অষ্টম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি – 10.1 ত্রৈরাশিক পদ্ধতি
অধ্যায় ১০: ত্রৈরাশিক পদ্ধতি (কষে দেখি – 10.1)
1. আজ আমার বাবা 390 টাকায় 15 কিগ্রা. চাল কিনে এনেছেন। যদি 17 কিগ্রা. একইরকম চাল কিনতেন তবে বাবা কতটাকা খরচ করতেন ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| চালের পরিমাণ (কিগ্রা.) | দাম (টাকা) |
| 15 | 390 |
| 17 | ? |
চালের পরিমাণ বাড়লে দামও বাড়বে, আবার চালের পরিমাণ কমলে দাম কমবে। সুতরাং, চালের পরিমাণের সাথে দামের সরল সম্পর্ক। ভগ্নাংশটি হবে $\frac{17}{15}$
নির্ণেয় দাম = $\frac{17}{15} \times 390$ টাকা
= $26 \times 17$ টাকা [390 কে 15 দিয়ে ভাগ করে]
= $442$ টাকা
উত্তর: বাবা 442 টাকা খরচ করতেন।
2. ভেঙ্কটমামা 20 মিটার ছিট কাপড়ে একই মাপের 4 টি জামা তৈরি করবেন। একইরকম 12 টি জামা তৈরি করতে হলে ভেঙ্কটমামাকে কত মিটার ছিট কাপড় কিনে দিতে হবে ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| জামার সংখ্যা (টি) | কাপড়ের পরিমাণ (মিটার) |
| 4 | 20 |
| 12 | ? |
জামার সংখ্যা বাড়লে কাপড়ের পরিমাণ বেশি লাগবে। সুতরাং, জামার সংখ্যার সাথে কাপড়ের পরিমাণের সরল সম্পর্ক। অর্থাৎ ভগ্নাংশটি হবে $\frac{12}{4}$
নির্ণেয় কাপড়ের পরিমাণ = $\frac{12}{4} \times 20$ মিটার
= $5 \times 12$ মিটার [20 কে 4 দিয়ে ভাগ করে]
= $60$ মিটার
উত্তর: ভেঙ্কটমামাকে 60 মিটার ছিট কাপড় কিনে দিতে হবে।
3. বকুলতলা গ্রামে একটি পুকুর কাটতে 30 জন লোকের 15 দিন সময় লেগেছে। যদি 25 জন লোক ওই পুকুর কাটত তবে কতদিনে কাজ শেষ করতে পারত ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| লোকসংখ্যা (জন) | সময় (দিন) |
| 30 | 15 |
| 25 | ? |
লোকসংখ্যা কমলে কাজটি শেষ করতে বেশি সময় লাগবে। সুতরাং, লোকসংখ্যার সাথে সময়ের ব্যস্ত সম্পর্ক। অর্থাৎ ভগ্নাংশটি হবে $\frac{30}{25}$
নির্ণেয় সময় = $\frac{30}{25}\times 15$ দিন
= $\frac{450}{25}$ দিন
= $18$ দিন
উত্তর: 25 জন লোক 18 দিনে কাজটি শেষ করতে পারত।
4. কাকিমা ঘণ্টায় 40 কিমি. বেগে গাড়ি চালিয়ে 5 ঘণ্টায় মামার বাড়ি পৌঁছে গেলেন। তিনি যদি ঘণ্টায় 50 কিমি. বেগে গাড়ি চালাতেন তবে মামার বাড়ি পৌঁছোতে কত সময় লাগত ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| গতিবেগ (কিমি./ঘণ্টা) | সময় (ঘণ্টা) |
| 40 | 5 |
| 50 | ? |
গাড়ির গতিবেগ বাড়লে গন্তব্যে পৌঁছাতে কম সময় লাগবে। সুতরাং, গতিবেগের সাথে সময়ের ব্যস্ত সম্পর্ক। অর্থাৎ ভগ্নাংশটি হবে $\frac{40}{50}$
নির্ণেয় সময় = $\frac{40}{50}\times 5$ ঘণ্টা
= $\frac{200}{50}$ ঘণ্টা
= $4$ ঘণ্টা
উত্তর: মামার বাড়ি পৌঁছোতে 4 ঘণ্টা সময় লাগত।
