দশম শ্রেণী গনিত: উচ্চতা এবং দূরত্ব – কষে দেখি 25

১. একটি নারকেল গাছের গোড়া থেকে অনুভূমিক তলে 20 মিটার দূরের একটি বিন্দুর সাপেক্ষে গাছটির অগ্রভাগের উন্নতি কোণ যদি $60^\circ$ হয়, তাহলে গাছটির উচ্চতা নির্ণয় করি।

ধরি:

• নারকেল গাছটির উচ্চতা ($AB$) = $h$ মিটার।
• গোড়া থেকে বিন্দুর দূরত্ব ($BC$) = 20 মিটার।
• উন্নতি কোণ ($\angle ACB$) = $60^\circ$।

সমাধান:

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$ থেকে পাই:

$\tan 60^\circ = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}$

বা, $\sqrt{3} = \frac{AB}{BC}$

বা, $\sqrt{3} = \frac{h}{20}$

বা, $h = 20\sqrt{3}$

উত্তর: গাছটির উচ্চতা $20\sqrt{3}$ মিটার।

২. সূর্যের উন্নতি কোণ যখন $30^\circ$ তখন একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য 9 মিটার হয়। স্তম্ভটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
ধরি:

• স্তম্ভের উচ্চতা ($AB$) = $h$ মিটার।
• ছায়ার দৈর্ঘ্য ($BC$) = 9 মিটার।
• উন্নতি কোণ = $30^\circ$।

সমাধান:

সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই:

$\tan 30^\circ = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{9}$

বা, $\sqrt{3}h = 9$

বা, $h = \frac{9}{\sqrt{3}}$

বা, $h = \frac{3 \times 3}{\sqrt{3}}$

বা, $h = 3\sqrt{3}$

উত্তর: স্তম্ভটির উচ্চতা $3\sqrt{3}$ মিটার।

৩. 150 মি. লম্বা সুতো দিয়ে একটি মাঠ থেকে ঘুড়ি উড়ানো হয়েছে। ঘুড়িটি যদি অনুভূমিক রেখার সঙ্গে $60^\circ$ কোণ করে উড়তে থাকে, তাহলে ঘুড়িটি মাঠ থেকে কত উঁচুতে রয়েছে হিসাব করে লিখি। ধরি:

• ঘুড়িটির উচ্চতা ($AB$) = $h$ মিটার।
• সুতোর দৈর্ঘ্য (অতিভুজ $AC$) = 150 মিটার।
• উন্নতি কোণ = $60^\circ$।

সমাধান:

এখানে লম্ব ও অতিভুজের সম্পর্ক ব্যবহার করব:

$\sin 60^\circ = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$

বা, $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{150}$

বা, $2h = 150\sqrt{3}$

বা, $h = \frac{150\sqrt{3}}{2}$

বা, $h = 75\sqrt{3}$

উত্তর: ঘুড়িটি মাঠ থেকে $75\sqrt{3}$ মিটার উঁচুতে রয়েছে।

৪. একটি নদীর একটি পাড়ের একটি তালগাছের সোজাসুজি অপর পাড়ে একটি খুঁটি পুঁতলাম। এবার নদীর পাড় ধরে ওই খুঁটি থেকে $7\sqrt{3}$ মিটার সরে গিয়ে দেখছি নদীর পাড়ের পরিপ্রেক্ষিতে গাছটির পাদদেশ $60^\circ$ কোণে রয়েছে। নদীটি কত মিটার চওড়া নির্ণয় করি।
ধরি:

• নদীটি চওড়া ($AB$) = $x$ মিটার।
• সরে যাওয়া দূরত্ব ($BC$) = $7\sqrt{3}$ মিটার।
• কোণ ($\angle ACB$) = $60^\circ$।

সমাধান:

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$ থেকে পাই:

$\tan 60^\circ = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}$

বা, $\sqrt{3} = \frac{x}{7\sqrt{3}}$

বা, $x = \sqrt{3} \times 7\sqrt{3}$

বা, $x = 7 \times 3$

বা, $x = 21$

উত্তর: নদীটি 21 মিটার চওড়া।

৫. ঝড়ে একটি টেলিগ্রামপোস্ট মাটি থেকে কিছু উপরে মচকে যাওয়ায় তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে $8\sqrt{3}$ মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করেছে এবং অনুভূমিক রেখার সঙ্গে $30^\circ$ কোণ উৎপন্ন করেছে। পোস্টটি মাটি থেকে কত উপরে মচকে ছিল এবং পোস্টটির উচ্চতা কত ছিল হিসাব করে লিখি।
ধরি:

• পোস্টটি মাটি থেকে $h$ মিটার উপরে মচকেছিল (লম্ব)।
• মচকানো অংশটির দৈর্ঘ্য = $l$ মিটার (অতিভুজ)।
• গোড়া থেকে অগ্রভাগের দূরত্ব = $8\sqrt{3}$ মিটার (ভূমি)।

সমাধান:

(i) কত উপরে মচকেছিল ($h$):

$\tan 30^\circ = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{8\sqrt{3}}$

বা, $h = 8$ মিটার।

(ii) মচকানো অংশের দৈর্ঘ্য ($l$):

$\cos 30^\circ = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}}$

বা, $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{l}$

বা, $l = 8 \times 2 = 16$ মিটার।

মোট উচ্চতা:

পোস্টটির মোট উচ্চতা = $h + l$

$= 8 + 16 = 24$ মিটার।

উত্তর: পোস্টটি 8 মিটার উপরে মচকেছিল এবং তার মোট উচ্চতা ছিল 24 মিটার।

৬. আমাদের পাড়ায় রাস্তার দু-পাশে পরস্পর বিপরীত দিকে দুটি বাড়ি আছে। প্রথম বাড়ির দেয়ালের গোড়া থেকে 6 মিটার দূরে একটি মই-এর গোড়া রেখে যদি মইটিকে দেয়ালে ঠেকানো যায়, তবে তা অনুভূমিক রেখার সঙ্গে $30^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে। কিন্তু মইটিকে যদি একই জায়গায় রেখে দ্বিতীয় বাড়ির দেয়ালে লাগানো যায়, তাহলে অনুভূমিক রেখার সঙ্গে $60^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে।
(i) মইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি:

১ম ক্ষেত্রে:

• ভূমি = 6 মিটার।
• কোণ = $30^\circ$।
• মইয়ের দৈর্ঘ্য = অতিভুজ ($l$)।

$\cos 30^\circ = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}}$

বা, $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{l}$

বা, $\sqrt{3}l = 12$

বা, $l = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ মিটার।

উত্তর: মইটির দৈর্ঘ্য $4\sqrt{3}$ মিটার।

(ii) দ্বিতীয় বাড়ির দেয়ালের গোড়া থেকে মইটির গোড়া কত দূরে রয়েছে:

২য় ক্ষেত্রে:

• অতিভুজ (মই) = $4\sqrt{3}$ মিটার।
• কোণ = $60^\circ$।
• ভূমি = $x$ মিটার।

$\cos 60^\circ = \frac{x}{4\sqrt{3}}$

বা, $\frac{1}{2} = \frac{x}{4\sqrt{3}}$

বা, $2x = 4\sqrt{3}$

বা, $x = 2\sqrt{3}$ মিটার।

উত্তর: দূরত্ব $2\sqrt{3}$ মিটার।

(iii) রাস্তাটি কত চওড়া নির্ণয় করি:

রাস্তার মোট চওড়া = ১ম দূরত্ব + ২য় দূরত্ব

$= 6 + 2\sqrt{3}$ মিটার।

(iv) দ্বিতীয় বাড়ির কত উঁচুতে মইটির অগ্রভাগ স্পর্শ করবে:

২য় ক্ষেত্রে লম্ব ($h$) বের করতে হবে।

$\sin 60^\circ = \frac{h}{4\sqrt{3}}$

বা, $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{4\sqrt{3}}$

বা, $2h = 4\sqrt{3} \times \sqrt{3}$

বা, $2h = 4 \times 3 = 12$

বা, $h = 6$ মিটার।

উত্তর: 6 মিটার উঁচুতে স্পর্শ করবে।

৭. যদি একটি চিমনির গোড়ার সঙ্গে সমতলে অবস্থিত একটি বিন্দুর সাপেক্ষে চিমনির চূড়ার উন্নতি কোণ $60^\circ$ হয় এবং সেই বিন্দু ও চিমনির গোড়ার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত ওই বিন্দু থেকে আরও 24 মিটার দূরের অপর একটি বিন্দুর সাপেক্ষে চিমনির চূড়ার উন্নতি কোণ $30^\circ$ হয়, তাহলে চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি। ($\sqrt{3} \approx 1.732$)
ধরি:

• চিমনির উচ্চতা = $h$ মিটার।
• ১ম বিন্দুর দূরত্ব = $x$ মিটার।

সমাধান:

১ম ত্রিভুজ ($60^\circ$) থেকে:

$\tan 60^\circ = \frac{h}{x}$

বা, $\sqrt{3} = \frac{h}{x} \Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}}$ … (i)

২য় ত্রিভুজ ($30^\circ$) থেকে:

$\tan 30^\circ = \frac{h}{x + 24}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x + 24}$

বা, $x + 24 = h\sqrt{3}$

(i) থেকে $x$-এর মান বসিয়ে পাই:

$\frac{h}{\sqrt{3}} + 24 = h\sqrt{3}$

বা, $h\sqrt{3} – \frac{h}{\sqrt{3}} = 24$

বা, $\frac{3h – h}{\sqrt{3}} = 24$

বা, $2h = 24\sqrt{3}$

বা, $h = 12\sqrt{3}$

মান বসিয়ে: $h = 12 \times 1.732 = 20.784$ মিটার।

উত্তর: চিমনির উচ্চতা 20.784 মিটার (প্রায়)।

৮. সূর্যের উন্নতি কোণ $45^\circ$ থেকে বৃদ্ধি পেয়ে $60^\circ$ হলে, একটি খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমে যায়। খুঁটির উচ্চতা নির্ণয় করি। ($\sqrt{3} \approx 1.732$)
সমাধান:

ধরি খুঁটির উচ্চতা = $h$ মিটার।

আমরা জানি, ছায়ার দৈর্ঘ্যের পার্থক্য ($d$) এবং উচ্চতার সম্পর্ক:

$d = h(\cot 45^\circ – \cot 60^\circ)$

বা, $3 = h(1 – \frac{1}{\sqrt{3}})$

বা, $3 = h(\frac{\sqrt{3} – 1}{\sqrt{3}})$

বা, $h = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3} – 1}$

হরের করণী নিরসন করে পাই:

$h = \frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} + 1)}$

$= \frac{3(3 + \sqrt{3})}{3 – 1}$

$= \frac{3(3 + 1.732)}{2}$

$= \frac{3 \times 4.732}{2}$

$= \frac{14.196}{2} = 7.098$ মিটার।

উত্তর: খুঁটির উচ্চতা 7.098 মিটার (প্রায়)।

৯. $9\sqrt{3}$ মিটার উঁচু তিনতলা বাড়ির ছাদ থেকে দেখলে 30 মিটার দূরে অবস্থিত একটি কারখানার চিমনির উন্নতি কোণ $30^\circ$ হয়। চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
ধরি:

• বাড়ির উচ্চতা = $9\sqrt{3}$ মিটার।
• বাড়ি ও চিমনির দূরত্ব = 30 মিটার।
• চিমনির বাড়ির সমান্তরাল অংশের উপরের বাড়তি অংশ = $x$ মিটার।

সমাধান:

বাড়ির ছাদ থেকে চিমনির চূড়ার উন্নতি কোণ $30^\circ$।

এখানে ভূমি = দূরত্ব = 30 মিটার।

$\tan 30^\circ = \frac{x}{30}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{30}$

