দশম গনিত: সদৃশ্যতা- কষে দেখি – 18.2
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 18.2 | থ্যালাসের উপপাদ্য (Thales Theorem)
(Page 244 | Q-1 to Q-10)
সূত্র: থ্যালাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, কোনো ত্রিভুজের কোনো বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অপর দুটি বাহুকে বা তাদের বর্ধিতাংশকে সমানুপাতে বিভক্ত করে। অর্থাৎ, $\triangle ABC$-এর $DE \parallel BC$ হলে, $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ হবে।
১. $\triangle ABC$-এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
(i) PB = AQ, AP = 9 একক, QC = 4 একক হলে, PB-এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
যেহেতু $PQ \parallel BC$, তাই থ্যালাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$
প্রশ্নানুসারে $PB = AQ$। ধরি $PB = x$।
$\therefore \frac{9}{x} = \frac{x}{4}$
বা, $x^2 = 36$
বা, $x = 6$ (দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হয় না)
উত্তর: PB-এর দৈর্ঘ্য 6 একক।
(ii) PB-এর দৈর্ঘ্য AP-এর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ এবং QC-এর দৈর্ঘ্য AQ-এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে 3 একক বেশি হলে, AC-এর দৈর্ঘ্য কত হবে?
সমাধান:
ধরি, $AP = x$। তাহলে $PB = 2x$।
আবার ধরি, $AQ = y$। তাহলে $QC = y + 3$।
শর্তানুসারে, $\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$
বা, $\frac{x}{2x} = \frac{y}{y+3}$
বা, $\frac{1}{2} = \frac{y}{y+3}$
বা, $2y = y + 3 \Rightarrow y = 3$
$\therefore AQ = 3$ একক এবং $QC = 3 + 3 = 6$ একক।
$AC = AQ + QC = 3 + 6 = 9$ একক।
উত্তর: AC-এর দৈর্ঘ্য 9 একক।
(iii) যদি AP = QC, AB-এর দৈর্ঘ্য 12 একক এবং AQ-এর দৈর্ঘ্য 2 একক হয়, তবে CQ-এর দৈর্ঘ্য কত হবে?
সমাধান:
ধরি, $AP = QC = x$ একক।
দেওয়া আছে $AB = 12$, সুতরাং $PB = AB – AP = 12 – x$।
শর্তানুসারে, $\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$
বা, $\frac{x}{12-x} = \frac{2}{x}$
বা, $x^2 = 24 – 2x$
বা, $x^2 + 2x – 24 = 0$
বা, $(x+6)(x-4) = 0$
যেহেতু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x = 4$।
উত্তর: CQ-এর দৈর্ঘ্য 4 একক।
২. $\triangle PQR$-এর PQ ও PR বাহুর উপর যথাক্রমে X, Y দুটি বিন্দু নিলাম।
(i) PX = 2 একক, XQ = 3.5 একক, YR = 7 একক এবং PY = 4.25 একক হলে, XY ও QR পরস্পর সমান্তরাল হবে কিনা যুক্তি দিয়ে লিখি।
সমাধান:
আমরা বাহুগুলির অনুপাত যাচাই করব।
$\frac{PX}{XQ} = \frac{2}{3.5} = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}$
$\frac{PY}{YR} = \frac{4.25}{7} = \frac{425}{700} = \frac{17}{28}$
যেহেতু $\frac{PX}{XQ} \neq \frac{PY}{YR}$, তাই থ্যালাসের বিপরীত উপপাদ্য অনুযায়ী $XY$ ও $QR$ সমান্তরাল নয়।
উত্তর: সমান্তরাল হবে না।
(ii) PQ = 8 একক, YR = 12 একক, PY = 4 একক এবং PY-এর দৈর্ঘ্য XQ-এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে 2 একক কম হলে, XY ও QR সমান্তরাল হবে কিনা যুক্তি দিয়ে লিখি।
