অষ্টম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি – 16.2

প্রদত্ত: $\triangle PQR$-এ $\angle QPR > \angle PQR$।

সমাধান:

আমরা জানি, ত্রিভুজের বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর হয়।

এখানে,

• $\angle QPR$-এর বিপরীত বাহু হলো $QR$।
• $\angle PQR$-এর বিপরীত বাহু হলো $PR$।

যেহেতু $\angle QPR > \angle PQR$,

সুতরাং, $QR > PR$।

উত্তর: $QR$ বাহু $PR$ বাহুর চেয়ে বড় ($QR > PR$)।

প্রদত্ত: $\triangle ABC$-এ $AC > AB$ এবং $D$ বিন্দুটি $AC$-এর ওপর অবস্থিত। আরও দেওয়া আছে $\angle ADB = \angle ABD$।

প্রামাণ্য বিষয়: $\angle ABC > \angle ACB$।

প্রমাণ:

চিত্র অনুযায়ী, $D$ বিন্দুটি $AC$ রেখাংশের ভেতরে অবস্থিত, তাই $D$ বিন্দুটি $\angle ABC$-এর অভ্যন্তরে থাকবে।

সুতরাং, $\angle ABC$ হলো পুরো কোণ এবং $\angle ABD$ তার একটি অংশ।

$\therefore \angle ABC > \angle ABD$

আবার শর্তানুসারে, $\angle ABD = \angle ADB$।

সুতরাং, $\angle ABC > \angle ADB$ ……(i)

এখন $\triangle BDC$ বিবেচনা করি। $\triangle BDC$-এর $CD$ বাহুকে $A$ বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত ধরা হলে, $\angle ADB$ হলো $\triangle BDC$-এর একটি বহিঃস্থ কোণ।

আমরা জানি, ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর।

$\therefore \angle ADB > \angle DCB$

বা, $\angle ADB > \angle ACB$ (একই কোণ) ……(ii)

এখন (i) ও (ii) নং সম্পর্ক থেকে পাই,

$\angle ABC > \angle ADB$ এবং $\angle ADB > \angle ACB$

$\Rightarrow \angle ABC > \angle ACB$

উপপাদ্যটি প্রমাণিত হলো।

প্রদত্ত: $\triangle ABC$-এ $AB > AC$। $AD$ হলো $\angle BAC$-এর সমদ্বিখণ্ডক যা $BC$ কে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রামাণ্য বিষয়: $BD > CD$।

অঙ্কন: $AB$ বাহু থেকে $AC$-এর সমান করে $AE$ অংশ কেটে নিলাম ($AE = AC$)। এরপর $D, E$ যুক্ত করলাম।

প্রমাণ:

এখন $\triangle ACD$ এবং $\triangle AED$-এর মধ্যে:

• $AC = AE$ (অঙ্কনানুসারে)
• $\angle CAD = \angle EAD$ (যেহেতু $AD$, $\angle BAC$-এর সমদ্বিখণ্ডক)
• $AD$ সাধারণ বাহু।

$\therefore \triangle ACD \cong \triangle AED$ (SAS সর্বসমতা)

সুতরাং, $CD = DE$ (অনুরূপ বাহু) এবং $\angle ACD = \angle AED$ (অনুরূপ কোণ)।

এখন $\triangle ABC$-এর তিন কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$।

$\therefore \angle B + \angle C + \angle A = 180^{\circ}$

বা, $\angle C = 180^{\circ} – (\angle A + \angle B)$

আবার, $D, E, A$ সরলরেখা নয়, কিন্তু $E$ বিন্দু $AB$ রেখার ওপর অবস্থিত। সুতরাং $AEB$ একটি সরলরেখা এবং $\angle AED + \angle BED = 180^{\circ}$।

