দশম শ্রেণী গনিত: অনুপাত সমানুপাত কষে দেখি – 5.1
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 5.1 | অনুপাত ও সমানুপাত (সম্পূর্ণ সমাধান)
(Page 82 | Q-1 to Q-8)
১. নীচের রাশিগুলি অনুপাতে প্রকাশ করি ও অনুপাতগুলি সাম্যানুপাত, লঘু অনুপাত না গুরু অনুপাত বুঝে লিখি।
(i) 4 মাস এবং 1 বছর 6 মাস
সমাধান:
1 বছর 6 মাস = $12 + 6 = 18$ মাস।
অনুপাত = $4 : 18 = 2 : 9$
যেহেতু পূর্বপদ (2) < উত্তরপদ (9), তাই এটি লঘু অনুপাত।
(ii) 75 পয়সা এবং 1 টাকা 25 পয়সা
সমাধান:
1 টাকা 25 পয়সা = 125 পয়সা।
অনুপাত = $75 : 125 = 3 : 5$
এটি লঘু অনুপাত।
(iii) 60 সেমি. এবং 0.6 মিটার
সমাধান:
0.6 মিটার = $0.6 \times 100 = 60$ সেমি.।
অনুপাত = $60 : 60 = 1 : 1$
এটি সাম্যানুপাত।
(iv) 1.2 কিগ্রা. এবং 60 গ্রাম
সমাধান:
1.2 কিগ্রা. = $1.2 \times 1000 = 1200$ গ্রাম।
অনুপাত = $1200 : 60 = 120 : 6 = 20 : 1$
যেহেতু পূর্বপদ (20) > উত্তরপদ (1), তাই এটি গুরু অনুপাত।
২. (i) p কিগ্রা. ও q গ্রামের অনুপাতটি লিখি।
সমাধান:
p কিগ্রা. = $1000p$ গ্রাম।
নির্ণেয় অনুপাত = $1000p : q$
(ii) x দিন ও z মাসের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় কখন সম্ভব হবে লিখি।
উত্তর: যখন দুটি রাশিকেই একই এককে (হয় দিনে অথবা মাসে) প্রকাশ করা হবে, তখনই তাদের অনুপাত নির্ণয় সম্ভব হবে।
(iii) একটি অনুপাত ও তার ব্যস্ত অনুপাতের মিশ্র অনুপাত কী ধরনের অনুপাত হবে লিখি।
সমাধান:
ধরি, অনুপাতটি $a:b$। এর ব্যস্ত অনুপাত $b:a$।
মিশ্র অনুপাত = $(a \times b) : (b \times a) = ab : ab = 1 : 1$
উত্তর: এটি একটি সাম্যানুপাত।
(iv) $\frac{a}{b}:c, \frac{b}{c}:a, \frac{c}{a}:b$ -এর মিশ্র অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধান:
মিশ্র অনুপাত = $(\frac{a}{b} \times \frac{b}{c} \times \frac{c}{a}) : (c \times a \times b)$
$= 1 : abc$
উত্তর: $1 : abc$
(v) $x^2:yz$ এবং কোন অনুপাতের মিশ্র অনুপাত $xy:z^2$ হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, নির্ণেয় অনুপাতটি $P : Q$
শর্তানুসারে, $(x^2 \times P) : (yz \times Q) = xy : z^2$
বা, $\frac{x^2P}{yzQ} = \frac{xy}{z^2}$
বা, $\frac{P}{Q} = \frac{xy \times yz}{z^2 \times x^2} = \frac{xy^2z}{x^2z^2} = \frac{y^2}{xz}$
উত্তর: নির্ণেয় অনুপাতটি $y^2 : xz$
(vi) $x^2:\frac{yz}{x}, y^2:\frac{zx}{y}, z^2:\frac{yx}{z}$ অনুপাতগুলির ব্যস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধান:
প্রদত্ত অনুপাতগুলির ব্যস্ত অনুপাত হলো যথাক্রমে $\frac{yz}{x}:x^2$, $\frac{zx}{y}:y^2$ এবং $\frac{yx}{z}:z^2$।
যৌগিক অনুপাত = $(\frac{yz}{x} \times \frac{zx}{y} \times \frac{yx}{z}) : (x^2 \times y^2 \times z^2)$
$= \frac{x^2y^2z^2}{xyz} : x^2y^2z^2$
$= xyz : x^2y^2z^2$
