দশম শ্রেণী: একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ – কষে দেখি 1.3
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 1.3 | একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
(Page 13 | Q-1 to Q-11)
১. দুটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 117; সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, একটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা x!
যেহেতু সংখ্যা দুটির অন্তর 3, তাই অপর সংখ্যাটি x+3!
প্রশ্নানুসারে, তাদের বর্গের সমষ্টি 117।
x^2 + (x+3)^2 = 117বা, x^2 + (x^2 + 6x + 9) = 117
বা, 2x^2 + 6x + 9 - 117 = 0
বা, 2x^2 + 6x - 108 = 0
বা, x^2 + 3x - 54 = 0 (2 দিয়ে ভাগ করে)
বা, x^2 + 9x - 6x - 54 = 0
বা, x(x+9) - 6(x+9) = 0
বা, (x+9)(x-6) = 0
সুতরাং, x = -9 অথবা x = 6!
যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক অখণ্ড, তাই x = 6 গ্রহণযোগ্য।
একটি সংখ্যা = 6
অপর সংখ্যাটি = x+3 = 6+3 = 9!
উত্তর: সংখ্যা দুটি হল 6 এবং 9।
২. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 18 মিটার বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 360 বর্গ মিটার হলে, তার উচ্চতা নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজটির উচ্চতা = x মিটার।
প্রশ্নানুসারে, ভূমি = (2x+18) মিটার।
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 360 বর্গ মিটার।
আমরা জানি, ক্ষেত্রফল = \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}
বা, 360 = \frac{1}{2} \times (2x+18) \times x
বা, 360 = (x+9)x
বা, 360 = x^2+9x
বা, x^2+9x-360 = 0
বা, x^2 + 24x - 15x - 360 = 0
বা, x(x+24) - 15(x+24) = 0
বা, (x+24)(x-15) = 0
সুতরাং, x = -24 অথবা x = 15!
যেহেতু উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 15!
উত্তর: ত্রিভুজটির উচ্চতা 15 মিটার।
৩. যদি একটি ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হয়, তবে সংখ্যাটি নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, ধনাত্মক সংখ্যাটি x!
সংখ্যাটির পাঁচগুণ = 5x
সংখ্যাটির বর্গের দ্বিগুণ = 2x^2
প্রশ্নানুসারে, 5x = 2x^2 - 3
বা, 2x^2 - 5x - 3 = 0
বা, 2x^2 - 6x + x - 3 = 0
বা, 2x(x-3) + 1(x-3) = 0
বা, (x-3)(2x+1) = 0
সুতরাং, x = 3 অথবা x = -\frac{1}{2}!
যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক, তাই x = 3!
উত্তর: নির্ণেয় সংখ্যাটি 3।
৪. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি.। এক স্থান থেকে অপর স্থানে মোটর গাড়িতে যেতে যে সময় লাগে জিপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘণ্টা সময় কম লাগে। মোটরগাড়ির অপেক্ষা জিপগাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি. বেশি হলে, মোটর গাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, মোটরগাড়ির গতিবেগ x কিমি./ঘণ্টা।
অতএব, জিপগাড়ির গতিবেগ (x+5) কিমি./ঘণ্টা।
মোট দূরত্ব = 200 কিমি.!
মোটরগাড়ির সময় লাগে = \frac{200}{x} ঘণ্টা।
জিপগাড়ির সময় লাগে = \frac{200}{x+5} ঘণ্টা।
প্রশ্নানুসারে, \frac{200}{x} - \frac{200}{x+5} = 2
বা, 200 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+5} \right) = 2
বা, 100 \left( \frac{(x+5)-x}{x(x+5)} \right) = 1
বা, 100 \left( \frac{5}{x^2+5x} \right) = 1
বা, 500 = x^2+5x
বা, x^2+5x-500 = 0
বা, x^2+25x-20x-500 = 0
বা, x(x+25) - 20(x+25) = 0
বা, (x-20)(x+25) = 0
সুতরাং, x = 20 অথবা x = -25!
গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 20!
