অষ্টম শ্রেণী গণিত: বীজগাণিতিক রাশিমালয়ের গুন ভাগ, কষে দেখি – 4.1

গুণফল নির্ণয়:

$(x^2 – 7y + 12) \times (2x – y)$ [সাজিয়ে পাই]

$= x^2(2x – y) – 7y(2x – y) + 12(2x – y)$

$= 2x^3 – x^2y – 14xy + 7y^2 + 24x – 12y$

গুণফলের মান নির্ণয় ($x = -2$ ও $y = 2$ বসিয়ে):

আমরা সরাসরি রাশি দুটির মান বের করে গুণ করলে সহজ হবে।

প্রথম রাশির মান $= (-2)^2 + 12 – 7(2) = 4 + 12 – 14 = 2$

দ্বিতীয় রাশির মান $= 2(-2) – 2 = -4 – 2 = -6$

$\therefore$ নির্ণেয় গুণফলের মান $= 2 \times (-6) = -12$

উত্তর: গুণফল $2x^3 – x^2y – 14xy + 7y^2 + 24x – 12y$ এবং মান $-12$।

গুণফল নির্ণয়:

$(8p^3 – 2p^2 – 3p) \times (4p^2 – 5)$ [ঘাত অনুযায়ী সাজিয়ে]

$= 8p^3(4p^2 – 5) – 2p^2(4p^2 – 5) – 3p(4p^2 – 5)$

$= 32p^5 – 40p^3 – 8p^4 + 10p^2 – 12p^3 + 15p$

$= 32p^5 – 8p^4 – 52p^3 + 10p^2 + 15p$

গুণফলের মান নির্ণয় ($p = -2$ বসিয়ে):

প্রথম রাশির মান $= 8(-2)^3 – 3(-2) – 2(-2)^2 = 8(-8) + 6 – 8 = -64 + 6 – 8 = -66$

দ্বিতীয় রাশির মান $= 4(-2)^2 – 5 = 4(4) – 5 = 16 – 5 = 11$

$\therefore$ নির্ণেয় গুণফলের মান $= (-66) \times 11 = -726$

উত্তর: গুণফল $32p^5 – 8p^4 – 52p^3 + 10p^2 + 15p$ এবং মান $-726$।

গুণফল নির্ণয়:

$(6a + 5b + 2) \times (a – b + 6)$

$= 6a(a – b + 6) + 5b(a – b + 6) + 2(a – b + 6)$

$= 6a^2 – 6ab + 36a + 5ab – 5b^2 + 30b + 2a – 2b + 12$

$= 6a^2 – 5b^2 – ab + 38a + 28b + 12$

গুণফলের মান নির্ণয় ($a = 0$ ও $b = -1$ বসিয়ে):

প্রথম রাশির মান $= 6(0) + 5(-1) + 2 = -5 + 2 = -3$

দ্বিতীয় রাশির মান $= 0 – (-1) + 6 = 1 + 6 = 7$

$\therefore$ নির্ণেয় গুণফলের মান $= (-3) \times 7 = -21$

উত্তর: গুণফল $6a^2 – 5b^2 – ab + 38a + 28b + 12$ এবং মান $-21$।

গুণফল নির্ণয়:

$(p^3 – p^2q^2 + q^3)(p^2 + pq + q^2)$

$= p^3(p^2 + pq + q^2) – p^2q^2(p^2 + pq + q^2) + q^3(p^2 + pq + q^2)$

$= p^5 + p^4q + p^3q^2 – p^4q^2 – p^3q^3 – p^2q^4 + p^2q^3 + pq^4 + q^5$

গুণফলের মান নির্ণয় ($p = 2$ ও $q = -2$ বসিয়ে):

প্রথম রাশির মান $= (2)^3 – (2)^2(-2)^2 + (-2)^3 = 8 – 4(4) – 8 = -16$

দ্বিতীয় রাশির মান $= (2)^2 + (2)(-2) + (-2)^2 = 4 – 4 + 4 = 4$

$\therefore$ নির্ণেয় গুণফলের মান $= (-16) \times 4 = -64$

উত্তর: মান $-64$।

গুণফল নির্ণয়:

এটি একটি পরিচিত বীজগণিতিক অভেদ বা সূত্র।

$(x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 – xy – yz – zx) = x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz$

গুণফলের মান নির্ণয় ($x = 1, y = 0, z = -1$ বসিয়ে):

প্রথম রাশির মান $= (1)^2 + (0)^2 + (-1)^2 – 1(0) – 0(-1) – (-1)(1) = 1 + 0 + 1 – 0 – 0 + 1 = 3$

