অষ্টম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি – 12 মিশ্রন
অধ্যায় ১২: মিশ্রণ (কষে দেখি – 12)
1. 36 লিটার ডেটল-জল তৈরি করলাম যাতে জল ও ডেটলের পরিমাণের অনুপাত 5:1; ওই ডেটল জলে আর কতটুকু ডেটল মেশালে জল ও ডেটলের পরিমাণের অনুপাত 3:1 হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
মোট ডেটল-জল = $36$ লিটার।
জল ও ডেটলের অনুপাত = $5:1$
অনুপাতের পদের সমষ্টি = $5 + 1 = 6$
জলের পরিমাণ = $\frac{5}{6} \times 36$ লিটার = $30$ লিটার।
ডেটলের পরিমাণ = $\frac{1}{6} \times 36$ লিটার = $6$ লিটার।
ধরি, ওই মিশ্রণে আরও $x$ লিটার ডেটল মেশানো হলো।
নতুন মিশ্রণে ডেটলের পরিমাণ হবে = $(6 + x)$ লিটার।
জলের পরিমাণ একই থাকবে, অর্থাৎ $30$ লিটার।
প্রশ্নানুসারে,
$\frac{30}{6+x} = \frac{3}{1}$
বা, $3(6+x) = 30$
বা, $18 + 3x = 30$
বা, $3x = 30 – 18 = 12$
বা, $x = \frac{12}{3} = 4$
উত্তর: আর 4 লিটার ডেটল মেশাতে হবে।
2. এক ধরনের পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত 5:2; এই ধরনের 28 কিগ্রা. পিতলে 4 কিগ্রা. তামা মেশালে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত কী হবে হিসাব করে দেখি।
সমাধান:
পিতলের পরিমাণ = $28$ কিগ্রা।
তামা ও দস্তার অনুপাত = $5:2$
অনুপাতের পদের সমষ্টি = $5 + 2 = 7$
তামার পরিমাণ = $\frac{5}{7} \times 28$ কিগ্রা = $20$ কিগ্রা।
দস্তার পরিমাণ = $\frac{2}{7} \times 28$ কিগ্রা = $8$ কিগ্রা।
এখন আরও $4$ কিগ্রা তামা মেশানো হলো।
নতুন তামার পরিমাণ = $20 + 4 = 24$ কিগ্রা।
দস্তার পরিমাণ অপরিবর্তিত থাকল, অর্থাৎ $8$ কিগ্রা।
নতুন মিশ্রণে তামা ও দস্তার অনুপাত = $24 : 8$
= $3 : 1$
উত্তর: তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত হবে 3:1।
3. বিজনবাবু ফিনাইল ও জল 2:23 অনুপাতে মিশিয়ে 60 লিটার ফিনাইল গোলা জল তৈরি করেছেন। এই ফিনাইল গোলা জলে আর কত লিটার ফিনাইল মেশালে ফিনাইল ও জলের পরিমাণের অনুপাত 9:46 হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
মোট মিশ্রণ = $60$ লিটার।
ফিনাইল ও জলের অনুপাত = $2:23$
অনুপাতের পদের সমষ্টি = $2 + 23 = 25$
ফিনাইলের পরিমাণ = $\frac{2}{25} \times 60$ লিটার = $\frac{24}{5} = 4.8$ লিটার।
জলের পরিমাণ = $\frac{23}{25} \times 60$ লিটার = $\frac{276}{5} = 55.2$ লিটার।
ধরি, আরও $x$ লিটার ফিনাইল মেশানো হলো।
নতুন ফিনাইলের পরিমাণ = $(4.8 + x)$ লিটার।
জলের পরিমাণ একই থাকবে, অর্থাৎ $55.2$ লিটার।
প্রশ্নানুসারে,
$\frac{4.8 + x}{55.2} = \frac{9}{46}$
বা, $46(4.8 + x) = 9 \times 55.2$
বা, $220.8 + 46x = 496.8$
