অষ্টম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি – 15 সরলীকরণ

যাচাই:

ডানপক্ষ $= \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$

$= \frac{a+b}{c}$

$=$ বামপক্ষ

যেহেতু বামপক্ষ ও ডানপক্ষ সমান, তাই সম্পর্কটি সত্য।

উত্তর: সত্য

যাচাই:

ডানপক্ষ $= \frac{a}{x} + \frac{a}{y}$

$= \frac{ay + ax}{xy}$

$= \frac{a(y+x)}{xy}$

কিন্তু বামপক্ষ $= \frac{a}{x+y}$

স্পষ্টতই, $\frac{a}{x+y} \neq \frac{a(x+y)}{xy}$

সুতরাং, সম্পর্কটি মিথ্যা।

উত্তর: মিথ্যা

যাচাই:

ডানপক্ষ $= \frac{y-x}{b-a}$

$= \frac{-(x-y)}{-(a-b)}$ [লব ও হর থেকে $-1$ কমন নিয়ে]

$= \frac{x-y}{a-b}$

$=$ বামপক্ষ

যেহেতু বামপক্ষ ও ডানপক্ষ সমান, তাই সম্পর্কটি সত্য।

উত্তর: সত্য

যাচাই:

বামপক্ষ $= \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

$= \frac{y+x}{xy}$

কিন্তু ডানপক্ষ $= \frac{1}{x+y}$

স্পষ্টতই, $\frac{x+y}{xy} \neq \frac{1}{x+y}$

সুতরাং, সম্পর্কটি মিথ্যা।

উত্তর: মিথ্যা

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= \frac{63a^3b^4}{77b^5}$

$= \frac{7 \times 9 \times a^3 \times b^4}{7 \times 11 \times b^4 \times b}$

$= \frac{9a^3}{11b}$ [লব ও হরকে $7b^4$ দিয়ে ভাগ করে]

উত্তর: $\frac{9a^3}{11b}$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= \frac{18a^4b^5c^2}{21a^7b^2}$

$= \frac{3 \times 6 \times a^4 \times b^2 \times b^3 \times c^2}{3 \times 7 \times a^4 \times a^3 \times b^2}$

$= \frac{6b^3c^2}{7a^3}$ [লব ও হরকে $3a^4b^2$ দিয়ে ভাগ করে]

উত্তর: $\frac{6b^3c^2}{7a^3}$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= \frac{x^2 – 2x – x + 2}{(x)^2 – (1)^2}$

$= \frac{x(x – 2) – 1(x – 2)}{(x + 1)(x – 1)}$

$= \frac{(x – 2)(x – 1)}{(x + 1)(x – 1)}$

$= \frac{x – 2}{x + 1}$ [লব ও হর থেকে $(x – 1)$ বাদ দিয়ে]

উত্তর: $\frac{x – 2}{x + 1}$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= \frac{a + 1}{a – 2} \times \frac{a^2 – 2a + a – 2}{a(a + 1)}$

$= \frac{a + 1}{a – 2} \times \frac{a(a – 2) + 1(a – 2)}{a(a + 1)}$

$= \frac{a + 1}{a – 2} \times \frac{(a – 2)(a + 1)}{a(a + 1)}$

$= \frac{a + 1}{a}$ [কাটাকুটি করে]

উত্তর: $\frac{a + 1}{a}$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= \frac{(p + q)(p^2 – pq + q^2)}{(p + q)(p – q)} \times \frac{p – q}{p + q}$ [ভাগ চিহ্ন গুণ করে উল্টে দেওয়া হলো]

$= \frac{p^2 – pq + q^2}{p – q} \times \frac{p – q}{p + q}$ [প্রথম অংশে $(p+q)$ কেটে গেল]

$= \frac{p^2 – pq + q^2}{p + q}$ [$(p-q)$ কেটে গেল]

উত্তর: $\frac{p^2 – pq + q^2}{p + q}$

সমাধান:

প্রতিটি রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:

• $x^2 – x – 6 = x^2 – 3x + 2x – 6 = (x – 3)(x + 2)$
• $x^2 + 4x – 5 = x^2 + 5x – x – 5 = (x + 5)(x – 1)$
• $x^2 + 6x + 5 = x^2 + 5x + x + 5 = (x + 5)(x + 1)$
• $x^2 – 4x + 3 = x^2 – 3x – x + 3 = (x – 3)(x – 1)$

এখন মূল রাশিতে মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{(x – 3)(x + 2)}{(x + 5)(x – 1)} \times \frac{(x + 5)(x + 1)}{(x – 3)(x – 1)}$

$= \frac{(x + 2)(x + 1)}{(x – 1)(x – 1)}$ [কাটাকুটি করে]

