অষ্টম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি – 20.2
কোষে দেখি – 20.2 (অষ্টম শ্রেণী) : জ্যামিতিক প্রমাণ
1. নীচের বহুভুজগুলির অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি লিখি —
(i) পঞ্চভুজ (ii) ষড়ভুজ (iii) সপ্তভুজ (iv) অষ্টভুজ (v) দশভুজ (vi) বহুভুজ যার বাহুসংখ্যা $12$
আমরা জানি, $n$ সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি $= (n – 2) \times 180^\circ$।
(i) পঞ্চভুজ:
এখানে বাহুসংখ্যা $n = 5$।
$\therefore$ অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি $= (5 – 2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ$।
(ii) ষড়ভুজ:
এখানে বাহুসংখ্যা $n = 6$।
$\therefore$ অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি $= (6 – 2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ$।
(iii) সপ্তভুজ:
এখানে বাহুসংখ্যা $n = 7$।
$\therefore$ অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি $= (7 – 2) \times 180^\circ = 5 \times 180^\circ = 900^\circ$।
(iv) অষ্টভুজ:
এখানে বাহুসংখ্যা $n = 8$।
$\therefore$ অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি $= (8 – 2) \times 180^\circ = 6 \times 180^\circ = 1080^\circ$।
(v) দশভুজ:
এখানে বাহুসংখ্যা $n = 10$।
$\therefore$ অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি $= (10 – 2) \times 180^\circ = 8 \times 180^\circ = 1440^\circ$।
(vi) বহুভুজ যার বাহুসংখ্যা $12$:
এখানে বাহুসংখ্যা $n = 12$।
$\therefore$ অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি $= (12 – 2) \times 180^\circ = 10 \times 180^\circ = 1800^\circ$।
উত্তর: (i) $540^\circ$, (ii) $720^\circ$, (iii) $900^\circ$, (iv) $1080^\circ$, (v) $1440^\circ$, (vi) $1800^\circ$।
2. একটি চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে $104.5^\circ$, $65^\circ$ এবং $72.5^\circ$; চতুর্থ কোণটির পরিমাপ লিখি।
আমরা জানি, চতুর্ভুজের চারটি অন্তঃকোণের সমষ্টি $360^\circ$।
প্রদত্ত তিনটি কোণের সমষ্টি:
$= 104.5^\circ + 65^\circ + 72.5^\circ$
$= 242^\circ$
$\therefore$ চতুর্থ কোণটির পরিমাপ:
$= 360^\circ – 242^\circ$
$= 118^\circ$
উত্তর: চতুর্থ কোণটির পরিমাপ $118^\circ$।
3. একটি পঞ্চভুজের চারটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে $65^\circ$, $89^\circ$, $132^\circ$ এবং $116^\circ$; [cite_start]পঞ্চম কোণটির পরিমাপ লিখি।
আমরা জানি, পঞ্চভুজের ($n=5$) অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি:
$= (5 – 2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ$।
প্রদত্ত চারটি কোণের সমষ্টি:
$= 65^\circ + 89^\circ + 132^\circ + 116^\circ$
$= 402^\circ$
$\therefore$ পঞ্চম কোণটির পরিমাপ:
$= 540^\circ – 402^\circ$
$= 138^\circ$
উত্তর: পঞ্চম কোণটির পরিমাপ $138^\circ$।
4. একটি কুব্জ চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে $68^\circ$, $70^\circ$ এবং $75^\circ$ হতে পারে কিনা লিখি।
চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি $360^\circ$।
