দশম শ্রেণী গনিত: ত্রিকোণমিতি পূরক কোণ কষে দেখি 24

(i) $\frac{\sin 38^\circ}{\cos 52^\circ}$

সমাধান:

এখানে $38^\circ + 52^\circ = 90^\circ$ (পূরক কোণ)।

আমরা জানি, $\cos 52^\circ = \cos(90^\circ – 38^\circ)$

$= \sin 38^\circ$

এখন মূল রাশিতে মান বসাই:

$$= \frac{\sin 38^\circ}{\sin 38^\circ}$$

$$= 1$$

উত্তর: 1

(ii) $\frac{\text{cosec } 79^\circ}{\sec 11^\circ}$

সমাধান:

এখানে $79^\circ + 11^\circ = 90^\circ$।

আমরা হর-কে পরিবর্তন করি:

$\sec 11^\circ = \sec(90^\circ – 79^\circ)$

$= \text{cosec } 79^\circ$

এখন প্রদত্ত রাশি:

$$= \frac{\text{cosec } 79^\circ}{\text{cosec } 79^\circ}$$

$$= 1$$

উত্তর: 1

(iii) $\tan 27^\circ \tan 63^\circ$

সমাধান:

এখানে $27^\circ + 63^\circ = 90^\circ$।

আমরা $\tan 63^\circ$-কে পরিবর্তন করি:

$\tan 63^\circ = \tan(90^\circ – 27^\circ)$

$= \cot 27^\circ$

এখন মূল রাশি:

$$= \tan 27^\circ \times \cot 27^\circ$$

$$= \tan 27^\circ \times \frac{1}{\tan 27^\circ}$$

$$= 1$$

উত্তর: 1

(i) $\sin 66^\circ – \cos 24^\circ = 0$

প্রমাণ:

বামপক্ষ $= \sin 66^\circ – \cos 24^\circ$

আমরা জানি, $24^\circ = 90^\circ – 66^\circ$

$$= \sin 66^\circ – \cos(90^\circ – 66^\circ)$$

$$= \sin 66^\circ – \sin 66^\circ$$

$$= 0$$

$=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

(ii) $\cos^2 57^\circ + \cos^2 33^\circ = 1$

প্রমাণ:

বামপক্ষ $= \cos^2 57^\circ + \cos^2 33^\circ$

এখানে $33^\circ = 90^\circ – 57^\circ$

$$= \cos^2 57^\circ + [\cos(90^\circ – 57^\circ)]^2$$

$$= \cos^2 57^\circ + [\sin 57^\circ]^2$$

$$= \cos^2 57^\circ + \sin^2 57^\circ$$

আমরা জানি, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$$= 1$$

$=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

(iii) $\cos^2 75^\circ – \sin^2 15^\circ = 0$

প্রমাণ:

বামপক্ষ $= \cos^2 75^\circ – \sin^2 15^\circ$

$$= \cos^2 75^\circ – [\sin(90^\circ – 75^\circ)]^2$$

$$= \cos^2 75^\circ – [\cos 75^\circ]^2$$

$$= \cos^2 75^\circ – \cos^2 75^\circ$$

$$= 0$$

$=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

(iv) $\text{cosec}^2 48^\circ – \tan^2 42^\circ = 1$

প্রমাণ:

বামপক্ষ $= \text{cosec}^2 48^\circ – \tan^2 42^\circ$

$$= \text{cosec}^2 48^\circ – [\tan(90^\circ – 48^\circ)]^2$$

$$= \text{cosec}^2 48^\circ – [\cot 48^\circ]^2$$

$$= \text{cosec}^2 48^\circ – \cot^2 48^\circ$$

আমরা জানি, $\text{cosec}^2 \theta – \cot^2 \theta = 1$

$$= 1$$

$=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

(v) $\sec 70^\circ \sin 20^\circ + \cos 20^\circ \text{cosec } 70^\circ = 2$

প্রমাণ:

বামপক্ষ $= \sec 70^\circ \sin 20^\circ + \cos 20^\circ \text{cosec } 70^\circ$

আমরা সব কোণগুলিকে $70^\circ$-এ নিয়ে যাই।

$\sin 20^\circ = \sin(90^\circ – 70^\circ) = \cos 70^\circ$

$\cos 20^\circ = \cos(90^\circ – 70^\circ) = \sin 70^\circ$

মান বসিয়ে পাই:

$$= \sec 70^\circ \cdot \cos 70^\circ + \sin 70^\circ \cdot \text{cosec } 70^\circ$$

$$= \left(\frac{1}{\cos 70^\circ} \times \cos 70^\circ\right) + \left(\sin 70^\circ \times \frac{1}{\sin 70^\circ}\right)$$

$$= 1 + 1$$

$$= 2$$

$=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

(i) $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = 1$

প্রমাণ:

দেওয়া আছে, $\alpha + \beta = 90^\circ$

বা, $\beta = 90^\circ – \alpha$

বামপক্ষ $= \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta$

$$= \sin^2 \alpha + [\sin(90^\circ – \alpha)]^2$$

$$= \sin^2 \alpha + [\cos \alpha]^2$$

$$= \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$$

$$= 1$$

$=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

(ii) $\cot \beta + \cos \beta = \frac{\cos \beta}{\cos \alpha} (1 + \sin \beta)$

প্রমাণ:

যেহেতু $\alpha$ ও $\beta$ পূরক, তাই $\cos \alpha = \cos(90^\circ – \beta) = \sin \beta$।

ডানপক্ষ (R.H.S) দিয়ে শুরু করলে সুবিধা হবে:

$$= \frac{\cos \beta}{\cos \alpha} (1 + \sin \beta)$$

$\cos \alpha$-এর জায়গায় $\sin \beta$ বসিয়ে পাই:

$$= \frac{\cos \beta}{\sin \beta} (1 + \sin \beta)$$

$$= \frac{\cos \beta}{\sin \beta} + \frac{\cos \beta \cdot \sin \beta}{\sin \beta}$$ (গুণ করে)

$$= \cot \beta + \cos \beta$$

$=$ বামপক্ষ (প্রমাণিত)।

(iii) $\frac{\sec \alpha}{\cos \alpha} – \cot^2 \beta = 1$

প্রমাণ:

বামপক্ষ $= \sec \alpha \cdot \frac{1}{\cos \alpha} – \cot^2 \beta$

$$= \sec \alpha \cdot \sec \alpha – \cot^2(90^\circ – \alpha)$$ [যেহেতু $\beta = 90^\circ – \alpha$]

$$= \sec^2 \alpha – \tan^2 \alpha$$

$$= 1$$

$=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

৪. যদি $\sin 17^\circ = \frac{x}{y}$ হয়, তাহলে দেখাই যে $\sec 17^\circ – \sin 73^\circ = \frac{x^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}$

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\sin 17^\circ = \frac{x}{y}$।

আমরা জানি, $\cos^2 \theta = 1 – \sin^2 \theta$

$\therefore \cos 17^\circ = \sqrt{1 – \sin^2 17^\circ}$

$$= \sqrt{1 – (\frac{x}{y})^2}$$

$$= \sqrt{\frac{y^2 – x^2}{y^2}}$$

$$= \frac{\sqrt{y^2 – x^2}}{y}$$

বামপক্ষ $= \sec 17^\circ – \sin 73^\circ$

$$= \frac{1}{\cos 17^\circ} – \sin(90^\circ – 17^\circ)$$

$$= \frac{1}{\cos 17^\circ} – \cos 17^\circ$$

$$= \frac{1 – \cos^2 17^\circ}{\cos 17^\circ}$$ (লসাগু করে)

$$= \frac{\sin^2 17^\circ}{\cos 17^\circ}$$

এখন মান বসিয়ে পাই:

$$= \frac{(x/y)^2}{\frac{\sqrt{y^2-x^2}}{y}}$$

$$= \frac{x^2}{y^2} \times \frac{y}{\sqrt{y^2-x^2}}$$

$$= \frac{x^2}{y \sqrt{y^2 – x^2}}$$

$=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

৫. দেখাই যে, $\sec^2 12^\circ – \frac{1}{\tan^2 78^\circ} = 1$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \sec^2 12^\circ – \frac{1}{\tan^2 78^\circ}$

$$= \sec^2 12^\circ – \cot^2 78^\circ$$

$$= \sec^2 12^\circ – [\cot(90^\circ – 12^\circ)]^2$$

$$= \sec^2 12^\circ – [\tan 12^\circ]^2$$

$$= \sec^2 12^\circ – \tan^2 12^\circ$$

$$= 1$$

$=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

৬. $\angle A + \angle B = 90^\circ$ হলে, দেখাই যে $1 + \frac{\tan A}{\tan B} = \sec^2 A$

