অষ্টম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি 16.1

চিত্র অনুযায়ী, এটি একটি অবতল চতুর্ভুজ (Concave Quadrilateral)। এই ধরণের জ্যামিতিক চিত্রের ক্ষেত্রে, প্রবৃদ্ধ কোণ বা বাইরের দিকের কোণটি অন্তঃস্থ বিপরীত তিনটি কোণের সমষ্টির সমান হয়।

সুতরাং, শর্তানুযায়ী:

$$x = 60^{\circ} + 40^{\circ} + 20^{\circ}$$

$$x = 120^{\circ}$$

(ii) এর সমাধান:

দ্বিতীয় চিত্রটিতেও একই জ্যামিতিক ধর্ম প্রযোজ্য। এখানে $x$ হলো নির্দেশিত অবতল অংশের কোণ, যা তার বিপরীত দিকে থাকা তিনটি অন্তঃস্থ কোণের যোগফলের সমান।

অতএব:

$$x = 50^{\circ} + 30^{\circ} + 60^{\circ}$$

$$x = 140^{\circ}$$

(iii) এর সমাধান:

চিত্র থেকে দেখা যাচ্ছে, $PQ$ এবং $TS$ পরস্পর সমান্তরাল ($PQ \parallel TS$)।

আমরা $R$ বিন্দু দিয়ে $PQ$ ও $TS$-এর সমান্তরাল একটি সরলরেখা কল্পনা করলে, একান্তর কোণের (Alternate Angles) নিয়ম অনুযায়ী $x$ কোণটি দুটি অংশে বিভক্ত হবে:

• উপরের অংশটি $\angle PQR$-এর একান্তর কোণ, অর্থাৎ $55^{\circ}$।
• নিচের অংশটি $\angle TSR$-এর একান্তর কোণ, অর্থাৎ $60^{\circ}$।

সুতরাং, মোট কোণ $x$ হবে:

$$x = 55^{\circ} + 60^{\circ}$$

$$x = 115^{\circ}$$

নির্ণেয় উত্তর: (i) $x = 120^{\circ}$, (ii) $x = 140^{\circ}$, (iii) $x = 115^{\circ}$

চিত্রে $AB \parallel CD$ এবং $AFE$ হলো তাদের ছেদক।

ধাপ ১: $\angle EHG$ নির্ণয়

যেহেতু $AB \parallel CD$, তাই ছেদকের একই পার্শ্বস্থ অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি $180^{\circ}$ হবে না, কিন্তু একান্তর কোণ সমান হবে। এখানে আমরা বিপ্রতীপ কোণ ও অন্তঃস্থ কোণের ধর্ম ব্যবহার করব।

$\angle AFH = 110^{\circ}$। এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ (consecutive interior angle) $\angle CHF$ হবে:

$$\angle CHF = 180^{\circ} – 110^{\circ} = 70^{\circ}$$

এখন, $\angle EHG$ এবং $\angle CHF$ হলো বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite Angles)। সুতরাং:

$$\angle EHG = \angle CHF = 70^{\circ}$$

ধাপ ২: $\triangle EHG$ এর অবশিষ্ট কোণ নির্ণয়

ত্রিভুজ $\triangle EHG$-তে দেওয়া আছে একটি কোণ $\angle HGE = 60^{\circ}$। আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$।

অতএব, তৃতীয় কোণ $\angle HEG$ হবে:

$$\angle HEG = 180^{\circ} – (\angle EHG + \angle HGE)$$

$$\angle HEG = 180^{\circ} – (70^{\circ} + 60^{\circ})$$

$$\angle HEG = 180^{\circ} – 130^{\circ} = 50^{\circ}$$

উত্তর: $\triangle EHG$ এর কোণগুলি হলো $70^{\circ}$, $60^{\circ}$ এবং $50^{\circ}$।

চিত্রে $AD, BE$ এবং $CF$ সরলরেখা তিনটি পরস্পর $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে, যার ফলে তিনটি ত্রিভুজ $\triangle AOB$, $\triangle COD$ এবং $\triangle EOF$ গঠিত হয়েছে।

