গণিত নবম শ্রেণি: অধ্যায় ১৩ সম্পাদ্য কষে দেখি – 13
সমস্যা 1 এর সমাধান: সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখা অঙ্কন (তিনটি পদ্ধতিতে)
PQ সরলরেখাংশটি আঁকি যার দৈর্ঘ্য 5 সেমি.। ঐ সরলরেখাংশের বহিঃস্থ বিন্দু A নিই। A বিন্দু দিয়ে PQ সরলরেখাংশের সমান্তরাল সরলরেখা আঁকি। (তিন রকম পদ্ধতিতে আঁকি)
প্রথমে একটি 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের সরলরেখাংশ PQ এবং এর বাইরে একটি বিন্দু A নেওয়া হলো।
পদ্ধতি 1: একান্তর কোণ ব্যবহার করে সমান্তরাল অঙ্কন
- PQ সরলরেখাংশের বাইরে A বিন্দুটি নিই।
- A এবং P যুক্ত করে AP সরলরেখাংশ আঁকি।
- P বিন্দুতে AP এর যে পাশে $\angle Q P A$ উৎপন্ন হয়েছে, A বিন্দুতে AP এর বিপরীত পাশে $\angle P A X$ এমনভাবে অঙ্কন করি যাতে $\angle P A X = \angle Q P A$ হয়। এটি একান্তর কোণের নীতি।
- AX সরলরেখাটিই হলো PQ এর সমান্তরাল সরলরেখা।
পদ্ধতি 2: অনুরূপ কোণ ব্যবহার করে সমান্তরাল অঙ্কন
- PQ সরলরেখাংশের উপর P এবং Q ছাড়া যেকোনো একটি বিন্দু R নিই।
- A এবং R যুক্ত করে AR সরলরেখাংশ আঁকি।
- R বিন্দুতে AR এর সাপেক্ষে PQ এর যে পাশে $\angle P R A$ উৎপন্ন হয়েছে, A বিন্দুতে AR এর একই পাশে $\angle R A Y$ এমনভাবে অঙ্কন করি যাতে $\angle R A Y = \angle P R A$ হয়। এটি অনুরূপ কোণের নীতি।
- AY সরলরেখাটিই হলো PQ এর সমান্তরাল সরলরেখা।
পদ্ধতি 3: রম্বস/সামান্তরিক পদ্ধতি ব্যবহার করে সমান্তরাল অঙ্কন
- PQ সরলরেখাংশের উপর P এবং Q ছাড়া যেকোনো একটি বিন্দু R নিই।
- A এবং R যুক্ত করে AR সরলরেখাংশ আঁকি।
- P কে কেন্দ্র করে PR ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি এবং R কে কেন্দ্র করে AP ব্যাসার্ধ নিয়ে আরেকটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুটি S বিন্দুতে ছেদ করে।
- A, S এবং S, P যুক্ত করে APSR চতুর্ভুজটি আঁকি। অঙ্কন অনুসারে, AS = PR এবং SP = AR। অতএব, APSR একটি সামান্তরিক।
- AS সরলরেখাংশটি হলো PQ এর সমান্তরাল সরলরেখা।
সমস্যা 2 এর সমাধান: ত্রিভুজ ও সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজ অঙ্কন
5 সেমি., 8 সেমি. ও 11 সেমি. দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করি এবং ঐ ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি সামান্তরিক অঙ্কন করি যার একটি কোণ $60^\circ$ এবং একটি বাহু $\text{AC}$ বাহুর দৈর্ঘ্যের অর্ধেক। অঙ্কন প্রণালী ও প্রমাণ লিখি।
প্রথমে 5 সেমি., 8 সেমি. ও 11 সেমি. বাহু দ্বারা $\triangle ABC$ অঙ্কন করি। এরপর $\triangle ABC$ এর সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি সামান্তরিক $\text{BDEC}$ অঙ্কন করতে হবে, যেখানে $\angle E B C = 60^\circ$ এবং ভূমি $\text{BC}$ (11 সেমি.)।
অঙ্কন প্রণালী
- প্রথমে তিনটি সরলরেখাংশ নিই যাদের দৈর্ঘ্য 5 সেমি., 8 সেমি. এবং 11 সেমি.।
- যেকোনো একটি সরলরেখাংশ নিই। তার থেকে 11 সেমি. দৈর্ঘ্য কেটে নিয়ে $\text{BC}$ সরলরেখাংশটি আঁকি।
- $\text{B}$ কে কেন্দ্র করে 5 সেমি. ব্যাসার্ধ এবং $\text{C}$ কে কেন্দ্র করে 8 সেমি. ব্যাসার্ধ নিয়ে $\text{BC}$ এর একই পাশে দুটি বৃত্তচাপ আঁকি। তারা $\text{A}$ বিন্দুতে ছেদ করে। $\text{AB}$ ও $\text{AC}$ যুক্ত করে $\triangle \text{ABC}$ অঙ্কন করি।
