দশম গনিত: বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 15.1
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 15.1 | বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য
(Page 209 | Q-1 to Q-9)
১. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB একটি জ্যা। B বিন্দুতে একটি স্পর্শক অঙ্কন করেছি যা বর্ধিত AO-কে T বিন্দুতে ছেদ করল। $\angle BAT = 21^\circ$ হলে, $\angle BTA$-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
১. $\triangle OAB$-এ, $OA = OB$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।
সুতরাং, $\triangle OAB$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
$\therefore \angle OBA = \angle OAB = \angle BAT = 21^\circ$।
২. যেহেতু BT হলো B বিন্দুতে স্পর্শক এবং OB ব্যাসার্ধ,
তাই $OB \perp BT$, অর্থাৎ $\angle OBT = 90^\circ$।
৩. এখন $\triangle ABT$-এর ক্ষেত্রে:
$\angle ABT = \angle OBT + \angle OBA = 90^\circ + 21^\circ = 111^\circ$।
প্রদত্ত আছে, $\angle BAT = 21^\circ$।
৪. ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
$\therefore \angle BTA = 180^\circ – (\angle ABT + \angle BAT)$
$= 180^\circ – (111^\circ + 21^\circ)$
$= 180^\circ – 132^\circ = 48^\circ$
উত্তর: $\angle BTA = 48^\circ$
২. কোনো বৃত্তের XY একটি ব্যাস। বৃত্তটির উপর অবস্থিত A বিন্দুতে PAQ বৃত্তের স্পর্শক। X বিন্দু থেকে জ্যা PAQ-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব PAQ-কে Z বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, XA, $\angle YXZ$-এর সমদ্বিখণ্ডক।
[attachment_0](attachment)
প্রমাণ:
ধাপসমূহ:
১. বৃত্তের কেন্দ্র O হলে, OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
সুতরাং, $OA \perp PQ$।
২. আবার প্রদত্ত আছে $XZ \perp PQ$।
যেহেতু একই সরলরেখা PQ-এর ওপর OA এবং XZ উভয়েই লম্ব, তাই $OA \parallel XZ$।
৩. এখন $OA \parallel XZ$ এবং XY তাদের ছেদক।
$\therefore \angle AXZ = \angle OAX$ (একান্তর কোণ) … (i)
৪. আবার $\triangle OAX$-এ, $OA = OX$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।
সুতরাং, $\triangle OAX$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
$\therefore \angle OAX = \angle OXA$ (বা $\angle YXA$) … (ii)
৫. (i) ও (ii) থেকে পাই,
$\angle AXZ = \angle YXA$।
অর্থাৎ, XA সরলরেখা $\angle YXZ$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। (প্রমাণিত)
৩. একটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যার PR একটি ব্যাস। P বিন্দুতে একটি স্পর্শক অঙ্কন করলাম এবং ওই স্পর্শকের উপর S এমন একটি বিন্দু নিলাম যাতে PR = PS হয়। RS, বৃত্তকে T বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ST = RT = PT।
প্রমাণ:
অঙ্কন: P, T যুক্ত করা হলো।
প্রমাণ:
১. যেহেতু PR ব্যাস, তাই স্পর্শক PS ব্যাসের ওপর লম্ব।
$\therefore \angle RPS = 90^\circ$।
$\triangle PRS$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ যেখানে $PR = PS$ (প্রদত্ত)।
$\therefore \angle PRS = \angle PSR = 45^\circ$।
২. অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ, তাই $\angle PTR = 90^\circ$।
সুতরাং $\triangle PTR$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
এখানে $\angle PRT = 45^\circ$ এবং $\angle PTR = 90^\circ$।
$\therefore \angle TPR = 180^\circ – (90^\circ + 45^\circ) = 45^\circ$।
যেহেতু $\angle TPR = \angle TRP$, তাই $PT = RT$ … (i)
৩. আবার $\triangle PTS$ বিবেচনা করি।
$\angle PTS = 180^\circ – \angle PTR = 180^\circ – 90^\circ = 90^\circ$।
$\triangle PTS$-এ $\angle PST = 45^\circ$।
$\therefore \angle TPS = 180^\circ – (90^\circ + 45^\circ) = 45^\circ$।
