দশম গনিত: বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য – কষে দেখি 15.2
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 15.2 | বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য
(Page 218 | Q-1 to Q-10)
১. 16 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 17 সেমি দূরত্বে অবস্থিত বহিঃস্থ একটি বিন্দু থেকে অঙ্কিত বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস = 16 সেমি।
$\therefore$ বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) = $\frac{16}{2} = 8$ সেমি।
কেন্দ্র থেকে বহিঃস্থ বিন্দুর দূরত্ব ($d$) = 17 সেমি।
আমরা জানি, স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{d^2 – r^2}$
$= \sqrt{(17)^2 – (8)^2}$
$= \sqrt{289 – 64}$
$= \sqrt{225} = 15$ সেমি।
উত্তর: স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 15 সেমি।
২. একটি বৃত্তের ওপর অবস্থিত P ও Q বিন্দু দুটিতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি A বিন্দুতে ছেদ করেছে। $\angle PAQ = 60^\circ$ হলে $\angle APQ$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে বৃত্তের ওপর দুটি স্পর্শক AP এবং AQ অঙ্কন করা হয়েছে।
আমরা জানি, বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটির দৈর্ঘ্য সমান হয়।
$\therefore AP = AQ$।
এখন $\triangle APQ$-এর ক্ষেত্রে,
যেহেতু $AP = AQ$, তাই এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং বিপরীত কোণগুলি সমান হবে।
$\therefore \angle APQ = \angle AQP$।
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
$\therefore \angle PAQ + \angle APQ + \angle AQP = 180^\circ$
বা, $60^\circ + 2\angle APQ = 180^\circ$
বা, $2\angle APQ = 120^\circ$
বা, $\angle APQ = 60^\circ$
উত্তর: $\angle APQ$-এর মান $60^\circ$।
৩. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক AP ও AQ বৃত্তকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করে। PR একটি ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে, $OA \parallel RQ$।
প্রমাণ:
ধাপ ১: বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত স্পর্শক AP ও AQ।
আমরা জানি, কেন্দ্র ও বহিঃস্থ বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা (OA), স্পর্শবিন্দুগামী জ্যা (PQ)-কে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
$\therefore OA \perp PQ$ … (i)
ধাপ ২: আবার PR বৃত্তের ব্যাস।
আমরা জানি, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ।
$\therefore \angle PQR = 90^\circ$, অর্থাৎ $RQ \perp PQ$ … (ii)
ধাপ ৩: (i) ও (ii) থেকে পাই,
একই সরলরেখা PQ-এর ওপর OA এবং RQ উভয়েই লম্ব।
সুতরাং, $OA \parallel RQ$। (প্রমাণিত)
৪. প্রমাণ করি যে, একটি বৃত্তের পরিলিখিত কোনো চতুর্ভুজের যে-কোনো দুটি বিপরীত বাহু দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ সম্মুখ কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক।
প্রমাণ:
ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের পরিলিখিত চতুর্ভুজ ABCD বৃত্তটিকে P, Q, R, S বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে: $\angle AOB + \angle COD = 180^\circ$ এবং $\angle BOC + \angle AOD = 180^\circ$।
যুক্তি:
আমরা জানি, বহিঃস্থ বিন্দু থেকে বৃত্তের ওপর অঙ্কিত স্পর্শক দুটি কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে।
$\therefore \angle AOP = \angle AOS$ (ধরি $\alpha$)
$\angle BOP = \angle BOQ$ (ধরি $\beta$)
$\angle COQ = \angle COR$ (ধরি $\gamma$)
$\angle DOR = \angle DOS$ (ধরি $\delta$)
কেন্দ্রের চারপাশের মোট কোণ $360^\circ$।
$\therefore 2\alpha + 2\beta + 2\gamma + 2\delta = 360^\circ$
বা, $2(\alpha + \beta + \gamma + \delta) = 360^\circ$