সমাধান:

দেওয়া আছে, $B = 90^\circ – A$।

বামপক্ষ $= 1 + \frac{\tan A}{\tan B}$

$$= 1 + \frac{\tan A}{\tan(90^\circ – A)}$$

$$= 1 + \frac{\tan A}{\cot A}$$

$$= 1 + \frac{\tan A}{\frac{1}{\tan A}}$$

$$= 1 + \tan A \times \tan A$$

$$= 1 + \tan^2 A$$

$$= \sec^2 A$$ [সূত্র অনুযায়ী]

$=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

৭. দেখাই যে, $\text{cosec}^2 22^\circ \cot^2 68^\circ = \sin^2 22^\circ + \sin^2 68^\circ + \cot^2 68^\circ$

সমাধান:

বামপক্ষ (L.H.S):

$\text{cosec}^2 22^\circ \cot^2 68^\circ$

$$= \text{cosec}^2 22^\circ \cdot [\cot(90^\circ – 22^\circ)]^2$$

$$= \text{cosec}^2 22^\circ \cdot \tan^2 22^\circ$$

$$= \frac{1}{\sin^2 22^\circ} \cdot \frac{\sin^2 22^\circ}{\cos^2 22^\circ}$$

$$= \frac{1}{\cos^2 22^\circ}$$

$$= \sec^2 22^\circ$$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$\sin^2 22^\circ + \sin^2 68^\circ + \cot^2 68^\circ$

$$= \sin^2 22^\circ + [\sin(90^\circ – 22^\circ)]^2 + [\cot(90^\circ – 22^\circ)]^2$$

$$= \sin^2 22^\circ + \cos^2 22^\circ + \tan^2 22^\circ$$

$$= (\sin^2 22^\circ + \cos^2 22^\circ) + \tan^2 22^\circ$$

$$= 1 + \tan^2 22^\circ$$

$$= \sec^2 22^\circ$$

যেহেতু বামপক্ষ = ডানপক্ষ, সুতরাং প্রমাণিত।

৮. যদি $\angle P + \angle Q = 90^\circ$ হয়, তবে দেখাই যে $\sqrt{\frac{\sin P}{\cos Q} – \sin P \cos Q} = \cos P$

সমাধান:

দেওয়া আছে, $Q = 90^\circ – P$।

বামপক্ষ $= \sqrt{\frac{\sin P}{\cos Q} – \sin P \cos Q}$

$$= \sqrt{\frac{\sin P}{\cos(90^\circ – P)} – \sin P \cos(90^\circ – P)}$$

$$= \sqrt{\frac{\sin P}{\sin P} – \sin P \cdot \sin P}$$

$$= \sqrt{1 – \sin^2 P}$$

$$= \sqrt{\cos^2 P}$$

$$= \cos P$$

$=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

৯. প্রমাণ করি যে, $\cot 12^\circ \cot 38^\circ \cot 52^\circ \cot 78^\circ \cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$

সমাধান:

বামপক্ষ $= \cot 12^\circ \cot 38^\circ \cot 52^\circ \cot 78^\circ \cot 60^\circ$

আমরা পূরক কোণের জোড়াগুলিকে সাজিয়ে লিখি:

$$= (\cot 12^\circ \cot 78^\circ) \cdot (\cot 38^\circ \cot 52^\circ) \cdot \cot 60^\circ$$

এখন, $\cot 78^\circ = \cot(90^\circ – 12^\circ) = \tan 12^\circ$

এবং $\cot 52^\circ = \cot(90^\circ – 38^\circ) = \tan 38^\circ$

মান বসিয়ে পাই:

$$= (\cot 12^\circ \cdot \tan 12^\circ) \cdot (\cot 38^\circ \cdot \tan 38^\circ) \cdot \cot 60^\circ$$

$$= 1 \times 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}}$$

$$= \frac{1}{\sqrt{3}}$$

$=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

১০. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AOB একটি ব্যাস এবং বৃত্তের উপর C যে-কোনো একটি বিন্দু। A, C; B, C এবং O, C যুক্ত করে দেখাই যে:

[attachment_0](attachment)

ব্যাখ্যা:

• যেহেতু AOB ব্যাস, তাই $\angle ACB$ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।