প্রদত্ত তিনটি কোণের সমষ্টি $= 68^\circ + 70^\circ + 75^\circ = 213^\circ$।
$\therefore$ চতুর্থ কোণটির পরিমাপ হবে:
$= 360^\circ – 213^\circ = 147^\circ$।
যেহেতু চতুর্থ কোণটি ($147^\circ$) $180^\circ$ অপেক্ষা ছোট এবং একটি ধনাত্মক মান, তাই এই চারটি কোণ দিয়ে একটি কুব্জ চতুর্ভুজ গঠন করা সম্ভব। (কুব্জ বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ $180^\circ$ অপেক্ষা ছোট হয়)।
উত্তর: হ্যাঁ, হতে পারে।
5. একটি কুব্জ ষড়ভুজের পাঁচটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে $120^\circ$, $70^\circ$, $95^\circ$, $78^\circ$ এবং $160^\circ$ হতে পারে কিনা লিখি।
আমরা জানি, ষড়ভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি:
$= (6 – 2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ$।
প্রদত্ত পাঁচটি কোণের সমষ্টি:
$= 120^\circ + 70^\circ + 95^\circ + 78^\circ + 160^\circ$
$= 523^\circ$
$\therefore$ ষষ্ঠ কোণটির পরিমাপ হবে:
$= 720^\circ – 523^\circ$
$= 197^\circ$
একটি কুব্জ বহুভুজের (Convex Polygon) প্রতিটি অন্তঃকোণের মান অবশ্যই $180^\circ$ অপেক্ষা কম হতে হবে। কিন্তু এখানে ষষ্ঠ কোণটি $197^\circ$, যা $180^\circ$ অপেক্ষা বড় (এটি একটি প্রবৃদ্ধ কোণ)।
তাই এটি কুব্জ ষড়ভুজ হতে পারে না (এটি অকুব্জ বা Concave হবে)।
উত্তর: না, হতে পারে না।
6. নীচের সুষম বহুভুজগুলির প্রতিটি অন্তঃকোণ ও প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ লিখি —
(i) পঞ্চভুজ (ii) ষড়ভুজ (iii) অষ্টভুজ (iv) বহুভুজের বাহুসংখ্যা $9$টি (v) বহুভুজের বাহুসংখ্যা $10$টি (vi) বহুভুজের বাহুসংখ্যা $18$টি।
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃকোণ $= \frac{360^\circ}{\text{বাহুসংখ্যা}}$
এবং প্রতিটি অন্তঃকোণ $= 180^\circ – \text{বহিঃকোণ}$
(i) পঞ্চভুজ ($n=5$):
প্রতিটি বহিঃকোণ $= \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$
প্রতিটি অন্তঃকোণ $= 180^\circ – 72^\circ = 108^\circ$
(ii) ষড়ভুজ ($n=6$):
প্রতিটি বহিঃকোণ $= \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$
প্রতিটি অন্তঃকোণ $= 180^\circ – 60^\circ = 120^\circ$
(iii) অষ্টভুজ ($n=8$):
প্রতিটি বহিঃকোণ $= \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$
প্রতিটি অন্তঃকোণ $= 180^\circ – 45^\circ = 135^\circ$
(iv) বাহুসংখ্যা $9$টি ($n=9$):
প্রতিটি বহিঃকোণ $= \frac{360^\circ}{9} = 40^\circ$
প্রতিটি অন্তঃকোণ $= 180^\circ – 40^\circ = 140^\circ$
(v) বাহুসংখ্যা $10$টি ($n=10$):
প্রতিটি বহিঃকোণ $= \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ$
প্রতিটি অন্তঃকোণ $= 180^\circ – 36^\circ = 144^\circ$
(vi) বাহুসংখ্যা $18$টি ($n=18$):
প্রতিটি বহিঃকোণ $= \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ$
প্রতিটি অন্তঃকোণ $= 180^\circ – 20^\circ = 160^\circ$
উত্তর: উপরে প্রতিটি ক্ষেত্রের মান নির্ণয় করা হলো।
7. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ নিম্নলিখিত পরিমাপগুলি হতে পারে কিনা (হ্যাঁ/না) লিখি।
(i) $6^\circ$ (ii) $10^\circ$ (iii) $13^\circ$ (iv) $18^\circ$ (v) $35^\circ$
