দশম শ্রেণী গনিত: দ্বিঘাত করণী – কষে দেখি 9.1
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 9.1 | দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surds)
(Page 153)
১. মূলদ ও অমূলদ সংখ্যার গুণফল আকারে লিখি:
সমাধান:
- (i) $\sqrt{175}$
$= \sqrt{25 \times 7}$
$= 5\sqrt{7}$
- (ii) $2\sqrt{112}$
$= 2\sqrt{16 \times 7}$
$= 2 \times 4\sqrt{7}$
$= 8\sqrt{7}$
- (iii) $\sqrt{108}$
$= \sqrt{36 \times 3}$
$= 6\sqrt{3}$
- (iv) $\sqrt{125}$
$= \sqrt{25 \times 5}$
$= 5\sqrt{5}$
- (v) $5\sqrt{119}$
$= 5\sqrt{7 \times 17}$
(এটি আর সরল করা সম্ভব নয়, কারণ 119 এর কোনো উৎপাদক পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। তাই এটিই নির্ণেয় রূপ।)
২. প্রমাণ করি যে, $\sqrt{108} – \sqrt{75} = \sqrt{3}$
সমাধান:
বামপক্ষ (L.H.S.)
$= \sqrt{108} – \sqrt{75}$
$= \sqrt{36 \times 3} – \sqrt{25 \times 3}$
$= 6\sqrt{3} – 5\sqrt{3}$
$= (6 – 5)\sqrt{3}$
$= 1\sqrt{3}$
$= \sqrt{3}$ = ডানপক্ষ (R.H.S.)
[প্রমাণিত]
৩. দেখাই যে, $\sqrt{98} + \sqrt{8} – 2\sqrt{32} = \sqrt{2}$
সমাধান:
বামপক্ষ (L.H.S.)
$= \sqrt{98} + \sqrt{8} – 2\sqrt{32}$
$= \sqrt{49 \times 2} + \sqrt{4 \times 2} – 2\sqrt{16 \times 2}$
$= 7\sqrt{2} + 2\sqrt{2} – 2(4\sqrt{2})$
$= 7\sqrt{2} + 2\sqrt{2} – 8\sqrt{2}$
$= (7 + 2 – 8)\sqrt{2}$
$= (9 – 8)\sqrt{2}$
$= \sqrt{2}$ = ডানপক্ষ (R.H.S.)
[প্রমাণিত]
৪. দেখাই যে, $3\sqrt{48} – 4\sqrt{75} + \sqrt{192} = 0$
সমাধান:
বামপক্ষ (L.H.S.)
$= 3\sqrt{48} – 4\sqrt{75} + \sqrt{192}$
$= 3\sqrt{16 \times 3} – 4\sqrt{25 \times 3} + \sqrt{64 \times 3}$
$= 3 \times 4\sqrt{3} – 4 \times 5\sqrt{3} + 8\sqrt{3}$
$= 12\sqrt{3} – 20\sqrt{3} + 8\sqrt{3}$
$= (12 + 8 – 20)\sqrt{3}$
$= (20 – 20)\sqrt{3}$
$= 0$ = ডানপক্ষ (R.H.S.)