বা, $46x = 496.8 – 220.8 = 276$
বা, $x = \frac{276}{46} = 6$
উত্তর: আর 6 লিটার ফিনাইল মেশাতে হবে।
4. আমিনাবিবি 7:1 অনুপাতে বালি ও সিমেন্ট মিশিয়ে এক গাঁথুনির মশলা তৈরি করেছেন। কিন্তু গাঁথুনির কাজ শেষ হয়ে গেলে দেখা গেল এখনও 72 কিগ্রা. মশলা রয়ে গেছে। ওই মশলায় আরও কিছুটা সিমেন্ট মিশিয়ে বালি ও সিমেন্টের পরিমাণের অনুপাত 6:1 করে মশলা তৈরি করলেন। তিনি কত কিগ্রা. সিমেন্ট মিশিয়ে ছিলেন হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
অবশিষ্ট মশলার পরিমাণ = $72$ কিগ্রা।
বালি ও সিমেন্টের অনুপাত = $7:1$
অনুপাতের পদের সমষ্টি = $7 + 1 = 8$
বালির পরিমাণ = $\frac{7}{8} \times 72$ কিগ্রা = $63$ কিগ্রা।
সিমেন্টের পরিমাণ = $\frac{1}{8} \times 72$ কিগ্রা = $9$ কিগ্রা।
ধরি, আরও $x$ কিগ্রা সিমেন্ট মেশানো হলো।
নতুন সিমেন্টের পরিমাণ = $(9 + x)$ কিগ্রা।
বালির পরিমাণ অপরিবর্তিত থাকল, অর্থাৎ $63$ কিগ্রা।
প্রশ্নানুসারে,
$\frac{63}{9+x} = \frac{6}{1}$
বা, $6(9+x) = 63$
বা, $54 + 6x = 63$
বা, $6x = 63 – 54 = 9$
বা, $x = \frac{9}{6} = 1.5$
উত্তর: তিনি 1.5 কিগ্রা সিমেন্ট মিশিয়ে ছিলেন।
5. একধরনের জার্মান সিলভারে তামা, দস্তা ও নিকেলের পরিমাণের অনুপাত 4:3:2; এই ধরনের 54 কিগ্রা. জার্মান সিলভারে আর কত কিগ্রা. দস্তা মেশালে সেই পরিমাণের অনুপাত 6:5:3 হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
মোট জার্মান সিলভার = $54$ কিগ্রা।
তামা : দস্তা : নিকেল = $4:3:2$
অনুপাতের পদের সমষ্টি = $4 + 3 + 2 = 9$
তামার পরিমাণ = $\frac{4}{9} \times 54$ কিগ্রা = $24$ কিগ্রা।
দস্তার পরিমাণ = $\frac{3}{9} \times 54$ কিগ্রা = $18$ কিগ্রা।
নিকেলের পরিমাণ = $\frac{2}{9} \times 54$ কিগ্রা = $12$ কিগ্রা।
ধরি, আরও $x$ কিগ্রা দস্তা মেশানো হলো।
নতুন দস্তার পরিমাণ হবে = $(18 + x)$ কিগ্রা।
তামা ও নিকেলের পরিমাণ অপরিবর্তিত থাকবে।
প্রশ্নানুসারে, নতুন অনুপাত তামা : দস্তা : নিকেল = $6:5:3$
আমরা তামা ও দস্তার অনুপাত তুলনা করে পাই:
$\frac{24}{18+x} = \frac{6}{5}$
বা, $6(18+x) = 24 \times 5$
বা, $18 + x = \frac{120}{6} = 20$
বা, $x = 20 – 18 = 2$
উত্তর: আর 2 কিগ্রা দস্তা মেশাতে হবে।
6. দুই প্রকার গুঁড়ো-সাবানে সোডা ও সাবান গুঁড়োর পরিমাণের অনুপাত যথাক্রমে 2:3 এবং 4:5; যদি প্রথম প্রকারের 10 কিগ্রা.-এর সঙ্গে দ্বিতীয় প্রকারের 18 কিগ্রা. মেশানো হয়, তবে নতুন গুঁড়ো সাবানে কত অংশ সাবান গুঁড়ো থাকবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
প্রথম প্রকার গুঁড়ো সাবান ($10$ কিগ্রা):