দ্বিতীয় রাশির মান $= 1 + 0 + (-1) = 0$

$\therefore$ নির্ণেয় গুণফলের মান $= 3 \times 0 = 0$

উত্তর: গুণফল $x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz$ এবং মান $0$।

ধরি,

প্রথম সংখ্যামালা (দ্বিপদী) $= a + b$

দ্বিতীয় সংখ্যামালা (ত্রিপদী) $= a – b + 2$

গুণফল নির্ণয়:

$(a + b)(a – b + 2)$

$= a(a – b + 2) + b(a – b + 2)$

$= a^2 – ab + 2a + ab – b^2 + 2b$

$= a^2 – b^2 + 2a + 2b$

মান নির্ণয় (ধরি $a = 2, b = 1$):

প্রথম রাশির মান $= 2 + 1 = 3$

দ্বিতীয় রাশির মান $= 2 – 1 + 2 = 3$

$\therefore$ নির্ণেয় গুণফলের মান $= 3 \times 3 = 9$

উত্তর: ধরা উদাহরণ অনুযায়ী মান 9। (এটি ছাত্রছাত্রীরা নিজেদের মতো সংখ্যা ধরে করতে পারে)।

সমাধান:

প্রথমে প্রথম দুটি রাশির গুণ করি:

$(x^5+1)(3-x^4)$

$= x^5(3-x^4) + 1(3-x^4)$

$= 3x^5 – x^9 + 3 – x^4$

সাজিয়ে লিখি: $-x^9 + 3x^5 – x^4 + 3$

এখন এই গুণফলকে তৃতীয় রাশি দিয়ে গুণ করি:

$(-x^9 + 3x^5 – x^4 + 3) \times (4+x^3+x^6)$

$= -x^9(4+x^3+x^6) + 3x^5(4+x^3+x^6) – x^4(4+x^3+x^6) + 3(4+x^3+x^6)$

$= (-4x^9 – x^{12} – x^{15}) + (12x^5 + 3x^8 + 3x^{11}) – (4x^4 + x^7 + x^{10}) + (12 + 3x^3 + 3x^6)$

ঘাত অনুযায়ী সাজিয়ে পাই:

$= -x^{15} – x^{12} + 3x^{11} – x^{10} – 4x^9 + 3x^8 – x^7 + 3x^6 + 12x^5 – 4x^4 + 3x^3 + 12$

সমাধান:

প্রথমে প্রথম দুটি রাশির গুণ করি। এটি $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ সূত্রে পড়ে:

$(2a^3-3b^5)(2a^3+3b^5)$

$= (2a^3)^2 – (3b^5)^2$

$= 4a^6 – 9b^{10}$

এখন এই ফলকে তৃতীয় রাশি দিয়ে গুণ করি:

$(4a^6 – 9b^{10}) \times (2a^4 – 3a^2b^2 + b^4)$

$= 4a^6(2a^4 – 3a^2b^2 + b^4) – 9b^{10}(2a^4 – 3a^2b^2 + b^4)$

$= (8a^{10} – 12a^8b^2 + 4a^6b^4) – (18a^4b^{10} – 27a^2b^{12} + 9b^{14})$

$= 8a^{10} – 12a^8b^2 + 4a^6b^4 – 18a^4b^{10} + 27a^2b^{12} – 9b^{14}$

সমাধান:

প্রথম দুটি রাশির গুণফল:

$(ax+by)(ax-by) = (ax)^2 – (by)^2 = a^2x^2 – b^2y^2$

এখন পুরো রাশিটি দাঁড়ায়:

$(a^2x^2 – b^2y^2) \times (a^4x^4 + a^2b^2x^2y^2 + b^4y^4)$

এটি $(A-B)(A^2+AB+B^2) = A^3 – B^3$ সূত্রের আকারে আছে।

এখানে $A = a^2x^2$ এবং $B = b^2y^2$।

সুতরাং, গুণফল হবে:

$= (a^2x^2)^3 – (b^2y^2)^3$

$= a^6x^6 – b^6y^6$

সমাধান:

প্রথমে প্রথম দুটি রাশির গুণ করি। সাজিয়ে নিই $(a+c)+b$ এবং $(a+c)-b$:

$\{(a+c)+b\} \times \{(a+c)-b\}$

$= (a+c)^2 – b^2$

$= a^2 + 2ac + c^2 – b^2$

এখন এই ফলের সাথে তৃতীয় রাশি $(a+b-c)$ গুণ করি:

$(a^2 + 2ac + c^2 – b^2) \times (a + b – c)$

$= a(a^2 + 2ac + c^2 – b^2) + b(a^2 + 2ac + c^2 – b^2) – c(a^2 + 2ac + c^2 – b^2)$