$= 1 : xyz$
উত্তর: $1 : xyz$
৩. নিম্নলিখিতগুলির মিশ্র অনুপাত বা যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি:
(i) 4:5, 5:7 এবং 9:11
সমাধান: মিশ্র অনুপাত = $(4 \times 5 \times 9) : (5 \times 7 \times 11)$
$= 180 : 385$
$= 36 : 77$ (উভয়কে 5 দিয়ে ভাগ করে)
উত্তর: $36 : 77$
(ii) $(x+y):(x-y), (x^2+y^2):(x+y)^2$ এবং $(x^2-y^2)^2:(x^4-y^4)$
সমাধান:
পূর্বপদগুলির গুণফল = $(x+y) \times (x^2+y^2) \times (x^2-y^2)^2$
উত্তরপদগুলির গুণফল = $(x-y) \times (x+y)^2 \times (x^4-y^4)$
অনুপাত = $\frac{(x+y)(x^2+y^2)(x^2-y^2)(x^2-y^2)}{(x-y)(x+y)(x+y)(x^2-y^2)(x^2+y^2)}$
$= \frac{x^2-y^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^2-y^2}{x^2-y^2} = 1$
উত্তর: $1 : 1$
৪. (i) A:B=6:7 এবং B:C=8:7 হলে, A:C নির্ণয় করি।
সমাধান:
$\frac{A}{B} = \frac{6}{7}, \frac{B}{C} = \frac{8}{7}$
$\frac{A}{C} = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} = \frac{6}{7} \times \frac{8}{7} = \frac{48}{49}$
উত্তর: $A:C = 48:49$
(ii) A:B=2:3, B:C=4:5 এবং C:D=6:7 হলে, A:D নির্ণয় করি।
সমাধান:
$\frac{A}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} \times \frac{C}{D} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{7}$
$= \frac{2 \times 4 \times 2}{5 \times 7} = \frac{16}{35}$
উত্তর: $A:D = 16:35$
(iii) যদি A:B=3:4 এবং B:C=2:3 হয়, তাহলে A:B:C নির্ণয় করি।
সমাধান:
$A:B = 3:4$
$B:C = 2:3 = (2 \times 2) : (3 \times 2) = 4:6$
উত্তর: $A:B:C = 3:4:6$
(iv) x:y=2:3 এবং y:z=4:7 হলে, x:y:z নির্ণয় করি।
সমাধান:
$x:y = 2:3 = (2 \times 4) : (3 \times 4) = 8:12$
$y:z = 4:7 = (4 \times 3) : (7 \times 3) = 12:21$
উত্তর: $x:y:z = 8:12:21$
৫. (i) x:y=3:4 হলে, (3y-x):(2x+y) কত হবে নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, $x=3k$ এবং $y=4k$ (যেখানে $k \neq 0$)
প্রদত্ত রাশি = $\frac{3(4k) – 3k}{2(3k) + 4k} = \frac{12k – 3k}{6k + 4k} = \frac{9k}{10k} = \frac{9}{10}$
উত্তর: $9:10$
(ii) a:b=8:7 হলে, দেখাই যে (7a-3b):(11a-9b) = 7:5
সমাধান:
ধরি, $a=8k$ এবং $b=7k$
বামপক্ষ = $\frac{7(8k) – 3(7k)}{11(8k) – 9(7k)} = \frac{56k – 21k}{88k – 63k} = \frac{35k}{25k} = \frac{35}{25} = \frac{7}{5}$
= ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)
(iii) p:q=5:7 এবং p-q=-4 হলে, 3p+4q -এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, $p=5k, q=7k$
প্রশ্নানুসারে, $5k – 7k = -4 \Rightarrow -2k = -4 \Rightarrow k = 2$
অতএব, $p = 5(2) = 10$ এবং $q = 7(2) = 14$
প্রদত্ত রাশি = $3(10) + 4(14) = 30 + 56 = 86$
উত্তর: 86
৬. (i) (5x-3y):(2x+4y) = 11:12 হলে, x:y নির্ণয় করি।