একটি কোণ সুষম বহুভুজের বহিঃকোণ হতে হলে, $360^\circ$-কে ওই কোণ দিয়ে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকবে না (অর্থাৎ বাহুসংখ্যা পূর্ণসংখ্যা হবে)।
(i) $6^\circ$: $\frac{360}{6} = 60$ (পূর্ণসংখ্যা)। $\therefore$ হতে পারে।
(ii) $10^\circ$: $\frac{360}{10} = 36$ (পূর্ণসংখ্যা)। $\therefore$ হতে পারে।
(iii) $13^\circ$: $\frac{360}{13} \approx 27.69$ (পূর্ণসংখ্যা নয়)। $\therefore$ হতে পারে না।
(iv) $18^\circ$: $\frac{360}{18} = 20$ (পূর্ণসংখ্যা)। $\therefore$ হতে পারে।
(v) $35^\circ$: $\frac{360}{35} \approx 10.28$ (পূর্ণসংখ্যা নয়)। $\therefore$ হতে পারে না।
উত্তর: (i) হ্যাঁ, (ii) হ্যাঁ, (iii) না, (iv) হ্যাঁ, (v) না।
8. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ নিম্নলিখিত পরিমাপগুলি হতে পারে কিনা (হ্যাঁ/না) লিখি।
(i) $80^\circ$ (ii) $100^\circ$ (iii) $120^\circ$ (iv) $144^\circ$ (v) $155^\circ$ (vi) $160^\circ$
অন্তঃকোণ দেওয়া থাকলে প্রথমে বহিঃকোণ বের করতে হবে ($180^\circ – \text{অন্তঃকোণ}$)। তারপর দেখতে হবে $360^\circ$ সেই বহিঃকোণ দ্বারা বিভাজ্য কি না।
(i) $80^\circ$: বহিঃকোণ $= 180^\circ – 80^\circ = 100^\circ$।
$\frac{360}{100} = 3.6$ (পূর্ণসংখ্যা নয়)। $\therefore$ হতে পারে না।
(ii) $100^\circ$: বহিঃকোণ $= 180^\circ – 100^\circ = 80^\circ$।
$\frac{360}{80} = 4.5$ (পূর্ণসংখ্যা নয়)। $\therefore$ হতে পারে না।
(iii) $120^\circ$: বহিঃকোণ $= 180^\circ – 120^\circ = 60^\circ$।
$\frac{360}{60} = 6$ (পূর্ণসংখ্যা)। $\therefore$ হতে পারে।
(iv) $144^\circ$: বহিঃকোণ $= 180^\circ – 144^\circ = 36^\circ$।
$\frac{360}{36} = 10$ (পূর্ণসংখ্যা)। $\therefore$ হতে পারে।
(v) $155^\circ$: বহিঃকোণ $= 180^\circ – 155^\circ = 25^\circ$।
$\frac{360}{25} = 14.4$ (পূর্ণসংখ্যা নয়)। $\therefore$ হতে পারে না।
(vi) $160^\circ$: বহিঃকোণ $= 180^\circ – 160^\circ = 20^\circ$।
$\frac{360}{20} = 18$ (পূর্ণসংখ্যা)। $\therefore$ হতে পারে।
উত্তর: (i) না, (ii) না, (iii) হ্যাঁ, (iv) হ্যাঁ, (v) না, (vi) হ্যাঁ।
9. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ $60^\circ$; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।
আমরা জানি, সুষম বহুভুজের বাহুসংখ্যা ($n$) = $\frac{360^\circ}{\text{প্রতিটি বহিঃকোণ}}$।
এখানে, প্রতিটি বহিঃকোণের মান $= 60^\circ$।
$\therefore$ বাহুসংখ্যা $n = \frac{360^\circ}{60^\circ} = 6$।
উত্তর: বহুভুজটির বাহুসংখ্যা $6$টি। (এটি একটি সুষম ষড়ভুজ)।
10. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ $135^\circ$; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।
প্রদত্ত, প্রতিটি অন্তঃকোণ $= 135^\circ$।
আমরা জানি, অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের সমষ্টি $180^\circ$।
$\therefore$ প্রতিটি বহিঃকোণ $= 180^\circ – \text{অন্তঃকোণ}$
$= 180^\circ – 135^\circ = 45^\circ$।
$\therefore$ বাহুসংখ্যা $n = \frac{360^\circ}{\text{বহিঃকোণ}} = \frac{360^\circ}{45^\circ}$।
$45$ দিয়ে $360$ কে ভাগ করলে পাই $8$।