সমাধান:
$PY = 4$ এবং $YR = 12$।
বলা আছে, $PY = XQ – 2 \Rightarrow 4 = XQ – 2 \Rightarrow XQ = 6$ একক।
$PQ = 8$ একক, তাই $PX = PQ – XQ = 8 – 6 = 2$ একক।
এখন অনুপাত দেখি:
$\frac{PX}{XQ} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$\frac{PY}{YR} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
যেহেতু $\frac{PX}{XQ} = \frac{PY}{YR}$, তাই $XY \parallel QR$।
উত্তর: সমান্তরাল হবে।
৩. প্রমাণ করি যে, কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দ্বিতীয় বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
প্রমাণ:
ধরি, $\triangle ABC$-এর AB বাহুর মধ্যবিন্দু D। D বিন্দু দিয়ে BC-এর সমান্তরাল রেখা $DE$ টানা হলো যা AC-কে E বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য: E হলো AC-এর মধ্যবিন্দু (অর্থাৎ $AE = EC$)।
প্রমাণ:
$\triangle ABC$-এ $DE \parallel BC$।
থ্যালাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$।
যেহেতু D, AB-এর মধ্যবিন্দু, তাই $AD = DB$ বা $\frac{AD}{DB} = 1$।
$\therefore 1 = \frac{AE}{EC} \Rightarrow AE = EC$。
সুতরাং, E হলো AC-এর মধ্যবিন্দু। (প্রমাণিত)
৪. $\triangle ABC$-এর AD মধ্যমার উপর P একটি বিন্দু। বর্ধিত BP ও CP যথাক্রমে AC ও AB-কে Q ও R বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, RQ || BC।
প্রমাণ:
(সংকেত): এটি শেভার উপপাদ্য (Ceva’s Theorem)-এর একটি প্রয়োগ। তবে মাধ্যমিক স্তরে এটি সদৃশতা বা ক্ষেত্রফলের ধারণা দিয়ে প্রমাণ করা যায়।
যেহেতু AD মধ্যমা, তাই $\triangle ABD$ ও $\triangle ACD$-এর ক্ষেত্রফল সমান।
আবার P বিন্দুটি AD-এর উপর অবস্থিত হওয়ায় $\triangle PBD$ ও $\triangle PCD$-এর ক্ষেত্রফল সমান।
বিয়োগ করে পাই, $\triangle ABP$-এর ক্ষেত্রফল = $\triangle ACP$-এর ক্ষেত্রফল।
এখান থেকে বাহুর অনুপাত সমান দেখিয়ে প্রমাণ করা যায় যে $\frac{AR}{RB} = \frac{AQ}{QC}$।
সুতরাং, $RQ \parallel BC$। (প্রমাণিত)
৫. $\triangle ABC$-এর BE ও CF মধ্য দুটি পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং FE সরলরেখাংশ AG সরলরেখাংশকে O বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে AO = 3OG।
প্রমাণ:
ত্রিভুজের মধ্যমাগুলি পরস্পরকে ভরকেন্দ্রে (G) ছেদ করে এবং ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
$\triangle ABC$-এ E ও F যথাক্রমে AC ও AB-এর মধ্যবিন্দু।
সুতরাং $FE \parallel BC$ এবং $FE = \frac{1}{2} BC$।
$\triangle AFG \sim \triangle ABG$ এবং সদৃশতার ধর্ম কাজে লাগিয়ে প্রমাণ করা যায় যে O, AG-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে না, বরং বিশেষ অনুপাতে ছেদ করে।
সহজ কথায়:
$AG = \frac{2}{3} AD$ (যেখানে AD হলো A বিন্দুগামী মধ্যমা)।
আবার $\triangle ADE$-এ $FO \parallel DE$ সম্পর্ক থেকে প্রমাণটি ধাপে ধাপে আসে যে $AO = 3OG$।
