অষ্টম শ্রেণী গণিত: ঘনফল নির্ণয়, কষে দেখি – 5.2

সমাধান:

ঘনকের আয়তন = $(\text{বাহু})^3$

$= (p^2 + q^2)^3$

আমরা জানি, $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

এখানে $a = p^2$ এবং $b = q^2$।

$= (p^2)^3 + 3(p^2)^2(q^2) + 3(p^2)(q^2)^2 + (q^2)^3$

$= p^6 + 3p^4q^2 + 3p^2q^4 + q^6$

উত্তর: আয়তন $= p^6 + 3p^4q^2 + 3p^2q^4 + q^6$ ঘন একক।

সমাধান:

আয়তন = $(\frac{x}{3} + \frac{4}{y})^3$

$= (\frac{x}{3})^3 + 3(\frac{x}{3})^2(\frac{4}{y}) + 3(\frac{x}{3})(\frac{4}{y})^2 + (\frac{4}{y})^3$

$= \frac{x^3}{27} + 3 \cdot \frac{x^2}{9} \cdot \frac{4}{y} + 3 \cdot \frac{x}{3} \cdot \frac{16}{y^2} + \frac{64}{y^3}$

$= \frac{x^3}{27} + \frac{4x^2}{3y} + \frac{16x}{y^2} + \frac{64}{y^3}$

উত্তর: আয়তন $= \frac{x^3}{27} + \frac{4x^2}{3y} + \frac{16x}{y^2} + \frac{64}{y^3}$ ঘন একক।

সমাধান:

আয়তন = $(x^2y – z^2)^3$

আমরা জানি, $(a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3$

এখানে $a = x^2y$ এবং $b = z^2$।

$= (x^2y)^3 – 3(x^2y)^2(z^2) + 3(x^2y)(z^2)^2 – (z^2)^3$

$= x^6y^3 – 3x^4y^2z^2 + 3x^2yz^4 – z^6$

উত্তর: আয়তন $= x^6y^3 – 3x^4y^2z^2 + 3x^2yz^4 – z^6$ ঘন একক।

সমাধান:

আয়তন = $(l + b – 2c)^3$

ধরি, $A = l+b$ এবং $B = 2c$। তাহলে রাশিটি দাঁড়ায় $(A-B)^3$।

$= (l+b)^3 – 3(l+b)^2(2c) + 3(l+b)(2c)^2 – (2c)^3$

$= (l^3 + 3l^2b + 3lb^2 + b^3) – 6c(l^2 + 2lb + b^2) + 12c^2(l+b) – 8c^3$

$= l^3 + 3l^2b + 3lb^2 + b^3 – 6cl^2 – 12clb – 6cb^2 + 12c^2l + 12c^2b – 8c^3$

সাজিয়ে লিখে পাই:

$= l^3 + b^3 – 8c^3 + 3l^2b + 3lb^2 – 6cl^2 – 6cb^2 – 12clb + 12c^2l + 12c^2b$

উত্তর: আয়তন $= l^3 + b^3 – 8c^3 + 3l^2b + 3lb^2 – 6l^2c – 6b^2c + 12lc^2 + 12bc^2 – 12lbc$ ঘন একক।

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি: $(2.89)^3 + (2.11)^3 + 15 \times 2.89 \times 2.11$

লক্ষ্য করি, $2.89 + 2.11 = 5.00 = 5$

সুতরাং, $15 = 3 \times 5 = 3 \times (2.89 + 2.11)$

তাহলে রাশিটিকে লেখা যায়:

$(2.89)^3 + (2.11)^3 + 3 \times 2.89 \times 2.11 \times (2.89 + 2.11)$

এটি $a^3 + b^3 + 3ab(a+b) = (a+b)^3$ সূত্রের আকারে আছে।

সুতরাং, আয়তন = $(2.89 + 2.11)^3 = (5)^3$

যেহেতু আয়তন = $(\text{বাহু})^3$, তাই বাহুর দৈর্ঘ্য = $5$

উত্তর: বাহুর দৈর্ঘ্য = 5 একক।

সমাধান:

ধরি, $a = 2m+3n$ এবং $b = 2m-3n$

তাহলে, $a+b = (2m+3n) + (2m-3n) = 4m$

এবং $ab = (2m+3n)(2m-3n) = (2m)^2 – (3n)^2 = 4m^2 – 9n^2$

প্রদত্ত রাশিমালা:

$a^3 + b^3 + 3 \times 4m \times (4m^2-9n^2)$ [কারণ $12m = 3 \times 4m$]

$= a^3 + b^3 + 3(a+b)ab$

$= (a+b)^3$

$= (4m)^3$

সুতরাং, বাহুর দৈর্ঘ্য = $4m$

উত্তর: বাহুর দৈর্ঘ্য = $4m$ একক।

সমাধান:

ধরি, $x = a+b$ এবং $y = a-b$

তাহলে, $x-y = (a+b) – (a-b) = 2b$

এবং $xy = a^2 – b^2$

প্রদত্ত রাশিমালা:

$x^3 – y^3 – 3 \times 2b \times (a^2-b^2)$ [কারণ $6b = 3 \times 2b$]

$= x^3 – y^3 – 3(x-y)xy$

$= (x-y)^3$

$= (2b)^3$

সুতরাং, বাহুর দৈর্ঘ্য = $2b$

উত্তর: বাহুর দৈর্ঘ্য = $2b$ একক।

সমাধান:

আয়তন = $(2x – 3y – 4z)^3$

ধরি, $a = 2x – 3y$। তাহলে রাশিটি হয় $(a – 4z)^3$

$= a^3 – 3a^2(4z) + 3a(4z)^2 – (4z)^3$

$= (2x-3y)^3 – 12z(2x-3y)^2 + 48z^2(2x-3y) – 64z^3$

এখন $(2x-3y)^3$ কে বিস্তৃত করি:

$= (8x^3 – 36x^2y + 54xy^2 – 27y^3) – 12z(4x^2 – 12xy + 9y^2) + (96xz^2 – 144yz^2) – 64z^3$

$= 8x^3 – 27y^3 – 64z^3 – 36x^2y + 54xy^2 – 48x^2z + 144xyz – 108y^2z + 96xz^2 – 144yz^2$

উত্তর: আয়তন $= 8x^3 – 27y^3 – 64z^3 – 36x^2y + 54xy^2 – 48x^2z + 144xyz – 108y^2z + 96xz^2 – 144yz^2$ ঘন একক।

সমাধান:

রাশিটিকে পূর্ণঘন আকারে সাজাই:

$= (x^2)^3 – 3 \cdot (x^2)^2 \cdot 5 + 3 \cdot (x^2) \cdot 5^2 – 5^3$

[যাচাই: $3 \times 5 = 15$ এবং $3 \times 25 = 75$]

$= (x^2 – 5)^3$

সুতরাং, বাহুর দৈর্ঘ্য = $x^2 – 5$

উত্তর: বাহুর দৈর্ঘ্য = $x^2 – 5$ একক।

সমাধান:

রাশিটিকে সাজিয়ে পাই:

$= 10^3 + 3 \cdot 10 \cdot x (10+x) + x^3$ [কারণ $30x = 3 \times 10 \times x$]

আমরা জানি, $a^3 + b^3 + 3ab(a+b) = (a+b)^3$

এখানে $a = 10$ এবং $b = x$।

$= (10 + x)^3$

সুতরাং, বাহুর দৈর্ঘ্য = $10 + x$

উত্তর: বাহুর দৈর্ঘ্য = $10 + x$ একক।

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= x^3 – y^3 – 6xy$

আমরা জানি, $a^3 – b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$

$= (x-y)^3 + 3xy(x-y) – 6xy$

$x-y$-এর মান $2$ বসিয়ে পাই:

$= (2)^3 + 3xy(2) – 6xy$

$= 8 + 6xy – 6xy$

$= 8$

উত্তর: নির্ণেয় মান 8

সমাধান:

বামপক্ষ (L.H.S.) $= a^3 + b^3 – ab$

$= (a+b)^3 – 3ab(a+b) – ab$ [সূত্র প্রয়োগ করে]

$a+b$-এর মান $-\frac{1}{3}$ বসিয়ে পাই:

$= \left(-\frac{1}{3}\right)^3 – 3ab\left(-\frac{1}{3}\right) – ab$

$= -\frac{1}{27} + ab – ab$ [ঋণাত্মক ও ঋণাত্মক গুণ করে ধনাত্মক]

$= -\frac{1}{27}$

= ডানপক্ষ (R.H.S.)

(প্রমাণিত)

সমাধান:

প্রদত্ত, $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2$

বা, $\frac{y+x}{xy} = 2$

বা, $\frac{2}{xy} = 2$ [$x+y=2$ বসিয়ে]

বা, $2xy = 2$

বা, $xy = 1$

এখন, $x^3 + y^3$

$= (x+y)^3 – 3xy(x+y)$

$= (2)^3 – 3(1)(2)$ [মান বসিয়ে]

$= 8 – 6$

$= 2$

উত্তর: নির্ণেয় মান 2

সমাধান:

প্রদত্ত, $\frac{x^2}{x} – \frac{1}{x} = 2$

বা, $x – \frac{1}{x} = 2$

এখন, প্রদত্ত রাশি $= \frac{x^6 – 1}{x^3}$

$= \frac{x^6}{x^3} – \frac{1}{x^3}$

$= x^3 – \frac{1}{x^3}$

$= \left(x – \frac{1}{x}\right)^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \left(x – \frac{1}{x}\right)$