উত্তর: মোটরগাড়ির গতিবেগ 20 কিমি./ঘণ্টা।
৫. অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গ মিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার। অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য x মিটার।
পরিসীমা = 180 মিটার।
অর্ধ-পরিসীমা (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = \frac{180}{2} = 90 মিটার।
অতএব, প্রস্থ = (90-x) মিটার।
ক্ষেত্রফল = 2000 বর্গ মিটার।
প্রশ্নানুসারে, \text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ} = \text{ক্ষেত্রফল}
x(90-x) = 2000বা, 90x - x^2 = 2000
বা, x^2 - 90x + 2000 = 0
বা, x^2 - 50x - 40x + 2000 = 0
বা, x(x-50) - 40(x-50) = 0
বা, (x-50)(x-40) = 0
সুতরাং, x = 50 অথবা x = 40!
যদি দৈর্ঘ্য = 50 মিটার হয়, তবে প্রস্থ = 90-50 = 40 মিটার।
যদি দৈর্ঘ্য = 40 মিটার হয়, তবে প্রস্থ = 90-40 = 50 মিটার।
উত্তর: জমিটির দৈর্ঘ্য 50 মিটার এবং প্রস্থ 40 মিটার।
৬. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা 3 কম। সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্ক দুটির গুণফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয়। সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্ক হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্ক = x
প্রশ্নানুসারে, দশকের ঘরের অঙ্ক = x - 3
সুতরাং, দুই অঙ্কের সংখ্যাটি = 10 \times (\text{দশকের অঙ্ক}) + (\text{এককের অঙ্ক})
= 10(x - 3) + x
= 10x - 30 + x
= 11x - 30
সংখ্যাটির অঙ্ক দুটির গুণফল = x \times (x - 3) = x^2 - 3x
শর্তানুসারে,
(সংখ্যাটি) – (অঙ্ক দুটির গুণফল) = 15
বা, (11x - 30) - (x^2 - 3x) = 15
বা, 11x - 30 - x^2 + 3x = 15
বা, -x^2 + 14x - 30 - 15 = 0
বা, -x^2 + 14x - 45 = 0
বা, x^2 - 14x + 45 = 0 (সমীকরণটিকে -1 দিয়ে গুণ করে)
এবার, মিডল টার্ম পদ্ধতিতে সমাধান করি:
বা, x^2 - 9x - 5x + 45 = 0
বা, x(x - 9) - 5(x - 9) = 0
বা, (x - 9)(x - 5) = 0
সুতরাং, হয় x - 9 = 0 অথবা x - 5 = 0
অর্থাৎ, x = 9 অথবা x = 5
দুটি মানই সম্ভব।
যখন x=9, তখন দশকের অঙ্ক = 9-3 = 6 (সংখ্যাটি 69)
যখন x=5, তখন দশকের অঙ্ক = 5-3 = 2 (সংখ্যাটি 25)
যেহেতু দুটি ক্ষেত্রেই (69 এবং 25) শর্ত পূরণ হচ্ছে, তাই এককের অঙ্ক 9 বা 5 হতে পারে।
উত্তর: সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্ক 9 বা 5 হবে।
৭. আমাদের স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি 11\frac{1}{9} মিনিটে পূর্ণ হয়। দুটি নল একসঙ্গে খোলা থাকলে যা সময় লাগে, আলাদাভাবে খোলা থাকলে প্রত্যেকটি নলের চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নল অপর নলটি থেকে 5 মিনিট বেশি সময় নেয়। প্রত্যেকটি নল পৃথকভাবে চৌবাচ্চাটিকে কত সময়ে পূর্ণ করতে পারবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, প্রথম নলটি দিয়ে চৌবাচ্চা পূর্ণ করতে সময় লাগে x মিনিট।
তাহলে, দ্বিতীয় নলটি দিয়ে সময় লাগে (x+5) মিনিট।
দুটি নল একসঙ্গে খোলা থাকলে সময় লাগে 11\frac{1}{9} = \frac{100}{9} মিনিট।
প্রথম নল 1 মিনিটে পূর্ণ করে \frac{1}{x} অংশ।
দ্বিতীয় নল 1 মিনিটে পূর্ণ করে \frac{1}{x+5} অংশ।
দুটি নল 1 মিনিটে একত্রে পূর্ণ করে \frac{1}{100/9} = \frac{9}{100} অংশ।
প্রশ্নানুসারে, \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{9}{100}
বা, \frac{(x+5)+x}{x(x+5)} = \frac{9}{100}
বা, \frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{9}{100}
বা, 9(x^2+5x) = 100(2x+5)
বা, 9x^2+45x = 200x+500
বা, 9x^2-155x-500 = 0
শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী,
বা, x = \frac{-(-155) \pm \sqrt{(-155)^2 - 4(9)(-500)}}{2(9)}
বা, x = \frac{155 \pm \sqrt{24025 + 18000}}{18}
বা, x = \frac{155 \pm \sqrt{42025}}{18}
বা, x = \frac{155 \pm 205}{18}
সুতরাং, x = \frac{155+205}{18} = \frac{360}{18} = 20!
