অষ্টম শ্রেণী গণিত: বিপ্রতীপ কোণের ধারণা কষে দেখি – 7.1
অধ্যায় ৭: বিপ্রতীপ কোণের ধারণা (কষে দেখি – 7.1)
1. দুটি সরলরেখা PQ ও RS পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করলে যে বিপ্রতীপ কোণগুলি তৈরি হয় তাদের আঁকি ও নাম লিখি।
সমাধান:
দুটি সরলরেখা $PQ$ ও $RS$ পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করলে দুই জোড়া বিপ্রতীপ কোণ উৎপন্ন হয়।
১. $\angle POR$ এবং $\angle QOS$ (এরা পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ)
২. $\angle POS$ এবং $\angle ROQ$ (এরা পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ)
[চিত্র: দুটি সরলরেখা আড়াআড়িভাবে ছেদ করেছে, ছেদবিন্দু O। উপরের ও নীচের কোণ এক জোড়া এবং বাম ও ডানের কোণ আরেক জোড়া বিপ্রতীপ কোণ।]
2. ছবি দেখি ও কোণগুলির মান লেখার চেষ্টা করি:
(a) সমাধান:
প্রদত্ত চিত্রে, $\angle 1 = 35^{\circ}$।
আমরা জানি, বিপ্রতীপ কোণগুলি পরস্পর সমান হয় এবং একটি সরলরেখার ওপর দণ্ডায়মান কোণগুলির সমষ্টি $180^{\circ}$ হয়।
- $\angle 3$ হলো $\angle 1$-এর বিপ্রতীপ কোণ।
$\therefore \angle 3 = \angle 1 = 35^{\circ}$ - $\angle 1$ ও $\angle 2$ পরস্পর সন্নিহিত কোণ এবং রৈখিক যুগল গঠন করে।
$\therefore \angle 2 = 180^{\circ} – 35^{\circ} = 145^{\circ}$ - $\angle 4$ হলো $\angle 2$-এর বিপ্রতীপ কোণ।
$\therefore \angle 4 = \angle 2 = 145^{\circ}$
উত্তর: $\angle 2 = 145^{\circ}, \angle 3 = 35^{\circ}, \angle 4 = 145^{\circ}$
(b) সমাধান:
প্রদত্ত চিত্রে, $\angle TOS = 20^{\circ}$ এবং $\angle ROQ = 60^{\circ}$।
- $\angle POS$ এবং $\angle ROQ$ পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ।
$\therefore \angle POS = \angle ROQ = 60^{\circ}$ - এখন, $\angle POS = \angle POT + \angle TOS$
বা, $60^{\circ} = \angle POT + 20^{\circ}$
বা, $\angle POT = 60^{\circ} – 20^{\circ} = 40^{\circ}$ - $\angle ROP$ এবং $\angle ROQ$ রৈখিক যুগল (সরলরেখা $PQ$-এর ওপর অবস্থিত)।
$\therefore \angle ROP = 180^{\circ} – 60^{\circ} = 120^{\circ}$ - $\angle QOS$ এবং $\angle ROP$ পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ।
$\therefore \angle QOS = 120^{\circ}$
উত্তর: $\angle POT = 40^{\circ}, \angle ROP = 120^{\circ}, \angle QOS = 120^{\circ}$
3. তীর্থ PQ ও XY দুটি সরলরেখা আঁকল যারা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। আমি চাঁদার সাহায্যে বিপ্রতীপ কোণগুলি মেপে দেখি।
সমাধান:
এটি একটি ব্যবহারিক কাজ। তবে জ্যামিতিক নিয়ম অনুসারে, দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে যে বিপ্রতীপ কোণগুলি উৎপন্ন হয়, তাদের মান সর্বদা সমান হয়।
অর্থাৎ, $\angle POX = \angle QOY$ এবং $\angle POY = \angle QOX$ হবে।
সিদ্ধান্ত: বিপ্রতীপ কোণগুলির পরিমাপ সমান।