  $\therefore \angle ACB = 90^\circ$।

• $\triangle ABC$-তে, $\angle ABC + \angle BAC = 90^\circ$।
• $\triangle AOC$-তে, $OA = OC$ (ব্যাসার্ধ), তাই $\angle OAC = \angle ACO$।

(i) প্রমাণ: $\tan \angle ABC = \cot \angle ACO$

বামপক্ষ $= \tan \angle ABC$

$$= \tan(90^\circ – \angle BAC)$$

$$= \cot \angle BAC$$

$$= \cot \angle OAC$$ (একই কোণ)

$$= \cot \angle ACO$$ [যেহেতু $\angle OAC = \angle ACO$]

$=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

(ii) প্রমাণ: $\sin^2 \angle BCO + \sin^2 \angle ACO = 1$

যেহেতু $\angle ACB = 90^\circ$, তাই $\angle BCO + \angle ACO = 90^\circ$।

বামপক্ষ $= \sin^2 \angle BCO + \sin^2 \angle ACO$

$$= \sin^2(90^\circ – \angle ACO) + \sin^2 \angle ACO$$

$$= \cos^2 \angle ACO + \sin^2 \angle ACO$$

$$= 1$$ (প্রমাণিত)।

(iii) প্রমাণ: $\text{cosec}^2 \angle CAB – 1 = \tan^2 \angle ABC$

বামপক্ষ $= \text{cosec}^2 \angle CAB – 1$

$$= \cot^2 \angle CAB$$ [সূত্র: $\text{cosec}^2 \theta – 1 = \cot^2 \theta$]

$$= \cot^2(90^\circ – \angle ABC)$$ [যেহেতু $\angle A + \angle B = 90^\circ$]

$$= \tan^2 \angle ABC$$

$=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

১১. ABCD একটি আয়তাকার চিত্র। A, C যুক্ত করে প্রমাণ করি যে:

(i) $\tan \angle ACD = \cot \angle ACB$

সমাধান:

আয়তক্ষেত্রের প্রতিটি কোণ সমকোণ।

$\therefore \angle BCD = 90^\circ$

অর্থাৎ, $\angle ACD + \angle ACB = 90^\circ$

বামপক্ষ $= \tan \angle ACD$

$$= \tan(90^\circ – \angle ACB)$$

$$= \cot \angle ACB$$

$=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

(ii) $\tan^2 \angle CAD + 1 = \frac{1}{\sin^2 \angle BAC}$

সমাধান:

একইভাবে, $\angle BAD = 90^\circ$

অর্থাৎ, $\angle CAD + \angle BAC = 90^\circ$

বামপক্ষ $= \tan^2 \angle CAD + 1$

$$= \sec^2 \angle CAD$$ [সূত্র: $1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta$]

$$= \sec^2(90^\circ – \angle BAC)$$

$$= \text{cosec}^2 \angle BAC$$

$$= \frac{1}{\sin^2 \angle BAC}$$

$=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

(i) $(\sin 43^\circ \cos 47^\circ + \cos 43^\circ \sin 47^\circ)$-এর মান

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= \sin 43^\circ \cos 47^\circ + \cos 43^\circ \sin 47^\circ$

আমরা জানি, $47^\circ = 90^\circ – 43^\circ$

$\therefore \cos 47^\circ = \cos(90^\circ – 43^\circ) = \sin 43^\circ$

এবং $\sin 47^\circ = \sin(90^\circ – 43^\circ) = \cos 43^\circ$

এখন মান বসিয়ে পাই:

$= \sin 43^\circ \cdot \sin 43^\circ + \cos 43^\circ \cdot \cos 43^\circ$

$= \sin^2 43^\circ + \cos^2 43^\circ$

$= 1$ [সূত্র: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$]

সঠিক উত্তর: (b) 1

(ii) $\left(\frac{\tan 35^\circ}{\cot 55^\circ} + \frac{\cot 78^\circ}{\tan 12^\circ}\right)$-এর মান

সমাধান:

এখানে $35^\circ + 55^\circ = 90^\circ$ এবং $78^\circ + 12^\circ = 90^\circ$।

আমরা হরগুলিকে পরিবর্তন করি:

$\cot 55^\circ = \cot(90^\circ – 35^\circ) = \tan 35^\circ$

$\tan 12^\circ = \tan(90^\circ – 78^\circ) = \cot 78^\circ$

প্রদত্ত রাশিতে মান বসিয়ে পাই:

$$= \frac{\tan 35^\circ}{\tan 35^\circ} + \frac{\cot 78^\circ}{\cot 78^\circ}$$

$$= 1 + 1$$

$$= 2$$

সঠিক উত্তর: (c) 2

(iii) $\{\cos(40^\circ + \theta) – \sin(50^\circ – \theta)\}$-এর মান

সমাধান:

আমরা জানি, $\cos A = \sin(90^\circ – A)$

এখানে $A = 40^\circ + \theta$

$\therefore \cos(40^\circ + \theta) = \sin[90^\circ – (40^\circ + \theta)]$

$= \sin(90^\circ – 40^\circ – \theta)$

$= \sin(50^\circ – \theta)$

এখন মূল রাশিতে মান বসাই:

$= \sin(50^\circ – \theta) – \sin(50^\circ – \theta)$

$= 0$

সঠিক উত্তর: (c) 0

(iv) ABC একটি ত্রিভুজ। $\sin\left(\frac{B+C}{2}\right) =$

সমাধান:

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $A + B + C = 180^\circ$

বা, $B + C = 180^\circ – A$

উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই:

$\frac{B+C}{2} = \frac{180^\circ – A}{2} = \frac{180^\circ}{2} – \frac{A}{2} = 90^\circ – \frac{A}{2}$

এখন প্রদত্ত রাশি:

$\sin\left(\frac{B+C}{2}\right) = \sin\left(90^\circ – \frac{A}{2}\right)$

$= \cos \frac{A}{2}$ [সূত্র: $\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta$]

সঠিক উত্তর: (b) $\cos \frac{A}{2}$

(v) $A+B=90^\circ$ এবং $\tan A = \frac{3}{4}$ হলে, $\cot B$-এর মান

সমাধান:

দেওয়া আছে, $A + B = 90^\circ$

বা, $B = 90^\circ – A$

$\therefore \cot B = \cot(90^\circ – A)$

$= \tan A$ [সূত্র]

$= \frac{3}{4}$ [মান বসিয়ে]

সঠিক উত্তর: (a) $\frac{3}{4}$

(i) $\cos 54^\circ$ এবং $\sin 36^\circ$-এর মান সমান।

উত্তর: সত্য।

ব্যাখ্যা: $\cos 54^\circ = \cos(90^\circ – 36^\circ) = \sin 36^\circ$।

(ii) $(\sin 12^\circ – \cos 78^\circ)$-এর সরলতম মান 1।

উত্তর: মিথ্যা।

ব্যাখ্যা: $\sin 12^\circ – \cos(90^\circ – 12^\circ) = \sin 12^\circ – \sin 12^\circ = 0$। কিন্তু প্রশ্নে বলা আছে 1।

(i) $(\tan 15^\circ \times \tan 45^\circ \times \tan 60^\circ \times \tan 75^\circ)$-এর মান ________।

সমাধান:

$= (\tan 15^\circ \times \tan 75^\circ) \times \tan 45^\circ \times \tan 60^\circ$

$= (\tan 15^\circ \times \cot 15^\circ) \times 1 \times \sqrt{3}$

$= 1 \times 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$

উত্তর: $\sqrt{3}$

(ii) $(\sin 12^\circ \times \cos 18^\circ \times \sec 78^\circ \times \text{cosec } 72^\circ)$-এর মান ________।

সমাধান:

আমরা জানি, $\sec 78^\circ = \text{cosec } 12^\circ$ এবং $\text{cosec } 72^\circ = \sec 18^\circ$

$= (\sin 12^\circ \times \text{cosec } 12^\circ) \times (\cos 18^\circ \times \sec 18^\circ)$

$= 1 \times 1 = 1$

উত্তর: 1

(iii) A এবং B পরস্পর পূরক কোণ হলে, $\sin A =$ ________।

সমাধান:

পূরক কোণ মানে $A+B=90^\circ \Rightarrow A=90^\circ-B$

$\therefore \sin A = \sin(90^\circ-B) = \cos B$

উত্তর: $\cos B$

(i) $\sin 10\theta = \cos 8\theta$ এবং $10\theta$ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, $\tan 9\theta$-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান:

প্রদত্ত, $\sin 10\theta = \cos 8\theta$

বা, $\sin 10\theta = \sin(90^\circ – 8\theta)$ [যেহেতু $\cos A = \sin(90^\circ-A)$]

