দশম শ্রেণী: একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ – কষে দেখি 1.5
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 1.5 | দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ
(Page 16 | Q-1 to Q-11)
(নিরূপক (Discriminant, D) = $b^2-4ac$)
১. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি লিখি:
(i) $2x^2+7x+3=0$
সমাধান (i):
সমীকরণটিকে $ax^2+bx+c=0$-এর সাথে তুলনা করে পাই, $a=2, b=7, c=3$
নিরূপক = $b^2-4ac = (7)^2 – 4(2)(3) = 49 – 24 = 25$
যেহেতু নিরূপক $(25 > 0)$ এবং পূর্ণবর্গ, তাই বীজদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।
উত্তর: বীজদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।
(ii) $3x^2-2\sqrt{6}x+2=0$
সমাধান (ii):
$a=3, b=-2\sqrt{6}, c=2$
নিরূপক = $b^2-4ac = (-2\sqrt{6})^2 – 4(3)(2) = (4 \times 6) – 24 = 24 – 24 = 0$
যেহেতু নিরূপক $= 0$, তাই বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান।
উত্তর: বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান।
(iii) $2x^2-7x+9=0$
সমাধান (iii):
$a=2, b=-7, c=9$
নিরূপক = $b^2-4ac = (-7)^2 – 4(2)(9) = 49 – 72 = -23$
যেহেতু নিরূপক $(-23 < 0)$, তাই সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই।
উত্তর: কোনো বাস্তব বীজ নেই (বীজদ্বয় কাল্পনিক)।
(iv) $\frac{2}{5}x^2-\frac{2}{3}x+1=0$
সমাধান (iv):
সমীকরণটিকে 15 (5 ও 3-এর ল.সা.গু.) দিয়ে গুণ করে পাই,
$15\left(\frac{2}{5}x^2\right) – 15\left(\frac{2}{3}x\right) + 15(1) = 0$
বা, $6x^2-10x+15=0$
$a=6, b=-10, c=15$
নিরূপক = $b^2-4ac = (-10)^2 – 4(6)(15) = 100 – 360 = -260$
যেহেতু নিরূপক $(-260 < 0)$, তাই সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই।
উত্তর: কোনো বাস্তব বীজ নেই (বীজদ্বয় কাল্পনিক)।
২. k-এর কোন্ মান/মানগুলির জন্য নীচের প্রতিটি দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি:
(শর্ত: বাস্তব ও সমান বীজের জন্য নিরূপক $D = b^2-4ac = 0$ হতে হবে।)
(i) $49x^2+kx+1=0$
সমাধান (i):
$a=49, b=k, c=1$
নিরূপক = $k^2 – 4(49)(1) = 0$
বা, $k^2 = 196$ বা, $k = \pm 14$
উত্তর: $k = 14, -14$
(ii) $3x^2-5x+2k=0$
সমাধান (ii):
$a=3, b=-5, c=2k$
নিরূপক = $(-5)^2 – 4(3)(2k) = 0$
বা, $25 – 24k = 0$ বা, $k = \frac{25}{24}$
উত্তর: $k = \frac{25}{24}$
(iii) $9x^2-24x+k=0$
সমাধান (iii):
$a=9, b=-24, c=k$
নিরূপক = $(-24)^2 – 4(9)(k) = 0$
বা, $576 – 36k = 0$ বা, $k = \frac{576}{36} = 16$
উত্তর: $k = 16$
(iv) $2x^2+3x+k=0$
সমাধান (iv):
$a=2, b=3, c=k$
নিরূপক = $(3)^2 – 4(2)(k) = 0$
বা, $9 – 8k = 0$ বা, $k = \frac{9}{8}$
উত্তর: $k = \frac{9}{8}$
(v) $x^2-2(5+2k)x+3(7+10k)=0$
সমাধান (v):
$a=1, b=-2(5+2k), c=3(7+10k)$
নিরূপক = $[-2(5+2k)]^2 – 4(1)[3(7+10k)] = 0$
বা, $4(5+2k)^2 – 12(7+10k) = 0$
বা, $(5+2k)^2 – 3(7+10k) = 0$ (4 দিয়ে ভাগ করে)
বা, $(25 + 20k + 4k^2) – 21 – 30k = 0$
বা, $4k^2 – 10k + 4 = 0$
বা, $2k^2 – 5k + 2 = 0$ (2 দিয়ে ভাগ করে)
বা, $2k^2 – 4k – k + 2 = 0$
বা, $2k(k-2) – 1(k-2) = 0$
বা, $(k-2)(2k-1) = 0$
উত্তর: $k = 2, \frac{1}{2}$
(vi) $(3k+1)x^2+2(k+1)x+k=0$
সমাধান (vi):
