = 180^\circ$)। - (g) দুটি সন্নিহিত কোণ পরস্পর পূরক কোণ হতে পারে কিনা লিখি।
উত্তর: হ্যাঁ, পারে। (যদি তাদের সমষ্টি $90^\circ$ হয়)। - (h) দুটি সন্নিহিত কোণ পরস্পর সম্পূরক কোণ হতে পারে কিনা লিখি।
উত্তর: হ্যাঁ, পারে। (যদি তাদের সমষ্টি $180^\circ$ হয় এবং তারা একই সরলরেখায় অবস্থিত হয়)।
2. নীচের সন্নিহিত কোণগুলি আঁকি ও কোন কোণগুলি পরস্পর পূরক অথবা সম্পূরক লিখি:
আমরা জানি, দুটি কোণের সমষ্টি $90^\circ$ হলে তারা পূরক কোণ এবং সমষ্টি $180^\circ$ হলে তারা সম্পূরক কোণ।
- $45^\circ, 45^\circ$: সমষ্টি $= 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$।
$\therefore$ এরা পরস্পর পূরক কোণ। - $120^\circ, 30^\circ$: সমষ্টি $= 120^\circ + 30^\circ = 150^\circ$।
$\therefore$ এরা পূরক বা সম্পূরক কোনোটিই নয়। - $70^\circ, 110^\circ$: সমষ্টি $= 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ$।
$\therefore$ এরা পরস্পর সম্পূরক কোণ। - $42^\circ, 48^\circ$: সমষ্টি $= 42^\circ + 48^\circ = 90^\circ$।
$\therefore$ এরা পরস্পর পূরক কোণ। - $37^\circ, 43^\circ$: সমষ্টি $= 37^\circ + 43^\circ = 80^\circ$।
$\therefore$ এরা পূরক বা সম্পূরক কোনোটিই নয়। - $85^\circ, 95^\circ$: সমষ্টি $= 85^\circ + 95^\circ = 180^\circ$।
$\therefore$ এরা পরস্পর সম্পূরক কোণ।
উত্তর:
পূরক কোণ: ($45^\circ, 45^\circ$) এবং ($42^\circ, 48^\circ$)
সম্পূরক কোণ: ($70^\circ, 110^\circ$) এবং ($85^\circ, 95^\circ$)
3. নীচের কোণগুলি দেখি ও কোন কোন কোণদুটি পরস্পর পূরক কোণ লিখি:
$31^\circ, 47^\circ, 64^\circ, 29^\circ, 43^\circ, 59^\circ, 17^\circ, 26^\circ$
সমাধান:
আমরা জানি, পূরক কোণ হতে হলে দুটি কোণের সমষ্টি $90^\circ$ হতে হবে। তালিকা থেকে জোড়াগুলি খুঁজে বের করি:
- $31^\circ + 59^\circ = 90^\circ$ $\Rightarrow$ ($31^\circ, 59^\circ$) পরস্পর পূরক।
- $47^\circ + 43^\circ = 90^\circ$ $\Rightarrow$ ($47^\circ, 43^\circ$) পরস্পর পূরক।
- $64^\circ + 26^\circ = 90^\circ$ $\Rightarrow$ ($64^\circ, 26^\circ$) পরস্পর পূরক।
(বাকি কোণগুলির জন্য $90^\circ$ সমষ্টির কোনো জোড়া নেই, যেমন $29^\circ$-এর জন্য $61^\circ$ এবং $17^\circ$-এর জন্য $73^\circ$ তালিকায় নেই।)
উত্তর: পরস্পর পূরক কোণগুলির জোড়া হলো:
(i) $31^\circ$ ও $59^\circ$
(ii) $47^\circ$ ও $43^\circ$
(iii) $64^\circ$ ও $26^\circ$
4. নীচের কোণগুলি দেখি ও কোন কোন কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক কোণ লিখি:
$47^{\circ}, 58^{\circ}, 69^{\circ}, 75^{\circ}, 133^{\circ}, 105^{\circ}, 122^{\circ}, 125^{\circ}$
সমাধান:
আমরা জানি, দুটি কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$ হলে তারা পরস্পর সম্পূরক কোণ।
প্রদত্ত কোণগুলি থেকে জোড়া মিলিয়ে পাই:
- $47^{\circ} + 133^{\circ} = 180^{\circ}$ $\Rightarrow$ ($47^{\circ}, 133^{\circ}$) পরস্পর সম্পূরক।