বা, $\sqrt{3}x = 30$

বা, $x = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$ মিটার।

চিমনির মোট উচ্চতা = বাড়ির উচ্চতা + $x$

$= 9\sqrt{3} + 10\sqrt{3}$

$= 19\sqrt{3}$ মিটার।

উত্তর: চিমনির উচ্চতা $19\sqrt{3}$ মিটার।

১০. একটি লাইট হাউস থেকে তার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত দুটি জাহাজের মাস্তুলের গোড়ার অবনতি কোণ যদি যথাক্রমে $60^\circ$ ও $30^\circ$ হয় এবং কাছের জাহাজের মাস্তুল যদি লাইট হাউস থেকে 150 মিটার দূরত্বে থাকে, তাহলে দূরের জাহাজের মাস্তুল লাইট হাউস থেকে কত দূরে রয়েছে এবং লাইট হাউসটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
ধরি:

• লাইট হাউসের উচ্চতা = $h$ মিটার।
• কাছের জাহাজের দূরত্ব = 150 মিটার (কোণ $60^\circ$)।
• দূরের জাহাজের দূরত্ব = $d$ মিটার (কোণ $30^\circ$)।

সমাধান:

ধাপ ১: উচ্চতা নির্ণয়

১ম ত্রিভুজ থেকে পাই:

$\tan 60^\circ = \frac{h}{150}$

বা, $\sqrt{3} = \frac{h}{150}$

বা, $h = 150\sqrt{3}$ মিটার।

ধাপ ২: দূরের জাহাজের দূরত্ব নির্ণয়

২য় ত্রিভুজ থেকে পাই:

$\tan 30^\circ = \frac{h}{d}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{150\sqrt{3}}{d}$

বা, $d = 150\sqrt{3} \times \sqrt{3}$

বা, $d = 150 \times 3 = 450$ মিটার।

উত্তর: দূরের জাহাজের দূরত্ব 450 মিটার এবং লাইট হাউসের উচ্চতা $150\sqrt{3}$ মিটার।

১১. একটি পাঁচতলা বাড়ির ছাদের কোনো বিন্দু থেকে দেখলে মনুমেন্টের চূড়ার উন্নতি কোণ ও গোড়ার অবনতি কোণ যথাক্রমে $60^\circ$ ও $30^\circ$। বাড়ির উচ্চতা 16 মিটার হলে, মনুমেন্টের উচ্চতা এবং বাড়িটি মনুমেন্ট থেকে কত দূরে অবস্থিত হিসাব করে লিখি।
ধরি:

• পাঁচতলা বাড়ির উচ্চতা ($AB$) = 16 মিটার।
• মনুমেন্টের উচ্চতা = $CD$।
• বাড়ি থেকে মনুমেন্টের দূরত্ব = $BD$।

চিত্র ও জ্যামিতিক বিশ্লেষণ:

১. বাড়ির ছাদ ($A$) থেকে মনুমেন্টের উপর $AE$ লম্ব টানা হলো।

২. এটি একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করে, তাই $ED = AB = 16$ মিটার এবং $AE = BD$।

৩. মনুমেন্টের চূড়ার উন্নতি কোণ $\angle CAE = 60^\circ$।

৪. মনুমেন্টের গোড়ার অবনতি কোণ $\angle EAD = 30^\circ$।

৫. যেহেতু $AE \parallel BD$, তাই একান্তর কোণ $\angle ADB = \angle EAD = 30^\circ$।

সমাধান:

ধাপ ১: বাড়ি ও মনুমেন্টের দূরত্ব ($BD$) নির্ণয়

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABD$ থেকে পাই:

$\tan 30^\circ = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{AB}{BD}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16}{BD}$

বা, $BD = 16\sqrt{3}$

সুতরাং, বাড়িটি মনুমেন্ট থেকে $16\sqrt{3}$ মিটার দূরে অবস্থিত।

যেহেতু $AE = BD$, তাই $AE = 16\sqrt{3}$ মিটার।

ধাপ ২: মনুমেন্টের ওপরের অংশের ($CE$) উচ্চতা নির্ণয়

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle AEC$ থেকে পাই:

$\tan 60^\circ = \frac{CE}{AE}$

বা, $\sqrt{3} = \frac{CE}{16\sqrt{3}}$

বা, $CE = 16\sqrt{3} \times \sqrt{3}$

বা, $CE = 16 \times 3 = 48$ মিটার।

ধাপ ৩: মনুমেন্টের মোট উচ্চতা নির্ণয়

মনুমেন্টের উচ্চতা ($CD$) = $CE + ED$

$= 48 + 16$

$= 64$ মিটার।

উত্তর: মনুমেন্টের উচ্চতা 64 মিটার এবং বাড়ি থেকে মনুমেন্টের দূরত্ব $16\sqrt{3}$ মিটার।

১২. 250 মিটার লম্বা সুতো দিয়ে একটি ঘুড়ি ওড়াচ্ছি। সুতোটি যখন অনুভূমিক রেখার সঙ্গে $60^\circ$ কোণ করে থাকে এবং সুতোটি যখন $45^\circ$ কোণ করে তখন প্রতিক্ষেত্রে ঘুড়িটি আমার থেকে কত উপরে থাকবে হিসাব করে লিখি। এদের মধ্যে কোন ক্ষেত্রে ঘুড়িটি বেশি উঁচুতে থাকবে নির্ণয় করি।
ধরি:

• সুতোটির দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) = 250 মিটার।
• ১ম ক্ষেত্রে উচ্চতা = $h_1$ (যখন কোণ $60^\circ$)।
• ২য় ক্ষেত্রে উচ্চতা = $h_2$ (যখন কোণ $45^\circ$)।

সমাধান:

ক্ষেত্র ১: কোণ $60^\circ$

আমরা জানি, $\sin \theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$

$\sin 60^\circ = \frac{h_1}{250}$

বা, $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h_1}{250}$

বা, $2h_1 = 250\sqrt{3}$

বা, $h_1 = 125\sqrt{3}$

দশমিকে মান: $125 \times 1.732 = 216.5$ মিটার (প্রায়)।

ক্ষেত্র ২: কোণ $45^\circ$

$\sin 45^\circ = \frac{h_2}{250}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{h_2}{250}$

বা, $\sqrt{2}h_2 = 250$

বা, $h_2 = \frac{250}{\sqrt{2}}$

করণী নিরসন করে: $h_2 = \frac{250\sqrt{2}}{2} = 125\sqrt{2}$

দশমিকে মান: $125 \times 1.414 = 176.75$ মিটার (প্রায়)।

তুলনা:

দেখা যাচ্ছে, $216.5$ মিটার > $176.75$ মিটার।

অর্থাৎ, $60^\circ$ কোণ করে ওড়ালে ঘুড়িটি বেশি উঁচুতে থাকবে।

উত্তর: ১ম ক্ষেত্রে উচ্চতা $125\sqrt{3}$ মিটার এবং ২য় ক্ষেত্রে উচ্চতা $125\sqrt{2}$ মিটার। ১ম ক্ষেত্রে ঘুড়িটি বেশি উঁচুতে থাকবে।

১৩. উড়োজাহাজের একজন যাত্রী কোনো এক সময় তাঁর এক পাশে হাওড়া স্টেশনটি এবং ঠিক বিপরীত পাশে শহিদ মিনারটি যথাক্রমে $60^\circ$ ও $30^\circ$ অবনতি কোণে দেখতে পান। ওই সময়ে উড়োজাহাজটি যদি $545\sqrt{3}$ মিটার উঁচুতে থাকে, তাহলে হাওড়া স্টেশন ও শহিদ মিনারের দূরত্ব নির্ণয় করি।
বিবরণ:

• উড়োজাহাজের অবস্থান $A$ বিন্দু।
• মাটি থেকে উড়োজাহাজের উচ্চতা $AD = 545\sqrt{3}$ মিটার।
• হাওড়া স্টেশনের অবস্থান $B$ এবং শহিদ মিনারের অবস্থান $C$।
• $B$ ও $C$ বিন্দু $D$ বিন্দুর বিপরীত পাশে অবস্থিত।
• অবনতি কোণ যথাক্রমে $60^\circ$ ও $30^\circ$।
• একান্তর কোণের নিয়ম অনুযায়ী, $\angle ABD = 60^\circ$ এবং $\angle ACD = 30^\circ$।

সমাধান:

ধাপ ১: হাওড়া স্টেশনের দূরত্ব ($BD$) নির্ণয়

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABD$ থেকে পাই:

$\tan 60^\circ = \frac{AD}{BD}$

বা, $\sqrt{3} = \frac{545\sqrt{3}}{BD}$

বা, $BD = \frac{545\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

বা, $BD = 545$ মিটার।

ধাপ ২: শহিদ মিনারের দূরত্ব ($CD$) নির্ণয়

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ACD$ থেকে পাই:

$\tan 30^\circ = \frac{AD}{CD}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{545\sqrt{3}}{CD}$

বজ্রগুণন করে পাই:

$CD = 545\sqrt{3} \times \sqrt{3}$

বা, $CD = 545 \times 3$

বা, $CD = 1635$ মিটার।

ধাপ ৩: মোট দূরত্ব নির্ণয়

হাওড়া স্টেশন ও শহিদ মিনারের মোট দূরত্ব = $BD + CD$

$= 545 + 1635$

$= 2180$ মিটার।

উত্তর: হাওড়া স্টেশন ও শহিদ মিনারের দূরত্ব 2180 মিটার।

১৪. একটি তিনতলা বাড়ির ছাদে 3.3 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি পতাকা আছে। রাস্তার কোনো এক স্থান থেকে দেখলে পতাকা দণ্ডটির চূড়া ও পাদদেশের উন্নতি কোণ যথাক্রমে $50^\circ$ ও $45^\circ$ হয়। তিনতলা বাড়িটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি। [ধরি, $\tan 50^\circ = 1.192$]
ধরি:

• তিনতলা বাড়ির উচ্চতা ($BC$) = $h$ মিটার।
• পতাকা দণ্ডটির দৈর্ঘ্য ($CD$) = 3.3 মিটার।
• রাস্তার পর্যবেক্ষণ বিন্দু ($A$) থেকে বাড়ির দূরত্ব ($AB$) = $x$ মিটার।
• পতাকার পাদদেশের (ছাদের) উন্নতি কোণ $\angle CAB = 45^\circ$।
• পতাকার চূড়ার উন্নতি কোণ $\angle DAB = 50^\circ$।

সমাধান:

ধাপ ১: $\triangle ABC$ থেকে সম্পর্ক নির্ণয়

$\tan 45^\circ = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{BC}{AB}$

বা, $1 = \frac{h}{x}$

বা, $x = h$ ……. (i)

ধাপ ২: $\triangle ABD$ থেকে উচ্চতা নির্ণয়

মোট লম্ব ($BD$) = বাড়ির উচ্চতা + পতাকার উচ্চতা = $h + 3.3$ মিটার।

$\tan 50^\circ = \frac{BD}{AB}$

বা, $1.192 = \frac{h + 3.3}{x}$ [মান বসিয়ে]

বা, $1.192 = \frac{h + 3.3}{h}$ [(i) থেকে $x=h$ বসিয়ে]

বা, $1.192h = h + 3.3$

বা, $1.192h – h = 3.3$

বা, $0.192h = 3.3$

বা, $h = \frac{3.3}{0.192}$

দশমিক তুলে পাই:

$h = \frac{3300}{192}$

ভাগ করে পাই, $h \approx 17.1875$

উত্তর: তিনতলা বাড়িটির উচ্চতা প্রায় 17.19 মিটার।

১৫. দুটি স্তম্ভের উচ্চতা যথাক্রমে 180 মিটার ও 60 মিটার। দ্বিতীয় স্তম্ভের গোড়া থেকে প্রথমটির চূড়ার উন্নতি কোণ $60^\circ$ হলে, প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীয়টির চূড়ার উন্নতি কোণ হিসাব করে লিখি।
বিবরণ:

• প্রথম স্তম্ভের উচ্চতা ($AB$) = 180 মিটার।
• দ্বিতীয় স্তম্ভের উচ্চতা ($CD$) = 60 মিটার।
• দ্বিতীয় স্তম্ভের গোড়া ($C$) থেকে প্রথমটির চূড়া ($B$)-এর উন্নতি কোণ $\angle BCA = 60^\circ$।
• আমাদের বের করতে হবে: প্রথমটির গোড়া ($A$) থেকে দ্বিতীয়টির চূড়া ($D$)-এর উন্নতি কোণ $\angle DAC$। ধরি কোণটি $\theta$।

