দশম শ্রেণী গনিত: আয়াতঘন – কষে দেখি 4
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 4 | আয়তঘন (Rectangular Parallelepiped or Cuboid)
(Page 74 | Q-1 to Q-10)
১. আমরা পরিবেশের 4 টি আয়তঘনাকার ও 4 টি ঘনক আকার বস্তুর নাম লিখি।
সমাধান:
- 4 টি আয়তঘনাকার বস্তু: বই, ইট, আলমারি, দেশলাই বাক্স।
- 4 টি ঘনক আকার বস্তু: লুডোর ছক্কা, রুবিকস কিউব (Rubik’s Cube), সুগার কিউব (চিনির টুকরো), চৌকো বরফের টুকরো।
২. পাশের আয়তঘনাকার চিত্রের তলগুলি, ধারগুলি ও শীর্ষবিন্দুগুলির নাম লিখি।
সমাধান:
(চিত্র অনুযায়ী নামগুলো হবে)
- তল (6টি): ABCD, EFGH, ABFE, DCGH, ADHE, BCGF
- ধার (12টি): AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG, DH
- শীর্ষবিন্দু (8টি): A, B, C, D, E, F, G, H
৩. একটি সমকোণী চৌপলাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 5 মি., 4 মি. ও 3 মি. হলে, ওই ঘরে সবচেয়ে লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
সবচেয়ে লম্বা দণ্ডটি ঘরের কর্ণের বরাবর রাখা যাবে।
দেওয়া আছে, দৈর্ঘ্য ($l$) = 5 মি., প্রস্থ ($b$) = 4 মি., উচ্চতা ($h$) = 3 মি.
কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$
= $\sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2}$
= $\sqrt{25 + 16 + 9}$
= $\sqrt{50}$
= $\sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$ মি.
উত্তর: দণ্ডটির দৈর্ঘ্য $5\sqrt{2}$ মিটার।
৪. একটি ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল 64 বর্গ মিটার হলে, ঘনকটির আয়তন হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ মিটার।
ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল = $a^2$ বর্গ মিটার।
শর্তানুসারে, $a^2 = 64$
বা, $a = \sqrt{64} = 8$ মি.
ঘনকটির আয়তন = $a^3 = (8)^3 = 512$ ঘন মিটার।
উত্তর: ঘনকটির আয়তন 512 ঘন মিটার।
৫. আমাদের বকুলতলা গ্রামে 2 মিটার চওড়া এবং 8 ডেসিমি. গভীর একটি খাল কাটা হয়েছে। যদি মোট 240 ঘন মিটার মাটি কাটা হয়ে থাকে তবে খালটি কত লম্বা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, খালটির দৈর্ঘ্য = $l$ মিটার।
প্রস্থ ($b$) = 2 মিটার।
গভীরতা ($h$) = 8 ডেসিমি. = $\frac{8}{10}$ মি. = 0.8 মিটার।
মাটির আয়তন = $l \times b \times h$
শর্তানুসারে,
$l \times 2 \times 0.8 = 240$
বা, $l \times 1.6 = 240$
বা, $l = \frac{240}{1.6} = \frac{2400}{16} = 150$
উত্তর: খালটি 150 মিটার লম্বা।
৬. একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য $4\sqrt{3}$ সেমি. হলে, ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ সেমি.
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $a\sqrt{3}$
শর্তানুসারে, $a\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
বা, $a = 4$
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $6a^2 = 6 \times (4)^2 = 6 \times 16 = 96$ বর্গ সেমি.
উত্তর: সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 96 বর্গ সেমি.।
৭. একটি ঘনকের ধারগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি 60 সেমি. হলে, ঘনকটির ঘনফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ঘনকের মোট ধারের সংখ্যা = 12টি।
ধরি, প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য = $a$ সেমি.
শর্তানুসারে, $12a = 60$
বা, $a = \frac{60}{12} = 5$ সেমি.
ঘনফল (আয়তন) = $a^3 = (5)^3 = 125$ ঘন সেমি.