অথবা, x = \frac{155-205}{18} = \frac{-50}{18} (সময় ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই অগ্রাহ্য)।
প্রথম নলের সময় = 20 মিনিট।
দ্বিতীয় নলের সময় = 20+5 = 25 মিনিট।
উত্তর: প্রথম নলটি 20 মিনিটে এবং দ্বিতীয় নলটি 25 মিনিটে চৌবাচ্চাটিকে পৃথকভাবে পূর্ণ করতে পারবে।
৮. পর্ণা ও পীযূষ কোনো একটি কাজ একত্রে 4 দিনে সম্পন্ন করে। আলাদাভাবে কাজ করলে পর্ণার যা সময় লাগে, পীযূষের তার চেয়ে 6 দিন বেশি সময় লাগে। পর্ণা একাকী কাজটি কতদিনে করতে পারবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, পর্ণা একাকী কাজটি x দিনে করতে পারে।
তাহলে, পীযূষ একাকী কাজটি (x+6) দিনে করতে পারে।
দুজনে একত্রে কাজটি 4 দিনে শেষ করে।
পর্ণা 1 দিনে করে \frac{1}{x} অংশ।
পীযূষ 1 দিনে করে \frac{1}{x+6} অংশ।
দুজনে 1 দিনে একত্রে করে \frac{1}{4} অংশ।
প্রশ্নানুসারে, \frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} = \frac{1}{4}
বা, \frac{(x+6)+x}{x(x+6)} = \frac{1}{4}
বা, \frac{2x+6}{x^2+6x} = \frac{1}{4}
বা, 4(2x+6) = 1(x^2+6x)
বা, 8x+24 = x^2+6x
বা, x^2-2x-24 = 0
বা, x^2-6x+4x-24 = 0
বা, x(x-6) + 4(x-6) = 0
বা, (x-6)(x+4) = 0
সুতরাং, x = 6 অথবা x = -4!
দিনসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 6!
উত্তর: পর্ণা একাকী কাজটি 6 দিনে করতে পারবে।
৯. কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে 30 টাকায় আরও 3 টি বেশি কলম পাওয়া যায়। কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য ছিল x টাকা।
তখন 30 টাকায় কলম পাওয়া যেত = \frac{30}{x} ডজন।
প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে, নতুন মূল্য হয় (x-6) টাকা।
এখন 30 টাকায় কলম পাওয়া যায় = \frac{30}{x-6} ডজন।
প্রশ্নানুসারে, নতুন পরিমাণে 3 টি বেশি কলম আছে।
3 টি কলম = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} ডজন।
অতএব, \frac{30}{x-6} - \frac{30}{x} = \frac{1}{4}
বা, 30 \left( \frac{x-(x-6)}{x(x-6)} \right) = \frac{1}{4}
বা, 30 \left( \frac{6}{x^2-6x} \right) = \frac{1}{4}
বা, \frac{180}{x^2-6x} = \frac{1}{4}
বা, x^2-6x = 720
বা, x^2-6x-720 = 0
বা, x^2 - 30x + 24x - 720 = 0
বা, x(x-30) + 24(x-30) = 0
বা, (x-30)(x+24) = 0
সুতরাং, x = 30 অথবা x = -24!
মূল্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 30!