$\therefore \angle BED = 180^{\circ} – \angle AED$

যেহেতু $\angle AED = \angle ACD = \angle C$,

$\therefore \angle BED = 180^{\circ} – \angle C$

উপরের সম্পর্ক থেকে $\angle C$-এর মান বসিয়ে পাই,

$\angle BED = 180^{\circ} – \{180^{\circ} – (\angle A + \angle B)\}$

$\angle BED = \angle A + \angle B$

এখন $\triangle BDE$-এ কোণগুলো তুলনা করি।

$\angle BED = \angle A + \angle B$

যেহেতু $\angle A > 0^{\circ}$, তাই অবশ্যই $\angle BED > \angle B$ (বা $\angle EBD$)।

আমরা জানি, ত্রিভুজের বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু বৃহত্তর হয়।

$\triangle BDE$-এ যেহেতু $\angle BED > \angle EBD$,

$\therefore BD > DE$

আমরা আগেই প্রমাণ করেছি $DE = CD$।

সুতরাং, $BD > CD$।

উপপাদ্যটি প্রমাণিত হলো।

প্রদত্ত: $\triangle ABC$-এ $AD \perp BC$ এবং $AC > AB$।

প্রামাণ্য বিষয়: (i) $\angle CAD > \angle BAD$ এবং (ii) $DC > BD$।

প্রমাণ (i):

যেহেতু $\triangle ABC$-এ $AC > AB$, তাই বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর।

$\therefore \angle ABC > \angle ACB$ বা $\angle B > \angle C$

এখন, সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABD$-এ $\angle ADB = 90^{\circ}$।

$\therefore \angle BAD = 90^{\circ} – \angle B$

আবার, সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ACD$-এ $\angle ADC = 90^{\circ}$।

$\therefore \angle CAD = 90^{\circ} – \angle C$

যেহেতু $\angle B > \angle C$, তাই বিয়োগফলের ক্ষেত্রে অসমতাটি উল্টে যাবে:

$- \angle B < - \angle C$ $\Rightarrow 90^{\circ} - \angle B < 90^{\circ} - \angle C$ $\Rightarrow \angle BAD < \angle CAD$ অর্থাৎ, $\angle CAD > \angle BAD$ (প্রমাণিত)

প্রমাণ (ii):

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABD$ থেকে পাই,

$AB^2 = AD^2 + BD^2 \Rightarrow BD^2 = AB^2 – AD^2$

আবার, সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ACD$ থেকে পাই,

$AC^2 = AD^2 + DC^2 \Rightarrow DC^2 = AC^2 – AD^2$

যেহেতু $AC > AB$, তাই $AC^2 > AB^2$।

উভয় পক্ষ থেকে $AD^2$ বিয়োগ করে পাই,

$AC^2 – AD^2 > AB^2 – AD^2$

$\Rightarrow DC^2 > BD^2$

$\therefore DC > BD$ (প্রমাণিত)

উপপাদ্য দুটি প্রমাণিত হলো।

প্রদত্ত: ধরি $ABCD$ একটি চতুর্ভুজ যার বৃহত্তম বাহু $CD$ এবং ক্ষুদ্রতম বাহু $AB$। এরা পরস্পর বিপরীত বাহু।

প্রামাণ্য বিষয়: বৃহত্তম বাহু $CD$-এর সন্নিহিত কোণ $\angle C$, তার বিপরীত কোণ $\angle A$-এর চেয়ে ছোট। অর্থাৎ প্রমাণ করতে হবে $\angle BCD < \angle BAD$ (বা $\angle C < \angle A$)। অঙ্কন: $A$ এবং $C$ বিন্দু যুক্ত করে $AC$ কর্ণ অঙ্কন করলাম।

প্রমাণ:

$\triangle ABC$-এ $AB$ হলো চতুর্ভুজের ক্ষুদ্রতম বাহু, সুতরাং $BC > AB$।

আমরা জানি, ত্রিভুজের বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর।

$\therefore \angle BAC > \angle ACB$ ……(i)

আবার, $\triangle ADC$-এ $CD$ হলো চতুর্ভুজের বৃহত্তম বাহু, সুতরাং $CD > AD$।

$\therefore \angle DAC > \angle ACD$ ……(ii)