উত্তর: ঘনকটির ঘনফল 125 ঘন সেমি.।
৮. যদি একটি ঘনকের ছয়টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি 216 বর্গ সেমি. হয়, তবে ঘনকটির আয়তন কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ সেমি.
ছয়টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল (সমগ্রতল) = $6a^2$
শর্তানুসারে, $6a^2 = 216$
বা, $a^2 = \frac{216}{6} = 36$
বা, $a = \sqrt{36} = 6$
আয়তন = $a^3 = (6)^3 = 216$ ঘন সেমি.
উত্তর: ঘনকটির আয়তন 216 ঘন সেমি.।
৯. একটি সমকোণী চৌপলের আয়তন 432 ঘন সেমি.। তাকে সমান আয়তনবিশিষ্ট দুটি ঘনক-এ পরিণত করা হলে, প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
সমকোণী চৌপলের আয়তন = 432 ঘন সেমি.
দুটি সমান ঘনকের মোট আয়তন = 432 ঘন সেমি.
প্রতিটি ঘনকের আয়তন = $\frac{432}{2} = 216$ ঘন সেমি.
ধরি, ঘনকের ধারের দৈর্ঘ্য = $a$ সেমি.
শর্তানুসারে, $a^3 = 216$
বা, $a^3 = (6)^3$
বা, $a = 6$
উত্তর: প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.।
১০. একটি ঘনকের প্রতিটি বাহুকে 50% কমানো হলো। মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, মূল ঘনকের বাহু = $a$ একক।
মূল ঘনকের ঘনফল (আয়তন) = $a^3$ ঘন একক।
পরিবর্তিত বাহুর দৈর্ঘ্য = $a – a \times \frac{50}{100} = a – \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$ একক।
পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফল = $(\frac{a}{2})^3 = \frac{a^3}{8}$ ঘন একক।
অনুপাত = মূল ঘনক : পরিবর্তিত ঘনক
$= a^3 : \frac{a^3}{8}$
$= 1 : \frac{1}{8}$
$= 8 : 1$
উত্তর: অনুপাত 8 : 1।
১১. একটি সমকোণী চৌপল আকারের বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 3 : 2 : 1 এবং উহার আয়তন 384 ঘন সেমি. হলে, বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, বাক্সটির দৈর্ঘ্য = $3x$ সেমি., প্রস্থ = $2x$ সেমি., এবং উচ্চতা = $1x$ সেমি.।
প্রশ্নানুসারে, আয়তন = $3x \times 2x \times 1x = 384$
বা, $6x^3 = 384$
বা, $x^3 = \frac{384}{6} = 64$
বা, $x = \sqrt[3]{64} = 4$
সুতরাং, দৈর্ঘ্য = 12 সেমি., প্রস্থ = 8 সেমি., উচ্চতা = 4 সেমি.।
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $2(lb + bh + lh)$
= $2(12 \times 8 + 8 \times 4 + 12 \times 4)$
= $2(96 + 32 + 48) = 2(176) = 352$ বর্গ সেমি.।
উত্তর: বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 352 বর্গ সেমি.।
১২. একটি চা-এর বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 ডেসিমি., 6 ডেসিমি. এবং 5.4 ডেসিমি.। চা ভর্তি বাক্সটির ওজন 52 কিগ্রা. 350 গ্রাম। কিন্তু খালি অবস্থায় বাক্সটির ওজন 3.75 কিগ্রা. হলে, 1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন কত হবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বাক্সের ভিতরের আয়তন = $7.5 \times 6 \times 5.4$ ঘন ডেসিমি.
= $45 \times 5.4 = 243$ ঘন ডেসিমি.।
চা ভর্তি বাক্সের ওজন = 52.350 কিগ্রা.
খালি বাক্সের ওজন = 3.750 কিগ্রা.
শুধুমাত্র চায়ের ওজন = $52.350 – 3.750 = 48.600$ কিগ্রা.
243 ঘন ডেসিমি. চায়ের ওজন 48.6 কিগ্রা.
