অষ্টম শ্রেণী গণিত: বীজগাণিতিক রাশিমালার গুণ ভাগ, কষে দেখি – 4.2
অধ্যায় ৪: বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গুণ ও ভাগ (কষে দেখি – 4.2)
1. দুটি সংখ্যার গুণফল $3x^2 + 8x + 4$ এবং একটি সংখ্যা $3x + 2$ হলে, অপর সংখ্যাটি হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
আমরা জানি,
অপর সংখ্যাটি = গুণফল $\div$ একটি সংখ্যা
$= \frac{3x^2 + 8x + 4}{3x + 2}$
লবের রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি (মধ্যপদ বিশ্লেষণ পদ্ধতি):
$3x^2 + 8x + 4$
$= 3x^2 + 6x + 2x + 4$ [কারণ $3 \times 4 = 12$ এবং $6 \times 2 = 12, 6 + 2 = 8$]
$= 3x(x + 2) + 2(x + 2)$
$= (3x + 2)(x + 2)$
এখন ভাগ করি:
$\therefore$ অপর সংখ্যাটি $= \frac{(3x + 2)(x + 2)}{3x + 2}$
$= x + 2$
উত্তর: অপর সংখ্যাটি $x + 2$।
2. একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $(24x^2 – 65xy + 21y^2)$ বর্গসেমি. এবং দৈর্ঘ্য $(8x – 3y)$ সেমি. হলে প্রস্থ কত হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক্ষেত্রফল $\div$ দৈর্ঘ্য
$= \frac{24x^2 – 65xy + 21y^2}{8x – 3y}$
লবের রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
$24x^2 – 65xy + 21y^2$
এখানে $24 \times 21 = 504$। আমাদের $504$-এর এমন দুটি উৎপাদক খুঁজতে হবে যাদের যোগফল $65$।
$56 \times 9 = 504$ এবং $56 + 9 = 65$
$\therefore 24x^2 – (56 + 9)xy + 21y^2$
$= 24x^2 – 56xy – 9xy + 21y^2$
$= 8x(3x – 7y) – 3y(3x – 7y)$
$= (3x – 7y)(8x – 3y)$
এখন প্রস্থ নির্ণয় করি:
প্রস্থ $= \frac{(3x – 7y)(8x – 3y)}{8x – 3y}$
$= 3x – 7y$
উত্তর: আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ $(3x – 7y)$ সেমি.।
3. একটি ভাগ অঙ্কে ভাজ্য $x^4 + x^3y + xy^3 – y^4$ এবং ভাজক $x^2 + xy – y^2$; ভাগফল ও ভাগশেষ নির্ণয় করি।
সমাধান:
প্রদত্ত ভাজ্য $= x^4 + x^3y + xy^3 – y^4$
ভাজক $= x^2 + xy – y^2$
ভাজ্যকে সাজিয়ে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার চেষ্টা করি:
$= x^4 – y^4 + x^3y + xy^3$ [পদগুলিকে সাজিয়ে]
$= (x^2)^2 – (y^2)^2 + xy(x^2 + y^2)$
$= (x^2 + y^2)(x^2 – y^2) + xy(x^2 + y^2)$ [সূত্র: $a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)$]
$= (x^2 + y^2)(x^2 – y^2 + xy)$ [উভয় পদ থেকে $(x^2 + y^2)$ কমন নিয়ে]
$= (x^2 + y^2)(x^2 + xy – y^2)$
এখন, ভাগফল $= \frac{\text{ভাজ্য}}{\text{ভাজক}}$
$= \frac{(x^2 + y^2)(x^2 + xy – y^2)}{x^2 + xy – y^2}$
$= x^2 + y^2$
যেহেতু ভাজ্য সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য হয়েছে, তাই ভাগশেষ হবে $0$।
উত্তর: নির্ণেয় ভাগফল $(x^2 + y^2)$ এবং ভাগশেষ $0$।
4. ভাগ করি (দীর্ঘ ভাগ পদ্ধতিতে):
(a) $(m^2 + 4m – 21)$ কে $(m – 3)$ দিয়ে
সমাধান:
m + 7
__________________
m - 3 ) m² + 4m - 21