- $\text{BC}$ এর মধ্যবিন্দু $\text{D}$ চিহ্নিত করি। $\text{AD}$ মধ্যমা যোগ করি।
- $\text{A}$ বিন্দু দিয়ে $\text{BC}$ এর সমান্তরাল একটি সরলরেখা $\text{XY}$ অঙ্কন করি।
- $\text{B}$ বিন্দুতে $\text{BC}$ এর উপর $\angle C B E = 60^\circ$ অঙ্কন করি। $\text{BE}$ সরলরেখা $\text{XY}$ কে $\text{E}$ বিন্দুতে ছেদ করে।
- $\text{D}$ কে কেন্দ্র করে $\text{BE}$ এর সমান্তরাল $\text{DF}$ সরলরেখাংশ আঁকি, যা $\text{XY}$ কে $\text{F}$ বিন্দুতে ছেদ করে। $\text{BF}$ যুক্ত করি।
- $\text{BDEF}$ হলো উদ্দিষ্ট সামান্তরিক।
প্রমাণ
| বিবরণ | কারণ/যুক্তি |
|---|---|
| $XY \parallel BC$ | অঙ্কন অনুসারে। |
| $\triangle ABC$ এবং সামান্তরিক $BDEF$ একই সমান্তরাল সরলরেখা $BC$ এবং $XY$ এর মধ্যে অবস্থিত। | $A$ এবং $D$ বিন্দু $XY$ ও $BC$ এর মধ্যে অবস্থিত। |
| $\text{ক্ষেত্রফল}(\triangle ABC) = 2 \times \text{ক্ষেত্রফল}(\triangle ABD)$ | $AD$ মধ্যমা। |
| $\text{ক্ষেত্রফল}(\text{সামান্তরিক } BDEF) = \text{ভূমি } BD \times h$ | যেখানে $h$ হলো উচ্চতা। |
| $\text{ক্ষেত্রফল}(\triangle ABC) = BD \times h$ | যেহেতু $D$ মধ্যবিন্দু, $BD = \frac{1}{2} BC$, এবং $\text{ক্ষেত্রফল}(\triangle ABC) = \frac{1}{2} BC \times h = BD \times h$. |
| $\text{ক্ষেত্রফল}(\triangle ABC) = \text{ক্ষেত্রফল}(\text{সামান্তরিক } BDEF)$ | একই ভূমি ও সমান্তরালের মধ্যে অবস্থিত ত্রিভুজ ও সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের সম্পর্ক অনুযায়ী। ($BC$ ভূমি ধরে, $D$ মধ্যবিন্দু হওয়ায়) |
অতএব, $BDEF$ হলো $\triangle ABC$ এর সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট উদ্দিষ্ট সামান্তরিক।
সমস্যা 3 এর সমাধান: ত্রিভুজ ও সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট সামান্তরিক অঙ্কন
$\triangle ABC$ অঙ্কন করি যার $AB = 6$ সেমি., $BC = 9$ সেমি., $\angle ABC = 55^\circ$; $\triangle ABC$ – এর সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি সামান্তরিক অঙ্কন করি যার একটি কোণ $60^\circ$ এবং একটি বাহু $AC$ বাহুর দৈর্ঘ্যের অর্ধেক। অঙ্কন প্রণালী ও প্রমাণ লিখি।
প্রথমে $\triangle ABC$ অঙ্কন করতে হবে। তারপর $\triangle ABC$ এর সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি সামান্তরিক $\text{BDEC}$ অঙ্কন করতে হবে, যার $\angle E B C = 60^\circ$ এবং একটি বাহু $AC$ এর অর্ধেক। যেহেতু $AC$ এর অর্ধেক বাহু দ্বারা সামান্তরিকটি আঁকতে হবে, তাই $\triangle ABC$ এর ভূমি $\text{BC}$ ব্যবহার করা সুবিধাজনক।
অঙ্কন প্রণালী
- প্রথমে 6 সেমি. ও 9 সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি সরলরেখাংশ এবং $55^\circ$ ও $60^\circ$ কোণ দুটি অঙ্কন করি।
- যেকোনো একটি সরলরেখাংশ থেকে $\text{BC}$ = 9 সেমি. কেটে নিই।
- $\text{B}$ বিন্দুতে $\text{BC}$ এর উপর $\angle X B C = 55^\circ$ কোণটি অঙ্কন করি।
- $\text{BX}$ রশ্মি থেকে $\text{AB}$ = 6 সেমি. কেটে $\text{A}$ বিন্দু চিহ্নিত করি। $\text{AC}$ যুক্ত করে $\triangle ABC$ অঙ্কন করি।