$\therefore$ 1 ঘন ডেসিমি. চায়ের ওজন = $\frac{48.6}{243}$ কিগ্রা. = 0.2 কিগ্রা. = 200 গ্রাম।
উত্তর: 1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন 200 গ্রাম।
১৩. একটি বর্গাকার ভূমিবিশিষ্ট পিতলের প্লেটের দৈর্ঘ্য $x$ সেমি., বেধ 1 মিমি. এবং প্লেটটির ওজন 4725 গ্রাম। যদি 1 ঘন সেমি. পিতলের ওজন 8.4 গ্রাম হয়, তাহলে $x$-এর মান কত হবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বর্গাকার প্লেটের দৈর্ঘ্য = $x$ সেমি., প্রস্থ = $x$ সেমি.।
বেধ (উচ্চতা) = 1 মিমি. = 0.1 সেমি.।
প্লেটের আয়তন = $x \times x \times 0.1 = 0.1x^2$ ঘন সেমি.।
প্রশ্নানুসারে,
আয়তন $\times$ ঘনত্ব = ওজন
$(0.1x^2) \times 8.4 = 4725$
বা, $0.84x^2 = 4725$
বা, $x^2 = \frac{4725}{0.84} = \frac{472500}{84} = 5625$
বা, $x = \sqrt{5625} = 75$
উত্তর: $x$-এর মান 75।
১৪. চাঁদমারির রাস্তাটি উঁচু করতে হবে। তাই রাস্তার দু-পাশে 30 টি সমান গভীর ও সমান মাপের আয়তঘনাকার গর্ত খুঁড়ে সেই মাটি দিয়ে রাস্তাটি উঁচু করা হয়েছে। যদি প্রতিটি গর্তের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 14 মি. এবং 8 মি. হয় এবং রাস্তাটি তৈরি করতে মোট 2520 ঘন মিটার মাটি লেগে থাকে, তবে প্রতিটি গর্তের গভীরতা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, প্রতিটি গর্তের গভীরতা = $h$ মিটার।
একটি গর্তের মাটির আয়তন = $14 \times 8 \times h = 112h$ ঘন মিটার।
30 টি গর্তের মোট মাটির আয়তন = $30 \times 112h = 3360h$ ঘন মিটার।
শর্তানুসারে,
$3360h = 2520$
বা, $h = \frac{2520}{3360} = \frac{252}{336} = \frac{3}{4}$ মিটার।
$\frac{3}{4}$ মিটার = 0.75 মিটার = 7.5 ডেসিমি.।
উত্তর: প্রতিটি গর্তের গভীরতা 0.75 মিটার।
১৫. ঘনকাকৃতি একটি সম্পূর্ণ জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির $\frac{1}{3}$ অংশ জলপূর্ণ থাকে। চৌবাচ্চার একটি ধারের দৈর্ঘ্য 1.2 মিটার হলে, প্রতিটি বালতিতে কত লিটার জল ধরে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
চৌবাচ্চার ধারের দৈর্ঘ্য = 1.2 মি. = 12 ডেসিমি.।
মোট আয়তন = $(12)^3 = 1728$ ঘন ডেসিমি. = 1728 লিটার।
জল অবশিষ্ট আছে $\frac{1}{3}$ অংশ। সুতরাং জল তোলা হয়েছে $(1 – \frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$ অংশ।
তোলা জলের পরিমাণ = $1728 \times \frac{2}{3} = 576 \times 2 = 1152$ লিটার।
64 বালতি জলের আয়তন = 1152 লিটার।
1 বালতি জলের আয়তন = $\frac{1152}{64} = 18$ লিটার।
উত্তর: প্রতিটি বালতিতে 18 লিটার জল ধরে।
১৬. এক গ্রোস দেশলাই বাক্সের একটি প্যাকেটের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 2.8 ডেসিমি., 1.5 ডেসিমি. ও 0.9 ডেসিমি. হলে, একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন কত হবে হিসাব করি। [এক গ্রোস = 12 ডজন] কিন্তু যদি একটি দেশলাই বাক্সের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং প্রস্থ 3.5 সেমি. হয়, তবে তার উচ্চতা কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
প্রথম অংশ:
প্যাকেটের আয়তন = $2.8 \times 1.5 \times 0.9$ ঘন ডেসিমি.