4. পাশের ছবি দেখি ও নীচের প্রশ্নের উত্তর খোঁজার চেষ্টা করি:
সমাধান:
চিত্র থেকে লক্ষ্য করি যে, সরলরেখা $AB$ এবং সরলরেখা $CD$ পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে (যেখানে $CD$ সরলরেখাটি $AB$-এর ওপর লম্বভাবে অবস্থিত বলে মনে হচ্ছে, অর্থাৎ $\angle AOC = \angle BOC = 90^{\circ}$)।
(i) দুটি কোণের নাম লিখি যারা পরস্পর পূরক কোণ:
পূরক কোণ হতে হলে দুটি কোণের সমষ্টি $90^{\circ}$ হতে হয়।
চিত্রে, $\angle AOM$ এবং $\angle COM$ মিলে $\angle AOC$ গঠন করেছে। যদি $\angle AOC = 90^{\circ}$ হয়, তবে:
উত্তর: $\angle AOM$ ও $\angle COM$
(ii) দুটি কোণের নাম লিখি যারা পরস্পর সম্পূরক কোণ:
সম্পূরক কোণ হতে হলে দুটি কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$ হতে হয়।
উত্তর: $\angle AOC$ ও $\angle BOC$ (অথবা $\angle AOD$ ও $\angle BOD$)
(iii) দুটি কোণের নাম লিখি যারা পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ:
দুটি সরলরেখা ছেদ করলে বিপরীত দিকের কোণগুলো বিপ্রতীপ কোণ হয়।
উত্তর: $\angle AOC$ ও $\angle BOD$ (অথবা $\angle AOD$ ও $\angle BOC$)
5. দুটি সরলরেখা কোনো বিন্দুতে ছেদ করলে বিপ্রতীপ কোণগুলির পরিমাপ সমান হবে যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি।
প্রদত্ত: ধরি, $AB$ ও $CD$ দুটি সরলরেখা পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। এর ফলে দুই জোড়া বিপ্রতীপ কোণ উৎপন্ন হয়েছে: ($\angle AOC, \angle BOD$) এবং ($\angle AOD, \angle BOC$)।
প্রামাণ্য বিষয়: প্রমাণ করতে হবে যে, (i) $\angle AOC = \angle BOD$ এবং (ii) $\angle AOD = \angle BOC$।
প্রমাণ:
$CD$ সরলরেখার ওপর $OA$ রশ্মি দণ্ডায়মান।
$\therefore \angle AOC + \angle AOD = 180^{\circ}$ …..(i) [রৈখিক যুগল]
আবার, $AB$ সরলরেখার ওপর $OD$ রশ্মি দণ্ডায়মান।
$\therefore \angle AOD + \angle BOD = 180^{\circ}$ …..(ii) [রৈখিক যুগল]
(i) ও (ii) থেকে পাই,
$\angle AOC + \angle AOD = \angle AOD + \angle BOD$
উভয়পক্ষ থেকে $\angle AOD$ বিয়োগ করে পাই,
$\therefore \angle AOC = \angle BOD$ (প্রমাণিত)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়, $\angle AOD = \angle BOC$।
(প্রমাণিত)
6. প্রদত্ত ছবি থেকে $\angle BOD, \angle BOC$ এবং $\angle AOC$ এর পরিমাপ লিখি। (চিত্রে $\angle AOD = 120^{\circ}$ দেওয়া আছে)
সমাধান:
চিত্রানুযায়ী, $AB$ ও $CD$ সরলরেখা পরস্পর ছেদ করেছে এবং $\angle AOD = 120^{\circ}$।
- $\angle BOC$ এবং $\angle AOD$ পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ।
$\therefore \angle BOC = \angle AOD = 120^{\circ}$ - $\angle AOD$ এবং $\angle BOD$ একই সরলরেখার ওপর অবস্থিত (রৈখিক যুগল)।
$\therefore \angle AOD + \angle BOD = 180^{\circ}$
বা, $120^{\circ} + \angle BOD = 180^{\circ}$