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$। সুতরাং তিনটি ত্রিভুজের মোট কোণের সমষ্টি:

$$(\angle A + \angle B + \angle AOB) + (\angle C + \angle D + \angle COD) + (\angle E + \angle F + \angle EOF)$$

$$= 180^{\circ} \times 3 = 540^{\circ}$$

এখন, $O$ বিন্দুতে উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণগুলি লক্ষ্য করি। $AD, BE, CF$ সরলরেখা হওয়ার কারণে:

• $\angle AOB = \angle DOE$
• $\angle COD = \angle FOA$
• $\angle EOF = \angle BOC$

কিন্তু আমাদের প্রয়োজন ত্রিভুজ তিনটির ভেতরের কেন্দ্রস্থ কোণগুলির সমষ্টি ($\angle AOB + \angle COD + \angle EOF$)।

$O$ বিন্দুর চারপাশের মোট কোণ $360^{\circ}$। যেহেতু বিপ্রতীপ কোণগুলি সমান, তাই:

$$2 \times (\angle AOB + \angle COD + \angle EOF) = 360^{\circ}$$

$$\Rightarrow \angle AOB + \angle COD + \angle EOF = \frac{360^{\circ}}{2} $$
$$= 180^{\circ}$$

অতএব, নির্ণেয় কোণগুলির সমষ্টি:

$$(\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E+\angle F)$$

$$= (\text{মোট কোণ}) – (\text{কেন্দ্রস্থ কোণগুলির সমষ্টি})$$

$$= 540^{\circ} – 180^{\circ}$$

$$= 360^{\circ}$$

উত্তর: নির্ণেয় কোণগুলির সমষ্টি $360^{\circ}$।

প্রদত্ত: চিত্রে $\triangle ABC$-এর বহিঃস্থ কোণ $\angle ACD = 112^{\circ}$ এবং $AB = AC$

সমাধান:

আমরা জানি, একটি সরলরেখার ওপর দণ্ডায়মান কোণ দুটির সমষ্টি $180^{\circ}$।

$\therefore \angle ACB + \angle ACD = 180^{\circ}$

$\Rightarrow \angle ACB + 112^{\circ} = 180^{\circ}$

$\Rightarrow \angle ACB = 180^{\circ} – 112^{\circ} = 68^{\circ}$

যেহেতু $\triangle ABC$ সমদ্বিবাহু এবং $AB = AC$, তাই তাদের বিপরীত কোণগুলি সমান হবে।

$\therefore \angle ABC = \angle ACB = 68^{\circ}$

আবার, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$।

$\therefore \angle BAC = 180^{\circ} – (\angle ABC + \angle ACB)$

$= 180^{\circ} – (68^{\circ} + 68^{\circ})$

$= 180^{\circ} – 136^{\circ} = 44^{\circ}$

উত্তর: $\angle ABC = 68^{\circ}$, $\angle ACB = 68^{\circ}$ এবং $\angle BAC = 44^{\circ}$

প্রদত্ত: চিত্রে শীর্ষবিন্দু $A$-তে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণটি $80^{\circ}$ এবং $AB = AC$

সমাধান:

আমরা জানি, ত্রিভুজের কোনো একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।

সুতরাং, বহিঃস্থ কোণ $= \angle ABC + \angle ACB$

$\Rightarrow \angle ABC + \angle ACB = 80^{\circ}$

যেহেতু $AB = AC$, তাই $\triangle ABC$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং এর ভূমির কোণ দুটি সমান।

অর্থাৎ, $\angle ABC = \angle ACB$

সুতরাং,

$2 \angle ABC = 80^{\circ}$

$\Rightarrow \angle ABC = \frac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ}$

যেহেতু $\angle ABC = \angle ACB$, তাই $\angle ACB = 40^{\circ}$

উত্তর: $\angle ABC = 40^{\circ}$ এবং $\angle ACB = 40^{\circ}$

প্রদত্ত: চিত্রে $\angle ABC = 70^{\circ}$ এবং $AB = AC$

সমাধান:

যেহেতু $AB = AC$, তাই সমান বাহুর বিপরীত কোণগুলিও সমান হবে।

$\therefore \angle ACB = \angle ABC$

যেহেতু $\angle ABC = 70^{\circ}$, তাই $\angle ACB = 70^{\circ}$

এখন, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$।

$\therefore \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$

$\Rightarrow \angle BAC + 70^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ}$

$\Rightarrow \angle BAC + 140^{\circ} = 180^{\circ}$

$\Rightarrow \angle BAC = 180^{\circ} – 140^{\circ} = 40^{\circ}$

উত্তর: $\angle ACB = 70^{\circ}$ এবং $\angle BAC = 40^{\circ}$

প্রদত্ত: $\triangle ABC$-এ $AB = BC$ এবং $\angle BAC + \angle ACB = 50^{\circ}$।

সমাধান:

যেহেতু $\triangle ABC$-এ $AB = BC$, তাই এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং সমান বাহুর বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান।

$\therefore \angle BAC = \angle ACB$

প্রশ্নানুসারে,

$\angle BAC + \angle ACB = 50^{\circ}$

$\Rightarrow \angle ACB + \angle ACB = 50^{\circ}$

$\Rightarrow 2\angle ACB = 50^{\circ}$

$\Rightarrow \angle ACB = \frac{50^{\circ}}{2} = 25^{\circ}$

$\therefore \angle BAC = 25^{\circ}$

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$।

$\therefore \angle ABC = 180^{\circ} – (\angle BAC + \angle ACB)$

$= 180^{\circ} – 50^{\circ} = 130^{\circ}$

উত্তর: $\angle BAC = 25^{\circ}$, $\angle ACB = 25^{\circ}$ এবং $\angle ABC = 130^{\circ}$

প্রদত্ত: $\triangle ABC$-এর ভেতরে $O$ যেকোনো একটি বিন্দু। $B, O$ এবং $C, O$ যুক্ত করা হলো।

প্রামাণ্য বিষয়: $\angle BOC > \angle BAC$

অঙ্কন: $A, O$ যুক্ত করে $D$ বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করলাম যেন তা $BC$ বাহুকে ছেদ করে।

প্রমাণ:

$\triangle ABD$ এর বহিঃস্থ কোণ $\angle BOD$। আমরা জানি, ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ তার অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের চেয়ে বড় হয়।

$\therefore \angle BOD > \angle BAD$ …… (i)

আবার, $\triangle ACD$ এর বহিঃস্থ কোণ $\angle COD$।

$\therefore \angle COD > \angle CAD$ …… (ii)

(i) ও (ii) নং অসমীকরণ যোগ করে পাই,

$\angle BOD + \angle COD > \angle BAD + \angle CAD$

চিত্র অনুযায়ী, $\angle BOD + \angle COD = \angle BOC$ এবং $\angle BAD + \angle CAD = \angle BAC$

$\therefore \angle BOC > \angle BAC$ (প্রমাণিত)

উপপাদ্যটি প্রমাণিত হলো।

প্রদত্ত: $\triangle ABC$-এর $BC$ বাহুকে দুদিকে বাড়িয়ে দেওয়া হলো। ধরি, বর্ধিত অংশদ্বয় $P$ ও $Q$ বিন্দু পর্যন্ত বিস্তৃত, ফলে দুটি বহিঃস্থ কোণ $\angle ABP$ এবং $\angle ACQ$ উৎপন্ন হলো।

প্রামাণ্য বিষয়: $\angle ABP + \angle ACQ > 2$ সমকোণ (বা $180^{\circ}$)

প্রমাণ:

আমরা জানি, ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।

$\therefore \angle ABP = \angle BAC + \angle ACB$ …… (i)

এবং $\angle ACQ = \angle BAC + \angle ABC$ …… (ii)

এখন (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$\angle ABP + \angle ACQ = (\angle BAC + \angle ACB) + (\angle BAC + \angle ABC)$

$= \angle BAC + (\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB)$

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $(\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB) = 180^{\circ}$