5. মঙ্গলপুর গ্রামের একটি আশ্রয় শিবিরে 4000 জন লোকের 9 দিনের খাবার মজুত ছিল। 3 দিন পরে 1000 জন লোক অন্য জায়গায় চলে গেলেন। যারা রয়ে গেলেন অবশিষ্ট খাবারে তাদের আর কতদিন চলবে ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
3 দিন পরে, অবশিষ্ট খাবার 4000 জন লোকের চলত $(9 – 3) = 6$ দিন।
এখন লোকসংখ্যা কমে হলো $(4000 – 1000) = 3000$ জন।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| লোকসংখ্যা (জন) | সময় (দিন) |
| 4000 | 6 |
| 3000 | ? |
লোকসংখ্যা কমলে ওই নির্দিষ্ট পরিমাণ খাবারে বেশিদিন চলবে। সুতরাং, লোকসংখ্যার সঙ্গে সময়ের ব্যস্ত সম্পর্ক।
ভগ্নাংশটি হবে $\frac{4000}{3000}$
নির্ণেয় সময় = $\frac{4000}{3000} \times 6$ দিন
= $\frac{4}{3} \times 6$ দিন
= $4 \times 2$ দিন
= $8$ দিন
উত্তর: অবশিষ্ট খাবারে তাদের আর 8 দিন চলবে।
6. নসিবপুর গ্রামের একটি খামারের 42 জন সদস্য 24 দিনে খামারের সমস্ত জমি চাষ করতে পারেন। কিন্তু চাষের মরসুমে 6 জন সদস্য হঠাৎ অসুস্থ হয়ে পড়েন। খামারের সমস্ত জমি চাষ করতে অবশিষ্ট জনের কতদিন সময় লাগবে ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
অবশিষ্ট সদস্য সংখ্যা = $(42 – 6) = 36$ জন।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| লোকসংখ্যা (জন) | সময় (দিন) |
| 42 | 24 |
| 36 | ? |
লোকসংখ্যা কমলে কাজটি শেষ করতে সময় বেশি লাগবে। সুতরাং, লোকসংখ্যার সঙ্গে সময়ের ব্যস্ত সম্পর্ক।
ভগ্নাংশটি হবে $\frac{42}{36}$
নির্ণেয় সময় = $\frac{42}{36} \times 24$ দিন
= $7 \times 4$ দিন [উভয়কে 6 দিয়ে ভাগ করে]
= $28$ দিন
উত্তর: অবশিষ্ট জনের 28 দিন সময় লাগবে।
7. একটি কারখানায় 1000টি যন্ত্রাংশ তৈরি করতে 16 টি মেশিনের 27 দিন সময় লাগে। যদি ওই কারখানায় আরও 2 টি মেশিন বসানো হয় তাহলে একই সংখ্যক যন্ত্রাংশ তৈরি করতে কতদিন সময় লাগবে ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে দেখি।
সমাধান:
নতুন মেশিন সংখ্যা = $(16 + 2) = 18$ টি। (যন্ত্রাংশের সংখ্যা অপরিবর্তিত থাকায় তা হিসাবের বাইরে রাখা হলো)
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| মেশিন সংখ্যা (টি) | সময় (দিন) |
| 16 | 27 |
| 18 | ? |
মেশিন সংখ্যা বাড়লে কাজটি শেষ করতে সময় কম লাগবে। সুতরাং, মেশিন সংখ্যার সঙ্গে সময়ের ব্যস্ত সম্পর্ক।
ভগ্নাংশটি হবে $\frac{16}{18}$
নির্ণেয় সময় = $\frac{16}{18} \times 27$ দিন
= $16 \times \frac{3}{2}$ দিন [27 ও 18 কে 9 দিয়ে ভাগ করে]
= $8 \times 3$ দিন
= $24$ দিন
উত্তর: একই সংখ্যক যন্ত্রাংশ তৈরি করতে 24 দিন সময় লাগবে।
8. নীচের পারস্পরিক সম্পর্কগুলি দেখি, গণিতের গল্প তৈরি করি ও ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে উত্তর খুঁজি।
(a) পেনের সংখ্যা ও মোট পেনের দাম
গণিতের গল্প: আমি 25 টি পেন কিনলাম 112.5 টাকায়। আমার বন্ধু যদি একইরকম 12 টি পেন কিনতে চায়, তবে তাকে কত টাকা দিতে হবে?