$= \frac{x^2 + 3x + 2}{(x – 1)^2}$

উত্তর: $\frac{(x + 2)(x + 1)}{(x – 1)^2}$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= \frac{a^2 – ab + b^2}{a(a + b)} \div \frac{(a + b)(a^2 – ab + b^2)}{(a + b)(a – b)}$

$= \frac{a^2 – ab + b^2}{a(a + b)} \times \frac{(a + b)(a – b)}{(a + b)(a^2 – ab + b^2)}$ [ভাগ চিহ্ন গুণ করে উল্টে দেওয়া হলো]

$= \frac{1}{a(a + b)} \times \frac{(a + b)(a – b)}{1}$ [$(a^2 – ab + b^2)$ কেটে গেল]

$= \frac{a – b}{a(a + b)}$ [$(a+b)$ কেটে গেল]

উত্তর: $\frac{a – b}{a(a + b)}$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca}$

হরগুলির ল.সা.গু. $= abc$

$= \frac{c + a + b}{abc}$

$= \frac{a + b + c}{abc}$ [সাজিয়ে]

উত্তর: $\frac{a + b + c}{abc}$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= \frac{a-b-c}{a} + \frac{a+b+c}{a}$

উভয় ভগ্নাংশের হর সমান ($a$), তাই সরাসরি যোগ করা যাবে।

$= \frac{(a-b-c) + (a+b+c)}{a}$

$= \frac{a – b – c + a + b + c}{a}$

$= \frac{2a}{a}$ [যেহেতু $-b+b=0$ এবং $-c+c=0$]

$= 2$

উত্তর: $2$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= \frac{x^2+a^2}{ab} + \frac{x-a}{ax} – \frac{x^3}{b}$

হরগুলির ল.সা.গু. ($ab, ax, b$) $= abx$

$= \frac{x(x^2+a^2) + b(x-a) – ax(x^3)}{abx}$

$= \frac{x^3 + a^2x + bx – ab – ax^4}{abx}$

(এই রাশিমালাটিকে আর সরল করা সম্ভব নয়)

উত্তর: $\frac{x^3 + a^2x + bx – ab – ax^4}{abx}$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= \frac{2a^2b}{3b^2c} \times \frac{c^4}{3a^3} \div \frac{4bc^3}{9a^2}$

ভাগ চিহ্নকে গুণ চিহ্নে পরিবর্তন করে পরবর্তী ভগ্নাংশটিকে উল্টে পাই:

$= \frac{2a^2b}{3b^2c} \times \frac{c^4}{3a^3} \times \frac{9a^2}{4bc^3}$

$= \frac{2 \cdot 9 \cdot a^2 \cdot a^2 \cdot b \cdot c^4}{3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot a^3 \cdot b^2 \cdot b \cdot c \cdot c^3}$

$= \frac{18 \cdot a^4 \cdot b \cdot c^4}{36 \cdot a^3 \cdot b^3 \cdot c^4}$

$= \frac{18}{36} \times \frac{a^4}{a^3} \times \frac{b}{b^3} \times \frac{c^4}{c^4}$

$= \frac{1}{2} \times a \times \frac{1}{b^2} \times 1$

$= \frac{a}{2b^2}$

উত্তর: $\frac{a}{2b^2}$

সমাধান:

হরগুলিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:

• $x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$
• $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$
• $x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$

$= \frac{1}{(x-1)(x-2)} + \frac{1}{(x-2)(x-3)} + \frac{1}{(x-1)(x-3)}$

ল.সা.গু. $= (x-1)(x-2)(x-3)$

$= \frac{(x-3) + (x-1) + (x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}$

$= \frac{3x – 6}{(x-1)(x-2)(x-3)}$

$= \frac{3(x – 2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}$

$= \frac{3}{(x-1)(x-3)}$ [লব ও হর থেকে $(x-2)$ বাদ দিয়ে]

উত্তর: $\frac{3}{(x-1)(x-3)}$

সমাধান:

প্রথম দুটি পদের যোগ:

$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{x+1+x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x}{x^2-1}$

এখন রাশিটি: $\frac{2x}{x^2-1} + \frac{2x}{x^2+1} + \frac{4x^3}{x^4+1}$

আবার প্রথম দুটি পদের যোগ:

$\frac{2x}{x^2-1} + \frac{2x}{x^2+1} = \frac{2x(x^2+1) + 2x(x^2-1)}{(x^2-1)(x^2+1)}$