$a=(3k+1), b=2(k+1), c=k$
নিরূপক = $[2(k+1)]^2 – 4(3k+1)(k) = 0$
বা, $4(k+1)^2 – 4k(3k+1) = 0$
বা, $(k^2+2k+1) – (3k^2+k) = 0$ (4 দিয়ে ভাগ করে)
বা, $-2k^2 + k + 1 = 0$
বা, $2k^2 – k – 1 = 0$ (-1 দিয়ে গুণ করে)
বা, $2k^2 – 2k + k – 1 = 0$
বা, $2k(k-1) + 1(k-1) = 0$
বা, $(k-1)(2k+1) = 0$
উত্তর: $k = 1, -\frac{1}{2}$
৩. নীচে প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি:
(সূত্র: $x^2 – (\text{বীজদ্বয়ের সমষ্টি})x + (\text{বীজদ্বয়ের গুণফল}) = 0$)
(i) 4, 2
সমাধান (i):
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = $4+2 = 6$
বীজদ্বয়ের গুণফল = $4 \times 2 = 8$
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণ $x^2 – 6x + 8 = 0$
(ii) -4, -3
সমাধান (ii):
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = $(-4)+(-3) = -7$
বীজদ্বয়ের গুণফল = $(-4) \times (-3) = 12$
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণ $x^2 – (-7)x + 12 = 0$ বা, $x^2 + 7x + 12 = 0$
(iii) -4, 3
সমাধান (iii):
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = $(-4)+3 = -1$
বীজদ্বয়ের গুণফল = $(-4) \times 3 = -12$
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণ $x^2 – (-1)x – 12 = 0$ বা, $x^2 + x – 12 = 0$
(iv) 5, -3
সমাধান (iv):
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = $5+(-3) = 2$
বীজদ্বয়ের গুণফল = $5 \times (-3) = -15$
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণ $x^2 – 2x – 15 = 0$
৪. m-এর মান কত হলে, $4x^2+4(3m-1)x+(m+7)=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে?
সমাধান:
সমীকরণটি $ax^2+bx+c=0$ হলে, $a=4, c=(m+7)$
বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক (reciprocal) হলে, তাদের গুণফল 1 হয়।
শর্তানুসারে, বীজদ্বয়ের গুণফল = $\frac{c}{a} = 1$
বা, $\frac{m+7}{4} = 1$
বা, $m+7 = 4$
বা, $m = 4 – 7 = -3$
উত্তর: $m = -3$
৫. $(b-c)x^2+(c-a)x+(a-b)=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, $2b=a+c$
সমাধান:
বীজদ্বয় সমান, তাই নিরূপক = 0।
$D = (c-a)^2 – 4(b-c)(a-b) = 0$
বা, $(c^2 – 2ac + a^2) – 4(ab – b^2 – ac + bc) = 0$
বা, $c^2 – 2ac + a^2 – 4ab + 4b^2 + 4ac – 4bc = 0$
বা, $a^2 + 4b^2 + c^2 – 4ab – 4bc + 2ac = 0$
বা, $a^2 + (-2b)^2 + c^2 + 2(a)(-2b) + 2(-2b)(c) + 2(a)(c) = 0$
বা, $(a – 2b + c)^2 = 0$ (যেহেতু $x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx = (x+y+z)^2$)
বা, $a – 2b + c = 0$
বা, $a + c = 2b$
উত্তর: (প্রমাণিত)
৬. $(a^2+b^2)x^2-2(ac+bd)x+(c^2+d^2)=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
সমাধান:
বীজদ্বয় সমান, তাই নিরূপক = 0।
$D = [-2(ac+bd)]^2 – 4(a^2+b^2)(c^2+d^2) = 0$
বা, $4(ac+bd)^2 – 4(a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2) = 0$
বা, $(a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) – (a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2) = 0$
বা, $2abcd – a^2d^2 – b^2c^2 = 0$
বা, $-(a^2d^2 – 2abcd + b^2c^2) = 0$
বা, $a^2d^2 – 2(ad)(bc) + b^2c^2 = 0$
বা, $(ad – bc)^2 = 0$
বা, $ad = bc$