যেহেতু $\angle TPS = \angle PST$, তাই $PT = ST$ … (ii)
৪. (i) ও (ii) থেকে পাই,
$ST = RT = PT$। (প্রমাণিত)
৪. একটি O কেন্দ্রীয় বৃত্ত অঙ্কন করি যার দুটি ব্যাসার্ধ OA ও OB পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পরকে T বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, AB = OT এবং তারা পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
প্রমাণ:
১. চতুর্ভুজ OATB-তে:
$\angle OAT = 90^\circ$ (স্পর্শক ও ব্যাসার্ধের সম্পর্ক)
$\angle OBT = 90^\circ$ (স্পর্শক ও ব্যাসার্ধের সম্পর্ক)
$\angle AOB = 90^\circ$ (প্রদত্ত)
$\therefore \angle ATB = 360^\circ – (90+90+90)^\circ = 90^\circ$।
২. যেহেতু OATB চতুর্ভুজের প্রতিটি কোণ $90^\circ$, তাই এটি একটি আয়তক্ষেত্র।
আবার প্রদত্ত আছে $OA = OB$ (ব্যাসার্ধ)।
যে আয়তক্ষেত্রের সন্নিহিত বাহুগুলি সমান, তা একটি বর্গক্ষেত্র।
$\therefore OATB$ একটি বর্গক্ষেত্র।
৩. আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান এবং তারা পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
এখানে AB এবং OT হলো কর্ণ।
সুতরাং, $AB = OT$ এবং তারা পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (প্রমাণিত)
৫. দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের জ্যা যথাক্রমে AB ও AC ওই বৃত্ত দুটির একটিকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করলে, প্রমাণ করি যে, $PQ = \frac{1}{2} BC$।
[attachment_1](attachment)
প্রমাণ:
১. ধরি বৃত্ত দুটির কেন্দ্র O।
বড় বৃত্তের জ্যা AB ছোট বৃত্তকে P বিন্দুতে স্পর্শ করে।
$\therefore OP \perp AB$।
আমরা জানি, কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
$\therefore P$ হলো AB-এর মধ্যবিন্দু।
২. একইভাবে, জ্যা AC ছোট বৃত্তকে Q বিন্দুতে স্পর্শ করে।
$\therefore Q$ হলো AC-এর মধ্যবিন্দু।
৩. এখন $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রে:
AB বাহুর মধ্যবিন্দু P এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু Q।
ত্রিভুজের মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য অনুযায়ী, কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক হয়।
$\therefore PQ = \frac{1}{2} BC$। (প্রমাণিত)
৬. O কেন্দ্রীয় কোনো বৃত্তের ওপর অবস্থিত A বিন্দুতে স্পর্শকের ওপর X যে-কোনো একটি বিন্দু। X বিন্দু থেকে অঙ্কিত একটি ছেদক বৃত্তকে Y ও Z বিন্দুতে ছেদ করে। YZ-এর মধ্যবিন্দু P হলে, প্রমাণ করি যে, XAPO বা XAOP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
প্রমাণ:
১. A বিন্দুতে স্পর্শক এবং OA ব্যাসার্ধ, তাই $\angle OAX = 90^\circ$।
২. আবার YZ জ্যা-এর মধ্যবিন্দু P।
কেন্দ্র O এবং জ্যা-এর মধ্যবিন্দু P সংযোজক সরলরেখা জ্যা-এর ওপর লম্ব হয়।
$\therefore OP \perp YZ$, অর্থাৎ $\angle OPX = 90^\circ$।
৩. এখন চতুর্ভুজ XAPO (বা XAOP)-এর কথা বিবেচনা করি।
OX রেখাংশের একই পার্শ্বে দুটি বিন্দু A এবং P অবস্থিত এবং ওই বিন্দু দুটিতে OX রেখাংশ সমান কোণ ($\angle OAX = \angle OPX = 90^\circ$) উৎপন্ন করেছে।
৪. জ্যামিতির নিয়ম অনুসারে, কোনো রেখাংশের একই পার্শ্বে অবস্থিত দুটি বিন্দুতে সমান কোণ উৎপন্ন হলে, বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ হয়।
$\therefore X, A, P, O$ বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
অর্থাৎ, XAPO একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। (প্রমাণিত)
৭. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসের উপর P যে-কোনো একটি বিন্দু। ওই ব্যাসের উপর O বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করে। বর্ধিত QP বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করে। R বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বর্ধিত OP-কে S বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, SP = SR।