= $(28 \text{ cm} \times 15 \text{ cm} \times 9 \text{ cm}) = 3780$ ঘন সেমি.।
1 গ্রোস = 12 ডজন = $12 \times 12 = 144$ টি বাক্স।
1 টি বাক্সের আয়তন = $\frac{3780}{144} = 26.25$ ঘন সেমি.।
দ্বিতীয় অংশ:
ধরি, বাক্সের উচ্চতা $h$ সেমি.।
আয়তন = $5 \times 3.5 \times h = 17.5h$ ঘন সেমি.।
শর্তমতে, $17.5h = 26.25$
বা, $h = \frac{26.25}{17.5} = \frac{2625}{1750} = 1.5$
উত্তর: একটি বাক্সের আয়তন 26.25 ঘন সেমি. এবং উচ্চতা 1.5 সেমি.।
১৭. 2.1 মিটার দীর্ঘ, 1.5 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তঘনাকার চৌবাচ্চার অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। ওই চৌবাচ্চায় আরও 630 লিটার জল ঢাললে জলের গভীরতা কতটা বৃদ্ধি পাবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
দৈর্ঘ্য = 2.1 মি. = 21 ডেসিমি., প্রস্থ = 1.5 মি. = 15 ডেসিমি.।
ধরি, জলের গভীরতা $h$ ডেসিমি. বৃদ্ধি পাবে।
বৃদ্ধি পাওয়া জলের আয়তন = $21 \times 15 \times h$ ঘন ডেসিমি.।
শর্তানুসারে,
$315h = 630$ (যেহেতু 1 লিটার = 1 ঘন ডেসিমি.)
বা, $h = \frac{630}{315} = 2$ ডেসিমি.
উত্তর: জলের গভীরতা 2 ডেসিমি. বৃদ্ধি পাবে।
১৮. গ্রামের আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 20 মিটার এবং 15 মিটার। ওই মাঠের ভিতরে চারটি কোণে পিলার বসানোর জন্য 4 মিটার দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট চারটি ঘনকাকৃতি গর্ত কেটে অপসারিত মাটি অবশিষ্ট জমির উপর ছড়িয়ে দেওয়া হলো। মাঠের তলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পেল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
মাঠের মোট ক্ষেত্রফল = $20 \times 15 = 300$ বর্গ মিটার।
4টি গর্তের তলের ক্ষেত্রফল = $4 \times (4 \times 4) = 64$ বর্গ মিটার।
অবশিষ্ট জমির ক্ষেত্রফল = $300 – 64 = 236$ বর্গ মিটার।
তোলা মাটির আয়তন = $4 \times (4)^3 = 4 \times 64 = 256$ ঘন মিটার।
ধরি, উচ্চতা বৃদ্ধি পাবে $h$ মিটার।
শর্তমতে, $236 \times h = 256$
বা, $h = \frac{256}{236} = \frac{64}{59} \approx 1.08$ মিটার।
উত্তর: তলের উচ্চতা $\frac{64}{59}$ মিটার (বা প্রায় 1.08 মি.) বৃদ্ধি পাবে।
১৯. 48 মিটার লম্বা এবং 31.5 মিটার চওড়া একখণ্ড নিচু জমিকে 6.5 ডেসিমি. উঁচু করার জন্য ঠিক করা হয়েছে। পাশের 27 মিটার লম্বা এবং 18.2 মিটার চওড়া একটি জমি গর্ত করে মাটি তোলা হবে। গর্তটি কত মিটার গভীর করতে হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