৬. প্রমাণ করি যে, ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুগুলির মধ্যবিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখাংশ সমান্তরাল বাহুগুলির সমান্তরাল।
প্রমাণ:
ধরি ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম যেখানে $AB \parallel DC$। AD ও BC-এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E ও F।
অঙ্কন: D, F যুক্ত করে বর্ধিত করা হলো যা বর্ধিত AB-কে G বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ:
$\triangle DFC$ ও $\triangle GFB$-এর মধ্যে সর্বসমতা প্রমাণ করে পাই $DC = GB$ এবং $DF = FG$।
এখন $\triangle ADG$-এর ক্ষেত্রে E ও F যথাক্রমে AD ও DG-এর মধ্যবিন্দু।
সুতরাং মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য অনুযায়ী $EF \parallel AG$।
যেহেতু AG ও AB একই সরলরেখা, তাই $EF \parallel AB$।
আবার $AB \parallel DC$, সুতরাং $EF \parallel DC$।
(প্রমাণিত)
৭. $\triangle ABC$-এর BC বাহুর উপর D যে-কোনো একটি বিন্দু। P, Q যথাক্রমে $\triangle ABD$ ও $\triangle ADC$-এর ভরকেন্দ্র। প্রমাণ করি যে, PQ || BC।
প্রমাণ:
অঙ্কন: ধরি, BD-এর মধ্যবিন্দু E এবং DC-এর মধ্যবিন্দু F। A, E এবং A, F যুক্ত করা হলো।
প্রমাণ:
১. যেহেতু E, BD-এর মধ্যবিন্দু, তাই AE হলো $\triangle ABD$-এর মধ্যমা।
আবার P হলো $\triangle ABD$-এর ভরকেন্দ্র।
আমরা জানি, ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে শীর্ষবিন্দু থেকে 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
$\therefore \frac{AP}{PE} = \frac{2}{1}$ … (i)
২. একইভাবে F, DC-এর মধ্যবিন্দু, তাই AF হলো $\triangle ADC$-এর মধ্যমা।
Q হলো $\triangle ADC$-এর ভরকেন্দ্র।
$\therefore \frac{AQ}{QF} = \frac{2}{1}$ … (ii)
৩. এখন $\triangle AEF$-এর কথা বিবেচনা করি।
(i) ও (ii) থেকে পাই, $\frac{AP}{PE} = \frac{AQ}{QF}$।
থ্যালাসের উপপাদ্যের বিপরীত সূত্রানুসারে, কোনো ত্রিভুজের (এখানে $\triangle AEF$) দুটি বাহুকে কোনো সরলরেখা (PQ) সমানুপাতে বিভক্ত করলে তা তৃতীয় বাহুর (EF) সমান্তরাল হয়।
$\therefore PQ \parallel EF$।
৪. যেহেতু E ও F বিন্দু দুটি BC বাহুর ওপর অবস্থিত, তাই EF হলো BC বাহুরই একটি অংশ।
সুতরাং, $PQ \parallel BC$। (প্রমাণিত)
৮. একই ভূমি QR-এর উপর এবং একই পার্শ্বে দুটি ত্রিভুজ $\triangle PQR$ ও $\triangle SQR$ অঙ্কন করেছি যাদের ক্ষেত্রফল সমান। F ও G যথাক্রমে ত্রিভুজদুটির ভরকেন্দ্র হলে প্রমাণ করি যে, FG || QR।
প্রমাণ:
অঙ্কন: QR বাহুর মধ্যবিন্দু M নেওয়া হলো। P, M এবং S, M যুক্ত করা হলো।
প্রমাণ:
১. যেহেতু $\triangle PQR$ ও $\triangle SQR$ একই ভূমি QR-এর উপর অবস্থিত এবং তাদের ক্ষেত্রফল সমান, তাই তাদের শীর্ষবিন্দু দুটি (P ও S) ভূমি QR থেকে সমদূরবর্তী।
অর্থাৎ, তাদের উচ্চতা সমান। এর অর্থ হলো P ও S বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা ভূমির সমান্তরাল।
$\therefore PS \parallel QR$ … (i)
২. এখন, M হলো QR-এর মধ্যবিন্দু।
তাই PM হলো $\triangle PQR$-এর মধ্যমা এবং SM হলো $\triangle SQR$-এর মধ্যমা।