বা, $\angle BOD = 180^{\circ} – 120^{\circ} = 60^{\circ}$ - $\angle AOC$ এবং $\angle BOD$ পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ।
$\therefore \angle AOC = \angle BOD = 60^{\circ}$
উত্তর: $\angle BOD = 60^{\circ}, \angle BOC = 120^{\circ}, \angle AOC = 60^{\circ}$
7. $\angle POR$ ও $\angle QOS$-এর সমষ্টি $110^{\circ}$। $\angle POS, \angle QOS, \angle QOR$ ও $\angle POR$-এর পরিমাপ লিখি।
সমাধান:
প্রদত্ত: $\angle POR + \angle QOS = 110^{\circ}$
আমরা জানি, বিপ্রতীপ কোণগুলি পরস্পর সমান হয়। এখানে $\angle POR$ ও $\angle QOS$ বিপ্রতীপ কোণ।
$\therefore \angle POR = \angle QOS$
সুতরাং, $\angle POR + \angle POR = 110^{\circ}$
বা, $2 \angle POR = 110^{\circ}$
বা, $\angle POR = \frac{110^{\circ}}{2} = 55^{\circ}$
$\therefore \angle QOS = 55^{\circ}$
এখন, $\angle POS$ ও $\angle POR$ রৈখিক যুগল (একই সরলরেখার ওপর অবস্থিত)।
$\therefore \angle POS + \angle POR = 180^{\circ}$
বা, $\angle POS + 55^{\circ} = 180^{\circ}$
বা, $\angle POS = 180^{\circ} – 55^{\circ} = 125^{\circ}$
আবার, $\angle QOR$ ও $\angle POS$ পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ।
$\therefore \angle QOR = \angle POS = 125^{\circ}$
উত্তর: $\angle POR = 55^{\circ}, \angle QOS = 55^{\circ}, \angle POS = 125^{\circ}, \angle QOR = 125^{\circ}$
8. OP, OQ, OR এবং OS সমবিন্দু। OP এবং OR একই সরলরেখায় অবস্থিত। P ও R বিন্দু O বিন্দুর বিপরীত পাশে অবস্থিত। $\angle POQ = \angle ROS$ এবং $\angle POS = \angle QOR$। যদি $\angle POQ = 50^{\circ}$ হয় তবে $\angle QOR, \angle ROS$ এবং $\angle POS$-এর পরিমাপ লিখি।
সমাধান:
যেহেতু $OP$ এবং $OR$ একই সরলরেখায় অবস্থিত, তাই $PR$ একটি সরলরেখা।
$\therefore \angle POQ + \angle QOR = 180^{\circ}$ [রৈখিক যুগল]
প্রদত্ত আছে, $\angle POQ = 50^{\circ}$
$\therefore 50^{\circ} + \angle QOR = 180^{\circ}$
বা, $\angle QOR = 180^{\circ} – 50^{\circ} = 130^{\circ}$
প্রশ্নানুসারে,
$\angle ROS = \angle POQ = 50^{\circ}$
এবং $\angle POS = \angle QOR = 130^{\circ}$
উত্তর: $\angle QOR = 130^{\circ}, \angle ROS = 50^{\circ}, \angle POS = 130^{\circ}$
9. চারটি রশ্মি একটি বিন্দুতে এমনভাবে মিলিত হয় যে বিপরীত দিকের কোণগুলি সমান। প্রমাণ করি যে ওই চারটি রশ্মি দ্বারা দুটি সরলরেখা তৈরি হয়।
প্রদত্ত: মনে করি, $OA, OB, OC$ এবং $OD$ চারটি রশ্মি $O$ বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
প্রশ্নানুসারে, বিপরীত কোণগুলি সমান। অর্থাৎ, $\angle AOB = \angle COD$ এবং $\angle BOC = \angle DOA$।
প্রামাণ্য বিষয়: প্রমাণ করতে হবে যে, $OA$ ও $OC$ একই সরলরেখায় অবস্থিত এবং $OB$ ও $OD$ একই সরলরেখায় অবস্থিত (অর্থাৎ দুটি সরলরেখা তৈরি হয়)।