$= (a^3 + 2a^2c + ac^2 – ab^2) + (a^2b + 2abc + bc^2 – b^3) – (a^2c + 2ac^2 + c^3 – b^2c)$

$= a^3 + 2a^2c + ac^2 – ab^2 + a^2b + 2abc + bc^2 – b^3 – a^2c – 2ac^2 – c^3 + b^2c$

সদৃশ পদগুলি যোগ-বিয়োগ করে সাজিয়ে পাই:

$= a^3 – b^3 – c^3 + a^2b + a^2c – ab^2 + b^2c – ac^2 + bc^2 + 2abc$

সমাধান:

এটি সরাসরি $(A+B)(A-B) = A^2 – B^2$ সূত্রে পড়ে।

এখানে $A = \frac{2p^2}{q^2}$ এবং $B = \frac{5q^2}{p^2}$।

গুণফল:

$= (\frac{2p^2}{q^2})^2 – (\frac{5q^2}{p^2})^2$

$= \frac{4p^4}{q^4} – \frac{25q^4}{p^4}$

সমাধান:

প্রথমে প্রথম দুটি রাশির গুণ করি:

$(\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{z^2}) \times (\frac{y^2}{z^2} + \frac{z^2}{x^2})$

$= \frac{x^2}{y^2} \cdot \frac{y^2}{z^2} + \frac{x^2}{y^2} \cdot \frac{z^2}{x^2} + \frac{y^2}{z^2} \cdot \frac{y^2}{z^2} + \frac{y^2}{z^2} \cdot \frac{z^2}{x^2}$

$= \frac{x^2}{z^2} + \frac{z^2}{y^2} + \frac{y^4}{z^4} + \frac{y^2}{x^2}$ [কাটাকাটি করে]

এখন এই গুণফলকে তৃতীয় রাশি $(\frac{z^2}{x^2} + \frac{x^2}{y^2})$ দিয়ে গুণ করি:

$(\frac{x^2}{z^2} + \frac{z^2}{y^2} + \frac{y^4}{z^4} + \frac{y^2}{x^2}) \times (\frac{z^2}{x^2} + \frac{x^2}{y^2})$

$= \frac{x^2}{z^2}(\frac{z^2}{x^2} + \frac{x^2}{y^2}) + \frac{z^2}{y^2}(\frac{z^2}{x^2} + \frac{x^2}{y^2}) + \frac{y^4}{z^4}(\frac{z^2}{x^2} + \frac{x^2}{y^2}) + \frac{y^2}{x^2}(\frac{z^2}{x^2} + \frac{x^2}{y^2})$

প্রতিটি পদ গুণ করে পাই:

$= (1 + \frac{x^4}{y^2z^2}) + (\frac{z^4}{x^2y^2} + \frac{x^2z^2}{y^4}) + (\frac{y^4}{x^2z^2} + \frac{x^2y^2}{z^4}) + (\frac{y^2z^2}{x^4} + 1)$

সাজিয়ে লিখি:

$= 2 + \frac{x^4}{y^2z^2} + \frac{y^4}{z^2x^2} + \frac{z^4}{x^2y^2} + \frac{x^2y^2}{z^4} + \frac{y^2z^2}{x^4} + \frac{z^2x^2}{y^4}$

সমাধান:

আমরা জানি, $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$ এবং $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$।

এই সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

প্রথম অংশ: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3 + y^3$

দ্বিতীয় অংশ: $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 – y^3$

সুতরাং, প্রদত্ত রাশিমালা:

$= (x^3 + y^3) + (x^3 – y^3)$

$= x^3 + y^3 + x^3 – y^3$

$= 2x^3$ [ $y^3$ এবং $-y^3$ কেটে গেল ]

উত্তর: নির্ণেয় সরলফল $2x^3$

সমাধান:

প্রতিটি পদ গুণ করে বন্ধনী তুলে দিই:

$= (a^2 \cdot b^2 – a^2 \cdot c^2) + (b^2 \cdot c^2 – b^2 \cdot a^2) + (c^2 \cdot a^2 – c^2 \cdot b^2)$

$= a^2b^2 – a^2c^2 + b^2c^2 – a^2b^2 + a^2c^2 – b^2c^2$ [সাজিয়ে লিখে]

এখন সদৃশ পদগুলির যোগ-বিয়োগ করি:

• $a^2b^2$ এবং $-a^2b^2$ কেটে গেল।
• $-a^2c^2$ এবং $+a^2c^2$ কেটে গেল।
• $+b^2c^2$ এবং $-b^2c^2$ কেটে গেল।

$= 0$

উত্তর: নির্ণেয় সরলফল $0$