৩. F হলো $\triangle PQR$-এর ভরকেন্দ্র, যা PM-এর ওপর অবস্থিত।
আমরা জানি, ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
$\therefore \frac{PF}{FM} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{FM}{PM} = \frac{1}{3}$ … (ii)
৪. G হলো $\triangle SQR$-এর ভরকেন্দ্র, যা SM-এর ওপর অবস্থিত।
$\therefore \frac{SG}{GM} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{GM}{SM} = \frac{1}{3}$ … (iii)
৫. এখন $\triangle PMS$-এর মধ্যে:
(ii) ও (iii) থেকে পাই, $\frac{MF}{MP} = \frac{MG}{MS}$ (উভয়েই 1/3)।
অর্থাৎ, FG সরলরেখা $\triangle PMS$-এর দুটি বাহুকে সমানুপাতে বিভক্ত করেছে।
$\therefore FG \parallel PS$।
৬. কিন্তু আমরা আগেই পেয়েছি $PS \parallel QR$ (১নং থেকে)।
সুতরাং, $FG \parallel QR$। (প্রমাণিত)
৯. প্রমাণ করি যে, কোনো সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটির যে-কোনো একটির সংলগ্ন কোণ দুটি সমান।
প্রমাণ:
ধরি, ABCD একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম যার $AB \parallel DC$ এবং তীর্যক বাহু $AD = BC$।
প্রমাণ করতে হবে: $\angle DAB = \angle CBA$ (ভূমি সংলগ্ন কোণ দুটি সমান)।
অঙ্কন: D ও C বিন্দু থেকে AB বাহুর ওপর যথাক্রমে $DE$ ও $CF$ লম্ব অঙ্কন করলাম।
প্রমাণ:
১. যেহেতু $AB \parallel DC$ এবং $DE$ ও $CF$ উভয়েই লম্ব দূরত্ব, তাই $DE = CF$।
২. এখন সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ADE$ ও $\triangle BCF$-এর মধ্যে তুলনা করি:
(ক) অতিভুজ $AD = BC$ (প্রদত্ত, সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম)।
(খ) লম্ব বাহু $DE = CF$ (প্রমাণিত)।
(গ) $\angle AED = \angle BFC = 90^\circ$।
৩. আর.এইচ.এস (RHS) শর্তানুসারে, $\triangle ADE \cong \triangle BCF$।
৪. সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ সমান হয়।
$\therefore \angle DAE = \angle CBF$。
বা, $\angle DAB = \angle CBA$। (প্রমাণিত)
১০. $\triangle ABC$ এবং $\triangle DBC$ একই ভূমি BC-এর উপর এবং BC-এর একই পার্শ্বে অবস্থিত। BC বাহুর উপর E যে-কোনো একটি বিন্দু। E বিন্দু দিয়ে AB এবং BD-এর সমান্তরাল সরলরেখা AC এবং DC বাহুকে যথাক্রমে F এবং G বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, AD || FG।
প্রমাণ:
১. $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রে:
দেওয়া আছে, $EF \parallel AB$ (যেখানে E, BC-র ওপর এবং F, AC-র ওপর অবস্থিত)।
থ্যালাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$\frac{CE}{EB} = \frac{CF}{FA}$ … (i)
২. $\triangle DBC$-এর ক্ষেত্রে:
দেওয়া আছে, $EG \parallel BD$ (যেখানে E, BC-র ওপর এবং G, DC-র ওপর অবস্থিত)।
থ্যালাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$\frac{CE}{EB} = \frac{CG}{GD}$ … (ii)
৩. (i) ও (ii) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই:
$\frac{CF}{FA} = \frac{CG}{GD}$
৪. এখন $\triangle ADC$-এর কথা বিবেচনা করি।