উত্তর: বহুভুজটির বাহুসংখ্যা $8$টি। (এটি একটি সুষম অষ্টভুজ)।
11. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপের অনুপাত $3:2$; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।
ধরি, প্রতিটি অন্তঃকোণের মান $3x$ এবং প্রতিটি বহিঃকোণের মান $2x$।
আমরা জানি, (অন্তঃকোণ + বহিঃকোণ) $= 180^\circ$।
প্রশ্নানুসারে,
$3x + 2x = 180^\circ$
বা, $5x = 180^\circ$
বা, $x = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ$
$\therefore$ প্রতিটি বহিঃকোণ $= 2x = 2 \times 36^\circ = 72^\circ$।
$\therefore$ বাহুসংখ্যা $n = \frac{360^\circ}{72^\circ} = 5$।
উত্তর: বহুভুজটির বাহুসংখ্যা $5$টি। (এটি একটি সুষম পঞ্চভুজ)।
12. একটি বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির পরিমাপের সমষ্টি $1800^\circ$; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।
ধরি, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা $= n$।
আমরা জানি, বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টির সূত্র হলো $(n – 2) \times 180^\circ$।
প্রশ্নানুসারে,
$(n – 2) \times 180^\circ = 1800^\circ$
বা, $n – 2 = \frac{1800}{180}$
বা, $n – 2 = 10$
বা, $n = 10 + 2$
বা, $n = 12$
উত্তর: বহুভুজটির বাহুসংখ্যা $12$টি।
13. একটি বহুভুজের পাঁচটি অন্তঃকোণের প্রতিটির পরিমাপ $172^\circ$ এবং অপর অন্তঃকোণগুলির প্রতিটির পরিমাপ $160^\circ$; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।
সমাধান:
ধরি, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা $= n$।
আমরা জানি, অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের সমষ্টি $= 180^\circ$।
$\therefore$ $172^\circ$ অন্তঃকোণবিশিষ্ট কোণগুলির বহিঃকোণ $= 180^\circ – 172^\circ = 8^\circ$। (এরূপ $5$টি কোণ আছে)।
$\therefore$ $160^\circ$ অন্তঃকোণবিশিষ্ট কোণগুলির বহিঃকোণ $= 180^\circ – 160^\circ = 20^\circ$। (এরূপ $n-5$টি কোণ আছে)।
আমরা জানি, যেকোনো বহুভুজের বহিঃকোণগুলির সমষ্টি $360^\circ$।
প্রশ্নানুসারে,
$5 \times 8^\circ + (n – 5) \times 20^\circ = 360^\circ$
বা, $40 + 20n – 100 = 360$
বা, $20n – 60 = 360$
বা, $20n = 360 + 60$
বা, $20n = 420$
বা, $n = \frac{420}{20} = 21$
উত্তর: বহুভুজটির বাহুসংখ্যা $21$টি।
14. প্রমাণ করি যে একটি চতুর্ভুজের যেকোনো দুটি সন্নিহিত কোণের সমদ্বিখণ্ডকদ্বয়ের দ্বারা উৎপন্ন কোণ চতুর্ভুজের অপর কোণদ্বয়ের সমষ্টির অর্ধেক।
প্রদত্ত: $ABCD$ একটি চতুর্ভুজ। $\angle A$ এবং $\angle B$ এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় পরস্পর $P$ বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
প্রমাণ করতে হবে: $\angle APB = \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$
প্রমাণ:
$\triangle APB$-তে, তিনটি কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
$\therefore \angle APB + \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = 180^\circ$
বা, $2\angle APB + \angle A + \angle B = 360^\circ$ (উভয়পক্ষকে $2$ দিয়ে গুণ করে) … $(i)$
আবার, চতুর্ভুজ $ABCD$-এর চারটি কোণের সমষ্টি $360^\circ$।