- $58^{\circ} + 122^{\circ} = 180^{\circ}$ $\Rightarrow$ ($58^{\circ}, 122^{\circ}$) পরস্পর সম্পূরক।
- $75^{\circ} + 105^{\circ} = 180^{\circ}$ $\Rightarrow$ ($75^{\circ}, 105^{\circ}$) পরস্পর সম্পূরক।
(বাকি কোণগুলির সম্পূরক জোড়া তালিকায় নেই।)
উত্তর: সম্পূরক কোণের জোড়াগুলি হলো: ($47^{\circ}, 133^{\circ}$), ($58^{\circ}, 122^{\circ}$) এবং ($75^{\circ}, 105^{\circ}$)।
5. সন্নিহিত কোণ কাকে বলে লিখি।
সমাধান:
যদি দুটি কোণ একই সমতলে অবস্থিত হয় এবং তাদের একই শীর্ষবিন্দু ও একটি সাধারণ বাহু থাকে এবং কোণ দুটি সাধারণ বাহুর বিপরীত পাশে অবস্থিত হয়, তবে ওই কোণ দুটিকে সন্নিহিত কোণ (Adjacent Angles) বলে।
[দ্রষ্টব্য: বইয়ের ছবিতে যে কোণগুলি এই শর্ত মেনে চলে (একই শীর্ষবিন্দু ও সাধারণ বাহু আছে এবং একে অপরের ওপরে বা ভেতরে অবস্থিত নয়), সেগুলিই সন্নিহিত কোণ হবে।]
উত্তর: একই শীর্ষবিন্দু ও সাধারণ বাহু বিশিষ্ট এবং সাধারণ বাহুর বিপরীত পাশে অবস্থিত কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে।
6. নিজে চাঁদার সাহায্যে সন্নিহিত কোণ আঁকি যার কোণদুটির মান হলো-
(i) $35^{\circ}, 45^{\circ}$ (ii) $18^{\circ}, 42^{\circ}$ (iii) $32^{\circ}, 90^{\circ}$ (iv) $73^{\circ}, 63^{\circ}$
সমাধান (অঙ্কন প্রণালী):
এটি একটি জ্যামিতিক অঙ্কন। খাতায় এটি আঁকার জন্য নীচের ধাপগুলি অনুসরণ করতে হবে:
- একটি সরলরেখাংশ আঁকতে হবে এবং তার একটি প্রান্তে চাঁদা বসাতে হবে।
- (i) $35^{\circ}, 45^{\circ}$: প্রথমে $35^{\circ}$ কোণ আঁকতে হবে। তারপর ওই কোণের সাধারণ বাহুর উপর চাঁদা বসিয়ে ঠিক তার পাশেই $45^{\circ}$ কোণ আঁকতে হবে। মোট কোণ হবে $35^{\circ} + 45^{\circ} = 80^{\circ}$।
- (ii) $18^{\circ}, 42^{\circ}$: একইভাবে প্রথমে $18^{\circ}$ এবং তার পাশেই $42^{\circ}$ কোণ আঁকতে হবে। মোট কোণ হবে $60^{\circ}$।
- (iii) $32^{\circ}, 90^{\circ}$: প্রথমে $90^{\circ}$ (সমকোণ) এঁকে তার সাথে $32^{\circ}$ কোণ আঁকতে হবে।
- (iv) $73^{\circ}, 63^{\circ}$: প্রথমে $73^{\circ}$ এবং তার সাথে $63^{\circ}$ কোণ আঁকতে হবে।
উত্তর: চাঁদার সাহায্যে প্রদত্ত পরিমাপের সন্নিহিত কোণগুলি অঙ্কন করতে হবে।
7. সায়ন্তনী একটি সরলরেখা AB আঁকল। আমি সেই সরলরেখার উপর কোনো বিন্দু P-তে অপর একটি রশ্মি PQ আঁকলাম। এর ফলে দুটি সন্নিহিত কোণ $\angle BPQ$ ও $\angle APQ$ তৈরি হলো। চাঁদার সাহায্যে মেপে $\angle BPQ$ ও $\angle APQ$-এর পরিমাপ লিখি ও তাদের সমষ্টি কত লিখি।
সমাধান:
যেহেতু AB একটি সরলরেখা এবং P বিন্দুতে PQ রশ্মি দণ্ডায়মান, তাই উৎপন্ন সন্নিহিত কোণ দুটির সমষ্টি সর্বদা এক সরলকোণ বা $180^{\circ}$ হবে।
অর্থাৎ, $\angle BPQ + \angle APQ = 180^{\circ}$
(চাঁদার সাহায্যে মাপলে নির্দিষ্ট মান পাওয়া যাবে, কিন্তু তাদের যোগফল সর্বদা $180^{\circ}$ হবে।)