- $\text{AC}$ বাহুর মধ্যবিন্দু $\text{D}$ চিহ্নিত করি। ($\triangle ABC$ এর ভূমি $\text{BC}$ না ধরে $\text{AC}$ ধরলে, $AC$ এর মধ্যবিন্দু $D$ হবে)।
- $\text{B}$ বিন্দু দিয়ে $\text{AC}$ এর সমান্তরাল একটি সরলরেখা $\text{XY}$ অঙ্কন করি।
- $\text{C}$ বিন্দুতে $\text{AC}$ এর উপর $\angle A C E = 60^\circ$ অঙ্কন করি। $\text{CE}$ সরলরেখা $\text{XY}$ কে $\text{E}$ বিন্দুতে ছেদ করে।
- $\text{D}$ কে কেন্দ্র করে $\text{CE}$ এর সমান্তরাল $\text{DF}$ সরলরেখাংশ আঁকি, যা $\text{XY}$ কে $\text{F}$ বিন্দুতে ছেদ করে। $\text{AF}$ যুক্ত করি।
- $\text{DFCE}$ হলো উদ্দিষ্ট সামান্তরিক।
প্রমাণ
যেহেতু সামান্তরিকটির একটি বাহু $\text{AC}$ এর অর্ধেক হতে হবে, $\triangle ABC$ এর ভূমি $\text{AC}$ এবং তার মধ্যবিন্দু $\text{D}$ ধরে অঙ্কনটি করা হলো।
| বিবরণ | যুক্তি |
|---|---|
| $\triangle ABC$ এবং সামান্তরিক $AFDC$ একই সমান্তরাল সরলরেখা $XY \parallel AC$ এর মধ্যে অবস্থিত। | অঙ্কন অনুসারে। |
| $D$ হলো $AC$ এর মধ্যবিন্দু, তাই $AD = DC = \frac{1}{2} AC$ | অঙ্কন অনুসারে। |
| $\text{ক্ষেত্রফল}(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \times AC \times h$ | যেখানে $h$ হলো $\triangle ABC$ এর উচ্চতা। |
| $\text{ক্ষেত্রফল}(\text{সামান্তরিক } DFCE) = \text{ভূমি } DC \times h’$ | যেখানে $h’$ হলো সামান্তরিকের উচ্চতা। |
| যেহেতু $XY \parallel AC$, $\triangle ABC$ ও সামান্তরিক $DFCE$ এর উচ্চতা সমান, $h = h’$. | একই সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে অবস্থিত। |
| $\text{ক্ষেত্রফল}(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \times AC \times h$ | |
| $\text{ক্ষেত্রফল}(\text{সামান্তরিক } DFCE) = DC \times h = \frac{1}{2} AC \times h$ | কারণ $DC = \frac{1}{2} AC$। |
| $\text{ক্ষেত্রফল}(\triangle ABC) = \text{ক্ষেত্রফল}(\text{সামান্তরিক } DFCE)$ | উভয়ের ক্ষেত্রফল $\frac{1}{2} AC \times h$ এর সমান। |
সমস্যা 4 এর সমাধান: ত্রিভুজ ও সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট আয়তক্ষেত্র অঙ্কন
[span_0](start_span)
$\triangle P Q R$ অঙ্কন করি যার $\angle P Q R = 30^\circ$[span_0](end_span)[span_1](start_span), $\angle P R Q = 75^\circ$[span_1](end_span) [span_2](start_span)এবং $Q R = 8$ সেমি.[span_2](end_span)। [span_3](start_span)$\triangle P Q R$-এর সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র আঁকি।[span_3](end_span)
প্রথমে প্রদত্ত কোণ ও বাহু ব্যবহার করে $\triangle P Q R$ অঙ্কন করতে হবে[span_4](end_span)। $\triangle P Q R$ এর তৃতীয় কোণ: $\angle Q P R = 180^\circ – (30^\circ + 75^\circ) = 180^\circ – 105^\circ = 75^\circ$
অঙ্কন প্রণালী
- প্রথমে 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের $\text{QR}$ সরলরেখাংশ এবং $30^\circ$ ও $75^\circ$ কোণ দুটি অঙ্কন করি।
- যেকোনো একটি সরলরেখাংশ থেকে $\text{QR} = 8$ সেমি. কেটে নিই।
