অষ্টম শ্রেণী গণিত: সময় ও কার্য কষে দেখি – 17.1
অধ্যায় ১৭: সময় ও কার্য (কষে দেখি ১৭.১)
1. অমরদের কারখানায় 3 দিনে 216 টি যন্ত্রাংশ তৈরি হয়। 7 দিনে ওই কারখানায় কতগুলি যন্ত্রাংশ তৈরি হবে হিসাব করে লিখি।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| সময় (দিন) | যন্ত্রাংশ (টি) |
| 3 | 216 |
| 7 | ? |
সম্পর্ক: সময়ের সাথে কাজের পরিমাণের সরল সম্পর্ক।
সমাধান:
3 দিনে তৈরি হয় 216 টি যন্ত্রাংশ।
$\therefore$ 1 দিনে তৈরি হয় $\frac{216}{3} = 72$ টি যন্ত্রাংশ।
$\therefore$ 7 দিনে তৈরি হয় $72 \times 7 = 504$ টি যন্ত্রাংশ।
উত্তর: 7 দিনে ওই কারখানায় 504 টি যন্ত্রাংশ তৈরি হবে।
2. আটপুরের একটি তাঁত কারখানায় 12টি তাঁত প্রতিমাসে 380টি শাড়ি বুনতে পারে। পুজোর মরসুমে বেশি কাজ করার জন্য নতুন 3টি তাঁত বসানো হয়েছে। এখন মাসে কতগুলি শাড়ি বোনা যাবে সমানুপাত তৈরি করে হিসাব করি এবং সম্পর্ক লিখি।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
নতুন তাঁত সংখ্যা = $12 + 3 = 15$ টি।
| তাঁত সংখ্যা (টি) | শাড়ি সংখ্যা (টি) |
| 12 | 380 |
| 15 | ? ($x$) |
সম্পর্ক: তাঁত সংখ্যার সাথে শাড়ি সংখ্যার সরল সমানুপাতী সম্পর্ক।
সমানুপাতটি হলো:
$12 : 15 :: 380 : x$
বা, $\frac{12}{15} = \frac{380}{x}$
বা, $x = \frac{380 \times 15}{12}$
কাটাকুটি করে পাই:
$x = \frac{380 \times 5}{4}$
$x = 95 \times 5$
$x = 475$
উত্তর: এখন মাসে 475 টি শাড়ি বোনা যাবে।
3. উপরের ছক দেখে গণিতের গল্প তৈরি করি ও সম্পর্ক তৈরি করে হিসাব করি। (সময়: 25, 15; কাজের পরিমাণ: 45, ?)
গণিতের গল্প: 25 দিনে 45 মিটার দৈর্ঘ্যের রাস্তা তৈরি করা যায়। 15 দিনে কত মিটার রাস্তা তৈরি করা যাবে?
সম্পর্ক: সময়ের সাথে কাজের পরিমাণের সরল সম্পর্ক।
সমাধান:
25 দিনে কাজ হয় 45 মিটার।
$\therefore$ 1 দিনে কাজ হয় $\frac{45}{25}$ মিটার।
$\therefore$ 15 দিনে কাজ হয় $\frac{45 \times 15}{25}$ মিটার।
কাটাকুটি করে পাই:
$= \frac{45 \times 3}{5}$
$= 9 \times 3$
$= 27$
উত্তর: 15 দিনে 27 একক (দৈর্ঘ্য) কাজ করা যাবে।
4. 1200 মিটার লম্বা একটি সেচের খাল কাটা শুরু হওয়ার 15 দিন পর দেখা গেল খালটির $\frac{3}{4}$ অংশ কাটা হয়েছে। বাকি অংশ কাটতে আর কতদিন সময় লাগবে হিসাব করে দেখি।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
বাকি কাজ = $1 – \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ অংশ।
| কাজের পরিমাণ (অংশ) | সময় (দিন) |
| $\frac{3}{4}$ | 15 |
| $\frac{1}{4}$ | ? |
সম্পর্ক: কাজের পরিমাণের সাথে সময়ের সরল সম্পর্ক।
সমাধান:
$\frac{3}{4}$ অংশ কাজ করতে সময় লাগে 15 দিন।
$\therefore$ 1 অংশ কাজ করতে সময় লাগে $15 \times \frac{4}{3} = 20$ দিন।
$\therefore$ বাকি $\frac{1}{4}$ অংশ কাজ করতে সময় লাগে $20 \times \frac{1}{4} = 5$ দিন।
উত্তর: বাকি অংশ কাটতে আর 5 দিন সময় লাগবে।
