অষ্টম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি – 13.1 উৎপাদকে বিশ্লেষণ

সমাধান:

ধরি, $a+b = x$

প্রদত্ত রাশিমালা $= x^2-5x-6$

$= x^2-(6-1)x-6$

$= x^2-6x+x-6$

$= x(x-6)+1(x-6)$

$= (x-6)(x+1)$

এখন $x$-এর মান বসিয়ে পাই,

$= (a+b-6)(a+b+1)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(a+b-6)(a+b+1)$

সমাধান:

ধরি, $x^2-2x = p$

প্রদত্ত রাশিমালা $= p^2+5p-36$

$= p^2+(9-4)p-36$

$= p^2+9p-4p-36$

$= p(p+9)-4(p+9)$

$= (p+9)(p-4)$

এখন $p$-এর মান বসিয়ে পাই,

$= (x^2-2x+9)(x^2-2x-4)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x^2-2x+9)(x^2-2x-4)$

সমাধান:

(দ্রষ্টব্য: সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণের জন্য প্রশ্নে -63 এর পরিবর্তে +63 ধরে সমাধান করা হলো)

ধরি, $p^2-3q^2 = x$

প্রদত্ত রাশিমালা $= x^2-16x+63$

$= x^2-(9+7)x+63$

$= x^2-9x-7x+63$

$= x(x-9)-7(x-9)$

$= (x-9)(x-7)$

এখন $x$-এর মান বসিয়ে পাই,

$= (p^2-3q^2-9)(p^2-3q^2-7)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(p^2-3q^2-9)(p^2-3q^2-7)$

সমাধান:

ধরি, $a^2 = x$

প্রদত্ত রাশিমালা $= x^2+4x-5$

$= x^2+(5-1)x-5$

$= x^2+5x-x-5$

$= x(x+5)-1(x+5)$

$= (x+5)(x-1)$

এখন $x$-এর মান বসিয়ে পাই,

$= (a^2+5)(a^2-1)$

$= (a^2+5)\{(a)^2-(1)^2\}$

$= (a^2+5)(a+1)(a-1)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(a^2+5)(a+1)(a-1)$

সমাধান:

ধরি, $xy = p$

প্রদত্ত রাশিমালা $= p^2+23p-420$

$= p^2+(35-12)p-420$

$= p^2+35p-12p-420$

$= p(p+35)-12(p+35)$

$= (p+35)(p-12)$

এখন $p$-এর মান বসিয়ে পাই,

$= (xy+35)(xy-12)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(xy+35)(xy-12)$

সমাধান:

ধরি, $x^2 = a$

প্রদত্ত রাশিমালা $= a^2 – 7a + 12$

$= a^2 – (4 + 3)a + 12$

$= a^2 – 4a – 3a + 12$

$= a(a – 4) – 3(a – 4)$

$= (a – 4)(a – 3)$

এখন $a$-এর মান বসিয়ে পাই,

$= (x^2 – 4)(x^2 – 3)$

$= (x^2 – 2^2)(x^2 – 3)$

$= (x + 2)(x – 2)(x^2 – 3)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x + 2)(x – 2)(x^2 – 3)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= a^2 + (4 – 3)ab – 12b^2$

$= a^2 + 4ab – 3ab – 12b^2$

$= a(a + 4b) – 3b(a + 4b)$

$= (a + 4b)(a – 3b)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(a + 4b)(a – 3b)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= p^2 + (27 + 4)pq + 108q^2$

$= p^2 + 27pq + 4pq + 108q^2$

$= p(p + 27q) + 4q(p + 27q)$

$= (p + 27q)(p + 4q)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(p + 27q)(p + 4q)$

সমাধান:

ধরি, $a^3 = x$ এবং $b^3 = y$

প্রদত্ত রাশিমালা $= x^2 + 3xy – 40y^2$

$= x^2 + (8 – 5)xy – 40y^2$

$= x^2 + 8xy – 5xy – 40y^2$

$= x(x + 8y) – 5y(x + 8y)$

$= (x + 8y)(x – 5y)$

মান বসিয়ে পাই,

$= (a^3 + 8b^3)(a^3 – 5b^3)$

$= \{(a)^3 + (2b)^3\}(a^3 – 5b^3)$

$= (a + 2b)(a^2 – 2ab + 4b^2)(a^3 – 5b^3)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(a + 2b)(a^2 – 2ab + 4b^2)(a^3 – 5b^3)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা
$= \{(x+1)(x-4)\}\{(x+3)(x-6)\} + 24$

$= (x^2 – 4x + x – 4)(x^2 – 6x + 3x – 18) + 24$

$= (x^2 – 3x – 4)(x^2 – 3x – 18) + 24$

ধরি, $x^2 – 3x = a$

$= (a – 4)(a – 18) + 24$

$= a^2 – 18a – 4a + 72 + 24$

$= a^2 – 22a + 96$

$= a^2 – (16 + 6)a + 96$

$= a^2 – 16a – 6a + 96$

$= a(a – 16) – 6(a – 16)$

$= (a – 16)(a – 6)$

এখন $a$-এর মান বসিয়ে পাই,

$= (x^2 – 3x – 16)(x^2 – 3x – 6)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x^2 – 3x – 16)(x^2 – 3x – 6)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা
$= (x+1)(x+9)(x+5)(x+5)+63$