প্রমাণ:
যেহেতু $O$ একটি বিন্দু, তাই চারপাশের কোণগুলির সমষ্টি $360^{\circ}$।
$\therefore \angle AOB + \angle BOC + \angle COD + \angle DOA = 360^{\circ}$
বা, $\angle AOB + \angle BOC + \angle AOB + \angle BOC = 360^{\circ}$ [মান বসিয়ে]
বা, $2(\angle AOB + \angle BOC) = 360^{\circ}$
বা, $\angle AOB + \angle BOC = \frac{360^{\circ}}{2} = 180^{\circ}$
যেহেতু সন্নিহিত কোণ দুটির সমষ্টি $180^{\circ}$ বা এক সরলকোণ, তাই $OA$ এবং $OC$ একই সরলরেখায় অবস্থিত ($AC$ সরলরেখা)।
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়, $\angle AOB + \angle AOD = 180^{\circ}$, অর্থাৎ $OB$ এবং $OD$ একই সরলরেখায় অবস্থিত ($BD$ সরলরেখা)।
(প্রমাণিত)
10. একটি কোণের অন্তঃসমদ্বিখন্ডক ও বহিঃসমদ্বিখন্ডক পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত – প্রমাণ করি।
প্রদত্ত: মনে করি, $\angle AOB$ একটি কোণ। $OA$ বাহুকে $C$ বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করায় বহিঃকোণ $\angle BOC$ উৎপন্ন হলো।
ধরি, $OD$ হলো $\angle AOB$-এর অন্তঃসমদ্বিখন্ডক এবং $OE$ হলো $\angle BOC$-এর বহিঃসমদ্বিখন্ডক।
প্রামাণ্য বিষয়: প্রমাণ করতে হবে যে, $OD \perp OE$ অর্থাৎ $\angle DOE = 90^{\circ}$।
প্রমাণ:
যেহেতু $OD, \angle AOB$-কে সমদ্বিখণ্ডতি করে,
$\therefore \angle AOD = \angle BOD = x^{\circ}$ (ধরি)
আবার, যেহেতু $OE, \angle BOC$-কে সমদ্বিখণ্ডতি করে,
$\therefore \angle BOE = \angle COE = y^{\circ}$ (ধরি)
এখন, $AC$ একটি সরলরেখা।
$\therefore \angle AOB + \angle BOC = 180^{\circ}$
বা, $(\angle AOD + \angle BOD) + (\angle BOE + \angle COE) = 180^{\circ}$
বা, $(x + x) + (y + y) = 180^{\circ}$
বা, $2x + 2y = 180^{\circ}$
বা, $2(x + y) = 180^{\circ}$
বা, $x + y = 90^{\circ}$
চিত্রানুযায়ী, $\angle DOE = \angle BOD + \angle BOE = x + y$
$\therefore \angle DOE = 90^{\circ}$
অর্থাৎ, অন্তঃসমদ্বিখন্ডক ও বহিঃসমদ্বিখন্ডক পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত।
(প্রমাণিত)
11. দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি চার সমকোণ – প্রমাণ করি।
প্রদত্ত: মনে করি, $AB$ ও $CD$ দুটি সরলরেখা পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।
এর ফলে $\angle AOC, \angle BOC, \angle BOD$ এবং $\angle AOD$ উৎপন্ন হয়েছে।
প্রামাণ্য বিষয়: প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle AOC + \angle BOC + \angle BOD + \angle AOD = 360^{\circ}$ (চার সমকোণ)।
প্রমাণ:
$CD$ সরলরেখার ওপর $OA$ রশ্মি দণ্ডায়মান।
$\therefore \angle AOC + \angle AOD = 180^{\circ}$ (রৈখিক যুগল) …….(i)
আবার, $CD$ সরলরেখার ওপর $OB$ রশ্মি দণ্ডায়মান।
$\therefore \angle BOC + \angle BOD = 180^{\circ}$ (রৈখিক যুগল) …….(ii)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই,