সোডা : সাবান গুঁড়ো = $2:3$, সমষ্টি = $5$
সাবান গুঁড়োর পরিমাণ = $\frac{3}{5} \times 10 = 6$ কিগ্রা।
দ্বিতীয় প্রকার গুঁড়ো সাবান ($18$ কিগ্রা):
সোডা : সাবান গুঁড়ো = $4:5$, সমষ্টি = $9$
সাবান গুঁড়োর পরিমাণ = $\frac{5}{9} \times 18 = 10$ কিগ্রা।
নতুন মিশ্রণ:
মোট মিশ্রণের পরিমাণ = $10 + 18 = 28$ কিগ্রা।
মোট সাবান গুঁড়োর পরিমাণ = $6 + 10 = 16$ কিগ্রা।
নতুন মিশ্রণে সাবান গুঁড়োর অংশ = $\frac{16}{28}$
= $\frac{4}{7}$ অংশ।
উত্তর: নতুন গুঁড়ো সাবানে $\frac{4}{7}$ অংশ সাবান গুঁড়ো থাকবে।
7. দুটি সমান আয়তনের পাত্রে যথাক্রমে $\frac{1}{3}$ ও $\frac{1}{4}$ অংশে ফলের রস ছিল। আমি পাত্র দুটির অবশিষ্টাংশ জলপূর্ণ করে অন্য একটি পাত্রে সমগ্র জল-মিশ্রিত ফলের রস ঢাললাম। নতুন পাত্রে ফলের রস ও জলের পরিমাণের অনুপাত কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, প্রতিটি পাত্রের আয়তন $1$ একক।
প্রথম পাত্র:
ফলের রস = $\frac{1}{3}$ অংশ।
জল = $1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ অংশ।
দ্বিতীয় পাত্র:
ফলের রস = $\frac{1}{4}$ অংশ।
জল = $1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ অংশ।
নতুন পাত্র:
মোট ফলের রস = $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}$ অংশ।
মোট জল = $\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{8+9}{12} = \frac{17}{12}$ অংশ।
ফলের রস ও জলের অনুপাত = $\frac{7}{12} : \frac{17}{12}$
= $7 : 17$
উত্তর: নতুন পাত্রে ফলের রস ও জলের পরিমাণের অনুপাত হবে 7:17।
8. রেশমি খাতুন তিনটি সমান মাপের গ্লাস শরবত পূর্ণ করেছে। এই তিনটি গ্লাসের শরবতে জল ও সিরাপের পরিমাণের অনুপাত যথাক্রমে 3:1, 5:3 ও 9:7; আমি এই তিনটি গ্লাসের শরবত একটি বড়ো পাত্রে ঢেলে দিলাম। হিসাব করে দেখি এই নতুন পাত্রে জল ও সিরাপের পরিমাণের অনুপাত কী হলো।
সমাধান:
তিনটি গ্লাসই সমান মাপের। ধরি প্রতিটি গ্লাসের আয়তন $1$ একক।
প্রথম গ্লাস (জল : সিরাপ = 3:1):
জল = $\frac{3}{4}$ অংশ, সিরাপ = $\frac{1}{4}$ অংশ।
দ্বিতীয় গ্লাস (জল : সিরাপ = 5:3):
জল = $\frac{5}{8}$ অংশ, সিরাপ = $\frac{3}{8}$ অংশ।
তৃতীয় গ্লাস (জল : সিরাপ = 9:7):
জল = $\frac{9}{16}$ অংশ, সিরাপ = $\frac{7}{16}$ অংশ।
নতুন পাত্র:
মোট জল = $\frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \frac{9}{16}$
= $\frac{12 + 10 + 9}{16} = \frac{31}{16}$ অংশ।
মোট সিরাপ = $\frac{1}{4} + \frac{3}{8} + \frac{7}{16}$
= $\frac{4 + 6 + 7}{16} = \frac{17}{16}$ অংশ।
জল ও সিরাপের অনুপাত = $\frac{31}{16} : \frac{17}{16}$