$= \frac{2x^3+2x+2x^3-2x}{x^4-1} = \frac{4x^3}{x^4-1}$

এখন রাশিটি হলো: $\frac{4x^3}{x^4-1} + \frac{4x^3}{x^4+1}$

$= \frac{4x^3(x^4+1) + 4x^3(x^4-1)}{(x^4-1)(x^4+1)}$

$= \frac{4x^7+4x^3+4x^7-4x^3}{x^8-1}$

$= \frac{8x^7}{x^8-1}$

উত্তর: $\frac{8x^7}{x^8-1}$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= \frac{b(b – 5)}{3b – 4a} \times \frac{(3b)^2 – (4a)^2}{b^2 – 5^2} \div \frac{b(3b + 4a)}{a(b + 5)}$

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:

$= \frac{b(b – 5)}{3b – 4a} \times \frac{(3b + 4a)(3b – 4a)}{(b + 5)(b – 5)} \times \frac{a(b + 5)}{b(3b + 4a)}$ [ভাগ চিহ্ন গুণ করে উল্টে দেওয়া হলো]
$= a$

কাটাকুটি করে পাই:

• লবের $b$ এবং হরের $b$ কেটে গেল।
• লবের $(b-5)$ এবং হরের $(b-5)$ কেটে গেল।
• লবের $(3b-4a)$ এবং হরের $(3b-4a)$ কেটে গেল।
• লবের $(3b+4a)$ এবং হরের $(3b+4a)$ কেটে গেল।
• লবের $(b+5)$ এবং হরের $(b+5)$ কেটে গেল।

অবশিষ্ট থাকল $= a$

উত্তর: $a$

সমাধান:

হরগুলিকে চক্রক্রমিক (cyclic order) আকারে সাজিয়ে পাই:

$(a-c) = -(c-a)$

$(b-a) = -(a-b)$

$(c-b) = -(b-c)$

$\therefore$ প্রদত্ত
$= \frac{b+c}{-(a-b)(c-a)} + \frac{c+a}{-(a-b)(b-c)} + \frac{a+b}{-(b-c)(c-a)}$

মাইনাস চিহ্ন কমন নিয়ে পাই,

$= -\left[ \frac{b+c}{(a-b)(c-a)} + \frac{c+a}{(a-b)(b-c)} + \frac{a+b}{(b-c)(c-a)} \right]$

লসাগু $= (a-b)(b-c)(c-a)$

$= -\left[ \frac{(b+c)(b-c) + (c+a)(c-a) + (a+b)(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \right]$

$= -\left[ \frac{(b^2 – c^2) + (c^2 – a^2) + (a^2 – b^2)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \right]$

$= -\left[ \frac{b^2 – c^2 + c^2 – a^2 + a^2 – b^2}{(a-b)(b-c)(c-a)} \right]$

$= -\left[ \frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)} \right]$

$= 0$

উত্তর: $0$

সমাধান:

আগের অঙ্কের মতোই হরগুলিকে সাজিয়ে পাই:

$= \frac{b+c-a}{-(a-b)(c-a)} + \frac{c+a-b}{-(b-c)(a-b)} + \frac{a+b-c}{-(c-a)(b-c)}$

$= -\left[ \frac{b+c-a}{(a-b)(c-a)} + \frac{c+a-b}{(a-b)(b-c)} + \frac{a+b-c}{(b-c)(c-a)} \right]$

লসাগু $= (a-b)(b-c)(c-a)$

$= -\frac{(b+c-a)(b-c) + (c+a-b)(c-a) + (a+b-c)(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

লবের গুণফল নির্ণয়:

১ম অংশ: $(b+c)(b-c) – a(b-c) = b^2 – c^2 – ab + ac$

২য় অংশ: $(c+a)(c-a) – b(c-a) = c^2 – a^2 – bc + ab$

৩য় অংশ: $(a+b)(a-b) – c(a-b) = a^2 – b^2 – ac + bc$

এখন সব যোগ করলে:

$= (b^2 – c^2 – ab + ac) + (c^2 – a^2 – bc + ab) + (a^2 – b^2 – ac + bc)$

$= b^2 – b^2 – c^2 + c^2 – a^2 + a^2 – ab + ab + ac – ac – bc + bc$

$= 0$

$\therefore$ ভগ্নাংশটি $= -\frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 0$

উত্তর: $0$

সমাধান:

লবটিকে সাজিয়ে পাই:

লব $= \left(\frac{a^2}{x-a} + a\right) + \left(\frac{b^2}{x-b} + b\right) + \left(\frac{c^2}{x-c} + c\right)$

এখন প্রতিটি অংশ সরল করি:

১ম অংশ: $\frac{a^2}{x-a} + a = \frac{a^2 + a(x-a)}{x-a} = \frac{a^2 + ax – a^2}{x-a} = \frac{ax}{x-a}$

২য় অংশ: $\frac{b^2}{x-b} + b = \frac{b^2 + b(x-b)}{x-b} = \frac{b^2 + bx – b^2}{x-b} = \frac{bx}{x-b}$