$\therefore \angle ABP + \angle ACQ = \angle BAC + 180^{\circ}$

যেহেতু ত্রিভুজের কোনো কোণ $0^{\circ}$ হতে পারে না, তাই $\angle BAC > 0^{\circ}$।

সুতরাং, $(\angle BAC + 180^{\circ})$ সর্বদা $180^{\circ}$ এর চেয়ে বড়।

$\therefore \angle ABP + \angle ACQ > 180^{\circ}$ বা 2 সমকোণ।

উপপাদ্যটি প্রমাণিত হলো।

প্রদত্ত: $\triangle ABC$ এর $A$ ও $C$ বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত সরলরেখাদ্বয় যথাক্রমে $BC$ ও $BA$ বাহুর সমান্তরাল এবং তারা $D$ বিন্দুতে মিলিত হয়েছে ।

প্রামাণ্য বিষয়: $\angle ABC = \angle ADC$ ।

প্রমাণ:

চতুর্ভুজ $ABCD$-এ,

$AD \parallel BC$ (শর্তানুসারে)

এবং $CD \parallel BA$ (শর্তানুসারে)

যেহেতু চতুর্ভুজটির বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান্তরাল, তাই $ABCD$ একটি সামান্তরিক (Parallelogram)।

আমরা জানি, সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান হয়।

$\therefore \angle ABC$ এর বিপরীত কোণ হলো $\angle ADC$।

সুতরাং, $\angle ABC = \angle ADC$।

উপপাদ্যটি প্রমাণিত হলো।

প্রদত্ত: $\triangle ABC$-এর $\angle B$ ও $\angle C$-এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় $O$ বিন্দুতে মিলিত হয়েছে ।

প্রামাণ্য বিষয়: $\angle BOC = 90^{\circ} + \frac{1}{2}\angle BAC$ ।

প্রমাণ:

$\triangle ABC$-এ তিনটি কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$।

$\therefore \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$

$\Rightarrow \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} – \angle BAC$ ……(i)

এখন $\triangle OBC$-এ,

$\angle OBC = \frac{1}{2}\angle ABC$ (কারণ $OB$, $\angle ABC$-এর সমদ্বিখণ্ডক)

$\angle OCB = \frac{1}{2}\angle ACB$ (কারণ $OC$, $\angle ACB$-এর সমদ্বিখণ্ডক)

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$।

$\therefore \angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^{\circ}$

$\Rightarrow \angle BOC + \frac{1}{2}\angle ABC + \frac{1}{2}\angle ACB = 180^{\circ}$

$\Rightarrow \angle BOC + \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB) = 180^{\circ}$

(i) নং সমীকরণ থেকে মান বসিয়ে পাই,

$\angle BOC + \frac{1}{2}(180^{\circ} – \angle BAC) = 180^{\circ}$

$\Rightarrow \angle BOC + 90^{\circ} – \frac{1}{2}\angle BAC = 180^{\circ}$

$\Rightarrow \angle BOC = 180^{\circ} – 90^{\circ} + \frac{1}{2}\angle BAC$

$\therefore \angle BOC = 90^{\circ} + \frac{1}{2}\angle BAC$

উপপাদ্যটি প্রমাণিত হলো।

প্রদত্ত: $\triangle ABC$-এর $\angle B$ ও $\angle C$-এর বহিঃসমদ্বিখণ্ডকদ্বয় $O$ বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

প্রামাণ্য বিষয়: $\angle BOC = 90^{\circ} – \frac{1}{2}\angle BAC$ [cite: 79]।

প্রমাণ:

$\triangle ABC$-এর বহিঃস্থ $\angle B = 180^{\circ} – \angle ABC$

যেহেতু $BO$ এই বহিঃস্থ কোণের সমদ্বিখণ্ডক,

$\therefore \angle OBC = \frac{1}{2}(180^{\circ} – \angle ABC) = 90^{\circ} – \frac{1}{2}\angle ABC$

একইভাবে, $\angle OCB = \frac{1}{2}(180^{\circ} – \angle ACB) = 90^{\circ} – \frac{1}{2}\angle ACB$