উঁচু করার জন্য প্রয়োজনীয় মাটির আয়তন = $48 \times 31.5 \times 0.65$ ঘন মিটার (6.5 ডেসিমি. = 0.65 মি.)।
= $982.8$ ঘন মিটার।
ধরি, গর্তের গভীরতা $h$ মিটার।
গর্তের আয়তন = $27 \times 18.2 \times h$ ঘন মিটার।
শর্তমতে, $27 \times 18.2 \times h = 982.8$
বা, $491.4h = 982.8$
বা, $h = \frac{982.8}{491.4} = 2$
উত্তর: গর্তটি 2 মিটার গভীর করতে হবে।
২০. বাড়ির তিনটি কেরোসিন তেলের ড্রামে যথাক্রমে 800 লিটার, 725 লিটার এবং 575 লিটার তেল ছিল। … আয়তঘনাকার পাত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4:3 হলে, পাত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি। … 5 ডেসিমিটার হতো, তবে 1620 লিটার তেল ওই পাত্রে রাখা যেত কিনা হিসাব করে দেখি।
সমাধান:
মোট তেল = $800 + 725 + 575 = 2100$ লিটার = 2100 ঘন ডেসিমি.।
ধরি, পাত্রের দৈর্ঘ্য $4x$ ডেসিমি. এবং প্রস্থ $3x$ ডেসিমি.।
গভীরতা = 7 ডেসিমি.।
আয়তন = $4x \times 3x \times 7 = 84x^2$ ঘন ডেসিমি.।
শর্তমতে, $84x^2 = 2100$
বা, $x^2 = \frac{2100}{84} = 25 \Rightarrow x = 5$
দৈর্ঘ্য = $4 \times 5 = 20$ ডেসিমি., প্রস্থ = $3 \times 5 = 15$ ডেসিমি.।
দ্বিতীয় অংশ:
গভীরতা 5 ডেসিমি. হলে আয়তন = $20 \times 15 \times 5 = 1500$ ঘন ডেসিমি. = 1500 লিটার।
কিন্তু তেল রাখতে হবে 1620 লিটার।
যেহেতু $1500 < 1620$, তাই তেল রাখা যাবে না।
উত্তর: দৈর্ঘ্য 20 ডেসিমি., প্রস্থ 15 ডেসিমি.। 1620 লিটার তেল রাখা যেত না।
২১. আমাদের তিনতলা ফ্ল্যাটের তিনটি পরিবারের দৈনিক জলের চাহিদা যথাক্রমে 1200 লিটার, 1050 লিটার এবং 950 লিটার। … ট্যাঙ্কটি কত মিটার গভীর করতে হবে হিসাব করে লিখি। জায়গাটি যদি প্রস্থের দিকে আরও 4 ডেসিমি. বেশি হতো, তবে ট্যাঙ্কটি কতটা কম গভীর করতে হতো তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
মোট চাহিদা = $1200 + 1050 + 950 = 3200$ লিটার।
ট্যাঙ্কে জল ধরতে হবে = $3200 + (3200 \times 25\%) = 3200 + 800 = 4000$ লিটার = 4000 ঘন ডেসিমি.।
দৈর্ঘ্য = 2.5 মি. = 25 ডেসিমি., প্রস্থ = 1.6 মি. = 16 ডেসিমি.।
ধরি, গভীরতা $h_1$ ডেসিমি.।
$25 \times 16 \times h_1 = 4000 \Rightarrow 400h_1 = 4000 \Rightarrow h_1 = 10$ ডেসিমি. = 1 মিটার।
দ্বিতীয় অংশ:
নতুন প্রস্থ = $16 + 4 = 20$ ডেসিমি.।
নতুন গভীরতা $h_2$ হলে, $25 \times 20 \times h_2 = 4000 \Rightarrow 500h_2 = 4000 \Rightarrow h_2 = 8$ ডেসিমি.।
গভীরতা কম করতে হবে = $10 – 8 = 2$ ডেসিমি.।
উত্তর: গভীরতা 1 মিটার করতে হবে। প্রস্থ বাড়লে 2 ডেসিমি. কম গভীর করতে হতো।