- $\text{Q}$ বিন্দুতে $\text{QR}$ এর উপর $\angle R Q X = 30^\circ$ এবং $\text{R}$ বিন্দুতে $\text{QR}$ এর উপর $\angle Q R Y = 75^\circ$ অঙ্কন করি।
- $\text{QX}$ এবং $\text{RY}$ রশ্মিদ্বয় পরস্পরকে $\text{P}$ বিন্দুতে ছেদ করে। $\triangle P Q R$ হলো উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।
- $\text{QR}$ বাহুর মধ্যবিন্দু $\text{D}$ নির্ণয় করি।
- $\text{P}$ বিন্দু দিয়ে $\text{QR}$ এর সমান্তরাল একটি সরলরেখা $\text{XY}$ অঙ্কন করি।
- $\text{D}$ বিন্দুতে $\text{QR}$ এর উপর $\text{DG}$ লম্ব অঙ্কন করি, যা $\text{XY}$ কে $\text{G}$ বিন্দুতে ছেদ করে। [DG হলো $\triangle PQR$ এর উচ্চতা]
- $\text{D}$ কে ভূমি এবং $\text{DG}$ কে উচ্চতা ধরে $\text{DQ}$ বাহুকে ভূমি হিসেবে নিয়ে $\text{DQGH}$ আয়তক্ষেত্রটি অঙ্কন করা হলো। $\text{Q}$ বিন্দুতে $\text{QR}$ এর উপর $\text{QH}$ লম্ব অঙ্কন করি, যা $\text{XY}$ কে $\text{H}$ বিন্দুতে ছেদ করে।
- $\text{DQGH}$ হলো $\triangle P Q R$ এর সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট উদ্দিষ্ট আয়তক্ষেত্র।
যুক্তি
যেহেতু $\text{D}$ হলো $\text{QR}$ এর মধ্যবিন্দু, $\text{DQ} = \frac{1}{2} \text{QR}$। যেহেতু $\text{XY} \parallel \text{QR}$ এবং $\text{DG} \perp \text{QR}$, তাই $\text{DG}$ হলো $\triangle P Q R$ এর উচ্চতা ($h$)।
$\text{ক্ষেত্রফল}(\text{আয়তক্ষেত্র } DQGH) = \text{ভূমি} (DQ) \times \text{উচ্চতা} (DG)$
$\text{এখানে, } DQ = \frac{1}{2} QR \text{ এবং } DG = h$
$\text{ক্ষেত্রফল}(\text{আয়তক্ষেত্র } DQGH) = \frac{1}{2} QR \times h = \text{ক্ষেত্রফল}(\triangle P Q R)$
অতএব, $\text{DQGH}$ হলো $\triangle P Q R$ এর সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট উদ্দিষ্ট আয়তক্ষেত্র।
সমস্যা 5 এর সমাধান: সমবাহু ত্রিভুজ ও সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট সামান্তরিক অঙ্কন
$6.5$ সেমি. [span_5](start_span)দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করি এবং ঐ ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি সামান্তরিক অঙ্কন করি যার একটি কোণ $45^\circ$[span_5](end_span)
প্রথমে $6.5$ সেমি. বাহু দ্বারা সমবাহু $\triangle ABC$ অঙ্কন করি। তারপর $\triangle ABC$ এর সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি সামান্তরিক $BDEC$ অঙ্কন করতে হবে যার একটি কোণ $45^\circ$।
অঙ্কন প্রণালী
- প্রথমে $6.5$ সেমি. দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখাংশ এবং $45^\circ$ কোণটি অঙ্কন করি।
- যেকোনো একটি সরলরেখাংশ থেকে $\text{BC} = 6.5$ সেমি. কেটে নিই।
- $\text{B}$ এবং $\text{C}$ কে কেন্দ্র করে $6.5$ সেমি. ব্যাসার্ধ নিয়ে $\text{BC}$ এর একই পাশে দুটি বৃত্তচাপ আঁকি। তারা $\text{A}$ বিন্দুতে ছেদ করে। $\text{AB}$ ও $\text{AC}$ যুক্ত করে সমবাহু $\triangle \text{ABC}$ অঙ্কন করি।
- $\text{BC}$ বাহুর মধ্যবিন্দু $\text{D}$ চিহ্নিত করি। ($\text{BD} = \frac{1}{2} \text{BC}$)।
- $\text{A}$ বিন্দু দিয়ে $\text{BC}$ এর সমান্তরাল একটি সরলরেখা $\text{XY}$ অঙ্কন করি।