$\therefore \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$ … $(ii)$
$(i)$ ও $(ii)$ তুলনা করে পাই:
$2\angle APB + \angle A + \angle B = \angle A + \angle B + \angle C + \angle D$
উভয়পক্ষ থেকে $\angle A$ ও $\angle B$ বাদ দিয়ে পাই:
$2\angle APB = \angle C + \angle D$
বা, $\angle APB = \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$
(প্রমানিত)
15. $ABCDE$ একটি সুষম পঞ্চভুজ। প্রমাণ করি যে $\triangle ABC$ সমদ্বিবাহু এবং $BE$ ও $CD$ সমান্তরাল সরলরেখাংশ।
১ম অংশ (ত্রিভুজ প্রমাণ):
যেহেতু $ABCDE$ একটি সুষম পঞ্চভুজ, তাই এর প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান।
$\therefore AB = BC$।
যে ত্রিভুজের দুটি বাহু সমান, তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে।
$\therefore \triangle ABC$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। (প্রমানিত)
২য় অংশ (সমান্তরাল প্রমাণ):
সুষম পঞ্চভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ $= \frac{(5-2) \times 180^\circ}{5} = 108^\circ$।
$\triangle ABC$-এ $AB = BC$, তাই $\angle BAC = \angle BCA$।
$\therefore \angle BCA = \frac{180^\circ – 108^\circ}{2} = 36^\circ$।
একইভাবে $\triangle ABE$-এ $AB = AE$, তাই $\angle ABE = \angle AEB = 36^\circ$।
এখন, $\angle ABC = 108^\circ$।
$\therefore \angle CBE = \angle ABC – \angle ABE = 108^\circ – 36^\circ = 72^\circ$।
এখন $BE$ ও $CD$ সরলরেখার ছেদক $BC$।
ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়:
$\angle CBE + \angle BCD = 72^\circ + 108^\circ = 180^\circ$।
যেহেতু অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি $180^\circ$, তাই $BE \parallel CD$।
(প্রমানিত)
16. $ABCDEF$ একটি সুষম ষড়ভুজ। $\angle BAF$-এর সমদ্বিখণ্ডক $DE$-কে $X$ বিন্দুতে ছেদ করে। $\angle AXD$-এর পরিমাপ লিখি।
সমাধান:
সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ $= \frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = 120^\circ$।
$\therefore \angle BAF = 120^\circ$, $\angle F = 120^\circ$, $\angle E = 120^\circ$।
যেহেতু $AX$, $\angle BAF$-এর সমদ্বিখণ্ডক, তাই:
$\angle FAX = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$।
এখন চতুর্ভুজ $AFEX$ বিবেচনা করি (যেখানে $X$ বিন্দুটি $DE$ বাহুর উপর অবস্থিত)।
চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি $360^\circ$।
$\therefore \angle FAX + \angle F + \angle E + \angle AXE = 360^\circ$
বা, $60^\circ + 120^\circ + 120^\circ + \angle AXE = 360^\circ$
বা, $300^\circ + \angle AXE = 360^\circ$
বা, $\angle AXE = 360^\circ – 300^\circ = 60^\circ$।
যেহেতু $X$ বিন্দুটি $DE$ সরলরেখাংশের উপর অবস্থিত এবং জ্যামিতিক ধর্ম অনুযায়ী সুষম ষড়ভুজে $\angle A$-এর সমদ্বিখণ্ডক $D$ বিন্দু দিয়েই যায় (অর্থাৎ $X$ ও $D$ বিন্দু সমাপতিত হয়), তাই নির্ণেয় কোণটি $\triangle ADE$-এর কোণ হিসেবে বিবেচিত হয়।
গণনালব্ধ মান অনুযায়ী, $\angle AXE = 60^\circ$।
উত্তর: $\angle AXD$-এর পরিমাপ $60^\circ$।
শেয়ার