অষ্টম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি – 20.3
কোষে দেখি – 20.3 (অষ্টম শ্রেণী) : জ্যামিতিক প্রমাণ
1. দুজন ব্যক্তি একজন একটি পূর্ব-পশ্চিমমুখী রাস্তায় আসার জন্য দক্ষিণদিক বরাবর আসতে শুরু করলেন এবং অপরজন একই স্থান থেকে একই সময়ে দক্ষিণ-পূর্ব দিকে আসতে শুরু করলেন। কোন ব্যক্তি রাস্তায় আগে আসবেন হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
আমরা জানি, কোনো বিন্দু থেকে কোনো সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্যই হলো ক্ষুদ্রতম দূরত্ব।
১. রাস্তাটি পূর্ব-পশ্চিমমুখী। প্রথম ব্যক্তি দক্ষিণদিক বরাবর আসছেন, অর্থাৎ তিনি রাস্তার সাথে লম্বভাবে ($90^\circ$ কোণে) আসছেন। এটিই ওই স্থান থেকে রাস্তার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব।
২. দ্বিতীয় ব্যক্তি দক্ষিণ-পূর্ব দিকে আসছেন। জ্যামিতিক চিত্র অনুযায়ী, এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ বরাবর পথ।
যেহেতু সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ সর্বদা লম্ব অপেক্ষা বৃহত্তর হয় (Hypotenuse > Perpendicular), তাই দক্ষিণ-পূর্ব দিকের পথটির দৈর্ঘ্য দক্ষিণ দিকের পথের চেয়ে বেশি।
যেহেতু দুজনেই একই সময়ে যাত্রা শুরু করেছেন এবং প্রথম ব্যক্তির অতিক্রান্ত দূরত্ব কম, তাই তিনি আগে পৌঁছাবেন।
উত্তর: যিনি দক্ষিণদিক বরাবর আসছেন, তিনি রাস্তায় আগে আসবেন।
2. $ABCD$ চতুর্ভুজের $AB = AD$ এবং $BC = DC$; $D$ বিন্দু থেকে $AC$ বাহুর ক্ষুদ্রতম দূরত্ব $DP$; প্রমাণ করি যে $B, P, D$ বিন্দু তিনটি সমরেখ।
প্রদত্ত: $ABCD$ চতুর্ভুজের $AB = AD$ এবং $BC = DC$। $D$ বিন্দু থেকে $AC$ বাহুর ক্ষুদ্রতম দূরত্ব $DP$।
প্রমাণ করতে হবে: $B, P, D$ বিন্দু তিনটি সমরেখ।
প্রমাণ:
১. যেহেতু $A$ বিন্দুটি $B$ ও $D$ থেকে সমদূরবর্তী ($AB = AD$) এবং $C$ বিন্দুটিও $B$ ও $D$ থেকে সমদূরবর্তী ($BC = DC$), তাই $A$ ও $C$ বিন্দু দুটি $BD$ সরলরেখাংশের লম্বসমদ্বিখণ্ডকের উপর অবস্থিত।
$\therefore$ $AC$ সরলরেখাংশ হলো $BD$ কর্ণের লম্বসমদ্বিখণ্ডক।
সুতরাং, $BD$ এবং $AC$ পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করে। অর্থাৎ, $BD \perp AC$।
২. আবার প্রশ্নে বলা হয়েছে, $D$ থেকে $AC$-এর ক্ষুদ্রতম দূরত্ব $DP$।
আমরা জানি, কোনো বিন্দু থেকে রেখার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব হলো লম্ব দূরত্ব।
$\therefore DP \perp AC$।
৩. এখন, $D$ বিন্দু থেকে $AC$ সরলরেখার উপর $DP$ এবং $DB$ (বা ছেদবিন্দু পর্যন্ত অংশ) উভয়ই লম্ব। কিন্তু কোনো বিন্দু থেকে একটি সরলরেখার উপর কেবল একটিই লম্ব টানা সম্ভব।
তাই $DP$ এবং $DB$ একই সরলরেখার অংশ।
অর্থাৎ, $P$ বিন্দুটি $BD$ সরলরেখাংশের উপর অবস্থিত।
সুতরাং $B, P, D$ বিন্দু তিনটি সমরেখ।
(প্রমানিত)
3. $\triangle ABC$ ত্রিভুজের $AD$ মধ্যমা। $B$ ও $C$ বিন্দু থেকে $AD$ বাহুর ক্ষুদ্রতম দূরত্ব $BP$ ও $CQ$; প্রমাণ করি যে $BP = CQ$।
প্রদত্ত: $\triangle ABC$-এর মধ্যমা $AD$ (অর্থাৎ $D$, $BC$-এর মধ্যবিন্দু, $\therefore BD = CD$)। $B$ ও $C$ থেকে $AD$-এর ক্ষুদ্রতম দূরত্ব যথাক্রমে $BP$ ও $CQ$।
প্রমাণ করতে হবে: $BP = CQ$।
প্রমাণ:
যেহেতু ক্ষুদ্রতম দূরত্ব লম্ব দূরত্ব হয়, তাই $BP \perp AD$ এবং $CQ \perp AD$ (প্রয়োজনে $AD$-কে বর্ধিত করা হয়েছে)।
$\therefore \angle BPD = 90^\circ$ এবং $\angle CQD = 90^\circ$।
এখন, $\triangle BPD$ এবং $\triangle CQD$-এর মধ্যে:
১. $\angle BPD = \angle CQD = 90^\circ$ (উভয়ে সমকোণ)
২. $\angle BDP = \angle CDQ$ (বিপ্রতীপ কোণ)
৩. $BD = CD$ ($D$ হলো $BC$-এর মধ্যবিন্দু)
$\therefore \triangle BPD \cong \triangle CQD$ (A-A-S সর্বসমতা শর্তানুসারে)।
সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু সমান হয়।
$\therefore BP = CQ$
(প্রমানিত)
শেয়ার