- $\text{B}$ বিন্দুতে $\text{BC}$ এর উপর $\angle C B E = 45^\circ$ অঙ্কন করি। $\text{BE}$ সরলরেখা $\text{XY}$ কে $\text{E}$ বিন্দুতে ছেদ করে।
- $\text{D}$ কে কেন্দ্র করে $\text{BE}$ এর সমান্তরাল $\text{DF}$ সরলরেখাংশ আঁকি, যা $\text{XY}$ কে $\text{F}$ বিন্দুতে ছেদ করে। $\text{BF}$ যুক্ত করি।
- $\text{BDEF}$ হলো উদ্দিষ্ট সামান্তরিক।
যুক্তি
অঙ্কন প্রণালী 2 এর অনুরূপ। যেহেতু $\text{D}$ হলো $\text{BC}$ এর মধ্যবিন্দু, $\text{BD} = \frac{1}{2} \text{BC}$। $\triangle ABC$ এবং সামান্তরিক $\text{BDEF}$ একই ভূমি $\text{BD}$ এবং একই সমান্তরাল সরলরেখা $\text{XY} \parallel \text{BC}$ এর মধ্যে অবস্থিত।
$\text{ক্ষেত্রফল}(\text{সামান্তরিক } BDEF) = \text{ভূমি } BD \times h$
$\text{যেহেতু } \text{ক্ষেত্রফল}(\triangle ABC) = BD \times h$
$\text{অতএব, } \text{ক্ষেত্রফল}(\triangle ABC) = \text{ক্ষেত্রফল}(\text{সামান্তরিক } BDEF)$
অঙ্কন অনুসারে, $\angle CBE = 45^\circ$। সুতরাং $BDEF$ হলো $\triangle ABC$ এর সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট উদ্দিষ্ট সামান্তরিক।
সমস্যা 6 এর সমাধান: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ও সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট সামান্তরিক অঙ্কন
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করি যার সমান বাহু দুটির প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 8 সেমি. এবং ভূমি 5 সেমি.। ঐ ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি সামান্তরিক অঙ্কন করি যার একটি কোণ ত্রিভুজের সমান কোণ দুটির একটির সমান এবং একটি বাহু ভূমি বাহু দুটির একটির অর্ধেক। [span_6](start_span)[কেবলমাত্র অঙ্কনচিত্র দিতে হবে][span_6](end_span)
প্রথমে $AB = AC = 8$ সেমি. এবং $BC = 5$ সেমি. বাহু দ্বারা $\triangle ABC$ অঙ্কন করি। এই ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি সামান্তরিক $\text{BDEF}$ অঙ্কন করতে হবে, যার একটি কোণ $\angle ABC$ এর সমান এবং একটি বাহু $\frac{BC}{2}$ এর সমান।
অঙ্কন প্রণালী
- প্রথমে 8 সেমি. ও 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি সরলরেখাংশ নিই।
- যেকোনো একটি সরলরেখাংশ থেকে $\text{BC} = 5$ সেমি. কেটে নিই।
- $\text{B}$ এবং $\text{C}$ কে কেন্দ্র করে $8$ সেমি. ব্যাসার্ধ নিয়ে $\text{BC}$ এর একই পাশে দুটি বৃত্তচাপ আঁকি। তারা $\text{A}$ বিন্দুতে ছেদ করে। $\text{AB}$ ও $\text{AC}$ যুক্ত করে সমদ্বিবাহু $\triangle \text{ABC}$ অঙ্কন করি।
- $\text{BC}$ বাহুর মধ্যবিন্দু $\text{D}$ চিহ্নিত করি। ($\text{BD} = \frac{1}{2} \text{BC}$)।
- $\text{A}$ বিন্দু দিয়ে $\text{BC}$ এর সমান্তরাল একটি সরলরেখা $\text{XY}$ অঙ্কন করি।
- $\text{B}$ বিন্দুতে $\text{BC}$ এর উপর $\angle C B E$ এমনভাবে অঙ্কন করি যাতে $\angle C B E = \angle A B C$ হয়। (কারণ $\angle ABC = \angle ACB$) $\text{BE}$ সরলরেখা $\text{XY}$ কে $\text{E}$ বিন্দুতে ছেদ করে।
- $\text{D}$ কে কেন্দ্র করে $\text{BE}$ এর সমান্তরাল $\text{DF}$ সরলরেখাংশ আঁকি, যা $\text{XY}$ কে $\text{F}$ বিন্দুতে ছেদ করে। $\text{BF}$ যুক্ত করি।