- m² + 3m
------------------
7m - 21
- 7m + 21
------------
0
ধাপসমূহ:
- প্রথমে $m^2$ কে $m$ দিয়ে ভাগ করলে পাই $m$।
- $m(m-3) = m^2 – 3m$। বিয়োগ করার সময় চিহ্ন পরিবর্তন হয়ে হয় $-m^2 + 3m$।
- অবশিষ্ট থাকে $7m – 21$।
- $7m$ কে $m$ দিয়ে ভাগ করলে পাই $+7$।
- $7(m-3) = 7m – 21$। বিয়োগ করলে ভাগশেষ $0$।
উত্তর: নির্ণেয় ভাগফল $(m + 7)$
(b) $(6c^2 – 7c + 2)$ কে $(3c – 2)$ দিয়ে
সমাধান:
2c - 1
__________________
3c - 2 ) 6c² - 7c + 2
- 6c² + 4c
-----------------
- 3c + 2
+ 3c - 2
----------
0
ধাপসমূহ:
- $6c^2 \div 3c = 2c$। এটি ভাগফলের প্রথম পদ।
- $2c$ দিয়ে $(3c-2)$ গুণ করে বিয়োগ করি। থাকে $-3c + 2$।
- $-3c \div 3c = -1$। এটি ভাগফলের দ্বিতীয় পদ।
- $-1$ দিয়ে $(3c-2)$ গুণ করে বিয়োগ করি। ভাগশেষ $0$।
উত্তর: নির্ণেয় ভাগফল $(2c – 1)$
(c) $(2a^4 – a^3 – 2a^2 + 5a – 1)$ কে $(2a^2 + a – 3)$ দিয়ে
সমাধান:
a² - a + 1
____________________________
2a²+a -3 ) 2a⁴ - a³ - 2a² + 5a - 1
- 2a⁴ - a³ + 3a²
----------------------------
- 2a³ + a² + 5a
+ 2a³ + a² - 3a
-------------------
2a² + 2a - 1
- 2a² - a + 3
--------------
a + 2
ধাপসমূহ:
- $2a^4 \div 2a^2 = a^2$। গুণ করে বিয়োগ করার পর অবশিষ্ট থাকে $-2a^3 + a^2$। উপর থেকে $5a$ নামানো হলো।
- $-2a^3 \div 2a^2 = -a$। গুণ করে বিয়োগ করার পর অবশিষ্ট থাকে $2a^2 + 2a$। উপর থেকে $-1$ নামানো হলো।
- $2a^2 \div 2a^2 = 1$। গুণ করে বিয়োগ করার পর অবশিষ্ট থাকে $a + 2$।
- যেহেতু অবশিষ্ট অংশের ঘাত ($a^1$) ভাজকের ঘাতের ($a^2$) চেয়ে ছোট, তাই ভাগ করা সম্ভব নয়।
উত্তর: নির্ণেয় ভাগফল $(a^2 – a + 1)$ এবং ভাগশেষ $(a + 2)$
(d) $(m^4 – 2m^3 – 7m^2 + 8m + 12)$ কে $(m^2 – m – 6)$ দিয়ে
সমাধান:
m² - m - 2
______________________________
m²-m-6 ) m⁴ - 2m³ - 7m² + 8m + 12
- m⁴ + m³ + 6m²
-----------------------------
- m³ - m² + 8m
+ m³ - m² - 6m
------------------------
- 2m² + 2m + 12
+ 2m² - 2m - 12
-----------------
0
ধাপসমূহ:
- $m^4 \div m^2 = m^2$। গুণ করে বিয়োগ করার পর থাকে $-m^3 – m^2$। উপর থেকে $8m$ নামানো হলো।
- $-m^3 \div m^2 = -m$। গুণ করে বিয়োগ করার পর থাকে $-2m^2 + 2m$। উপর থেকে $12$ নামানো হলো।
- $-2m^2 \div m^2 = -2$। গুণ করে বিয়োগ করলে ভাগশেষ $0$ হয়।
উত্তর: নির্ণেয় ভাগফল $(m^2 – m – 2)$
5. সরল করি —
(a) $(6x^2a^3 – 4x^3a^2 + 8x^4a^2) \div 2a^2x^2$
সমাধান:
আমরা বহুপদী রাশিকে একপদী রাশি দিয়ে ভাগ করার নিয়ম অনুসারে, প্রতিটি পদকে পৃথকভাবে ভাজক দিয়ে ভাগ করব:
$= \frac{6x^2a^3}{2a^2x^2} – \frac{4x^3a^2}{2a^2x^2} + \frac{8x^4a^2}{2a^2x^2}$
$= 3a – 2x + 4x^2$ [সূচকের নিয়ম ব্যবহার করে এবং সহগ কাটাকাটি করে]
উত্তর: নির্ণেয় ভাগফল $3a – 2x + 4x^2$