সমাধান:
$\frac{5x-3y}{2x+4y} = \frac{11}{12}$
বা, $12(5x-3y) = 11(2x+4y)$
বা, $60x – 36y = 22x + 44y$
বা, $60x – 22x = 44y + 36y$
বা, $38x = 80y$
বা, $\frac{x}{y} = \frac{80}{38} = \frac{40}{19}$
উত্তর: $x:y = 40:19$
(ii) (3a+7b):(5a-3b) = 5:3 হলে, a:b নির্ণয় করি।
সমাধান:
$\frac{3a+7b}{5a-3b} = \frac{5}{3}$
বা, $3(3a+7b) = 5(5a-3b)$
বা, $9a + 21b = 25a – 15b$
বা, $21b + 15b = 25a – 9a$
বা, $36b = 16a$
বা, $\frac{a}{b} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$
উত্তর: $a:b = 9:4$
৭. (i) (7x-5y):(3x+4y) = 7:11 হলে, দেখাই যে (3x-2y):(3x+4y) = 137:473
সমাধান:
$\frac{7x-5y}{3x+4y} = \frac{7}{11}$
বা, $77x – 55y = 21x + 28y$
বা, $56x = 83y \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{83}{56}$
ধরি, $x=83k, y=56k$
বামপক্ষ = $\frac{3(83k) – 2(56k)}{3(83k) + 4(56k)} = \frac{249k – 112k}{249k + 224k} = \frac{137k}{473k} = \frac{137}{473}$
= ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)
(ii) (10x+3y):(5x+2y) = 9:5 হলে, দেখাই যে (2x+y):(x+2y) = 11:13
সমাধান:
$\frac{10x+3y}{5x+2y} = \frac{9}{5}$
বা, $50x + 15y = 45x + 18y$
বা, $5x = 3y \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{3}{5}$
ধরি, $x=3k, y=5k$
বামপক্ষ = $\frac{2(3k) + 5k}{3k + 2(5k)} = \frac{6k + 5k}{3k + 10k} = \frac{11k}{13k} = \frac{11}{13}$
= ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)
৮. (i) 2:5 অনুপাতের উভয়পদের সঙ্গে কত যোগ করলে অনুপাতটি 6:11 হবে নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, $x$ যোগ করতে হবে।
$\frac{2+x}{5+x} = \frac{6}{11}$
বা, $22 + 11x = 30 + 6x$
বা, $11x – 6x = 30 – 22$
বা, $5x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{5}$
উত্তর: $\frac{8}{5}$ যোগ করতে হবে।
(ii) a:b বৈষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে কত বিয়োগ করলে বৈষম্যানুপাতটি m:n হবে নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, $x$ বিয়োগ করতে হবে।
$\frac{a-x}{b-x} = \frac{m}{n}$
বা, $an – nx = bm – mx$
বা, $mx – nx = bm – an$
বা, $x(m-n) = bm – an$
বা, $x = \frac{bm – an}{m – n}$
উত্তর: $\frac{bm – an}{m – n}$ বিয়োগ করতে হবে।
(iii) কোন্ সংখ্যা 4:7 অনুপাতের পূর্বপদের সঙ্গে যোগ এবং উত্তরপদ থেকে বিয়োগ করলে উৎপন্ন অনুপাতটির মান 2:3 ও 5:4 -এর যৌগিক অনুপাত হবে।
সমাধান:
2:3 ও 5:4 এর যৌগিক অনুপাত = $(2 \times 5) : (3 \times 4) = 10 : 12 = 5 : 6$
ধরি, সংখ্যাটি $x$।
শর্তানুসারে, $\frac{4+x}{7-x} = \frac{5}{6}$
বা, $24 + 6x = 35 – 5x$
বা, $6x + 5x = 35 – 24$
বা, $11x = 11$
বা, $x = 1$
উত্তর: সংখ্যাটি 1।
শেয়ার