বা, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
উত্তর: (প্রমাণিত)
৭. প্রমাণ করি যে, $2(a^2+b^2)x^2+2(a+b)x+1=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি $a \neq b$ হয়।
সমাধান:
বাস্তব বীজ না থাকার শর্ত হলো নিরূপক < 0।
$D = [2(a+b)]^2 – 4[2(a^2+b^2)](1)$
বা, $D = 4(a^2 + 2ab + b^2) – 8(a^2 + b^2)$
বা, $D = 4a^2 + 8ab + 4b^2 – 8a^2 – 8b^2$
বা, $D = -4a^2 + 8ab – 4b^2$
বা, $D = -4(a^2 – 2ab + b^2)$
বা, $D = -4(a-b)^2$
যেহেতু $a \neq b$, তাই $(a-b) \neq 0$, এবং $(a-b)^2$ সর্বদা একটি ধনাত্মক সংখ্যা হবে।
সুতরাং, $D = -4 \times (\text{ধনাত্মক সংখ্যা}) = \text{ঋণাত্মক সংখ্যা}$
যেহেতু নিরূপক $(D < 0)$, তাই সমীকরণটির কোনো বাস্তব বীজ নেই।
উত্তর: (প্রমাণিত)
৮. $5x^2+2x-3=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ $\alpha$ ও $\beta$ হলে, মান নির্ণয় করি:
সমাধান (মূল):
সমীকরণ থেকে পাই,
বীজদ্বয়ের সমষ্টি: $\alpha+\beta = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{5}$
বীজদ্বয়ের গুণফল: $\alpha\beta = \frac{c}{a} = -\frac{3}{5}$
(i) $\alpha^2+\beta^2$
সমাধান (i): $= (\alpha+\beta)^2 – 2\alpha\beta = \left(-\frac{2}{5}\right)^2 – 2\left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{25} + \frac{6}{5} = \frac{4+30}{25} = \frac{34}{25}$
উত্তর: $\frac{34}{25}$
(ii) $\alpha^3+\beta^3$
সমাধান (ii): $= (\alpha+\beta)^3 – 3\alpha\beta(\alpha+\beta) = \left(-\frac{2}{5}\right)^3 – 3\left(-\frac{3}{5}\right)\left(-\frac{2}{5}\right) = -\frac{8}{125} – \frac{18}{25} = \frac{-8 – 90}{125} = -\frac{98}{125}$
উত্তর: $-\frac{98}{125}$
(iii) $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$
সমাধান (iii): $= \frac{\beta+\alpha}{\alpha\beta} = \frac{-2/5}{-3/5} = \frac{2}{3}$
উত্তর: $\frac{2}{3}$
(iv) $\frac{\alpha^2}{\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha}$
সমাধান (iv): $= \frac{\alpha^3+\beta^3}{\alpha\beta} = \frac{-98/125}{-3/5} = \frac{98}{125} \times \frac{5}{3} = \frac{98}{25 \times 3} = \frac{98}{75}$
উত্তর: $\frac{98}{75}$
৯. $ax^2+bx+c=0$ সমীকরণের একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে, দেখাই যে, $2b^2=9ac$
সমাধান:
ধরি, বীজ দুটি হলো $\alpha$ এবং $2\alpha$
বীজদ্বয়ের সমষ্টি: $\alpha + 2\alpha = -\frac{b}{a}$
বা, $3\alpha = -\frac{b}{a}$
বা, $\alpha = -\frac{b}{3a}$ … (1)
বীজদ্বয়ের গুণফল: $\alpha \times 2\alpha = \frac{c}{a}$
বা, $2\alpha^2 = \frac{c}{a}$ … (2)
(1) নং সমীকরণ থেকে $\alpha$-এর মান (2) নং-এ বসিয়ে পাই,
$2\left(-\frac{b}{3a}\right)^2 = \frac{c}{a}$
বা, $2\left(\frac{b^2}{9a^2}\right) = \frac{c}{a}$
বা, $\frac{2b^2}{9a^2} = \frac{c}{a}$
বা, $2b^2a = 9a^2c$
বা, $2b^2 = 9ac$ (উভয় পক্ষকে $a$ দিয়ে ভাগ করে, $a \neq 0$)
উত্তর: (প্রমাণিত)
১০. যে সমীকরণের বীজগুলি $x^2+px+1=0$ সমীকরণের বীজগুলির অন্যোন্যক, সেই সমীকরণটি গঠন করি।
সমাধান:
ধরি, $x^2+px+1=0$ সমীকরণের বীজ দুটি $\alpha$ ও $\beta$!
আমাদের এমন একটি সমীকরণ গঠন করতে হবে যার বীজ দুটি $\frac{1}{\alpha}$ ও $\frac{1}{\beta}$!