উভয়পক্ষ থেকে $\sin$ বর্জন করে পাই:

$10\theta = 90^\circ – 8\theta$

বা, $10\theta + 8\theta = 90^\circ$

বা, $18\theta = 90^\circ$

বা, $\theta = \frac{90^\circ}{18} = 5^\circ$

এখন, $\tan 9\theta$-এর মান:

$$= \tan(9 \times 5^\circ)$$

$$= \tan 45^\circ$$

$$= 1$$

উত্তর: 1

(ii) $\tan 4\theta \times \tan 6\theta = 1$ এবং $6\theta$ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, $\theta$-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান:

$\tan 4\theta \times \tan 6\theta = 1$

বা, $\tan 4\theta = \frac{1}{\tan 6\theta}$

বা, $\tan 4\theta = \cot 6\theta$

বা, $\tan 4\theta = \tan(90^\circ – 6\theta)$ [পূরক কোণের সূত্র]

উভয়পক্ষ তুলনা করে পাই:

$4\theta = 90^\circ – 6\theta$

বা, $4\theta + 6\theta = 90^\circ$

বা, $10\theta = 90^\circ$

বা, $\theta = \frac{90^\circ}{10} = 9^\circ$

উত্তর: $9^\circ$

(iii) $\frac{2\sin^2 63^\circ + 1 + 2\sin^2 27^\circ}{3\cos^2 17^\circ – 2 + 3\cos^2 73^\circ}$-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান:

লব (Numerator):

$2\sin^2 63^\circ + 1 + 2\sin^2 27^\circ$

$= 2(\sin^2 63^\circ + \sin^2 27^\circ) + 1$

$= 2[\sin^2 63^\circ + \sin^2(90^\circ – 63^\circ)] + 1$

$= 2[\sin^2 63^\circ + \cos^2 63^\circ] + 1$

$= 2(1) + 1 = 3$

হর (Denominator):

$3\cos^2 17^\circ – 2 + 3\cos^2 73^\circ$

$= 3(\cos^2 17^\circ + \cos^2 73^\circ) – 2$

$= 3[\cos^2 17^\circ + \cos^2(90^\circ – 17^\circ)] – 2$

$= 3[\cos^2 17^\circ + \sin^2 17^\circ] – 2$

$= 3(1) – 2 = 1$

$\therefore$ নির্ণেয় মান $= \frac{\text{লব}}{\text{হর}} = \frac{3}{1} = 3$

উত্তর: 3

(iv) $(\tan 1^\circ \times \tan 2^\circ \times \tan 3^\circ \dots \dots \tan 89^\circ)$-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান:

রাশিটিতে মোট ৮৯টি পদ আছে। আমরা প্রথম ও শেষ পদগুলিকে জোড়ায় সাজাই:

$= (\tan 1^\circ \times \tan 89^\circ) \times (\tan 2^\circ \times \tan 88^\circ) \times \dots \times \tan 45^\circ$

আমরা জানি, $\tan \theta \times \tan(90^\circ – \theta) = \tan \theta \times \cot \theta = 1$

$\therefore \tan 1^\circ \times \tan 89^\circ = 1$

$\tan 2^\circ \times \tan 88^\circ = 1$

এইভাবে $44$টি জোড়ার গুণফল হবে 1।

মাঝখানের পদটি হলো $\tan 45^\circ$, যার মান 1।

$\therefore$ সম্পূর্ণ গুণফল $= 1 \times 1 \times \dots \times 1 = 1$

উত্তর: 1

(v) $\sec 5A = \text{cosec}(A + 36^\circ)$ এবং $5A$ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, A-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান:

$\sec 5A = \text{cosec}(A + 36^\circ)$

আমরা জানি, $\sec \theta = \text{cosec}(90^\circ – \theta)$

$\therefore \text{cosec}(90^\circ – 5A) = \text{cosec}(A + 36^\circ)$

উভয়পক্ষ তুলনা করে পাই:

$90^\circ – 5A = A + 36^\circ$

বা, $90^\circ – 36^\circ = A + 5A$

বা, $54^\circ = 6A$

বা, $6A = 54^\circ$

বা, $A = \frac{54^\circ}{6}$

বা, $A = 9^\circ$

উত্তর: $A = 9^\circ$