$= \{(x+1)(x+9)\}\{(x+5)(x+5)\}+63$

$= (x^2+9x+x+9)(x^2+5x+5x+25)+63$

$= (x^2+10x+9)(x^2+10x+25)+63$

ধরি, $x^2+10x = a$

$= (a+9)(a+25)+63$

$= a^2+25a+9a+225+63$

$= a^2+34a+288$

$= a^2+(18+16)a+288$

$= a^2+18a+16a+288$

$= a(a+18)+16(a+18)$

$= (a+18)(a+16)$

এখন $a$-এর মান বসিয়ে পাই,

$= (x^2+10x+18)(x^2+10x+16)$

$= (x^2+10x+18)(x^2+8x+2x+16)$ [দ্বিতীয় অংশকে আবার উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়]

$= (x^2+10x+18)\{x(x+8)+2(x+8)\}$

$= (x^2+10x+18)(x+8)(x+2)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x+2)(x+8)(x^2+10x+18)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা
$= \{x(x+9)\}\{(x+3)(x+6)\}+56$

$= (x^2+9x)(x^2+6x+3x+18)+56$

$= (x^2+9x)(x^2+9x+18)+56$

ধরি, $x^2+9x = p$

$= p(p+18)+56$

$= p^2+18p+56$

$= p^2+(14+4)p+56$

$= p^2+14p+4p+56$

$= p(p+14)+4(p+14)$

$= (p+14)(p+4)$

এখন $p$-এর মান বসিয়ে পাই,

$= (x^2+9x+14)(x^2+9x+4)$

$= (x^2+7x+2x+14)(x^2+9x+4)$ [প্রথম অংশকে আবার উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়]

$= \{x(x+7)+2(x+7)\}(x^2+9x+4)$

$= (x+7)(x+2)(x^2+9x+4)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x+2)(x+7)(x^2+9x+4)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা
$= x^2-\{(a+b)+(a-b)\}x+(a+b)(a-b)$
[কারণ $(a+b)+(a-b) = 2a$]

$= x^2-(a+b)x-(a-b)x+(a+b)(a-b)$

$= x\{x-(a+b)\}-(a-b)\{x-(a+b)\}$

$= \{x-(a+b)\}\{x-(a-b)\}$

$= (x-a-b)(x-a+b)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x-a-b)(x-a+b)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা
$= x^2+\{(a+2b)-(a+3b)\}x-(a+3b)(a+2b)$
[কারণ $(a+2b)-(a+3b) = -b$]

$= x^2+(a+2b)x-(a+3b)x-(a+3b)(a+2b)$

$= x\{x+(a+2b)\}-(a+3b)\{x+(a+2b)\}$

$= \{x+(a+2b)\}\{x-(a+3b)\}$

$= (x+a+2b)(x-a-3b)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x+a+2b)(x-a-3b)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা
$= (a+b)^2-5(a+b)+6$

ধরি, $a+b = x$

$= x^2-5x+6$

$= x^2-(3+2)x+6$

$= x^2-3x-2x+6$

$= x(x-3)-2(x-3)$

$= (x-3)(x-2)$

এখন $x$-এর মান বসিয়ে পাই,

$= (a+b-3)(a+b-2)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(a+b-3)(a+b-2)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা
$= x^2+4abx-\{(a+b)(a-b)\}^2$

$= x^2+4abx-(a+b)^2(a-b)^2$

আমরা জানি, $(a+b)^2-(a-b)^2 = 4ab$

সুতরাং, মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই,

$= x^2+\{(a+b)^2-(a-b)^2\}x-(a+b)^2(a-b)^2$

$= x^2+(a+b)^2x-(a-b)^2x-(a+b)^2(a-b)^2$

$= x\{x+(a+b)^2\}-(a-b)^2\{x+(a+b)^2\}$

$= \{x+(a+b)^2\}\{x-(a-b)^2\}$

$= (x+a^2+2ab+b^2)(x-(a^2-2ab+b^2))$

$= (x+a^2+2ab+b^2)(x-a^2+2ab-b^2)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x+a^2+2ab+b^2)(x-a^2+2ab-b^2)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= x^2-(a+\frac{1}{a})x+1$

$= x^2-ax-\frac{1}{a}x+1$

$= x(x-a)-\frac{1}{a}(x-a)$
[কারণ $-\frac{1}{a} \times (-a) = +1$]

$= (x-a)(x-\frac{1}{a})$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x-a)(x-\frac{1}{a})$

সমাধান:

ধরি, $x^3y^3 = a$

প্রদত্ত রাশিমালা $= a^2-9a+8$

$= a^2-(8+1)a+8$

$= a^2-8a-a+8$

$= a(a-8)-1(a-8)$

$= (a-8)(a-1)$

এখন $a$-এর মান বসিয়ে পাই,

$= (x^3y^3-8)(x^3y^3-1)$

$= \{(xy)^3-2^3\}\{(xy)^3-1^3\}$

$= (xy-2)\{(xy)^2+xy \cdot 2+2^2\}(xy-1)\{(xy)^2+xy \cdot 1+1^2\}$

$= (xy-2)(x^2y^2+2xy+4)(xy-1)(x^2y^2+xy+1)$

$= (xy-1)(xy-2)(x^2y^2+xy+1)(x^2y^2+2xy+4)$ [সাজিয়ে লিখে]

নির্ণেয় উৎপাদক: $(xy-1)(xy-2)(x^2y^2+xy+1)(x^2y^2+2xy+4)$