5. $3$টি ট্রাক্টর দৈনিক $18$ বিঘা জমি চাষ করতে পারে। $7$টি ট্রাক্টর দৈনিক কত বিঘা জমি চাষ করতে পারবে হিসাব করে লিখি।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| ট্রাক্টর সংখ্যা (টি) | জমির পরিমাণ (বিঘা) |
| $3$ | $18$ |
| $7$ | $?$ |
সম্পর্ক: ট্রাক্টর সংখ্যার সাথে জমির পরিমাণের সরল সম্পর্ক (Direct Relation), কারণ ট্রাক্টর সংখ্যা বাড়লে চাষ করা জমির পরিমাণ বাড়বে।
অতএব, সমানুপাতটি হলো:
$3 : 7 :: 18 : x$
নির্ণেয় জমির পরিমাণ ($x$):
$x = \frac{7 \times 18}{3}$
$x = 7 \times 6$
$x = 42$
উত্তর: $7$টি ট্রাক্টর দৈনিক $42$ বিঘা জমি চাষ করতে পারবে।
6. কুসুমদের কারখানায় $35$ জন লোক এক সপ্তাহে $10$ টন লোহার যন্ত্রাংশ ঢালাই করতে পারেন। মালিক এক সপ্তাহে $14$ টন লোহার যন্ত্র ঢালাই করার বরাত পেয়েছেন। তাকে আর কতজন নতুন লোক নিয়োগ করতে হবে সমানুপাত তৈরি করে হিসাব করি ও সম্পর্ক লিখি।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| কাজের পরিমাণ (টন) | লোকসংখ্যা (জন) |
| $10$ | $35$ |
| $14$ | $?$ ($x$) |
সম্পর্ক: কাজের পরিমাণের সাথে লোকসংখ্যার সরল সমানুপাতী সম্পর্ক (Direct Proportion)। কারণ নির্দিষ্ট সময়ে বেশি কাজ করতে হলে বেশি লোক প্রয়োজন।
অতএব, সমানুপাতটি হলো:
$10 : 14 :: 35 : x$
মোট প্রয়োজনীয় লোকসংখ্যা ($x$):
$x = \frac{14 \times 35}{10}$
$x = \frac{14 \times 7}{2}$ (5 দিয়ে কাটাকাটি করে)
$x = 7 \times 7 = 49$ জন।
অতিরিক্ত নতুন লোক নিয়োগ করতে হবে:
$= 49 – 35 = 14$ জন।
উত্তর: মালিককে আরও $14$ জন নতুন লোক নিয়োগ করতে হবে।
7. উপরের ছক দেখে গণিতের গল্প তৈরি করি ও সম্পর্ক তৈরি করে হিসাব করি।
লোক সংখ্যা (জন): $9 \rightarrow$ কাজের পরিমাণ (সাইকেলের-সংখ্যা): $6$
লোক সংখ্যা (জন): $72 \rightarrow$ কাজের পরিমাণ (সাইকেলের-সংখ্যা): $?$
গণিতের গল্প: একটি সাইকেল কারখানায় $9$ জন শ্রমিক নির্দিষ্ট সময়ে $6$টি সাইকেল তৈরি করতে পারে। যদি শ্রমিকের সংখ্যা বাড়িয়ে $72$ জন করা হয়, তবে ওই একই সময়ে কতগুলি সাইকেল তৈরি হবে?
সম্পর্ক: লোকসংখ্যা বাড়লে উৎপাদিত সাইকেলের সংখ্যাও বাড়বে, তাই এটি সরল সমানুপাত।
অতএব, সমানুপাতটি হলো:
$9 : 72 :: 6 : x$
নির্ণেয় সাইকেলের সংখ্যা ($x$):
$x = \frac{72 \times 6}{9}$
$x = 8 \times 6$ ($9$ দিয়ে $72$ কে ভাগ করে)
$x = 48$
উত্তর: $72$ জন লোক ওই সময়ে $48$টি সাইকেল তৈরি করতে পারবে।
8. আমাদের পাড়ায় একটি পুকুর কাটতে হবে। $24$ জন লোকের ওই পুকুর কাটতে $12$ দিন সময় লাগে। $8$ দিনে ওই পুকুর কাটতে কতজন লোকের দরকার সমানুপাত তৈরি করে হিসাব করি ও সম্পর্ক খুঁজি।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| সময় (দিন) | লোকসংখ্যা (জন) |
| $12$ | $24$ |
| $8$ | $?$ ($x$) |
সম্পর্ক: দিন সংখ্যার সাথে লোকসংখ্যার ব্যস্ত সমানুপাতী সম্পর্ক (Inverse Proportion)। কারণ সময় (দিন) কমলে কাজটি শেষ করতে বেশি লোকের প্রয়োজন হবে।