২২. 5 সেমি. পুরু কাঠের তক্তায় তৈরি ঢাকনাসহ একটি কাঠের বাক্সের ওজন 115.5 কিগ্রা.। … বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি। প্রতি বর্গ ডেসিমি. 1.50 টাকা হিসাবে বাক্সটির বাইরের চারপাশ রং করতে কত খরচ পড়বে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ভিতরের দৈর্ঘ্য = 12 ডেসিমি., প্রস্থ = 8.5 ডেসিমি.। ধরি উচ্চতা $h$ ডেসিমি.।
ভিতরের আয়তন = $12 \times 8.5 \times h = 102h$ ঘন ডেসিমি.।
মোট ওজন = 880.5 কিগ্রা., খালি বাক্সের ওজন = 115.5 কিগ্রা.।
চালের ওজন = $880.5 – 115.5 = 765$ কিগ্রা.।
1 ঘন ডেসিমি. চাল = 1.5 কিগ্রা.।
শর্তমতে, $102h \times 1.5 = 765 \Rightarrow 153h = 765 \Rightarrow h = 5$ ডেসিমি.।
রং করার হিসাব:
কাঠের পুরুত্ব 5 সেমি. = 0.5 ডেসিমি.।
বাইরের দৈর্ঘ্য = $12 + 2(0.5) = 13$ ডেসিমি., প্রস্থ = $8.5 + 1 = 9.5$ ডেসিমি., উচ্চতা = $5 + 1 = 6$ ডেসিমি.।
বাইরের সমগ্রতল = $2(13 \times 9.5 + 9.5 \times 6 + 13 \times 6) = 2(123.5 + 57 + 78) = 2(258.5) = 517$ বর্গ ডেসিমি.।
খরচ = $517 \times 1.50 = 775.50$ টাকা।
উত্তর: ভিতরের উচ্চতা 5 ডেসিমি.। রং করতে 775.50 টাকা খরচ হবে।
২৩. 20 মি. দীর্ঘ এবং 18.5 মি. চওড়া একটি আয়তঘনাকার পুকুরে 3.2 মি. গভীর জল আছে। … ওই জল যদি 59.2 মিটার দীর্ঘ এবং 40 মিটার চওড়া একটি আল দেওয়া ধান ক্ষেতে ফেলা হয়, তবে সেই জমিতে জলের গভীরতা কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
মোট জলের পরিমাণ = $20 \times 18.5 \times 3.2$ ঘন মিটার। (সেচ করার সময় ও পাম্পের ক্ষমতা এখানে কেবল তথ্য, মূল অংকে প্রভাব ফেলবে না যদি পুরো জলই ফেলা হয়। প্রশ্নে বলা আছে “পুকুরটির সমস্ত জলসেচ করা যাবে”)
আয়তন = $1184$ ঘন মিটার।
জমির দৈর্ঘ্য = 59.2 মি., প্রস্থ = 40 মি.। ধরি গভীরতা $h$ মিটার।
শর্তমতে, $59.2 \times 40 \times h = 1184$
বা, $2368h = 1184$
বা, $h = \frac{1184}{2368} = 0.5$ মিটার।
উত্তর: জমিতে জলের গভীরতা 0.5 মিটার (বা 5 ডেসিমি.) হবে।
২৪. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) একটি সমকোণী চৌপলাকৃতি বাক্সের ভিতরের আয়তন 440 ঘন সেমি. এবং ভিতরের ভূমিতলের ক্ষেত্রফল 88 বর্গ সেমি.। বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা
(a) 4 সেমি. (b) 5 সেমি. (c) 3 সেমি. (d) 6 সেমি.
সমাধান:
আমরা জানি, আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল $\times$ উচ্চতা
বা, $440 = 88 \times$ উচ্চতা
বা, উচ্চতা = $\frac{440}{88} = 5$ সেমি.।
উত্তর: (b) 5 সেমি.