= $31 : 17$
উত্তর: নতুন পাত্রে জল ও সিরাপের পরিমাণের অনুপাত হবে 31:17।
9. দু-প্রকার পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত যথাক্রমে 8:3 এবং 15:7; এই দু-প্রকার পিতল 5:2 অনুপাতে মেশালে যে নতুন প্রকারের পিতল পাওয়া যাবে, তাতে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, প্রথম প্রকার পিতল নেওয়া হয়েছে $5x$ একক এবং দ্বিতীয় প্রকার পিতল নেওয়া হয়েছে $2x$ একক।
প্রথম প্রকার পিতলে ($8:3$):
তামা আছে = $5x \times \frac{8}{8+3} = 5x \times \frac{8}{11} = \frac{40x}{11}$ একক।
দস্তা আছে = $5x \times \frac{3}{11} = \frac{15x}{11}$ একক।
দ্বিতীয় প্রকার পিতলে ($15:7$):
তামা আছে = $2x \times \frac{15}{15+7} = 2x \times \frac{15}{22} = \frac{15x}{11}$ একক।
দস্তা আছে = $2x \times \frac{7}{22} = \frac{7x}{11}$ একক।
নতুন মিশ্রণে:
মোট তামা = $\frac{40x}{11} + \frac{15x}{11} = \frac{55x}{11} = 5x$ একক।
মোট দস্তা = $\frac{15x}{11} + \frac{7x}{11} = \frac{22x}{11} = 2x$ একক।
$\therefore$ নতুন পিতলে তামা ও দস্তার অনুপাত = $5x : 2x = 5:2$।
উত্তর: নতুন প্রকারের পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত হবে 5:2।
10. দু-প্রকার স্টেনলেস স্টিলে ক্রোমিয়াম ও স্টিলের পরিমাণের অনুপাত যথাক্রমে 2:11 এবং 5:21; এই দু-প্রকার স্টেনলেস স্টিল কী অনুপাতে মেশালে নতুন স্টেনলেস স্টিলে ক্রোমিয়াম ও স্টিলের অনুপাত 7:32 হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, প্রথম প্রকার স্টেনলেস স্টিল $x$ এককের সাথে দ্বিতীয় প্রকার স্টেনলেস স্টিল $y$ একক মেশানো হলো।
প্রথম প্রকার স্টেনলেস স্টিলে ($2:11$):
ক্রোমিয়ামের পরিমাণ = $x \times \frac{2}{13} = \frac{2x}{13}$ একক।
স্টিলের পরিমাণ = $x \times \frac{11}{13} = \frac{11x}{13}$ একক।
দ্বিতীয় প্রকার স্টেনলেস স্টিলে ($5:21$):
ক্রোমিয়ামের পরিমাণ = $y \times \frac{5}{26} = \frac{5y}{26}$ একক।
স্টিলের পরিমাণ = $y \times \frac{21}{26} = \frac{21y}{26}$ একক।
নতুন মিশ্রণে:
মোট ক্রোমিয়াম = $\frac{2x}{13} + \frac{5y}{26} = \frac{4x + 5y}{26}$ একক।
মোট স্টিল = $\frac{11x}{13} + \frac{21y}{26} = \frac{22x + 21y}{26}$ একক।
প্রশ্নানুসারে,
$\frac{\frac{4x + 5y}{26}}{\frac{22x + 21y}{26}} = \frac{7}{32}$
বা, $\frac{4x + 5y}{22x + 21y} = \frac{7}{32}$
বা, $32(4x + 5y) = 7(22x + 21y)$
বা, $128x + 160y = 154x + 147y$
বা, $160y – 147y = 154x – 128x$
বা, $13y = 26x$
বা, $\frac{x}{y} = \frac{13}{26} = \frac{1}{2}$