উত্তর: কোণ দুটির সমষ্টি $180^{\circ}$।
8. শাকিল দুটি সন্নিহিত কোণ $\angle ABC$ ও $\angle ABD$ আঁকল যাদের সমষ্টি $180^{\circ}$। আমিও শাকিলের মতো $\angle ABC$ ও $\angle ABD$ এঁকে দেখি D, B ও C বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় আছে কিনা।
সমাধান:
আমরা জানি, দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$ হলে তাদের বহিঃস্থ বাহু দুটি একই সরলরেখায় থাকে।
এখানে, $\angle ABC + \angle ABD = 180^{\circ}$
সুতরাং, D, B এবং C বিন্দু তিনটি সমরেখ (collinear) বা একই সরলরেখায় অবস্থিত।
[attachment_0](attachment)
উত্তর: হ্যাঁ, D, B ও C বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় আছে।
9. পাশের ছবি থেকে $x$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
প্রদত্ত ছবিতে একটি সরলরেখার ওপর দণ্ডায়মান রশ্মির ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণ গুলি হলো $3x^{\circ}$,$x^{\circ}$ এবং $80^{\circ}$।
আমরা জানি, সরলরেখার ওপর উৎপন্ন সন্নিহিত কোণদ্বয়ের সমষ্টি $180^{\circ}$।
শর্তানুসারে,
$3x + 80 + x = 180$
বা, $4x = 180 – 80$
বা, $4x = 100$
বা, $x = \frac{100}{4}$
বা, $x = 25$
উত্তর: $x$-এর মান $25$
10. পাশের ছবিতে $\angle AOP$, $\angle BOP$-এর চেয়ে $140^{\circ}$ বেশি। $\angle AOP$ ও $\angle BOP$ এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, $\angle BOP = x^{\circ}$
তাহলে, $\angle AOP = (x + 140)^{\circ}$
যেহেতু AOB একটি সরলরেখা, তাই কোণ দুটির সমষ্টি $180^{\circ}$।
শর্তানুসারে,
$\angle AOP + \angle BOP = 180$
বা, $(x + 140) + x = 180$
বা, $2x = 180 – 140$
বা, $2x = 40$
বা, $x = 20$
$\therefore \angle BOP = 20^{\circ}$
এবং $\angle AOP = 20^{\circ} + 140^{\circ} = 160^{\circ}$
উত্তর: $\angle AOP = 160^{\circ}$ এবং $\angle BOP = 20^{\circ}$
11. দুটি সন্নিহিত কোণের মান $35^{\circ}$ ও $145^{\circ}$; সন্নিহিত কোণের বহিঃস্থ বাহু দুটি কীভাবে অবস্থিত লিখি।
সমাধান:
সন্নিহিত কোণ দুটির সমষ্টি = $35^{\circ} + 145^{\circ} = 180^{\circ}$
যেহেতু সন্নিহিত কোণ দুটির সমষ্টি $180^{\circ}$, তাই কোণ দুটির বহিঃস্থ বাহু দুটি একই সরলরেখায় থাকবে (পরস্পর বিপরীত দিকে মুখ করে)।
উত্তর: বহিঃস্থ বাহু দুটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।
12. পাশের ছবিতে OA ও OE কীভাবে অবস্থিত লিখি।
সমাধান:
পাশের ছবিতে প্রদত্ত কোণগুলির সমষ্টি নির্ণয় করি:
কোণগুলি হলো: $20^{\circ}, 55^{\circ}, 81^{\circ}, 24^{\circ}$
সমষ্টি = $20^{\circ} + 55^{\circ} + 81^{\circ} + 24^{\circ}$
$= 75^{\circ} + 81^{\circ} + 24^{\circ}$
$= 156^{\circ} + 24^{\circ}$
$= 180^{\circ}$
যেহেতু কোণগুলির সমষ্টি $180^{\circ}$, তাই OA এবং OE রশ্মি দুটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।
উত্তর: OA ও OE একই সরলরেখায় অবস্থিত।
শেয়ার