উত্তর: কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য ছিল 30 টাকা।
১০. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা —
উত্তর: (c) দুটি
(ii) ax^2+bx+c=0 দ্বিঘাত সমীকরণ হলে —
উত্তর: (c) a \neq 0
(iii) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত —
উত্তর: (b) 2
(iv) 4(5x^2-7x+2)=5(4x^2-6x+3) সমীকরণটি —
সমাধান:
বা, 20x^2-28x+8 = 20x^2-30x+15
বা, -28x+8 = -30x+15
বা, 30x-28x = 15-8
বা, 2x = 7 (এটি রৈখিক সমীকরণ)
উত্তর: (a) রৈখিক
(v) x^2=6x সমীকরণটির বীজদ্বয়/বীজ —
সমাধান:
বা, x^2-6x = 0
বা, x(x-6) = 0
বা, x=0 অথবা x=6
উত্তর: (c) 0 ও 6
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) (x-3)^2=x^2-6x+9 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
উত্তর: মিথ্যা (কারণ এটি একটি অভেদ, x-এর সকল মানের জন্য সিদ্ধ)।
(ii) x^2=25 সমীকরণের একটি মাত্র বীজ 5।
উত্তর: মিথ্যা (কারণ x = \pm\sqrt{25} = \pm 5, অর্থাৎ দুটি বীজ 5 এবং -5)।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) যদি ax^2+bx+c=0 সমীকরণটির a=0 এবং b \neq 0 হয়, তবে সমীকরণটি একটি রৈখিক সমীকরণ।
(ii) যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হয়, তাহলে সমীকরণটি হলো x^2-2x+1=0। (কারণ (x-1)(x-1)=0 \implies x^2-2x+1=0)
(iii) x^2=6x সমীকরণটির বীজদ্বয় 0 ও 6।
১১. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) x^2+ax+3=0 সমীকরণের একটি বীজ 1 হলে, a-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান: x=1 বসিয়ে পাই, (1)^2+a(1)+3=0 \implies 1+a+3=0 \implies a = -4!
উত্তর: a = -4
(ii) x^2-(2+b)x+6=0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
সমাধান: x=2 বসিয়ে পাই, (2)^2-(2+b)(2)+6=0 \implies 4-4-2b+6=0 \implies -2b = -6 \implies b=3!
সমীকরণটি: x^2-(2+3)x+6=0 \implies x^2-5x+6=0
বা, (x-2)(x-3)=0! একটি বীজ 2, অতএব অপর বীজটি 3।
উত্তর: অপর বীজটি 3।
(iii) 2x^2+kx+4=0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
সমাধান: x=2 বসিয়ে পাই, 2(2)^2+k(2)+4=0 \implies 8+2k+4=0 \implies 2k = -12 \implies k=-6!
সমীকরণটি: 2x^2-6x+4=0 \implies x^2-3x+2=0
বা, (x-2)(x-1)=0! একটি বীজ 2, অতএব অপর বীজটি 1।
উত্তর: অপর বীজটি 1।
(iv) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার অন্যোন্যকের অন্তর \frac{9}{20}; সমীকরণটি লিখি।
সমাধান: ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশটি x (যেখানে x < 1)।
তার অন্যোন্যক \frac{1}{x} (যেখানে \frac{1}{x} > 1)।
অন্তর: \frac{1}{x} - x = \frac{9}{20}
বা, \frac{1-x^2}{x} = \frac{9}{20}
বা, 20(1-x^2) = 9x
বা, 20-20x^2 = 9x
উত্তর: 20x^2+9x-20=0
(v) ax^2+7x+b=0 সমীকরণের দুটি বীজ \frac{2}{3} এবং -3 হলে, a ও b-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = \frac{2}{3} + (-3) = \frac{2-9}{3} = -\frac{7}{3}
সমীকরণ থেকে, বীজদ্বয়ের সমষ্টি = -\frac{7}{a}
অতএব, -\frac{7}{a} = -\frac{7}{3} \implies a = 3!
বীজদ্বয়ের গুণফল = \frac{2}{3} \times (-3) = -2
সমীকরণ থেকে, বীজদ্বয়ের গুণফল = \frac{b}{a}
অতএব, \frac{b}{a} = -2 \implies \frac{b}{3} = -2 \implies b = -6!
উত্তর: a = 3, b = -6
শেয়ার