প্রমাণ:
আমাদের প্রমাণ করতে হবে $\triangle SPR$ সমদ্বিবাহু, অর্থাৎ $\angle SPR = \angle SRP$।
১. $\triangle OQR$-এ $OQ = OR$ (ব্যাসার্ধ)।
$\therefore \angle OQR = \angle ORQ$। ধরি এই কোণটি $\alpha$।
$\therefore \angle OQR = \angle ORQ = \alpha$।
২. $\triangle POQ$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ (যেহেতু $OQ \perp OS$)।
$\therefore \angle OPQ = 90^\circ – \angle OQP = 90^\circ – \alpha$।
বিপ্রতীপ কোণ হিসেবে, $\angle SPR = \angle OPQ = 90^\circ – \alpha$ … (i)
৩. আবার R বিন্দুতে SR স্পর্শক এবং OR ব্যাসার্ধ।
$\therefore \angle ORS = 90^\circ$।
৪. এখন $\angle SRP = \angle SRO – \angle ORQ$
$= 90^\circ – \alpha$ … (ii)
৫. (i) ও (ii) থেকে পাই, $\angle SPR = \angle SRP$।
কোনো ত্রিভুজের দুটি কোণ সমান হলে তাদের বিপরীত বাহুগুলিও সমান হয়।
$\therefore SP = SR$। (প্রমাণিত)
৮. আমি O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যার QR একটি জ্যা। Q ও R বিন্দুতে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। QM বৃত্তের একটি ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে, $\angle QPR = 2\angle RQM$।
প্রমাণ:
১. চতুর্ভুজ PQOR-এ:
$\angle OQP = 90^\circ$ এবং $\angle ORP = 90^\circ$ (স্পর্শক ও ব্যাসার্ধ)।
$\therefore \angle QPR + \angle QOR = 180^\circ$
বা, $\angle QOR = 180^\circ – \angle QPR$ … (i)
২. আবার $\triangle OQR$-এ $OQ = OR$ (ব্যাসার্ধ)।
$\therefore \angle OQR = \angle ORQ$।
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$, তাই:
$\angle QOR = 180^\circ – (\angle OQR + \angle ORQ) = 180^\circ – 2\angle OQR$ … (ii)
৩. (i) ও (ii) তুলনা করে পাই:
$180^\circ – \angle QPR = 180^\circ – 2\angle OQR$
বা, $\angle QPR = 2\angle OQR$।
৪. যেহেতু QM ব্যাস, তাই M, O, Q একই সরলরেখায় অবস্থিত।
$\angle OQR$ এবং $\angle RQM$ আসলে একই কোণ (শুধুমাত্র বাহুর দৈর্ঘ্য ভিন্ন)।
$\therefore \angle QPR = 2\angle RQM$। (প্রমাণিত)
৯. দুটি জ্যা AC ও BD দুটি জ্যা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে এবং C ও D বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, $\angle P + \angle Q = 2\angle BOC$।
প্রমাণ:
ধাপসমূহ:
১. A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক P বিন্দুতে ছেদ করে।
স্পর্শকদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়ের সূত্র অনুযায়ী, $\angle P = 180^\circ – \angle AOB’$ (যেখানে $O’$ হলো বৃত্তের কেন্দ্র)।
কিন্তু কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOB’ = 2 \angle ADB$ (পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ)।
$\therefore \angle P = 180^\circ – 2\angle ADB$ … (i)
২. একইভাবে C ও D বিন্দুর স্পর্শক Q বিন্দুতে ছেদ করে।
$\therefore \angle Q = 180^\circ – 2\angle CAD$ … (ii)
৩. (i) ও (ii) যোগ করে পাই:
$\angle P + \angle Q = 360^\circ – 2(\angle ADB + \angle CAD)$
৪. এখন $\triangle AOD$ (যেখানে O হলো জ্যা-এর ছেদবিন্দু)-এর ক্ষেত্রে:
তিনটি কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
$\angle AOD + \angle ADB + \angle CAD = 180^\circ$
বা, $\angle ADB + \angle CAD = 180^\circ – \angle AOD$
৫. এই মানটি ৩ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$\angle P + \angle Q = 360^\circ – 2(180^\circ – \angle AOD)$
$= 360^\circ – 360^\circ + 2\angle AOD$
$= 2\angle AOD$
৬. চিত্রানুযায়ী, $\angle AOD$ এবং $\angle BOC$ বিপ্রতীপ কোণ, তাই তারা সমান।
$\therefore \angle P + \angle Q = 2\angle BOC$। (প্রমাণিত)
শেয়ার