উত্তর: দুই প্রকার স্টেনলেস স্টিল 1:2 অনুপাতে মেশাতে হবে।
11. একপাত্র শরবতে 5:2 অনুপাতে সিরাপ ও জল মেশানো আছে। এই শরবতের কতটুকু অংশ তুলে নিয়ে তার পরিবর্তে সমপরিমাণ জল ঢাললে সিরাপ ও জলের পরিমাণ সমান সমান হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, মোট শরবতের পরিমাণ $1$ অংশ।
মনে করি, শরবতের $x$ অংশ তুলে নেওয়া হলো।
অবশিষ্ট শরবতের পরিমাণ = $(1 – x)$ অংশ।
শরবতে সিরাপ ও জলের অনুপাত = $5:2$
অবশিষ্ট শরবতে সিরাপের পরিমাণ = $(1 – x) \times \frac{5}{7}$ অংশ।
অবশিষ্ট শরবতে জলের পরিমাণ = $(1 – x) \times \frac{2}{7}$ অংশ।
এখন, তুলে নেওয়া শরবতের পরিবর্তে সমপরিমাণ অর্থাৎ $x$ অংশ জল মেশানো হলো।
নতুন মিশ্রণে মোট জলের পরিমাণ = $\frac{2(1-x)}{7} + x$ অংশ।
প্রশ্নানুসারে, সিরাপ ও জলের পরিমাণ সমান হবে:
$\frac{5(1-x)}{7} = \frac{2(1-x)}{7} + x$
উভয়পক্ষকে $7$ দ্বারা গুণ করে পাই,
$5(1-x) = 2(1-x) + 7x$
বা, $5 – 5x = 2 – 2x + 7x$
বা, $5 – 5x = 2 + 5x$
বা, $5x + 5x = 5 – 2$
বা, $10x = 3$
বা, $x = \frac{3}{10}$
উত্তর: শরবতের $\frac{3}{10}$ অংশ তুলে নিয়ে সমপরিমাণ জল ঢালতে হবে।
12. নীচের ছক দেখি, গণিতের গল্প তৈরি করি ও উত্তর খুঁজি:
আমরা প্রতিটি ক্রমিক নম্বরের জন্য সমস্যাটি সমাধান করব।
(1) প্রথম মিশ্রণে উপাদান দুটির অনুপাত 5:4 এবং দ্বিতীয় মিশ্রণে 3:2। মিশ্রণ দুটি সমান পরিমাণে মেশালে নতুন মিশ্রণে উপাদান দুটির অনুপাত কত হবে?
গল্প: দুটি শরবতের গ্লাসে সিরাপ ও জলের অনুপাত যথাক্রমে 5:4 এবং 3:2। দুটি গ্লাস থেকে সমান পরিমাণ শরবত নিয়ে একটি বড় পাত্রে ঢাললে, নতুন পাত্রে সিরাপ ও জলের অনুপাত কত হবে?
সমাধান:
ধরি, উভয় মিশ্রণ থেকে $1$ একক করে নেওয়া হলো।
প্রথম মিশ্রণ ($5:4$):
১ম উপাদান = $\frac{5}{9}$ অংশ, ২য় উপাদান = $\frac{4}{9}$ অংশ।
দ্বিতীয় মিশ্রণ ($3:2$):
১ম উপাদান = $\frac{3}{5}$ অংশ, ২য় উপাদান = $\frac{2}{5}$ অংশ।
নতুন মিশ্রণ:
মোট ১ম উপাদান = $\frac{5}{9} + \frac{3}{5} = \frac{25 + 27}{45} = \frac{52}{45}$ অংশ।
মোট ২য় উপাদান = $\frac{4}{9} + \frac{2}{5} = \frac{20 + 18}{45} = \frac{38}{45}$ অংশ।
নতুন অনুপাত = $\frac{52}{45} : \frac{38}{45} = 52 : 38 = 26 : 19$
উত্তর: নতুন মিশ্রণে উপাদান দুটির পরিমাণের অনুপাত 26:19।
(2) প্রথম মিশ্রণে অনুপাত 4:5 এবং দ্বিতীয় মিশ্রণে 5:1। কী অনুপাতে মেশালে নতুন মিশ্রণে অনুপাত 5:4 হবে?
গল্প: দুই প্রকার পিতলে তামা ও দস্তার অনুপাত যথাক্রমে 4:5 এবং 5:1। এই দুই প্রকার পিতল কী অনুপাতে মেশালে নতুন পিতলে তামা ও দস্তার অনুপাত 5:4 হবে?