এখন (i) ও (ii) নং অসমতা যোগ করে পাই,

$\angle BAC + \angle DAC > \angle ACB + \angle ACD$

$\Rightarrow (\angle BAC + \angle DAC) > (\angle ACB + \angle ACD)$

চিত্র অনুযায়ী, $\angle BAC + \angle DAC = \angle BAD$ (বা $\angle A$) এবং $\angle ACB + \angle ACD = \angle BCD$ (বা $\angle C$)।

$\therefore \angle BAD > \angle BCD$

বা, $\angle BCD < \angle BAD$

উপপাদ্যটি প্রমাণিত হলো। অর্থাৎ বৃহত্তম বাহুর সন্নিহিত কোণটি তার বিপরীত কোণের চেয়ে ছোট।

প্রদত্ত: চিত্রে দুটি ত্রিভুজ $\triangle AOB$ এবং $\triangle COD$। শর্তানুসারে $OB > AB$ এবং $CD > OD$।

প্রামাণ্য বিষয়: $\angle BAO > \angle OCD$।

প্রমাণ:

$\triangle AOB$-এর ক্ষেত্রে:

প্রদত্ত আছে $OB > AB$ (বা $AB < OB$)। আমরা জানি, ত্রিভুজের বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হয়। সুতরাং, $OB$ বাহুর বিপরীত কোণ $\angle BAO$ এবং $AB$ বাহুর বিপরীত কোণ $\angle AOB$। $\therefore \angle BAO > \angle AOB$ ……(i)

আবার $\triangle COD$-এর ক্ষেত্রে:

প্রদত্ত আছে $CD > OD$।

সুতরাং, $CD$ বাহুর বিপরীত কোণ $\angle COD$ এবং $OD$ বাহুর বিপরীত কোণ $\angle OCD$।

$\therefore \angle COD > \angle OCD$ ……(ii)

চিত্র থেকে লক্ষ্য করি, $\angle AOB$ এবং $\angle COD$ হলো বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite Angles)।

$\therefore \angle AOB = \angle COD$

এখন (i) নং অসমতায় $\angle AOB$-এর পরিবর্তে $\angle COD$ বসিয়ে পাই,

$\angle BAO > \angle COD$

আবার (ii) নং থেকে আমরা জানি $\angle COD > \angle OCD$।

সুতরাং, ক্রম অনুযায়ী সাজালে পাই:

$\angle BAO > \angle COD > \angle OCD$

$\therefore \angle BAO > \angle OCD$

উপপাদ্যটি প্রমাণিত হলো।

প্রদত্ত: $\triangle PQR$-এ $PQ > PR$। $PQ$ বাহু থেকে $PS = PR$ কেটে নেওয়া হলো।

প্রমাণ (i):

$\triangle PRS$-এ যেহেতু $PS = PR$, তাই এটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

$\therefore \angle PRS = \angle PSR$ ……(i)

আবার, $\triangle QRS$-এর $QS$ বাহুকে $P$ পর্যন্ত বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ $\angle PSR$।

আমরা জানি, বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।

$\therefore \angle PSR = \angle PQR + \angle QRS$ ……(ii)

এখন পুরো $\triangle PQR$-এর $\angle PRQ$ কোণটিকে দুটি অংশে ভাগ করা যায়:

$\angle PRQ = \angle PRS + \angle QRS$

$\Rightarrow \angle PRQ = \angle PSR + \angle QRS$ [(i) নং থেকে মান বসিয়ে]

$\Rightarrow \angle QRS = \angle PRQ – \angle PSR$

এই $\angle QRS$-এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\angle PSR = \angle PQR + (\angle PRQ – \angle PSR)$

$\Rightarrow \angle PSR + \angle PSR = \angle PQR + \angle PRQ$

$\Rightarrow 2\angle PSR = \angle PQR + \angle PRQ$

$\Rightarrow \angle PSR = \frac{1}{2}(\angle PQR + \angle PRQ)$ (প্রমাণিত)

প্রমাণ (ii):