এখন $\triangle OBC$-এ,

$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^{\circ}$

$\Rightarrow \angle BOC + (90^{\circ} – \frac{1}{2}\angle ABC) + (90^{\circ} – \frac{1}{2}\angle ACB) = 180^{\circ}$

$\Rightarrow \angle BOC + 180^{\circ} – \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB) = 180^{\circ}$

$\Rightarrow \angle BOC = \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)$

আমরা জানি, $\angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} – \angle BAC$

$\therefore \angle BOC = \frac{1}{2}(180^{\circ} – \angle BAC)$

$\Rightarrow \angle BOC = 90^{\circ} – \frac{1}{2}\angle BAC$

উপপাদ্যটি প্রমাণিত হলো।

প্রদত্ত: $\triangle ABC$-এর $\angle C$ বিন্দুর বহিঃসমদ্বিখণ্ডক $CD$, যা $A$ বিন্দুগামী $BC$-এর সমান্তরাল সরলরেখাকে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রামাণ্য বিষয়: $\angle ADC = 90^{\circ} – \frac{1}{2}\angle ACB$ [cite: 81]।

প্রমাণ:

ধরি, $BC$ বাহুকে $E$ পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। তাহলে বহিঃস্থ কোণটি হলো $\angle ACE$।

আমরা জানি, সরলরেখার ওপর কোণ $180^{\circ}$।

$\therefore \angle ACE = 180^{\circ} – \angle ACB$

যেহেতু $CD$ রেখাংশ $\angle ACE$-এর সমদ্বিখণ্ডক,

$\therefore \angle DCE = \frac{1}{2}\angle ACE$

$\Rightarrow \angle DCE = \frac{1}{2}(180^{\circ} – \angle ACB)$

$\Rightarrow \angle DCE = 90^{\circ} – \frac{1}{2}\angle ACB$ ……(i)

এখন, প্রশ্নানুসারে $AD \parallel BC$ (যেহেতু $A$ বিন্দুগামী রেখাটি $BC$-এর সমান্তরাল) এবং $CD$ তাদের ছেদক।

সুতরাং, একান্তর কোণগুলি সমান হবে:

$\angle ADC = \text{একান্তর } \angle DCE$

(i) নং থেকে মান বসিয়ে পাই,

$\angle ADC = 90^{\circ} – \frac{1}{2}\angle ACB$

উপপাদ্যটি প্রমাণিত হলো।

প্রদত্ত: $\triangle ABC$ একটি ত্রিভুজ। শীর্ষবিন্দু $A$ থেকে ভূমির ওপর লম্ব $AD$ ($AD \perp BC$) এবং $\angle A$-এর সমদ্বিখণ্ডক হলো $AE$।

প্রামাণ্য বিষয়: $\angle DAE = \frac{1}{2}(\angle B – \angle C)$ [ধরি $\angle B > \angle C$]

প্রমাণ:

যেহেতু $AE$, $\angle BAC$-এর সমদ্বিখণ্ডক,

$\therefore \angle CAE = \frac{1}{2} \angle BAC$

আবার $\triangle ADC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ (যেহেতু $AD \perp BC$)।

$\therefore \angle CAD = 90^{\circ} – \angle C$

চিত্র অনুযায়ী, $\angle DAE = \angle CAE – \angle CAD$

মান বসিয়ে পাই,

$\angle DAE = \frac{1}{2} \angle BAC – (90^{\circ} – \angle C)$

$= \frac{1}{2} \angle BAC – 90^{\circ} + \angle C$

আমরা জানি, $\triangle ABC$-এ $\angle BAC = 180^{\circ} – (\angle B + \angle C)$

$\therefore \angle DAE = \frac{1}{2} \{180^{\circ} – (\angle B + \angle C)\} – 90^{\circ} + \angle C$

$= 90^{\circ} – \frac{1}{2}\angle B – \frac{1}{2}\angle C – 90^{\circ} + \angle C$

$= \angle C – \frac{1}{2}\angle C – \frac{1}{2}\angle B$

$= \frac{1}{2}\angle C – \frac{1}{2}\angle B$ (মান ঋণাত্মক হলে আমরা কেবল অন্তরফল নেব)