সমাধান:
আমরা ১ম উপাদানের অংশ ধরে হিসাব করি।
১ম মিশ্রণে ১ম উপাদানের অংশ = $\frac{4}{9}$
২য় মিশ্রণে ১ম উপাদানের অংশ = $\frac{5}{6}$
নতুন মিশ্রণে ১ম উপাদানের অংশ = $\frac{5}{9}$
অ্যালিগেশন (Alligation) পদ্ধতি ব্যবহার করে পাই:
১ম মিশ্রণ : ২য় মিশ্রণ = $(\frac{5}{6} – \frac{5}{9}) : (\frac{5}{9} – \frac{4}{9})$
= $(\frac{15 – 10}{18}) : (\frac{1}{9})$
= $\frac{5}{18} : \frac{1}{9}$
= $\frac{5}{18} : \frac{2}{18}$
= $5 : 2$
উত্তর: মিশ্রণ দুটি 5:2 অনুপাতে মেশাতে হবে।
(3) প্রথম মিশ্রণে অনুপাত 3:4 এবং দ্বিতীয় মিশ্রণে 9:5। মিশ্রণ দুটি 1:2 অনুপাতে মেশালে নতুন অনুপাত কত হবে?
গল্প: দুই প্রকার স্টেনলেস স্টিলে ক্রোমিয়াম ও স্টিলের অনুপাত 3:4 এবং 9:5। প্রথম প্রকারের 1 কেজির সাথে দ্বিতীয় প্রকারের 2 কেজি মেশালে নতুন মিশ্রণে অনুপাত কত হবে?
সমাধান:
ধরি, ১ম মিশ্রণ নেওয়া হলো $1$ একক এবং ২য় মিশ্রণ নেওয়া হলো $2$ একক।
১ম মিশ্রণে ($3:4$):
১ম উপাদান = $1 \times \frac{3}{7} = \frac{3}{7}$
২য় উপাদান = $1 \times \frac{4}{7} = \frac{4}{7}$
২য় মিশ্রণে ($9:5$):
১ম উপাদান = $2 \times \frac{9}{14} = \frac{18}{14} = \frac{9}{7}$
২য় উপাদান = $2 \times \frac{5}{14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$
নতুন মিশ্রণ:
মোট ১ম উপাদান = $\frac{3}{7} + \frac{9}{7} = \frac{12}{7}$
মোট ২য় উপাদান = $\frac{4}{7} + \frac{5}{7} = \frac{9}{7}$
নতুন অনুপাত = $\frac{12}{7} : \frac{9}{7} = 12 : 9 = 4 : 3$
উত্তর: নতুন মিশ্রণে উপাদান দুটির পরিমাণের অনুপাত 4:3।
(4) প্রথম মিশ্রণে অনুপাত 2:3 এবং দ্বিতীয় মিশ্রণে 5:4। কী অনুপাতে মেশালে নতুন মিশ্রণে অনুপাত 1:1 হবে?
গল্প: দুই প্রকার শরবতে সিরাপ ও জলের অনুপাত 2:3 এবং 5:4। কী অনুপাতে মেশালে নতুন শরবতে সিরাপ ও জল সমান সমান হবে?
সমাধান:
১ম মিশ্রণে ১ম উপাদানের অংশ = $\frac{2}{5}$
২য় মিশ্রণে ১ম উপাদানের অংশ = $\frac{5}{9}$
নতুন মিশ্রণে ১ম উপাদানের অংশ = $\frac{1}{2}$
অ্যালিগেশন পদ্ধতি:
১ম মিশ্রণ : ২য় মিশ্রণ = $(\frac{5}{9} – \frac{1}{2}) : (\frac{1}{2} – \frac{2}{5})$
= $(\frac{10 – 9}{18}) : (\frac{5 – 4}{10})$
= $\frac{1}{18} : \frac{1}{10}$
= $10 : 18$
= $5 : 9$
উত্তর: মিশ্রণ দুটি 5:9 অনুপাতে মেশাতে হবে।
(5) প্রথম মিশ্রণে অনুপাত 4:3 এবং দ্বিতীয় মিশ্রণে 5:2। কী অনুপাতে মেশালে নতুন মিশ্রণে অনুপাত 9:5 হবে?