(ii) একটি আয়তঘনাকার গর্তের দৈর্ঘ্য 40 মি., প্রস্থ 12 মি. এবং গভীরতা 16 মি.। ওই গর্তের মধ্যে 5 মি. দৈর্ঘ্য, 4 মি. প্রস্থ এবং 2 মি. পুরু তক্তা রাখা যাবে
(a) 190 টি (b) 192 টি (c) 184 টি (d) 180 টি
সমাধান:
গর্তের আয়তন = $40 \times 12 \times 16 = 7680$ ঘন মি.।
একটি তক্তার আয়তন = $5 \times 4 \times 2 = 40$ ঘন মি.।
তক্তার সংখ্যা = $\frac{\text{মোট আয়তন}}{\text{একটি তক্তার আয়তন}} = \frac{7680}{40} = 192$ টি।
উত্তর: (b) 192 টি
(iii) একটি ঘনকের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 256 বর্গ মিটার। ঘনকটির আয়তন
(a) 64 ঘন মি. (b) 216 ঘন মি. (c) 256 ঘন মি. (d) 512 ঘন মি.
সমাধান:
ঘনকের পার্শ্বতল (4টি তল) এর ক্ষেত্রফল = $4a^2$ (যেখানে $a$ হলো বাহু)
$4a^2 = 256 \Rightarrow a^2 = 64 \Rightarrow a = 8$ মি.।
আয়তন = $a^3 = (8)^3 = 512$ ঘন মি.।
উত্তর: (d) 512 ঘন মি.
(iv) দুটি ঘনকের আয়তনের অনুপাত 1 : 27 হলে, ঘনক দুটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
(a) 1 : 3 (b) 1 : 8 (c) 1 : 9 (d) 1 : 18
সমাধান:
আয়তনের অনুপাত $a_1^3 : a_2^3 = 1 : 27$
সুতরাং, বাহুর অনুপাত $a_1 : a_2 = \sqrt[3]{1} : \sqrt[3]{27} = 1 : 3$
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $6a_1^2 : 6a_2^2 = a_1^2 : a_2^2 = (1)^2 : (3)^2 = 1 : 9$
উত্তর: (c) 1 : 9
(v) একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল s বর্গ একক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য d একক হলে s এবং d-এর সম্পর্ক
(a) $s=6d^2$ (b) $3s=7d$ (c) $s^3=d^2$ (d) $d^2=\frac{s}{2}$
সমাধান:
সমগ্রতল $s = 6a^2$ এবং কর্ণ $d = a\sqrt{3} \Rightarrow a = \frac{d}{\sqrt{3}}$
$s = 6 \times (\frac{d}{\sqrt{3}})^2$
$s = 6 \times \frac{d^2}{3}$
$s = 2d^2 \Rightarrow d^2 = \frac{s}{2}$
উত্তর: (d) $d^2=\frac{s}{2}$
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ হলে, ঘনকটির আয়তন প্রথম ঘনকের 4 গুণ হবে।
সমাধান:
ধরি বাহু $a$, আয়তন $a^3$।
বাহু দ্বিগুণ হলে ($2a$), নতুন আয়তন $(2a)^3 = 8a^3$। অর্থাৎ 8 গুণ হবে।
উত্তর: মিথ্যা
(ii) বর্ষার সময় 2 হেক্টর জমিতে বৃষ্টিপাত 5 সেমি. উচ্চতার হলে, বৃষ্টির জলের আয়তন 1000 ঘন মিটার।
সমাধান:
1 আর = 100 বর্গ মি., 1 হেক্টর = 100 আর = 10000 বর্গ মি.।
2 হেক্টর = 20000 বর্গ মি.।
উচ্চতা = 5 সেমি. = $\frac{5}{100}$ মি. = 0.05 মি.।
আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল $\times$ উচ্চতা = $20000 \times 0.05 = 1000$ ঘন মি.।
উত্তর: সত্য
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) একটি সমকোণী চৌপলের কর্ণের সংখ্যা ______ টি।
উত্তর: 4
(ii) একটি ঘনকের একটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ______ $\times$ একটি ধারের দৈর্ঘ্য।
উত্তর: $\sqrt{2}$
(iii) সমকোণী চৌপলের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হলে সেই ঘনবস্তুর বিশেষ নাম ______।
উত্তর: ঘনক (Cube)