সাজিয়ে লিখলে পাই, $\angle DAE = \frac{1}{2}(\angle B – \angle C)$ (প্রমাণিত)

উপপাদ্যটি প্রমাণিত হলো।

সমাধান:

মনে করি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির শীর্ষকোণ $\angle A = x^{\circ}$।

যেহেতু এটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, তাই এর ভূমির কোণ দুটি পরস্পর সমান।

প্রশ্নানুসারে, ভূমির প্রতিটি কোণ শীর্ষকোণের দ্বিগুণ।

$\therefore \angle B = 2x^{\circ}$ এবং $\angle C = 2x^{\circ}$

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$।

$\therefore x + 2x + 2x = 180$

$\Rightarrow 5x = 180$

$\Rightarrow x = \frac{180}{5} = 36$

সুতরাং, শীর্ষকোণ $\angle A = 36^{\circ}$

ভূমির কোণ দুটি হলো: $2 \times 36^{\circ} = 72^{\circ}$

উত্তর: ত্রিভুজটির কোণগুলির পরিমাপ $36^{\circ}, 72^{\circ}$ এবং $72^{\circ}$।

প্রদত্ত: $\triangle ABC$-এ $\angle BAC = 90^{\circ}$ এবং $\angle BCA = 30^{\circ}$।

প্রামাণ্য বিষয়: $AB = \frac{1}{2} BC$।

অঙ্কন: $BA$ বাহুকে $D$ বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করলাম যেন $BA = AD$ হয়। এরপর $C, D$ যুক্ত করলাম।

প্রমাণ:

$\triangle ABC$ এবং $\triangle ADC$-এর মধ্যে:

• $BA = AD$ (অঙ্কনানুসারে)
• $\angle BAC = \angle DAC = 90^{\circ}$ (সরলরেখার ওপর লম্ব)
• $AC$ সাধারণ বাহু।

$\therefore \triangle ABC \cong \triangle ADC$ (SAS সর্বসমতা)

সুতরাং, $BC = CD$ (অনুরূপ বাহু) এবং $\angle BCA = \angle DCA = 30^{\circ}$ (অনুরূপ কোণ)।

এখন, $\triangle BCD$-এর পুরো কোণ $\angle BCD = \angle BCA + \angle DCA = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$।

আবার, যেহেতু $BC = CD$, তাই $\triangle BCD$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং এর ভূমির কোণগুলো সমান।

$\therefore \angle CBD = \angle CDB = \frac{180^{\circ} – 60^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$

যেহেতু $\triangle BCD$-এর তিনটি কোণই $60^{\circ}$, তাই এটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

$\therefore BC = BD$

কিন্তু অঙ্কনানুসারে $D, A, B$ একই সরলরেখায় এবং $A$ হলো $BD$-এর মধ্যবিন্দু ($BA = AD$)।

$\therefore AB = \frac{1}{2} BD$

যেহেতু $BD = BC$, তাই $AB = \frac{1}{2} BC$।

উপপাদ্যটি প্রমাণিত হলো।

প্রদত্ত: $\triangle XYZ$ সমকোণী ত্রিভুজ যার $\angle XYZ = 90^{\circ}$ এবং $XY = \frac{1}{2}XZ$ বা $XZ = 2XY$।

প্রামাণ্য বিষয়: $\angle YXZ = 60^{\circ}$।

অঙ্কন: $XY$ বাহুকে $P$ পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করলাম যেন $XY = YP$ হয়। এরপর $Z, P$ যুক্ত করলাম।

প্রমাণ:

$\triangle XYZ$ ও $\triangle PYZ$-এর মধ্যে:

• $XY = YP$ (অঙ্কনানুসারে)
• $\angle XYZ = \angle PYZ = 90^{\circ}$ (সরলরেখার ওপর লম্ব)
• $YZ$ সাধারণ বাহু।

$\therefore \triangle XYZ \cong \triangle PYZ$ (SAS সর্বসমতা)