(b) $\frac{2y^9x^5}{5x^2} \times \frac{125xy^5}{16x^4y^{10}}$
সমাধান:
সংখ্যা এবং চলরাশিগুলিকে একসাথে সাজিয়ে পাই:
$= \frac{2 \times 125}{5 \times 16} \times \frac{x^5 \cdot x}{x^2 \cdot x^4} \times \frac{y^9 \cdot y^5}{y^{10}}$
সংখ্যাগুলির কাটাকাটি:
$\frac{2}{16} = \frac{1}{8}$ এবং $\frac{125}{5} = 25$
$\therefore$ সহগ হলো $\frac{25}{8}$
চলরাশির সূচকের কাজ:
$x$-এর ঘাত: $\frac{x^{5+1}}{x^{2+4}} = \frac{x^6}{x^6} = 1$
$y$-এর ঘাত: $\frac{y^{9+5}}{y^{10}} = \frac{y^{14}}{y^{10}} = y^{14-10} = y^4$
সুতরাং, সম্পূর্ণ রাশিটি হলো:
$= \frac{25}{8} \times 1 \times y^4$
$= \frac{25}{8}y^4$
উত্তর: নির্ণেয় সরলফল $\frac{25}{8}y^4$
(c) $\frac{7a^4y^2}{9a^2} \times \frac{729a^6}{42y^6}$
সমাধান:
সংখ্যা এবং চলরাশিগুলিকে সাজিয়ে পাই:
$= \frac{7 \times 729}{9 \times 42} \times \frac{a^4 \cdot a^6}{a^2} \times \frac{y^2}{y^6}$
সংখ্যাগুলির কাটাকাটি:
$\frac{7}{42} = \frac{1}{6}$
$\frac{729}{9} = 81$
আবার, $\frac{81}{6}$ কে $3$ দিয়ে ভাগ করলে পাই $\frac{27}{2}$
$\therefore$ সহগ হলো $\frac{27}{2}$
চলরাশির সূচকের কাজ:
$a$-এর ঘাত: $\frac{a^{4+6}}{a^2} = \frac{a^{10}}{a^2} = a^{10-2} = a^8$
$y$-এর ঘাত: $\frac{y^2}{y^6} = \frac{1}{y^{6-2}} = \frac{1}{y^4}$
সুতরাং, সম্পূর্ণ রাশিটি হলো:
$= \frac{27}{2} \cdot a^8 \cdot \frac{1}{y^4}$
$= \frac{27a^8}{2y^4}$
উত্তর: নির্ণেয় সরলফল $\frac{27a^8}{2y^4}$
(d) $(p^2q^2r^5 – p^3q^5r^2 + p^5q^3r^2) \div p^2q^2r^2$
সমাধান:
প্রতিটি পদকে ভাজক $p^2q^2r^2$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$= \frac{p^2q^2r^5}{p^2q^2r^2} – \frac{p^3q^5r^2}{p^2q^2r^2} + \frac{p^5q^3r^2}{p^2q^2r^2}$
১ম পদ: $\frac{p^2q^2r^5}{p^2q^2r^2} = r^{5-2} = r^3$
২য় পদ: $-\frac{p^3q^5r^2}{p^2q^2r^2} = -(p^{3-2}q^{5-2}) = -pq^3$
৩য় পদ: $\frac{p^5q^3r^2}{p^2q^2r^2} = p^{5-2}q^{3-2} = p^3q$
একসাথে সাজিয়ে পাই:
$= r^3 – pq^3 + p^3q$
উত্তর: নির্ণেয় ভাগফল $r^3 – pq^3 + p^3q$
6. কোনো ভাগ অঙ্কে ভাজক $(x – 4)$, ভাগফল $(x^2 + 4x + 4)$ ও ভাগশেষ $3$ হলে ভাজ্য কত হবে হিসাব করে লিখি। [ ভাজ্য = ভাজক $\times$ ভাগফল + ভাগশেষ ]
সমাধান:
প্রদত্ত সূত্র অনুযায়ী,
ভাজ্য = (ভাজক $\times$ ভাগফল) + ভাগশেষ
$= (x – 4) \times (x^2 + 4x + 4) + 3$
গুণ করি:
$= x(x^2 + 4x + 4) – 4(x^2 + 4x + 4) + 3$
$= (x^3 + 4x^2 + 4x) – (4x^2 + 16x + 16) + 3$
$= x^3 + 4x^2 + 4x – 4x^2 – 16x – 16 + 3$
সদৃশ পদগুলি যোগ-বিয়োগ করি:
$= x^3 + (4x^2 – 4x^2) + (4x – 16x) + (-16 + 3)$
$= x^3 + 0 – 12x – 13$
$= x^3 – 12x – 13$
উত্তর: নির্ণেয় ভাজ্য $x^3 – 12x – 13$