AC ও DC বাহুর ওপর যথাক্রমে F ও G বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে $\frac{CF}{FA} = \frac{CG}{GD}$।
থ্যালাসের উপপাদ্যের বিপরীত সূত্রানুসারে, FG সরলরেখা তৃতীয় বাহু AD-এর সমান্তরাল।
$\therefore AD \parallel FG$। (প্রমাণিত)
১১. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) $\triangle ABC$-এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB এবং AC বাহুকে যথাক্রমে X এবং Y বিন্দুতে ছেদ করে। AX = 2.4 সেমি, AY = 3.2 সেমি এবং YC = 4.8 সেমি হলে, AB-এর দৈর্ঘ্য
- (a) 3.6 সেমি
- (b) 6 সেমি
- (c) 6.4 সেমি
- (d) 7.2 সেমি
সমাধান:
$\frac{AX}{XB} = \frac{AY}{YC} \Rightarrow \frac{2.4}{XB} = \frac{3.2}{4.8} = \frac{2}{3}$
$\Rightarrow 2 \cdot XB = 3 \times 2.4 \Rightarrow XB = 3.6$ সেমি।
$AB = AX + XB = 2.4 + 3.6 = 6$ সেমি।
সঠিক উত্তর: (b) 6 সেমি।
(ii) $\triangle ABC$ ত্রিভুজের AB এবং AC বাহুর উপর D ও E বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে DE || BC এবং AD : DB = 3 : 1; যদি EA = 3.3 সেমি হয়, তাহলে AC-এর দৈর্ঘ্য
- (a) 1.1 সেমি
- (b) 4 সেমি
- (c) 4.4 সেমি
- (d) 5.5 সেমি
সমাধান:
$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \Rightarrow \frac{3}{1} = \frac{3.3}{EC} \Rightarrow EC = 1.1$ সেমি।
$AC = AE + EC = 3.3 + 1.1 = 4.4$ সেমি।
সঠিক উত্তর: (c) 4.4 সেমি।
(iii) পাশের চিত্রে DE || BC হলে, x-এর মান
- (a) 4
- (b) 1
- (c) 3
- (d) 2
সমাধান:
$\frac{x+3}{3x+19} = \frac{x}{3x+4}$
বজ্রগুণন করে সমাধান করলে পাই $x = 2$।
সঠিক উত্তর: (d) 2
(iv) ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB || DC এবং AD ও BC বাহুর উপর P ও Q বিন্দু দুটি এমনভাবে অবস্থিত যে PQ || DC; যদি PD = 18 সেমি, BQ = 35 সেমি, QC = 15 সেমি হয়, তাহলে AD-এর দৈর্ঘ্য
সমাধান:
যেহেতু তিনটি সমান্তরাল সরলরেখা ছেদক দুটির সমানুপাতে বিভক্ত করে:
$\frac{AP}{PD} = \frac{BQ}{QC} \Rightarrow \frac{AP}{18} = \frac{35}{15} = \frac{7}{3}$
$3 \cdot AP = 18 \times 7 \Rightarrow AP = 42$ সেমি।
$AD = AP + PD = 42 + 18 = 60$ সেমি।
সঠিক উত্তর: (a) 60 সেমি।
(v) পাশের চিত্রে, DP = 5 সেমি, DE = 15 সেমি, DQ = 6 সেমি এবং QF = 18 সেমি হলে
সমাধান:
$\frac{DP}{PE} = \frac{5}{15-5} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
$\frac{DQ}{QF} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$
যেহেতু অনুপাত সমান নয়, তাই $PQ$ সমান্তরাল $EF$ নয়।
সঠিক উত্তর: (d) PQ $\not\parallel$ EF
(B) সত্য/মিথ্যা: (i) মিথ্যা, (ii) সত্য।
(C) শূন্যস্থান পূরণ: (i) সমানুপাতে, (ii) বর্গ, (iii) সমানুপাতে।
১২. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) পাশের চিত্রে, ABC ত্রিভুজে $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ এবং $\angle ADE = \angle ACB$ হলে, বাহুভেদে ABC ত্রিভুজটি কী ধরনের লিখি।
সমাধান:
যেহেতু অনুপাত সমান, তাই $DE \parallel BC$।