২৫. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি আয়তঘনের তল সংখ্যা = $x$, ধার সংখ্যা = $y$, শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা = $z$ এবং কর্ণের সংখ্যা = $p$ হলে, $x – y + z + p$-এর মান কত তা লিখি।
সমাধান:
আয়তঘনের ক্ষেত্রে,
তল ($x$) = 6, ধার ($y$) = 12, শীর্ষবিন্দু ($z$) = 8, কর্ণ ($p$) = 4।
প্রদত্ত রাশি: $x – y + z + p$
$= 6 – 12 + 8 + 4$
$= 18 – 12 = 6$
উত্তর: 6
(ii) দুটি আয়তঘনের মাত্রাগুলি যথাক্রমে 4, 6, 4 একক এবং 8, (2h – 1), 2 একক। যদি আয়তঘন দুটির ঘনফল সমান হয়, তাহলে h-এর মান কত তা লিখি।
সমাধান:
প্রথম আয়তঘনের ঘনফল = $4 \times 6 \times 4 = 96$ ঘন একক।
দ্বিতীয় আয়তঘনের ঘনফল = $8 \times (2h – 1) \times 2 = 16(2h – 1)$ ঘন একক।
শর্তানুসারে,
$16(2h – 1) = 96$
বা, $2h – 1 = \frac{96}{16} = 6$
বা, $2h = 6 + 1 = 7$
বা, $h = \frac{7}{2} = 3.5$
উত্তর: h-এর মান 3.5
(iii) একটি ঘনকের প্রত্যেকটি ধারের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি পেলে, ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি হবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, ঘনকের বাহু = $a$ একক। সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $6a^2$ বর্গ একক।
50% বৃদ্ধির পর বাহু = $a + a \times \frac{50}{100} = a + \frac{a}{2} = \frac{3a}{2}$ একক।
নতুন সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $6 \times (\frac{3a}{2})^2 = 6 \times \frac{9a^2}{4} = \frac{27a^2}{2} = 13.5a^2$ বর্গ একক।
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = $13.5a^2 – 6a^2 = 7.5a^2$
শতকরা বৃদ্ধি = $\frac{\text{বৃদ্ধি}}{\text{প্রাথমিক}} \times 100$
$= \frac{7.5a^2}{6a^2} \times 100 = 1.25 \times 100 = 125\%$
উত্তর: 125% বৃদ্ধি পাবে।
(iv) তিনটি নিরেট ঘনক যাদের প্রত্যেকটি ধারের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 সেমি., 4 সেমি. এবং 5 সেমি.। ঘনক তিনটিকে গলিয়ে একটি নতুন নিরেট ঘনক তৈরি করা হলো। নতুন ঘনকটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে তা লিখি।
সমাধান:
তিনটি ঘনকের মোট আয়তন = $(3)^3 + (4)^3 + (5)^3$
$= 27 + 64 + 125 = 216$ ঘন সেমি.।
ধরি, নতুন ঘনকের ধারের দৈর্ঘ্য = $A$ সেমি.।
প্রশ্নানুসারে, $A^3 = 216$
বা, $A^3 = (6)^3$
বা, $A = 6$
উত্তর: নতুন ঘনকটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.।
(v) একটি ঘরের দুটি সংলগ্ন দেয়ালের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 মি. এবং 8 মি.। ঘরটির উচ্চতা 4 মি. হলে, ঘরটির মেঝের ক্ষেত্রফল কত তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ঘরের দুটি সংলগ্ন দেয়ালের দৈর্ঘ্য বলতে ঘরের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ বোঝায়।
এখানে, দৈর্ঘ্য = 12 মি. এবং প্রস্থ = 8 মি. (উচ্চতা 4 মি. মেঝের ক্ষেত্রফলে কাজে লাগে না)।
মেঝের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ
$= 12 \times 8 = 96$ বর্গ মিটার।
উত্তর: মেঝের ক্ষেত্রফল 96 বর্গ মিটার।
শেয়ার