7. কোনো ভাগ অঙ্কে ভাজক $(a^2 + 2a – 1)$, ভাগফল $(5a – 14)$ এবং ভাগশেষ $(35a – 17)$ হলে ভাজ্য কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাজক $\times$ ভাগফল) + ভাগশেষ
মান বসিয়ে পাই:
$= (a^2 + 2a – 1) \times (5a – 14) + (35a – 17)$
১ম ধাপ (গুণ):
$(a^2 + 2a – 1)(5a – 14)$
$= a^2(5a – 14) + 2a(5a – 14) – 1(5a – 14)$
$= (5a^3 – 14a^2) + (10a^2 – 28a) – (5a – 14)$
$= 5a^3 – 14a^2 + 10a^2 – 28a – 5a + 14$
$= 5a^3 – 4a^2 – 33a + 14$
২য় ধাপ (যোগ):
প্রাপ্ত গুণফলের সাথে ভাগশেষ যোগ করি:
$= (5a^3 – 4a^2 – 33a + 14) + (35a – 17)$
$= 5a^3 – 4a^2 – 33a + 35a + 14 – 17$
$= 5a^3 – 4a^2 + 2a – 3$
উত্তর: নির্ণেয় ভাজ্য $5a^3 – 4a^2 + 2a – 3$
8. ভাগ করে ভাগফল ও ভাগশেষ লিখি:
(i) $(x^2 + 11x + 27) \div (x + 6)$
সমাধান:
x + 5
__________________
x + 6 ) x² + 11x + 27
- x² - 6x
------------------
5x + 27
- 5x - 30
----------
- 3
ধাপসমূহ:
- $x^2 \div x = x$। ভাগফলের প্রথম পদ $x$।
- $x$ দিয়ে $(x+6)$ গুণ করে বিয়োগ করি। থাকে $5x + 27$।
- $5x \div x = 5$। ভাগফলের দ্বিতীয় পদ $5$।
- $5$ দিয়ে $(x+6)$ গুণ করে বিয়োগ করি। ভাগশেষ থাকে $-3$।
উত্তর: ভাগফল $(x + 5)$ এবং ভাগশেষ $-3$
(ii) $(81x^4 + 2) \div (3x – 1)$
সমাধান:
27x³ + 9x² + 3x + 1
_________________________
3x - 1 ) 81x⁴ + 2
- 81x⁴ + 27x³
------------------------
27x³
- 27x³ + 9x²
----------------
9x²
- 9x² + 3x
----------
3x + 2
- 3x + 1
--------
3
ধাপসমূহ:
- $81x^4 \div 3x = 27x^3$। গুণ ও বিয়োগ করে পাই $27x^3$।
- $27x^3 \div 3x = 9x^2$। গুণ ও বিয়োগ করে পাই $9x^2$।
- $9x^2 \div 3x = 3x$। গুণ ও বিয়োগ করে পাই $3x$। শেষে $+2$ নামাই।
- $3x \div 3x = 1$। গুণ ও বিয়োগ করে ভাগশেষ পাই $3$।
উত্তর: ভাগফল $(27x^3 + 9x^2 + 3x + 1)$ এবং ভাগশেষ $3$
(iii) $(63x^2 – 19x – 20) \div (9x^2 + 5)$
সমাধান:
7
______________________
9x² + 5 ) 63x² - 19x - 20
- 63x² - 35
----------------------
- 19x - 55
ধাপসমূহ:
- $63x^2 \div 9x^2 = 7$।
- $7(9x^2 + 5) = 63x^2 + 35$।
- বিয়োগ করে পাই: $(63x^2 – 19x – 20) – (63x^2 + 35) = -19x – 55$।
- যেহেতু ভাগশেষের ঘাত ($x^1$) ভাজকের ঘাতের ($x^2$) চেয়ে ছোট, তাই ভাগ এখানেই শেষ।
উত্তর: ভাগফল $7$ এবং ভাগশেষ $(-19x – 55)$
(iv) $(x^3 – x^2 – 8x – 13) \div (x^2 + 3x + 3)$
সমাধান:
x - 4
__________________________
x² + 3x + 3 ) x³ - x² - 8x - 13
- x³ - 3x² - 3x
--------------------------
- 4x² - 11x - 13
+ 4x² + 12x + 12
--------------------
x - 1
ধাপসমূহ:
- $x^3 \div x^2 = x$। গুণ করে বিয়োগ করলে পাই $-4x^2 – 11x$। $-13$ নামালাম।
- $-4x^2 \div x^2 = -4$। $-4(x^2 + 3x + 3) = -4x^2 – 12x – 12$।
- বিয়োগ করে পাই: $(-4x^2 – 11x – 13) – (-4x^2 – 12x – 12) = x – 1$।
উত্তর: ভাগফল $(x – 4)$ এবং ভাগশেষ $(x – 1)$
শেয়ার