অতএব, ব্যস্ত সমানুপাতটি হলো:
$8 : 12 :: 24 : x$
প্রয়োজনীয় লোকসংখ্যা ($x$):
$x = \frac{12 \times 24}{8}$
$x = 12 \times 3$ ($8$ দিয়ে $24$ কে ভাগ করে)
$x = 36$
উত্তর: $8$ দিনে ওই পুকুর কাটতে মোট $36$ জন লোকের দরকার হবে।
9. বালব তৈরির একটি সমবায় কারখানায় $45$ জন সদস্য $12$ দিনে $10,000$টি বালব তৈরি করতে পারেন। হঠাৎ একটি জরুরি বরাত পাওয়ায় $9$ দিনে $10,000$ বালব তৈরি করতে হবে। চুক্তিমতো বালব জোগান দিতে কতজন বাড়তি সদস্য নিয়োগ করতে হবে হিসাব করে দেখি।
এখানে বালবের সংখ্যা ($10,000$টি) অপরিবর্তিত আছে। তাই সমস্যাটি হলো দিন সংখ্যা ও সদস্য সংখ্যার মধ্যে।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| সময় (দিন) | সদস্য সংখ্যা (জন) |
| $12$ | $45$ |
| $9$ | $?$ ($x$) |
সম্পর্ক: দিন সংখ্যার সাথে সদস্য সংখ্যার ব্যস্ত সমানুপাতী সম্পর্ক (Inverse Proportion)। কারণ সময় কমলে নির্দিষ্ট কাজ শেষ করতে বেশি লোক প্রয়োজন।
অতএব, ব্যস্ত সমানুপাতটি হলো:
$9 : 12 :: 45 : x$
প্রয়োজনীয় মোট সদস্য সংখ্যা ($x$):
$x = \frac{12 \times 45}{9}$
$x = \frac{12 \times 5}{1}$ ($9$ দিয়ে $45$ কে ভাগ করে)
$x = 60$ জন।
বাড়তি সদস্য নিয়োগ করতে হবে:
$= 60 – 45 = 15$ জন।
উত্তর: চুক্তিমতো বালব জোগান দিতে আরও $15$ জন বাড়তি সদস্য নিয়োগ করতে হবে।
10. $250$ জন লোকের $50$ মিটার দীর্ঘ এবং $35$ মিটার প্রশস্ত একটি পুকুর কাটতে $18$ দিন সময় লাগে। একই গভীরতা বিশিষ্ট $70$ মিটার দীর্ঘ এবং $40$ মিটার প্রশস্ত অপর একটি পুকুর কাটতে $300$ জন লোকের কতদিন সময় লাগবে হিসাব করে লিখি।
এখানে পুকুরের গভীরতা একই, তাই কাজের পরিমাণ পুকুরের ক্ষেত্রফলের উপর নির্ভর করবে।
১ম পুকুরের ক্ষেত্রফল: $50 \times 35 = 1750$ বর্গমিটার।
২য় পুকুরের ক্ষেত্রফল: $70 \times 40 = 2800$ বর্গমিটার।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| কাজের পরিমাণ (বর্গমিটার) | লোকসংখ্যা (জন) | সময় (দিন) |
| $1750$ | $250$ | $18$ |
| $2800$ | $300$ | $?$ ($x$) |
ধাপ ১: কাজের পরিমাণের সাথে সময়ের সম্পর্ক
কাজের পরিমাণ বাড়লে সময় বেশি লাগবে (লোকসংখ্যা স্থির থাকলে)। এটি সরল সম্পর্ক।
ভগ্নাংশটি হবে: $\frac{2800}{1750}$
ধাপ ২: লোকসংখ্যার সাথে সময়ের সম্পর্ক
লোকসংখ্যা বাড়লে সময় কম লাগবে (কাজের পরিমাণ স্থির থাকলে)। এটি ব্যস্ত সম্পর্ক।
ভগ্নাংশটি হবে: $\frac{250}{300}$
নির্ণেয় সময় ($x$):
$x = 18 \times \frac{2800}{1750} \times \frac{250}{300}$
কাটাকাটি করে পাই:
$x = 18 \times \frac{280}{175} \times \frac{5}{6}$ (শূন্য বাদ দিয়ে এবং $50$ দিয়ে ভাগ করে)
$x = 3 \times \frac{280}{175} \times 5$ ($6$ দিয়ে $18$ কে কেটে $3$)
$x = 3 \times \frac{8}{5} \times 5$ ($35$ দিয়ে $280$ ও $175$ কে কাটাকাটি করে)
$x = 3 \times 8$
$x = 24$
উত্তর: $300$ জন লোকের ওই পুকুরটি কাটতে $24$ দিন সময় লাগবে।
শেয়ার