গল্প: দুই প্রকার সংকর ধাতুতে দস্তা ও তামার অনুপাত 4:3 এবং 5:2। কী অনুপাতে মেশালে নতুন ধাতুতে ওই অনুপাত 9:5 হবে?
সমাধান:
১ম মিশ্রণে ১ম উপাদানের অংশ = $\frac{4}{7}$
২য় মিশ্রণে ১ম উপাদানের অংশ = $\frac{5}{7}$
নতুন মিশ্রণে ১ম উপাদানের অংশ = $\frac{9}{14}$
অ্যালিগেশন পদ্ধতি:
১ম মিশ্রণ : ২য় মিশ্রণ = $(\frac{5}{7} – \frac{9}{14}) : (\frac{9}{14} – \frac{4}{7})$
= $(\frac{10 – 9}{14}) : (\frac{9 – 8}{14})$
= $\frac{1}{14} : \frac{1}{14}$
= $1 : 1$
উত্তর: মিশ্রণ দুটি 1:1 অনুপাতে (অর্থাৎ সমান পরিমাণে) মেশাতে হবে।
13. 700 লিটার একটি মিশ্রণে তিন ধরনের তরলের প্রথম ও দ্বিতীয় ধরনের পরিমাণের অনুপাত 2:3 এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় ধরনের পরিমাণের অনুপাত 4:5; ওই মিশ্রণে প্রথম ও দ্বিতীয় প্রকার তরল কত পরিমাণে মেশালে নতুন মিশ্রণে তিন প্রকার তরলের পরিমাণের অনুপাত 6:5:3 হবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
প্রদত্ত:
১ম প্রকার : ২য় প্রকার = $2 : 3$
২য় প্রকার : ৩য় প্রকার = $4 : 5$
ধারাবাহিক অনুপাত নির্ণয় করার জন্য ২য় প্রকার তরলের আনুপাতিক মান সমান করি:
১ম প্রকার : ২য় প্রকার = $(2 \times 4) : (3 \times 4) = 8 : 12$
২য় প্রকার : ৩য় প্রকার = $(4 \times 3) : (5 \times 3) = 12 : 15$
$\therefore$ ১ম প্রকার : ২য় প্রকার : ৩য় প্রকার = $8 : 12 : 15$
অনুপাতের পদের সমষ্টি = $8 + 12 + 15 = 35$
মোট মিশ্রণের পরিমাণ = $700$ লিটার।
১ম প্রকার তরলের পরিমাণ = $\frac{8}{35} \times 700 = 160$ লিটার।
২য় প্রকার তরলের পরিমাণ = $\frac{12}{35} \times 700 = 240$ লিটার।
৩য় প্রকার তরলের পরিমাণ = $\frac{15}{35} \times 700 = 300$ লিটার।
ধরি, আরও $x$ লিটার ১ম প্রকার এবং $y$ লিটার ২য় প্রকার তরল মেশানো হলো।
নতুন মিশ্রণে ১ম প্রকার তরল = $(160 + x)$ লিটার।
নতুন মিশ্রণে ২য় প্রকার তরল = $(240 + y)$ লিটার।
৩য় প্রকার তরল অপরিবর্তিত থাকবে = $300$ লিটার।
প্রশ্নানুসারে, নতুন অনুপাত = $6 : 5 : 3$
যেহেতু ৩য় প্রকার তরলের পরিমাণ $300$ লিটার এবং এর আনুপাতিক একক $3$, তাই:
$\frac{160+x}{6} = \frac{240+y}{5} = \frac{300}{3}$
এখান থেকে পাই,
$\frac{300}{3} = 100$
$\therefore 160 + x = 6 \times 100 \Rightarrow x = 600 – 160 = 440$
$\therefore 240 + y = 5 \times 100 \Rightarrow y = 500 – 240 = 260$
উত্তর: প্রথম প্রকার তরল 440 লিটার এবং দ্বিতীয় প্রকার তরল 260 লিটার মেশাতে হবে।