মূল সমীকরণ থেকে পাই, $\alpha+\beta = -p$ এবং $\alpha\beta = 1$
নতুন সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি:
$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta+\alpha}{\alpha\beta} = \frac{-p}{1} = -p$
নতুন সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল:
$\frac{1}{\alpha} \times \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta} = \frac{1}{1} = 1$
নির্ণেয় সমীকরণ:
$x^2 – (\text{সমষ্টি})x + (\text{গুণফল}) = 0$
$x^2 – (-p)x + 1 = 0$
উত্তর: $x^2+px+1=0$ (সমীকরণটি অপরিবর্তিত থাকবে)
১১. $x^2+x+1=0$ সমীকরণের বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করি।
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ $x^2+x+1=0$
ধরি, এই সমীকরণের বীজ দুটি $\alpha$ ও $\beta$!
বীজদ্বয়ের সমষ্টি: $\alpha+\beta = -1$
বীজদ্বয়ের গুণফল: $\alpha\beta = 1$
আমাদের এমন একটি সমীকরণ গঠন করতে হবে যার বীজ দুটি $\alpha^2$ ও $\beta^2$!
নতুন সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি:
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 – 2\alpha\beta$
= $(-1)^2 – 2(1) = 1 – 2 = -1$
নতুন সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল:
$\alpha^2 \times \beta^2 = (\alpha\beta)^2 = (1)^2 = 1$
নির্ণেয় সমীকরণ:
$x^2 – (\text{নতুন সমষ্টি})x + (\text{নতুন গুণফল}) = 0$
$x^2 – (-1)x + 1 = 0$
উত্তর: $x^2+x+1=0$ (সমীকরণটি অপরিবর্তিত থাকবে)
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 1.5 | সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন
(Page 17 | Q-12 & Q-13)
১২. (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) $x^2-6x+2=0$ সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি
(a) 2 (b) -2 (c) 6 (d) -6
সমাধান (i):
সমীকরণ $x^2-6x+2=0$ ($ax^2+bx+c=0$)
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = $-\frac{b}{a} = -(\frac{-6}{1}) = 6$
উত্তর: (c) 6
(ii) $x^2-3x+k=10$ সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল $-2$ হলে, k-এর মান
(a) -2 (b) -8 (c) 8 (d) 12
সমাধান (ii):
প্রদত্ত সমীকরণ $x^2-3x+k-10=0$ ($ax^2+bx+c=0$)
বীজদ্বয়ের গুণফল = $\frac{c}{a} = \frac{k-10}{1} = k-10$
প্রশ্নানুসারে, $k-10 = -2$
বা, $k = 10-2 = 8$
উত্তর: (c) 8
(iii) $ax^2+bx+c=0$ ($a \neq 0$) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, $b^2-4ac$ হবে
(a) $>0$ (b) $<0$ (c) $=0$ (d) কোনোটিই নয়
সমাধান (iii):
দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হওয়ার শর্ত হলো নিরূপক ($b^2-4ac$) শূন্য অপেক্ষা বড় হবে।
উত্তর: (a) $>0$
(iv) $ax^2+bx+c=0$ ($a \neq 0$) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে
(a) $c=-\frac{b}{2a}$ (b) $c=\frac{b}{2a}$ (c) $c=-\frac{b^2}{4a}$ (d) $c=\frac{b^2}{4a}$
সমাধান (iv):
বীজদ্বয় সমান হওয়ার শর্ত হলো নিরূপক = 0।
$b^2-4ac = 0$
বা, $b^2 = 4ac$
বা, $c = \frac{b^2}{4a}$
উত্তর: (d) $c=\frac{b^2}{4a}$
(v) $3x^2+8x+2=0$ সমীকরণের বীজদ্বয় $\alpha$ এবং $\beta$ হলে, $(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta})$-এর মান
(a) $-\frac{3}{8}$ (b) $\frac{2}{3}$ (c) -4 (d) 4
সমাধান (v):
প্রদত্ত সমীকরণ $3x^2+8x+2=0$
বীজদ্বয়ের সমষ্টি $\alpha+\beta = -\frac{b}{a} = -\frac{8}{3}$
বীজদ্বয়ের গুণফল $\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}$
এখন, $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{\beta+\alpha}{\alpha\beta} = \frac{-8/3}{2/3} = -4$
উত্তর: (c) -4