বা, $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 180^\circ$
এখন, $\angle AOB + \angle COD = (\alpha + \beta) + (\gamma + \delta) = 180^\circ$।
অনুরূপভাবে, $\angle BOC + \angle AOD = 180^\circ$। (প্রমাণিত)
৫. প্রমাণ করি যে, বৃত্তের পরিলিখিত সামান্তরিক মাত্রই রম্বস।
প্রমাণ:
ধরি, ABCD একটি সামান্তরিক যা বৃত্তকে P, Q, R, S বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
ধাপ ১: বৃত্তের পরিলিখিত চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলির সমষ্টি সমান হয়।
$\therefore AB + CD = AD + BC$ … (i)
ধাপ ২: যেহেতু ABCD একটি সামান্তরিক, তাই এর বিপরীত বাহুগুলি সমান।
$\therefore AB = CD$ এবং $AD = BC$।
ধাপ ৩: (i) নং সমীকরণে মান বসিয়ে পাই,
$AB + AB = AD + AD$
বা, $2AB = 2AD$
বা, $AB = AD$
সিদ্ধান্ত: যে সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু দুটি সমান (AB = AD), সেটি একটি রম্বস।
$\therefore ABCD$ একটি রম্বস। (প্রমাণিত)
৬. A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের উপর O একটি বিন্দু এবং OD ও OE যথাক্রমে A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তকে স্পর্শ করেছে। $\angle COD = 56^\circ, \angle COE = 40^\circ, \angle ACD = x^\circ$ এবং $\angle BCE = y^\circ$ হলে প্রমাণ করি যে $OD = OC = OE$ এবং $x – y = 8$।
সমাধান ও প্রমাণ:
প্রথম অংশ ($OD=OC=OE$):
O বিন্দুটি সাধারণ স্পর্শকের ওপর অবস্থিত।
বহিঃস্থ বিন্দু O থেকে A কেন্দ্রীয় বৃত্তের ওপর দুটি স্পর্শক OD এবং OC। $\therefore OD = OC$।
আবার, O থেকে B কেন্দ্রীয় বৃত্তের ওপর দুটি স্পর্শক OE এবং OC। $\therefore OE = OC$।
সুতরাং, $OD = OC = OE$। (প্রমাণিত)
দ্বিতীয় অংশ ($x-y=8$):
১. $\triangle ODC$ ত্রিভুজে $OD = OC$, তাই এটি সমদ্বিবাহু।
আবার স্পর্শক ও ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্ব। এখানে OC স্পর্শক এবং AC ব্যাসার্ধ, তাই $\angle ACO = 90^\circ$।
$\therefore \angle OCD = 90^\circ – \angle ACD = 90^\circ – x$।
যেহেতু $\triangle ODC$ সমদ্বিবাহু, তাই $\angle ODC = \angle OCD = 90^\circ – x$।
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$ ধরে:
$56^\circ + 2(90^\circ – x) = 180^\circ$
বা, $56^\circ + 180^\circ – 2x = 180^\circ$
বা, $2x = 56^\circ \Rightarrow x = 28$।
২. একইভাবে $\triangle OCE$ ত্রিভুজে $OE = OC$, তাই এটি সমদ্বিবাহু।
$\angle OCE = 90^\circ – \angle BCE = 90^\circ – y$।
$40^\circ + 2(90^\circ – y) = 180^\circ$
বা, $40^\circ + 180^\circ – 2y = 180^\circ$
বা, $2y = 40^\circ \Rightarrow y = 20$।
৩. এখন, $x – y = 28 – 20 = 8$। (প্রমাণিত)
৭. A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি নির্দিষ্ট বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে। অপর একটি বৃত্ত, ওই বৃত্ত দুটিকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ এবং বৃহত্তর বৃত্তটিকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O যদি এই বৃত্তের কেন্দ্র হয়, তবে প্রমাণ করি যে, $AO + BO$ ধ্রুবক হবে।
প্রমাণ:
ধরি, A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $R_1$ ও $R_2$ (যেখানে $R_1, R_2$ ধ্রুবক)।
O কেন্দ্রীয় বৃত্তটির ব্যাসার্ধ ধরি $r$।
১. O কেন্দ্রীয় বৃত্তটি A কেন্দ্রীয় বৃত্তকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ করেছে।
অন্তঃস্পর্শের ক্ষেত্রে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = ব্যাসার্ধদ্বয়ের অন্তর।
$\therefore AO = R_1 – r$ (ধরি A বড় বৃত্ত)।
২. O কেন্দ্রীয় বৃত্তটি B কেন্দ্রীয় বৃত্তকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।
বহিঃস্পর্শের ক্ষেত্রে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = ব্যাসার্ধদ্বয়ের সমষ্টি।