14. এক প্রকার সিরাপে জল এবং অবশিষ্টাংশের পরিমাণের অনুপাত 89:11; এইরূপ 22 লিটার সিরাপে আর কত লিটার জল মেশালে জল ও অবশিষ্টাংশের পরিমাণের অনুপাত 90:10 হবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
মোট সিরাপ = $22$ লিটার।
জল : অবশিষ্টাংশ = $89 : 11$
অনুপাতের পদের সমষ্টি = $89 + 11 = 100$
জলের পরিমাণ = $\frac{89}{100} \times 22$ লিটার = $19.58$ লিটার।
অবশিষ্টাংশের পরিমাণ = $\frac{11}{100} \times 22$ লিটার = $2.42$ লিটার।
ধরি, আরও $x$ লিটার জল মেশানো হলো।
নতুন জলের পরিমাণ = $(19.58 + x)$ লিটার।
অবশিষ্টাংশের পরিমাণ অপরিবর্তিত থাকবে, অর্থাৎ $2.42$ লিটার।
প্রশ্নানুসারে, নতুন অনুপাত = $90 : 10 = 9 : 1$
$\therefore \frac{19.58 + x}{2.42} = \frac{9}{1}$
বা, $19.58 + x = 9 \times 2.42$
বা, $19.58 + x = 21.78$
বা, $x = 21.78 – 19.58 = 2.2$
উত্তর: আরও 2.2 লিটার জল মেশাতে হবে।
15. তিনটি বোতলের আয়তনের পরিমাণের অনুপাত 5:3:2 এবং বোতল তিনটি ফিনাইল ও জলের মিশ্রণে পূর্ণ আছে। বোতল তিনটিতে ফিনাইল ও জলের পরিমাণের অনুপাত যথাক্রমে 2:3, 1:2 এবং 1:3; প্রথম বোতলের $\frac{1}{3}$ অংশ, দ্বিতীয় বোতলের $\frac{1}{2}$ অংশ এবং তৃতীয় বোতলের $\frac{2}{3}$ অংশ মিশ্রণ একত্রে মেশানো হলো। নতুন মিশ্রণে ফিনাইল ও জলের পরিমাণের অনুপাত কত হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, তিনটি বোতলের আয়তন যথাক্রমে $5x, 3x$ এবং $2x$ একক।
১ম বোতল থেকে নেওয়া হলো:
মিশ্রণের পরিমাণ = $\frac{1}{3} \times 5x = \frac{5x}{3}$ একক।
ফিনাইল : জল = $2 : 3$ (সমষ্টি $5$)
ফিনাইল = $\frac{2}{5} \times \frac{5x}{3} = \frac{2x}{3}$ একক।
জল = $\frac{3}{5} \times \frac{5x}{3} = x$ একক।
২য় বোতল থেকে নেওয়া হলো:
মিশ্রণের পরিমাণ = $\frac{1}{2} \times 3x = \frac{3x}{2}$ একক।
ফিনাইল : জল = $1 : 2$ (সমষ্টি $3$)
ফিনাইল = $\frac{1}{3} \times \frac{3x}{2} = \frac{x}{2}$ একক।
জল = $\frac{2}{3} \times \frac{3x}{2} = x$ একক।
৩য় বোতল থেকে নেওয়া হলো:
মিশ্রণের পরিমাণ = $\frac{2}{3} \times 2x = \frac{4x}{3}$ একক।
ফিনাইল : জল = $1 : 3$ (সমষ্টি $4$)
ফিনাইল = $\frac{1}{4} \times \frac{4x}{3} = \frac{x}{3}$ একক।
জল = $\frac{3}{4} \times \frac{4x}{3} = x$ একক।
নতুন মিশ্রণে মোট পরিমাণ:
মোট ফিনাইল = $\frac{2x}{3} + \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = \frac{4x + 3x + 2x}{6} = \frac{9x}{6} = \frac{3x}{2}$ একক।
মোট জল = $x + x + x = 3x$ একক।
ফিনাইল ও জলের অনুপাত = $\frac{3x}{2} : 3x$
= $\frac{3}{2} : 3$
= $1 : 2$
উত্তর: নতুন মিশ্রণে ফিনাইল ও জলের পরিমাণের অনুপাত হবে 1:2।
শেয়ার