সমাধান:
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| পেনের সংখ্যা (টি) | মোট পেনের দাম (টাকা) |
| 25 | 112.5 |
| 12 | ? |
পেনের সংখ্যা কমলে মোট দাম কমবে। সুতরাং, পেনের সংখ্যার সাথে পেনের দামের সরল সম্পর্ক।
ভগ্নাংশটি হবে $\frac{12}{25}$
নির্ণেয় দাম = $\frac{12}{25} \times 112.5$ টাকা
= $12 \times 4.5$ টাকা [112.5 কে 25 দিয়ে ভাগ করে]
= $54$ টাকা
উত্তর: 12 টি পেনের দাম 54 টাকা।
(b) গতিবেগ ও দূরত্ব
গণিতের গল্প: একটি গাড়ি ঘণ্টায় 9 কিমি. বেগে চললে নির্দিষ্ট সময়ে 112.5 কিমি. পথ অতিক্রম করে। গাড়িটি যদি ঘণ্টায় 12 কিমি. বেগে চলে তবে ওই একই সময়ে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?
সমাধান:
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| গতিবেগ (কিমি./ঘণ্টা) | দূরত্ব (কিমি.) |
| 9 | 112.5 |
| 12 | ? |
গতিবেগ বাড়লে নির্দিষ্ট সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব বাড়বে। সুতরাং, গতিবেগের সাথে দূরত্বের সরল সম্পর্ক।
ভগ্নাংশটি হবে $\frac{12}{9}$
নির্ণেয় দূরত্ব = $\frac{12}{9} \times 112.5$ কিমি.
= $4 \times 37.5$ কিমি. [উভয়কে 3 দিয়ে কাটাকাটি করে হিসাব করে]
= $150$ কিমি.
উত্তর: গাড়িটি 150 কিমি. দূরত্ব অতিক্রম করবে।
(c) পাম্প সংখ্যা ও সেচের জমির পরিমাণ
গণিতের গল্প: গ্রামের চাষের জমিতে 6 টি পাম্প দিয়ে 31.2 বিঘা জমিতে সেচ দেওয়া যায়। যদি 13 টি পাম্প ব্যবহার করা হয়, তবে ওই একই সময়ে কত বিঘা জমিতে সেচ দেওয়া যাবে?
সমাধান:
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| পাম্প সংখ্যা (টি) | সেচের জমির পরিমাণ (বিঘা) |
| 6 | 31.2 |
| 13 | ? |
পাম্পের সংখ্যা বাড়লে সেচ দেওয়া জমির পরিমাণ বাড়বে। সুতরাং, পাম্প সংখ্যার সাথে জমির পরিমাণের সরল সম্পর্ক।
ভগ্নাংশটি হবে $\frac{13}{6}$
নির্ণেয় জমির পরিমাণ = $\frac{13}{6} \times 31.2$ বিঘা
= $13 \times 5.2$ বিঘা [31.2 কে 6 দিয়ে ভাগ করে]
= $67.6$ বিঘা
উত্তর: 67.6 বিঘা জমিতে সেচ দেওয়া যাবে।
(d) ছাত্রসংখ্যা ও দৈনিক বরাদ্দ দানাশস্য
গণিতের গল্প: একটি ছাত্রাবাসে 425 জন ছাত্রের জন্য দৈনিক মাথাপিছু 306 গ্রাম দানাশস্য বরাদ্দ থাকে (মোট দানাশস্যের পরিমাণ স্থির থাকলে)। যদি ছাত্রসংখ্যা বেড়ে 458 জন হয়, তবে দৈনিক মাথাপিছু বরাদ্দ কত গ্রাম হবে?
সমাধান:
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| ছাত্রসংখ্যা (জন) | দৈনিক বরাদ্দ দানাশস্য (গ্রাম) |
| 425 | 306 |
| 458 | ? |
ছাত্রসংখ্যা বাড়লে মোট খাবার নির্দিষ্ট থাকায় মাথাপিছু বরাদ্দ কমবে। সুতরাং, ছাত্রসংখ্যার সাথে বরাদ্দের ব্যস্ত সম্পর্ক।
ভগ্নাংশটি হবে $\frac{425}{458}$
নির্ণেয় বরাদ্দ = $\frac{425}{458} \times 306$ গ্রাম
= $\frac{130050}{458}$ গ্রাম
= $\frac{65025}{229}$ গ্রাম
$\approx 283.95$ গ্রাম (প্রায়)
উত্তর: দৈনিক মাথাপিছু বরাদ্দ প্রায় 283.95 গ্রাম হবে।
(দ্রষ্টব্য: পাঠ্যপুস্তকের মুদ্রণ প্রমাদ থাকলে সংখ্যাটি 450 হলে উত্তর 289 গ্রাম হতো।)
শেয়ার