সমাধান:

ধাপ ১: স্তম্ভ দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব ($AC$) নির্ণয়

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$ থেকে পাই:

$\tan 60^\circ = \frac{AB}{AC}$

বা, $\sqrt{3} = \frac{180}{AC}$

বা, $AC = \frac{180}{\sqrt{3}}$

লব ও হরকে $\sqrt{3}$ দিয়ে গুণ করে (করণী নিরসন):

$AC = \frac{180\sqrt{3}}{3} = 60\sqrt{3}$ মিটার।

ধাপ ২: নির্ণেয় কোণ ($\theta$) বের করা

এখন সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ADC$ থেকে পাই:

$\tan \theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{CD}{AC}$

মান বসিয়ে পাই:

$\tan \theta = \frac{60}{60\sqrt{3}}$

বা, $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$

আমরা জানি, $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$

সুতরাং, $\theta = 30^\circ$

উত্তর: প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীয়টির চূড়ার উন্নতি কোণ $30^\circ$।

১৬. সূর্যের উন্নতি কোণ $45^\circ$ হলে, কোনো সমতলে অবস্থিত একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য যা হয়, উন্নতি কোণ $30^\circ$ হলে, ছায়ার দৈর্ঘ্য তার চেয়ে 60 মিটার বেশি হয়। স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় করি।
ধরি:

• স্তম্ভের উচ্চতা = $h$ মিটার।
• $45^\circ$ উন্নতি কোণে ছায়ার দৈর্ঘ্য = $x$ মিটার।
• $30^\circ$ উন্নতি কোণে ছায়ার দৈর্ঘ্য = $(x + 60)$ মিটার।

সমাধান:

১ম ক্ষেত্র ($45^\circ$):

$\tan 45^\circ = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{h}{x}$

বা, $1 = \frac{h}{x} \Rightarrow x = h$ … (i)

২য় ক্ষেত্র ($30^\circ$):

$\tan 30^\circ = \frac{h}{x + 60}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{h + 60}$ [$x$-এর মান বসিয়ে]

বা, $h\sqrt{3} = h + 60$

বা, $h\sqrt{3} – h = 60$

বা, $h(\sqrt{3} – 1) = 60$

বা, $h = \frac{60}{\sqrt{3} – 1}$

হর থেকে করণী নিরসন করে পাই:

$h = \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{3 – 1}$

$= \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{2} = 30(\sqrt{3} + 1)$

মান বসালে: $30(1.732 + 1) = 30 \times 2.732 = 81.96$ মিটার।

উত্তর: স্তম্ভটির উচ্চতা $30(\sqrt{3} + 1)$ মিটার বা ৮১.৯৬ মিটার (প্রায়)।

১৭. একটি চিমনির সঙ্গে একই সমতলে অবস্থিত অনুভূমিক সরলরেখায় কোনো এক বিন্দু থেকে চিমনির দিকে 50 মিটার এগিয়ে যাওয়ায় তার চূড়ার উন্নতি কোণ $30^\circ$ থেকে $60^\circ$ হলো। চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
ধরি:

• চিমনির উচ্চতা = $h$ মিটার।
• চূড়ার উন্নতি কোণ প্রথমে $30^\circ$, পরে $60^\circ$।
• এগিয়ে যাওয়া দূরত্ব = 50 মিটার।

সমাধান:

আমরা জানি, দূরত্ব ($d$) এবং উচ্চতা ($h$)-এর সম্পর্ক:

$d = h(\cot \theta_1 – \cot \theta_2)$ [যেখানে $\theta_1 < \theta_2$]

বা, $50 = h(\cot 30^\circ – \cot 60^\circ)$

মান বসিয়ে পাই:

$50 = h(\sqrt{3} – \frac{1}{\sqrt{3}})$

বা, $50 = h\left(\frac{3 – 1}{\sqrt{3}}\right)$

বা, $50 = h \times \frac{2}{\sqrt{3}}$

বা, $2h = 50\sqrt{3}$

বা, $h = 25\sqrt{3}$

মান বসালে: $25 \times 1.732 = 43.3$ মিটার।

উত্তর: চিমনির উচ্চতা $25\sqrt{3}$ মিটার বা ৪৩.৩ মিটার (প্রায়)।

১৮. 126 ডেসিমি উঁচু একটি উলম্ব খুঁটি মাটি থেকে কিছু উপরে দুমড়ে গিয়ে উপরের অংশ কাত হয়ে পড়ায় তার অগ্রভাগ মাটি স্পর্শ করে ভূমির সঙ্গে $30^\circ$ কোণ উৎপন্ন করেছে। খুঁটিটি কত উপরে দুমড়ে গিয়েছিল এবং তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে কত দূরে মাটি স্পর্শ করেছিল হিসাব করে লিখি।
ধরি:

• খুঁটিটি মাটি থেকে $x$ ডেসিমি উপরে দুমড়েছিল। (লম্ব = $x$)
• মোট উচ্চতা = 126 ডেসিমি।
• ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) = $(126 – x)$ ডেসিমি।
• গোড়া থেকে অগ্রভাগের দূরত্ব (ভূমি) = $y$ ডেসিমি।

সমাধান:

(i) উচ্চতা নির্ণয়:

$\sin 30^\circ = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{x}{126 – x}$

বা, $\frac{1}{2} = \frac{x}{126 – x}$

বা, $2x = 126 – x$

বা, $3x = 126 \Rightarrow x = 42$ ডেসিমি।

(ii) দূরত্ব নির্ণয়:

$\tan 30^\circ = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{x}{y}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{42}{y}$

বা, $y = 42\sqrt{3}$ ডেসিমি।

উত্তর: খুঁটিটি 42 ডেসিমি উপরে দুমড়েছিল এবং অগ্রভাগ $42\sqrt{3}$ ডেসিমি দূরে মাটি স্পর্শ করেছিল।

১৯. মাঠের মাঝখানে দাঁড়িয়ে মোহিত একটি উড়ন্ত পাখিকে প্রথমে উত্তরদিকে $30^\circ$ উন্নতি কোণে এবং 2 মিনিট পরে দক্ষিণদিকে $60^\circ$ উন্নতি কোণে দেখতে পেল। পাখিটি যদি একই সরলরেখা বরাবর $50\sqrt{3}$ মিটার উঁচুতে উড়ে থাকে, তবে তার গতিবেগ কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টায় নির্ণয় করি।
ধরি:

• পাখিটির উচ্চতা ($h$) = $50\sqrt{3}$ মিটার।
• ১ম অবস্থানের অনুভূমিক দূরত্ব = $x$ মিটার।
• ২য় অবস্থানের অনুভূমিক দূরত্ব = $y$ মিটার।

সমাধান:

১ম অবস্থান (উত্তর দিক):

$\cot 30^\circ = \frac{x}{h} \Rightarrow x = h \cot 30^\circ$

$= 50\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 150$ মিটার।

২য় অবস্থান (দক্ষিণ দিক):

$\cot 60^\circ = \frac{y}{h} \Rightarrow y = h \cot 60^\circ$

$= 50\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 50$ মিটার।

মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব:

$D = x + y = 150 + 50 = 200$ মিটার = 0.2 কিমি।

গতিবেগ নির্ণয়:

সময় = 2 মিনিট = $\frac{2}{60}$ ঘণ্টা।

গতিবেগ = $\frac{\text{দূরত্ব}}{\text{সময়}} = \frac{0.2}{2/60} = \frac{0.2 \times 60}{2} = 6$ কিমি/ঘণ্টা।

উত্তর: পাখিটির গতিবেগ 6 কিমি/ঘণ্টা।

WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 25 | উচ্চতা ও দূরত্ব (Q20-Q23)

(Page 327 | Q-20 to Q-23)

পরীক্ষার জন্য এই বড় প্রশ্নগুলি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। প্রতিটি ধাপ নিচে দেওয়া হলো।