$\angle AOC + \angle AOD + \angle BOC + \angle BOD = 180^{\circ} + 180^{\circ}$
বা, $\angle AOC + \angle BOC + \angle BOD + \angle AOD = 360^{\circ}$
অর্থাৎ, কোণ চারটির সমষ্টি চার সমকোণ।
(প্রমাণিত)
12. PQR ত্রিভুজের $\angle PQR = \angle PRQ$, QR বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে যে দুটি বহিঃকোণ উৎপন্ন হয় তাদের মান সমান – প্রমাণ করি।
প্রদত্ত: $\triangle PQR$-এর $\angle PQR = \angle PRQ$। $QR$ বাহুকে উভয়দিকে যথাক্রমে $S$ ও $T$ বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো।
উৎপন্ন বহিঃকোণ দুটি হলো $\angle PQS$ এবং $\angle PRT$।
প্রামাণ্য বিষয়: প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle PQS = \angle PRT$।
প্রমাণ:
$ST$ একটি সরলরেখা।
$\therefore \angle PQS + \angle PQR = 180^{\circ}$ [রৈখিক যুগল]
বা, $\angle PQS = 180^{\circ} – \angle PQR$ …….(i)
আবার, $\angle PRT + \angle PRQ = 180^{\circ}$ [রৈখিক যুগল]
বা, $\angle PRT = 180^{\circ} – \angle PRQ$ …….(ii)
যেহেতু প্রদত্ত আছে $\angle PQR = \angle PRQ$, তাই (i) ও (ii) থেকে পাই:
$180^{\circ} – \angle PQR = 180^{\circ} – \angle PRQ$
$\therefore \angle PQS = \angle PRT$
(প্রমাণিত)
13. দুটি সরলরেখা পরস্পরকে একটি বিন্দুতে ছেদ করায় যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমদ্বিখন্ডকগুলি পরস্পর দুটি লম্ব সরলরেখা – প্রমাণ করি।
প্রদত্ত: $AB$ ও $CD$ দুটি সরলরেখা পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।
ধরি, $OE, OF, OG$ এবং $OH$ যথাক্রমে $\angle AOC, \angle BOC, \angle BOD$ এবং $\angle AOD$-এর সমদ্বিখন্ডক।
প্রামাণ্য বিষয়: $EF$ এবং $GH$ দুটি পরস্পর লম্ব সরলরেখা (অর্থাৎ $EF \perp GH$)।
প্রমাণ:
আমরা জানি, একটি সরলরেখার ওপর দণ্ডায়মান সন্নিহিত কোণ দুটির সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $90^{\circ}$।
এখানে $\angle AOC$ এবং $\angle BOC$ সন্নিহিত কোণ (রৈখিক যুগল)।
$\therefore$ তাদের সমদ্বিখন্ডক $OE$ এবং $OF$-এর মধ্যবর্তী কোণ $\angle EOF = 90^{\circ}$।
অনুরূপভাবে, $\angle BOC$ এবং $\angle BOD$ সন্নিহিত কোণ।
$\therefore$ তাদের সমদ্বিখন্ডক $OF$ এবং $OG$-এর মধ্যবর্তী কোণ $\angle FOG = 90^{\circ}$।
এখন, $\angle EOF + \angle FOG = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$।
যেহেতু $\angle EOG = 180^{\circ}$, তাই $E, O, G$ সমরেখ। অর্থাৎ $EG$ একটি সরলরেখা।
অনুরূপভাবে, $FH$ একটি সরলরেখা।
যেহেতু সরলরেখা দুটি পরস্পরকে ছেদ করেছে এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ ($ \angle EOF $) $90^{\circ}$, তাই সমদ্বিখন্ডকগুলি দ্বারা গঠিত সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব।
(প্রমাণিত)
শেয়ার