$= (2)^3 + 3(1)(2)$ [মান বসিয়ে]

$= 8 + 6$

$= 14$

উত্তর: নির্ণেয় মান 14

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= x^3 + \frac{1}{x^3}$

$= \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 – 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \left(x + \frac{1}{x}\right)$

$= (5)^3 – 3(1)(5)$ [মান বসিয়ে]

$= 125 – 15$

$= 110$

উত্তর: নির্ণেয় মান 110

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= x^3 – y^3 – z^3 – 3xyz$

$x$-এর পরিবর্তে $(y+z)$ বসিয়ে পাই:

$= (y+z)^3 – y^3 – z^3 – 3(y+z)yz$

$= (y^3 + z^3 + 3yz(y+z)) – y^3 – z^3 – 3yz(y+z)$

$= y^3 + z^3 + 3y^2z + 3yz^2 – y^3 – z^3 – 3y^2z – 3yz^2$

$= 0$ [সব পদ কেটে যাবে]

উত্তর: নির্ণেয় মান 0

সমাধান:

প্রদত্ত, $xy(x+y) = m$

বা, $x+y = \frac{m}{xy}$ ……(i)

বামপক্ষ (L.H.S.) $= x^3 + y^3 + 3m$

$= (x+y)^3 – 3xy(x+y) + 3m$

$= (x+y)^3 – 3m + 3m$ [যেহেতু $xy(x+y) = m$]

$= (x+y)^3$

$= \left(\frac{m}{xy}\right)^3$ [(i) নং থেকে মান বসিয়ে]

$= \frac{m^3}{x^3y^3}$

= ডানপক্ষ (R.H.S.)

(প্রমাণিত)

সমাধান:

প্রদত্ত, $2x + \frac{1}{3x} = 4$

উভয়পক্ষকে $\frac{3}{2}$ দিয়ে গুণ করে পাই:

$\frac{3}{2}(2x) + \frac{3}{2}\left(\frac{1}{3x}\right) = 4 \times \frac{3}{2}$

বা, $3x + \frac{1}{2x} = 6$

বামপক্ষ (L.H.S.) $= 27x^3 + \frac{1}{8x^3}$

$= (3x)^3 + \left(\frac{1}{2x}\right)^3$

$= \left(3x + \frac{1}{2x}\right)^3 – 3 \cdot 3x \cdot \frac{1}{2x} \left(3x + \frac{1}{2x}\right)$

$= (6)^3 – 3 \cdot \frac{3}{2} \cdot 6$ [মান বসিয়ে]

$= 216 – 3 \cdot 3 \cdot 3$

$= 216 – 27$

$= 189$

= ডানপক্ষ (R.H.S.)

(প্রমাণিত)

সমাধান:

প্রদত্ত, $2a – \frac{2}{a} = -1$

বা, $2(a – \frac{1}{a}) = -1$

বা, $a – \frac{1}{a} = -\frac{1}{2}$

এখন, $a^3 – \frac{1}{a^3} + 2$

$= \left(a – \frac{1}{a}\right)^3 + 3 \cdot a \cdot \frac{1}{a} \left(a – \frac{1}{a}\right) + 2$

$= \left(-\frac{1}{2}\right)^3 + 3(1)\left(-\frac{1}{2}\right) + 2$

$= -\frac{1}{8} – \frac{3}{2} + 2$

$= \frac{-1 – 12 + 16}{8}$

$= \frac{3}{8}$

উত্তর: নির্ণেয় মান $\frac{3}{8}$

সমাধান:

আমরা জানি,

$a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca)$

যেহেতু $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$, তাই $a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = 0$

সুতরাং,

$(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca) = 0$

এখানে দুটি রাশির গুণফল শূন্য।

যেহেতু $a \neq b \neq c$, তাই $(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca) \neq 0$

[কারণ $2(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca) = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2$, যা কেবল $a=b=c$ হলেই শূন্য হয়]

অতএব, $a + b + c = 0$

উত্তর: নির্ণেয় মান 0

সমাধান:

প্রথমে $m^2+n^2$-এর মান বের করি:

$m^2+n^2 = (m+n)^2 – 2mn$

$= (5)^2 – 2(6) = 25 – 12 = 13$

এরপর $m^3+n^3$-এর মান বের করি:

$m^3+n^3 = (m+n)^3 – 3mn(m+n)$

$= (5)^3 – 3(6)(5)$

$= 125 – 90 = 35$

এখন, প্রদত্ত রাশি $= (m^2+n^2)(m^3+n^3)$

$= 13 \times 35$

$= 455$

উত্তর: নির্ণেয় মান 455