১২. (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) $x^2+x+1=0$ সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব।
সমাধান (i):
নিরূপক $D = b^2-4ac = (1)^2 – 4(1)(1) = 1-4 = -3$
যেহেতু $D < 0$, বীজদ্বয় বাস্তব নয় (কাল্পনিক)।
উত্তর: মিথ্যা
(ii) $x^2-x+2=0$ সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব নয়।
সমাধান (ii):
নিরূপক $D = b^2-4ac = (-1)^2 – 4(1)(2) = 1-8 = -7$
যেহেতু $D < 0$, বীজদ্বয় বাস্তব নয়।
উত্তর: সত্য
১২. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) $7x^2-12x+18=0$ সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফলের অনুপাত ______
সমাধান (i):
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = $-(\frac{-12}{7}) = \frac{12}{7}$
বীজদ্বয়ের গুণফল = $\frac{18}{7}$
অনুপাত = (সমষ্টি) : (গুণফল) = $\frac{12}{7} : \frac{18}{7} = 12 : 18 = 2 : 3$
উত্তর: 2 : 3
(ii) $ax^2+bx+c=0$ ($a \neq 0$) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, $c=$ ______
সমাধান (ii):
বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে ($\alpha$ ও $\frac{1}{\alpha}$), বীজদ্বয়ের গুণফল = 1
$\frac{c}{a} = 1 \implies c = a$
উত্তর: a
(iii) $ax^2+bx+c=0$ ($a \neq 0$) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত চিহ্নযুক্ত (ঋণাত্মক) হলে, $a+c=$ ______
সমাধান (iii):
বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হলে ($\alpha$ ও $-\frac{1}{\alpha}$), বীজদ্বয়ের গুণফল = -1
$\frac{c}{a} = -1 \implies c = -a \implies a+c = 0$
উত্তর: 0
১৩. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুণফল 24 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি লিখি।
সমাধান (i):
নির্ণেয় সমীকরণ: $x^2 – (\text{বীজদ্বয়ের সমষ্টি})x + (\text{বীজদ্বয়ের গুণফল}) = 0$
উত্তর: $x^2 – 14x + 24 = 0$
(ii) $kx^2+2x+3k=0$ ($k \neq 0$) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফল সমান হলে, k-এর মান লিখি।
সমাধান (ii):
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = $-\frac{2}{k}$
বীজদ্বয়ের গুণফল = $\frac{3k}{k} = 3$
প্রশ্নানুসারে, $-\frac{2}{k} = 3$
বা, $3k = -2$ বা, $k = -\frac{2}{3}$
উত্তর: $k = -\frac{2}{3}$
(iii) $x^2-22x+105=0$ সমীকরণের বীজদ্বয় $\alpha$ এবং $\beta$ হলে, $(\alpha-\beta)$-এর মান লিখি।
সমাধান (iii):
আমরা জানি, $(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 – 4\alpha\beta$
এখানে, $\alpha+\beta = -(\frac{-22}{1}) = 22$
এবং $\alpha\beta = \frac{105}{1} = 105$
বা, $(\alpha-\beta)^2 = (22)^2 – 4(105) = 484 – 420 = 64$
বা, $\alpha-\beta = \pm\sqrt{64} = \pm 8$
উত্তর: $\pm 8$
(iv) $x^2-x=k(2x-1)$ সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে, k-এর মান লিখি।
সমাধান (iv):
$x^2-x = 2kx-k$
বা, $x^2 – x – 2kx + k = 0$
বা, $x^2 – (1+2k)x + k = 0$
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = $-(\frac{-(1+2k)}{1}) = 1+2k$
প্রশ্নানুসারে, $1+2k = 0$
বা, $2k = -1$ বা, $k = -\frac{1}{2}$
উত্তর: $k = -\frac{1}{2}$
(v) $x^2+bx+12=0$ এবং $x^2+bx+q=0$ সমীকরণদ্বয়ের একটি বীজ 2 হলে, q-এর মান লিখি।
সমাধান (v):
যেহেতু $x^2+bx+12=0$ সমীকরণের একটি বীজ 2, তাই 2 সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে।
$(2)^2 + b(2) + 12 = 0$
বা, $4 + 2b + 12 = 0$
বা, $2b = -16$ বা, $b = -8$
এখন, $x^2+bx+q=0$ সমীকরণের একটি বীজও 2 এবং $b = -8$
$(2)^2 + (-8)(2) + q = 0$
বা, $4 – 16 + q = 0$
বা, $-12 + q = 0$ বা, $q = 12$
উত্তর: $q = 12$
শেয়ার