$\therefore BO = R_2 + r$।
৩. এখন, $AO + BO = (R_1 – r) + (R_2 + r)$
$= R_1 + R_2$
যেহেতু $R_1$ ও $R_2$ নির্দিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, তাই তাদের যোগফলও ধ্রুবক।
$\therefore AO + BO$ ধ্রুবক। (প্রমাণিত)
৮. A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, $AP \parallel BQ$।
প্রমাণ:
১. $\triangle APO$-তে $AP = AO$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।
$\therefore \angle APO = \angle AOP$।
২. $\triangle BQO$-তে $BQ = BO$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।
$\therefore \angle BQO = \angle BOQ$।
৩. আবার $\angle AOP$ এবং $\angle BOQ$ বিপ্রতীপ কোণ।
$\therefore \angle AOP = \angle BOQ$।
৪. ১, ২ ও ৩ থেকে পাই,
$\angle APO = \angle BQO$।
কিন্তু চিত্রানুযায়ী এরা একান্তর কোণ। দুটি সরলরেখাকে অপর একটি সরলরেখা ছেদ করলে যদি একান্তর কোণ সমান হয়, তবে সরলরেখা দুটি সমান্তরাল।
$\therefore AP \parallel BQ$। (প্রমাণিত)
৯. তিনটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করেছে। প্রমাণ করি যে, ওই বৃত্ত তিনটির কেন্দ্রগুলি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
প্রমাণ:
ধরি, তিনটি সমান বৃত্তের কেন্দ্র A, B ও C এবং প্রত্যেকের ব্যাসার্ধ $r$।
যেহেতু বৃত্তগুলি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে, তাই তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব হবে ব্যাসার্ধ দুটির সমষ্টি।
$\therefore AB = r + r = 2r$
$BC = r + r = 2r$
$CA = r + r = 2r$
যেহেতু $\triangle ABC$-এর তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যই সমান ($AB = BC = CA = 2r$),
তাই $\triangle ABC$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)
১০. একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু A থেকে অঙ্কিত AB ও AC দুটি স্পর্শক বৃত্তকে B ও C বিন্দুতে স্পর্শ করে। উপচাপ BC-এর উপর অবস্থিত X বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক AB ও AC-কে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, $\triangle ADE$-এর পরিসীমা = 2 AB।
প্রমাণ:
আমাদের প্রমাণ করতে হবে: $AD + DE + AE = 2AB$
১. বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে B ও C বিন্দুতে স্পর্শক।
$\therefore AB = AC$ … (i)
২. আবার D বিন্দু থেকে স্পর্শক DB ও DX (X বিন্দুতে স্পর্শক)।
$\therefore DB = DX$ … (ii)
৩. এবং E বিন্দু থেকে স্পর্শক EC ও EX।
$\therefore EC = EX$ … (iii)
৪. এখন $\triangle ADE$-এর পরিসীমা
$= AD + DE + AE$
$= AD + (DX + XE) + AE$
$= AD + DB + EC + AE$ [(ii) ও (iii) নং ব্যবহার করে]
$= (AD + DB) + (AE + EC)$
$= AB + AC$
$= AB + AB$ [(i) নং ব্যবহার করে]
$= 2AB$
$\therefore \triangle ADE$-এর পরিসীমা = 2 AB। (প্রমাণিত)
১১. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ A বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক বৃত্তকে B বিন্দুতে স্পর্শ করে। OB = 5 সেমি, AO = 13 সেমি হলে, AB-এর দৈর্ঘ্য
- (a) 12 সেমি
- (b) 13 সেমি
- (c) 6.5 সেমি
- (d) 6 সেমি
সমাধান:
যেহেতু B বিন্দুতে স্পর্শক এবং OB ব্যাসার্ধ, তাই $\angle OBA = 90^\circ$।
$\triangle OBA$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী: $AB^2 + OB^2 = AO^2$
$AB^2 + 5^2 = 13^2$
$AB^2 = 169 – 25 = 144$
$AB = \sqrt{144} = 12$ সেমি।
সঠিক উত্তর: (a) 12 সেমি
(ii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। AB বৃত্ত দুটির একটি সাধারণ স্পর্শক বৃত্ত দুটিকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। $\angle ACB$-এর পরিমাপ
- (a) $60^\circ$
- (b) $45^\circ$
- (c) $30^\circ$
- (d) $90^\circ$
সমাধান:
দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে স্পর্শবিন্দুতে (C) উৎপন্ন কোণ এবং সাধারণ স্পর্শকের স্পর্শবিন্দুদ্বয়ের (A ও B) সংযোগে গঠিত ত্রিভুজের কোণ $\angle ACB$ সর্বদা $90^\circ$ হয়।
সঠিক উত্তর: (d) $90^\circ$
(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি। O বিন্দু থেকে 13 সেমি দূরত্বে P একটি বিন্দু। P বিন্দু থেকে বৃত্তের দুটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য PQ এবং PR; PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল
- (a) 60 বর্গ সেমি
- (b) 30 বর্গ সেমি
- (c) 120 বর্গ সেমি
- (d) 150 বর্গ সেমি
সমাধান:
স্পর্শক PQ-এর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = 12$ সেমি।
$\triangle POQ$-এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30$ বর্গ সেমি।
PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = $2 \times \triangle POQ$-এর ক্ষেত্রফল = $2 \times 30 = 60$ বর্গ সেমি।
সঠিক উত্তর: (a) 60 বর্গ সেমি
(iv) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি ও 3 সেমি। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
- (a) 2 সেমি
- (b) 2.5 সেমি
- (c) 1.5 সেমি
- (d) 8 সেমি
সমাধান:
বহিঃস্পর্শের ক্ষেত্রে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = ব্যাসার্ধ দুটির সমষ্টি
$= 5 + 3 = 8$ সেমি।
সঠিক উত্তর: (d) 8 সেমি
(v) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.5 সেমি ও 2 সেমি। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করে। বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
- (a) 5.5 সেমি
- (b) 1 সেমি
- (c) 1.5 সেমি
- (d) কোনোটিই নয়
সমাধান:
অন্তঃস্পর্শের ক্ষেত্রে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = ব্যাসার্ধ দুটির অন্তর (বিয়োগফল)
$= 3.5 – 2 = 1.5$ সেমি।
সঠিক উত্তর: (c) 1.5 সেমি
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি বিন্দু P; বৃত্তে অঙ্কিত কোনো স্পর্শক P বিন্দুগামী নয়।
উত্তর: সত্য।
কারণ: বৃত্তের স্পর্শক শুধুমাত্র পরিধির ওপরের বিন্দুকে স্পর্শ করে, ভেতরের কোনো বিন্দু দিয়ে যায় না।
(ii) একটি বৃত্তে একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার সমান্তরাল দুইয়ের অধিক স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
উত্তর: মিথ্যা।
কারণ: একটি নির্দিষ্ট জ্যা বা সরলরেখার সমান্তরাল সর্বোচ্চ দুটি স্পর্শক (ব্যাস-এর দুই প্রান্তে) আঁকা সম্ভব।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) একটি সরলরেখা বৃত্তকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে সরলরেখাটিকে বৃত্তের ________ বলে।
উত্তর: ছেদক (Secant)।
(ii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুটির সর্বাধিক সংখ্যায় ________ টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
উত্তর: 4 (দুটি সরল সাধারণ স্পর্শক ও দুটি তীর্যক সাধারণ স্পর্শক)।
(iii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। A বিন্দুতে অঙ্কিত সাধারণ স্পর্শক হলো ________ সাধারণ স্পর্শক (সরল / তীর্যক)।
উত্তর: তীর্যক (Transverse)।
কারণ: এই স্পর্শকের বিপরীত পার্শে বৃত্ত দুটির কেন্দ্র অবস্থিত।
১২. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) পাশের চিত্রে বৃত্তের কেন্দ্র O এবং BOA বৃত্তের ব্যাস। বৃত্তের P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বর্ধিত BA-কে T বিন্দুতে ছেদ করে। $\angle PBO = 30^\circ$ হলে, $\angle PTA$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধাপ ১: $\triangle POB$-এ $OP = OB$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।
$\therefore \triangle POB$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
$\therefore \angle OPB = \angle PBO = 30^\circ$।
ধাপ ২: বহিঃস্থ কোণ $\angle POT = \text{অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি}$