- $\text{BDEF}$ হলো উদ্দিষ্ট সামান্তরিক।
যুক্তি
অঙ্কন প্রণালী 2 এর অনুরূপ। সামান্তরিক $\text{BDEF}$ এবং $\triangle ABC$ একই সমান্তরাল সরলরেখা যুগল $\text{XY} \parallel \text{BC}$ এর মধ্যে অবস্থিত, এবং সামান্তরিকের ভূমি $\text{BD}$ হলো $\triangle ABC$ এর ভূমি $\text{BC}$ এর অর্ধেক। ফলে, $\text{ক্ষেত্রফল}(\triangle ABC) = \text{ক্ষেত্রফল}(\text{সামান্তরিক } BDEF)$। সামান্তরিকের একটি কোণ $\angle CBE = \angle ABC$ (অঙ্কন অনুসারে)।
সমস্যা 7 এর সমাধান: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ও সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট আয়তক্ষেত্র অঙ্কন
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করি যার প্রত্যেকটি সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সেমি. এবং ঐ সমান বাহু দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ $30^\circ$; ঐ ত্রিভুজটির সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র অঙ্কন করি। [span_7](start_span)[কেবলমাত্র অঙ্কনচিত্র দিতে হবে][span_7](end_span)
প্রথমে $AB = AC = 8$ সেমি. এবং $\angle BAC = 30^\circ$ দ্বারা $\triangle ABC$ অঙ্কন করতে হবে। এরপর $\triangle ABC$ এর সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র $\text{BDGH}$ অঙ্কন করতে হবে।
অঙ্কন প্রণালী
- প্রথমে 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখাংশ এবং $30^\circ$ কোণটি অঙ্কন করি।
- যেকোনো একটি সরলরেখাংশ থেকে $\text{AB} = 8$ সেমি. কেটে নিই।
- $\text{A}$ বিন্দুতে $\text{AB}$ এর উপর $\angle B A Z = 30^\circ$ অঙ্কন করি।
- $\text{AZ}$ রশ্মি থেকে $\text{AC} = 8$ সেমি. কেটে $\text{C}$ বিন্দু চিহ্নিত করি। $\text{BC}$ যুক্ত করে $\triangle ABC$ অঙ্কন করি।
- $\text{BC}$ বাহুর মধ্যবিন্দু $\text{D}$ নির্ণয় করি। ($\text{BD} = \frac{1}{2} \text{BC}$)।
- $\text{A}$ বিন্দু দিয়ে $\text{BC}$ এর সমান্তরাল একটি সরলরেখা $\text{EF}$ অঙ্কন করি।
- $\text{D}$ বিন্দুতে $\text{BC}$ এর উপর $\text{DG}$ লম্ব অঙ্কন করি, যা $\text{EF}$ কে $\text{G}$ বিন্দুতে ছেদ করে। [DG হলো $\triangle ABC$ এর উচ্চতা]
- $\text{G}$ বিন্দু দিয়ে $\text{BC}$ এর সমান্তরাল $\text{GH}$ সরলরেখাংশ আঁকি। $\text{BD}$ এবং $\text{DG}$ কে সন্নিহিত বাহু ধরে $\text{BDG}$ এর সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট $\text{BDGH}$ আয়তক্ষেত্রটি অঙ্কন করা হলো।
- $\text{BDGH}$ হলো $\triangle ABC$ এর সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট উদ্দিষ্ট আয়তক্ষেত্র।
যুক্তি
যেহেতু $\text{D}$ মধ্যবিন্দু, $\text{BD} = \frac{1}{2} \text{BC}$। আয়তক্ষেত্র $\text{BDGH}$ এর ভূমি $\text{BD}$ এবং উচ্চতা $\text{DG}$। $\triangle ABC$ এবং $\text{BDGH}$ উভয়ের ক্ষেত্রফল সমান, কারণ $\text{ক্ষেত্রফল}(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \times BC \times DG = \frac{1}{2} \times (2 \times BD) \times DG = BD \times DG$ এবং $\text{ক্ষেত্রফল}(\text{আয়তক্ষেত্র } BDGH) = BD \times DG$।
শেয়ার