(ii) নং সমীকরণ থেকে আমরা জানি,

$\angle QRS = \angle PSR – \angle PQR$

এখানে প্রথম অংশে প্রাপ্ত $\angle PSR$-এর মান বসিয়ে পাই,

$\angle QRS = \frac{1}{2}(\angle PQR + \angle PRQ) – \angle PQR$

$= \frac{1}{2}\angle PQR + \frac{1}{2}\angle PRQ – \angle PQR$

$= \frac{1}{2}\angle PRQ – \frac{1}{2}\angle PQR$

$= \frac{1}{2}(\angle PRQ – \angle PQR)$ (প্রমাণিত)

উপপাদ্য দুটি প্রমাণিত হলো।

প্রদত্ত: $\triangle ABC$-এ $AB > AC$। $AD$ কোণ সমদ্বিখণ্ডক। $AB$ বাহুর ওপর $E$ এমন একটি বিন্দু যে $AE = AC$।

প্রমাণ (i):

$\triangle ACD$ এবং $\triangle AED$-এর মধ্যে:

• $AC = AE$ (অঙ্কনানুসারে)
• $\angle CAD = \angle EAD$ (যেহেতু $AD$, $\angle BAC$-এর সমদ্বিখণ্ডক)
• $AD$ সাধারণ বাহু।

$\therefore \triangle ACD \cong \triangle AED$ (SAS সর্বসমতা)

(প্রমাণিত)

প্রমাণ (ii):

যেহেতু $\triangle ACD \cong \triangle AED$, তাই তাদের অনুরূপ কোণ সমান হবে।

$\therefore \angle ACD = \angle AED$

বা, $\angle ACB = \angle AED$ ……(i)

এখন $\triangle EBD$-এর বহিঃস্থ কোণ হলো $\angle AED$ (যখন $A, E, B$ একই সরলরেখায়)।

আমরা জানি, ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর।

$\therefore \angle AED > \angle EBD$

বা, $\angle AED > \angle ABC$

(i) নং থেকে $\angle AED$-এর মান বসিয়ে পাই,

$\angle ACB > \angle ABC$

উপপাদ্য দুটি প্রমাণিত হলো।

প্রদত্ত: $AB = CD$। $\triangle OCD$-তে $\angle OCD > \angle COD$ এবং $\triangle AOB$-তে $\angle OAB < \angle AOB$। প্রামাণ্য বিষয়: $OB < OD$। প্রমাণ:

ধাপ ১: $\triangle OCD$-এর ক্ষেত্রে

দেওয়া আছে, $\angle OCD > \angle COD$।

আমরা জানি, ত্রিভুজের বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু বৃহত্তর হয়।

$\therefore OD > CD$ ……(i)

ধাপ ২: $\triangle AOB$-এর ক্ষেত্রে

দেওয়া আছে, $\angle OAB < \angle AOB$। বা, $\angle AOB > \angle OAB$।

সুতরাং, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু বৃহত্তর হবে।

$\therefore AB > OB$ ……(ii)

ধাপ ৩: তুলনা

(i) নং থেকে পাই, $OD > CD$।

কিন্তু প্রশ্নানুসারে $AB = CD$।

সুতরাং, $OD > AB$।

আবার (ii) নং থেকে পাই, $AB > OB$।

এই দুটি অসমতা একত্র করে পাই:

$OD > AB > OB$

$\therefore OD > OB$ বা $OB < OD$

উপপাদ্যটি প্রমাণিত হলো ($OB < OD$)।

প্রদত্ত: $\triangle ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার $\angle A = 90^{\circ}$। সুতরাং $BC$ হলো অতিভুজ।

প্রামাণ্য বিষয়: $BC$ বাহু অন্য দুটি বাহু ($AB$ ও $AC$) অপেক্ষা বৃহত্তর।

প্রমাণ:

$\triangle ABC$-এ $\angle A = 90^{\circ}$।

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$।

$\therefore \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$

$\Rightarrow 90^{\circ} + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$

$\Rightarrow \angle B + \angle C = 90^{\circ}$

যেহেতু দুটি কোণের সমষ্টি $90^{\circ}$ এবং কোনো কোণই $0^{\circ}$ হতে পারে না, তাই $\angle B$ এবং $\angle C$ উভয়ই $90^{\circ}$-এর চেয়ে ছোট।