সুতরাং, $XZ = PZ$ (অনুরূপ বাহু)।

এখন পুরো ত্রিভুজ $\triangle XZP$ বিবেচনা করি।

অঙ্কনানুসারে $XP = XY + YP = XY + XY = 2XY$।

কিন্তু প্রদত্ত আছে $XZ = 2XY$।

$\therefore XP = XZ$।

আবার আমরা প্রমাণ করেছি $XZ = PZ$।

সুতরাং, $XP = XZ = PZ$।

যেহেতু $\triangle XZP$-এর তিনটি বাহুই সমান, তাই এটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

আমরা জানি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ $60^{\circ}$।

$\therefore \angle PXZ = 60^{\circ}$

অর্থাৎ, $\angle YXZ = 60^{\circ}$।

উপপাদ্যটি প্রমাণিত হলো।

[Image of equilateral triangle angles]

প্রদত্ত: $\triangle ABC$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ, অর্থাৎ $AB = BC = CA$।

প্রামাণ্য বিষয়: $\angle A = \angle B = \angle C = 60^{\circ}$।

প্রমাণ:

যেহেতু $AB = AC$, তাই সমান বাহুর বিপরীত কোণ সমান হবে।

$\therefore \angle ACB = \angle ABC$ ……(i)

আবার যেহেতু $AC = BC$, তাই

$\therefore \angle ABC = \angle BAC$ ……(ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই,

$\angle ABC = \angle ACB = \angle BAC$

অর্থাৎ ত্রিভুজের তিনটি কোণই পরস্পর সমান।

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$।

$\therefore \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$

$\Rightarrow 3 \angle A = 180^{\circ}$ (যেহেতু সবাই সমান)

$\Rightarrow \angle A = \frac{180^{\circ}}{3} = 60^{\circ}$

সুতরাং, প্রতিটি কোণের পরিমাপ $60^{\circ}$।

উপপাদ্যটি প্রমাণিত হলো।

প্রদত্ত: $\triangle ABC$-এ $AE$, $\angle BAC$-এর সমদ্বিখণ্ডক। $AC$ বাহুর মধ্যবিন্দু $D$ এবং $DE \parallel AB$। $AE$ ও $DE$ পরস্পর $E$ বিন্দুতে মিলিত হয়।

প্রামাণ্য বিষয়: $\angle AEC = 90^{\circ}$ বা ১ সমকোণ।

প্রমাণ:

যেহেতু $AB \parallel DE$ এবং $AE$ তাদের ছেদক,

$\therefore \angle BAE = \text{একান্তর } \angle AED$ ……(i)

আবার $AE$, $\angle BAC$-এর সমদ্বিখণ্ডক,

$\therefore \angle BAE = \angle DAE$ ……(ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই,

$\angle DAE = \angle AED$

সুতরাং, $\triangle ADE$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং $AD = DE$।

আবার প্রদত্ত আছে $D$, $AC$-এর মধ্যবিন্দু।

$\therefore AD = DC$

সুতরাং, $DE = DC$ (যেহেতু $AD$ উভয়ের সমান)।

এখন $\triangle CDE$-এ, যেহেতু $DE = DC$, তাই বিপরীত কোণগুলি সমান।

$\therefore \angle DCE = \angle DEC$

এখন $\triangle AEC$-এর তিনটি কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$।

$\angle CAE + \angle ACE + \angle AEC = 180^{\circ}$

বা, $\angle DAE + \angle DCE + (\angle AED + \angle DEC) = 180^{\circ}$ (কোণগুলিকে ভেঙে লিখে পাই)

আমরা আগে পেয়েছি $\angle DAE = \angle AED$ এবং $\angle DCE = \angle DEC$। মান বসিয়ে পাই:

$\angle AED + \angle DEC + (\angle AED + \angle DEC) = 180^{\circ}$

$\Rightarrow 2(\angle AED + \angle DEC) = 180^{\circ}$

$\Rightarrow 2 \times \angle AEC = 180^{\circ}$ (যেহেতু $\angle AED + \angle DEC = \angle AEC$)

$\Rightarrow \angle AEC = \frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ}$

উপপাদ্যটি প্রমাণিত হলো।