৩য় অংশ: $\frac{c^2}{x-c} + c = \frac{c^2 + c(x-c)}{x-c} = \frac{c^2 + cx – c^2}{x-c} = \frac{cx}{x-c}$

$\therefore$ লব $= \frac{ax}{x-a} + \frac{bx}{x-b} + \frac{cx}{x-c}$

$= x \left( \frac{a}{x-a} + \frac{b}{x-b} + \frac{c}{x-c} \right)$

এখন পুরো রাশিটি হলো:

$= \frac{x \left( \frac{a}{x-a} + \frac{b}{x-b} + \frac{c}{x-c} \right)}{\left( \frac{a}{x-a} + \frac{b}{x-b} + \frac{c}{x-c} \right)}$

লব ও হরের সাধারণ উৎপাদক কেটে গেলে থাকে $= x$

উত্তর: $x$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা:

১ম অংশ: $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} – \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = \frac{(a^2+b^2)^2 – (a^2-b^2)^2}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}$

$= \frac{4a^2b^2}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}$ [সূত্র: $(x+y)^2 – (x-y)^2 = 4xy$]

২য় অংশ: $\frac{a+b}{a-b} – \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a+b)^2 – (a-b)^2}{(a-b)(a+b)}$

$= \frac{4ab}{a^2-b^2}$

৩য় অংশ: $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2+b^2}{ab}$

এখন মান বসিয়ে পাই,

$= \left[\frac{4a^2b^2}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}\right] \div \left[\frac{4ab}{a^2-b^2}\right] \times \left[\frac{a^2+b^2}{ab}\right]$

$= \frac{4a^2b^2}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)} \times \frac{a^2-b^2}{4ab} \times \frac{a^2+b^2}{ab}$

কাটাকুটি করে পাই:

• লবের $4$ এবং হরের $4$ কেটে গেল।
• লবের $(a^2-b^2)$ এবং হরের $(a^2-b^2)$ কেটে গেল।
• হরের $(a^2+b^2)$ এবং ৩য় অংশের লবের $(a^2+b^2)$ কেটে গেল।
• হরের $ab \times ab = a^2b^2$ এবং লবের $a^2b^2$ কেটে গেল।

অবশিষ্ট মান $= 1$

উত্তর: $1$

সমাধান:

হরগুলির ল.সা.গু. $= abc$

$= \frac{a(b+c)(b+c-a) + b(c+a)(c+a-b) + c(a+b)(a+b-c)}{abc}$

লব সরলীকরণ:

১ম পদ: $a\{(b+c)^2 – a(b+c)\} = a(b^2+2bc+c^2 – ab – ac) = ab^2+2abc+ac^2 – a^2b – a^2c$

২য় পদ: $b\{(c+a)^2 – b(c+a)\} = b(c^2+2ca+a^2 – bc – ab) = bc^2+2abc+a^2b – b^2c – ab^2$

৩য় পদ: $c\{(a+b)^2 – c(a+b)\} = c(a^2+2ab+b^2 – ac – bc) = a^2c+2abc+b^2c – ac^2 – bc^2$

এখন লবের সব পদ যোগ করলে:

$= (ab^2 – ab^2) + (ac^2 – ac^2) + (-a^2b + a^2b) + (-a^2c + a^2c) + (bc^2 – bc^2) + (-b^2c + b^2c) + (2abc + 2abc + 2abc)$

$= 6abc$

$\therefore$ প্রদত্ত রাশি $= \frac{6abc}{abc} = 6$

উত্তর: $6$

সমাধান:

হরগুলিকে চক্রক্রমিক (cyclic order) আকারে সাজিয়ে পাই:

$(x-z) = -(z-x)$

$(y-x) = -(x-y)$

$(z-y) = -(y-z)$

রাশিটি হলো:

$= \frac{y^2+yz+z^2}{-(x-y)(z-x)} + \frac{z^2+zx+x^2}{-(x-y)(y-z)} + \frac{x^2+xy+y^2}{-(y-z)(z-x)}$

মাইনাস চিহ্ন কমন নিয়ে ল.সা.গু. করি:

ল.সা.গু. $= (x-y)(y-z)(z-x)$

$= -\left[\frac{(y^2+yz+z^2)(y-z) + (z^2+zx+x^2)(z-x) + (x^2+xy+y^2)(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}\right]$

আমরা জানি, $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 – b^3$

লব $= (y^3 – z^3) + (z^3 – x^3) + (x^3 – y^3)$

$= y^3 – z^3 + z^3 – x^3 + x^3 – y^3$

$= 0$

$\therefore$ সম্পূর্ণ ভগ্নাংশটি $= -\frac{0}{(x-y)(y-z)(z-x)} = 0$

উত্তর: $0$