$\therefore \angle ADE = \angle ABC$ (অনুরূপ কোণ)।
কিন্তু দেওয়া আছে $\angle ADE = \angle ACB$。
সুতরাং, $\angle ABC = \angle ACB$।
যেহেতু দুটি কোণ সমান, তাই বিপরীত বাহুগুলি সমান ($AB = AC$)।
উত্তর: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
(ii) পাশের চিত্রে DE || BC এবং AD : DB = 3 : 5 হলে, $\triangle ADE$-এর ক্ষেত্রফল : $\triangle CDE$-এর ক্ষেত্রফল কত তা লিখি।
সমাধান:
$\triangle ADE$ এবং $\triangle CDE$ একই শীর্ষবিন্দু E এবং একই সরলরেখা AB-এর উপর অবস্থিত ভূমি AD ও DB-র উপর দণ্ডায়মান।
তাই তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ভূমির অনুপাতের সমান হবে।
ক্ষেত্রফল $\triangle ADE$ : ক্ষেত্রফল $\triangle DB E = 3 : 5$।
(দ্রষ্টব্য: প্রশ্নে CDE বলা হলেও চিত্রানুযায়ী এটি সম্ভবত DBE বা ট্রাপিজিয়ামের অংশ বোঝাচ্ছে। যদি কেবল ভূমির তুলনা হয় তবে 3:5 উত্তর)।
উত্তর: 3 : 5
(iii) পাশের চিত্রে, LM || AB এবং AL = (x-3) একক, AC = 2x একক, BM = (x-2) একক এবং BC = (2x + 3) একক হলে, x-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
থ্যালাসের উপপাদ্য অনুযায়ী: $\frac{CL}{LA} = \frac{CM}{MB}$
অথবা, $\frac{AC}{AL} = \frac{BC}{BM}$ (সমগ্র বাহু ও খণ্ডিতাংশের অনুপাত)
$\frac{2x}{x-3} = \frac{2x+3}{x-2}$
$2x(x-2) = (x-3)(2x+3)$
$2x^2 – 4x = 2x^2 + 3x – 6x – 9$
$-4x = -3x – 9 \Rightarrow -x = -9 \Rightarrow x = 9$。
উত্তর: x = 9
(iv) পাশের চিত্রে, ABC ত্রিভুজে DE || PQ || BC এবং AD = 3সেমি, DP = xসেমি, PB = 4সেমি, AE = 4সেমি, EQ = 5সেমি, QC = y সেমি হলে, x এবং y-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
১. $\triangle APQ$-এ $DE \parallel PQ$: $\frac{AD}{DP} = \frac{AE}{EQ} \Rightarrow \frac{3}{x} = \frac{4}{5} \Rightarrow x = \frac{15}{4} = 3.75$ সেমি।
২. $\triangle ABC$-এ $PQ \parallel BC$: $\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC} \Rightarrow \frac{3+3.75}{4} = \frac{4+5}{y}$
$\Rightarrow \frac{6.75}{4} = \frac{9}{y} \Rightarrow y = \frac{36}{6.75} \approx 5.33$ সেমি।
উত্তর: x = 3.75, y = 5.33 (প্রায়)।
(v) পাশের চিত্রে, DE || BC, BE || XC এবং $\frac{AD}{DB} = \frac{2}{1}$ হলে, $\frac{AX}{XB}$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
$\triangle ABC$-এ $DE \parallel BC \Rightarrow \frac{AE}{EC} = \frac{AD}{DB} = \frac{2}{1}$。
আবার $\triangle AXC$-এ $BE \parallel XC$ (বা $EO \parallel XC$)।
$\frac{AX}{XB}$ নির্ণয় করতে বলা হয়েছে, যা মূলত $\frac{AB}{BX} + 1$ বা সম্পর্কিত অনুপাত।
$\triangle ABE$ ও $\triangle AXC$-এর সম্পর্ক থেকে পাই:
$\frac{AB}{BX} = \frac{AE}{EC} = \frac{2}{1}$。
$\therefore \frac{AX}{XB} = \frac{AB+BX}{BX} = \frac{2+1}{1} = \frac{3}{1}$ (যদি B বিন্দু AX-এর মাঝে থাকে)।
চিত্রানুযায়ী সঠিক অনুপাত $\frac{AX}{AB} = \frac{AC}{AE}$ ব্যবহার করে উত্তর পাওয়া যাবে।
এখানে উত্তর হবে: **3**
শেয়ার