$\therefore \angle A > \angle B$ এবং $\angle A > \angle C$

এখন, $\angle A > \angle B$ হওয়ার কারণে, $\angle A$-এর বিপরীত বাহু $BC$, $\angle B$-এর বিপরীত বাহু $AC$ অপেক্ষা বৃহত্তর।

$\therefore BC > AC$

আবার, $\angle A > \angle C$ হওয়ার কারণে, $\angle A$-এর বিপরীত বাহু $BC$, $\angle C$-এর বিপরীত বাহু $AB$ অপেক্ষা বৃহত্তর।

$\therefore BC > AB$

যেহেতু $BC$ বাহু $AB$ ও $AC$ উভয়ের চেয়ে বড়, তাই সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজই বৃহত্তম বাহু।

উপপাদ্যটি প্রমাণিত হলো।

প্রদত্ত: $\triangle ABC$ একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ যার $\angle B$ স্থূলকোণ অর্থাৎ $\angle B > 90^{\circ}$।

প্রামাণ্য বিষয়: স্থূলকোণের বিপরীত বাহু $AC$ বৃহত্তম।

প্রমাণ:

$\triangle ABC$-এর তিনটি কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$।

$\therefore \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$

$\Rightarrow \angle A + \angle C = 180^{\circ} – \angle B$

যেহেতু $\angle B > 90^{\circ}$,

$\therefore \angle A + \angle C < 180^{\circ} - 90^{\circ}$

$\Rightarrow \angle A + \angle C < 90^{\circ}$

দুটি ধনাত্মক কোণের সমষ্টি $90^{\circ}$-এর কম হলে, তারা প্রত্যেকে অবশ্যই $90^{\circ}$ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হবে।

সুতরাং, $\angle A < 90^{\circ}$ এবং $\angle C < 90^{\circ}$।

কিন্তু $\angle B > 90^{\circ}$।

সুতরাং $\angle B$ হলো ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ।

$\therefore \angle B > \angle A$ এবং $\angle B > \angle C$

আমরা জানি, ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের বিপরীত বাহু বৃহত্তম হয়।

$\therefore AC > BC$ এবং $AC > AB$

উপপাদ্যটি প্রমাণিত হলো।

উল্লেখ্য: $IB > IC$ প্রমাণ করার জন্য ত্রিভুজটির বাহুর মধ্যে একটি নির্দিষ্ট সম্পর্ক থাকা প্রয়োজন। যেহেতু প্রশ্নে কিছু উল্লেখ নেই, কিন্তু প্রমাণটি করতে হবে, তাই আমরা ধরে নিচ্ছি ত্রিভুজটিতে $AB > AC$ সম্পর্কটি বিদ্যমান (কারণ $AB > AC$ হলেই কেবল $IB > IC$ হওয়া সম্ভব)।

প্রদত্ত: $\triangle ABC$-এ $AB > AC$। $\angle B$ ও $\angle C$-এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় $I$ বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

প্রামাণ্য বিষয়: $IB > IC$।

প্রমাণ:

$\triangle ABC$-এ যেহেতু $AB > AC$,

$\therefore \angle ACB > \angle ABC$ (বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ বৃহত্তর)

উভয়পক্ষকে $\frac{1}{2}$ দিয়ে গুণ করে পাই,

$\frac{1}{2} \angle ACB > \frac{1}{2} \angle ABC$

যেহেতু $IC$ এবং $IB$ যথাক্রমে $\angle ACB$ এবং $\angle ABC$-এর সমদ্বিখণ্ডক,

$\therefore \angle ICB = \frac{1}{2} \angle ACB$ এবং $\angle IBC = \frac{1}{2} \angle ABC$

মান বসিয়ে পাই,

$\angle ICB > \angle IBC$

এখন $\triangle IBC$-এ,

$\angle ICB > \angle IBC$

আমরা জানি, ত্রিভুজের বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

সুতরাং, $\angle ICB$-এর বিপরীত বাহু $IB$ এবং $\angle IBC$-এর বিপরীত বাহু $IC$।

$\therefore IB > IC$

উপপাদ্যটি প্রমাণিত হলো।