$= \angle OPB + \angle PBO = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$।
ধাপ ৩: আবার PT হলো P বিন্দুতে স্পর্শক এবং OP ব্যাসার্ধ।
$\therefore OP \perp PT$, অর্থাৎ $\angle OPT = 90^\circ$।
ধাপ ৪: এখন সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle POT$-এ:
$\angle PTA = 90^\circ – \angle POT$
$= 90^\circ – 60^\circ = 30^\circ$।
উত্তর: $\angle PTA$-এর মান $30^\circ$।
(ii) পাশের চিত্রে ABC ত্রিভুজটি একটি বৃত্তে পরিলিখিত এবং বৃত্তকে P, Q, R বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি AP = 4 সেমি, BP = 6 সেমি, AC = 12 সেমি এবং BC = x সেমি হয়, তবে x-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
বহিঃস্থ বিন্দু থেকে বৃত্তের ওপর অঙ্কিত স্পর্শক দুটির দৈর্ঘ্য সমান হয়।
১. A বিন্দু থেকে স্পর্শক: $AR = AP = 4$ সেমি।
২. B বিন্দু থেকে স্পর্শক: $BQ = BP = 6$ সেমি।
৩. C বিন্দু থেকে স্পর্শক: $CQ = CR$।
দেওয়া আছে, $AC = 12$ সেমি।
চিত্রানুযায়ী, $AC = AR + RC$
বা, $12 = 4 + RC$
বা, $RC = 12 – 4 = 8$ সেমি।
যেহেতু $CQ = RC$, তাই $CQ = 8$ সেমি।
এখন, $BC = BQ + QC$
বা, $x = 6 + 8 = 14$।
উত্তর: x-এর মান 14।
(iii) পাশের চিত্রে A, B, C কেন্দ্রবিশিষ্ট তিনটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। যদি AB = 5 সেমি, BC = 7 সেমি এবং CA = 6 সেমি হয়, তবে A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, A, B ও C কেন্দ্রীয় বৃত্ত তিনটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $r_1, r_2$ ও $r_3$।
বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ব্যাসার্ধ দুটির সমষ্টির সমান।
১) $r_1 + r_2 = AB = 5$ … (i)
২) $r_2 + r_3 = BC = 7$ … (ii)
৩) $r_3 + r_1 = CA = 6$ … (iii)
(i), (ii) ও (iii) যোগ করে পাই:
$2(r_1 + r_2 + r_3) = 5 + 7 + 6 = 18$
$\therefore r_1 + r_2 + r_3 = 9$ … (iv)
এখন (iv) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই:
$(r_1 + r_2 + r_3) – (r_2 + r_3) = 9 – 7$
বা, $r_1 = 2$
উত্তর: A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2 সেমি।
(iv) পাশের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক বৃত্তকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করে। বৃত্তের অপর একটি বিন্দু R-তে অঙ্কিত স্পর্শক CP ও CQ-কে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। যদি CP = 11 সেমি এবং BC = 7 সেমি হয়, তবে BR-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান:
১. বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক CP ও CQ সমান।
$\therefore CQ = CP = 11$ সেমি।
২. আবার চিত্রানুযায়ী, $CQ = CB + BQ$
বা, $11 = 7 + BQ$
বা, $BQ = 11 – 7 = 4$ সেমি।
৩. এখন B বিন্দু থেকে বৃত্তের ওপর দুটি স্পর্শক BQ ও BR।
বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান হয়।
$\therefore BR = BQ = 4$ সেমি।
উত্তর: BR-এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি।
(v) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 8 সেমি ও 3 সেমি এবং তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 13 সেমি। বৃত্ত দুটির একটি সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান:
বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($R$) = 8 সেমি।
ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) = 3 সেমি।
কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ($d$) = 13 সেমি।
সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্যের সূত্র:
$= \sqrt{d^2 – (R – r)^2}$
$= \sqrt{(13)^2 – (8 – 3)^2}$
$= \sqrt{169 – (5)^2}$
$= \sqrt{169 – 25}$
$= \sqrt{144} = 12$ সেমি।
উত্তর: সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 12 সেমি।
শেয়ার