[প্রমাণিত]
৫. সরলতম মান নির্ণয় করি: $\sqrt{12} + \sqrt{18} + \sqrt{27} – \sqrt{32}$
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি:
$= \sqrt{12} + \sqrt{18} + \sqrt{27} – \sqrt{32}$
$= \sqrt{4 \times 3} + \sqrt{9 \times 2} + \sqrt{9 \times 3} – \sqrt{16 \times 2}$
$= 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} + 3\sqrt{3} – 4\sqrt{2}$
সদৃশ করণীগুলি সাজিয়ে পাই,
$= (2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) + (3\sqrt{2} – 4\sqrt{2})$
$= 5\sqrt{3} – \sqrt{2}$
উত্তর: নির্ণেয় মান $5\sqrt{3} – \sqrt{2}$
৬. (a) $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ -এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল $2\sqrt{5}$ হবে, হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, $x$ যোগ করতে হবে।
শর্তানুসারে,
$(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + x = 2\sqrt{5}$
বা, $x = 2\sqrt{5} – (\sqrt{5} + \sqrt{3})$
বা, $x = 2\sqrt{5} – \sqrt{5} – \sqrt{3}$
বা, $x = \sqrt{5} – \sqrt{3}$
উত্তর: $\sqrt{5} – \sqrt{3}$ যোগ করতে হবে।
(b) $7 – \sqrt{3}$ -এর থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফল $3 + \sqrt{3}$ হবে, নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, $x$ বিয়োগ করতে হবে।
শর্তানুসারে,
$(7 – \sqrt{3}) – x = 3 + \sqrt{3}$
বা, $x = (7 – \sqrt{3}) – (3 + \sqrt{3})$
বা, $x = 7 – \sqrt{3} – 3 – \sqrt{3}$
বা, $x = (7 – 3) – (\sqrt{3} + \sqrt{3})$
বা, $x = 4 – 2\sqrt{3}$
উত্তর: $4 – 2\sqrt{3}$ বিয়োগ করতে হবে।
(c) $2 + \sqrt{3}, \sqrt{3} + \sqrt{5}$ এবং $2 + \sqrt{7}$ -এর যোগফল লিখি।
সমাধান:
যোগফল:
$= (2 + \sqrt{3}) + (\sqrt{3} + \sqrt{5}) + (2 + \sqrt{7})$
$= 2 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{5} + 2 + \sqrt{7}$
$= (2 + 2) + (\sqrt{3} + \sqrt{3}) + \sqrt{5} + \sqrt{7}$
$= 4 + 2\sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{7}$
উত্তর: $4 + 2\sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{7}$
(d) $(10 – \sqrt{11})$ থেকে $(-5 + 3\sqrt{11})$ বিয়োগ করি ও বিয়োগফল লিখি।
সমাধান:
বিয়োগফল:
$= (10 – \sqrt{11}) – (-5 + 3\sqrt{11})$
$= 10 – \sqrt{11} + 5 – 3\sqrt{11}$
$= (10 + 5) – (\sqrt{11} + 3\sqrt{11})$
$= 15 – 4\sqrt{11}$
উত্তর: $15 – 4\sqrt{11}$
(e) $(-5 + \sqrt{7})$ এবং $(\sqrt{7} + \sqrt{2})$ -এর যোগফল থেকে $(5 + \sqrt{2} + \sqrt{7})$ বিয়োগ করে বিয়োগফল নির্ণয় করি।
সমাধান:
প্রথম অংশ (যোগফল):
$= (-5 + \sqrt{7}) + (\sqrt{7} + \sqrt{2})$
$= -5 + 2\sqrt{7} + \sqrt{2}$
দ্বিতীয় অংশ (বিয়োগ):
$= (-5 + 2\sqrt{7} + \sqrt{2}) – (5 + \sqrt{2} + \sqrt{7})$
$= -5 + 2\sqrt{7} + \sqrt{2} – 5 – \sqrt{2} – \sqrt{7}$
$= (-5 – 5) + (2\sqrt{7} – \sqrt{7}) + (\sqrt{2} – \sqrt{2})$
$= -10 + \sqrt{7}$
উত্তর: $-10 + \sqrt{7}$
(f) দুটি দ্বিঘাত করণী লিখি যাদের সমষ্টি মূলদ সংখ্যা।
সমাধান:
ধরি, দুটি দ্বিঘাত করণী হলো $(2 + \sqrt{3})$ এবং $(2 – \sqrt{3})$।
যাচাই:
সমষ্টি = $(2 + \sqrt{3}) + (2 – \sqrt{3}) = 4$, যা একটি মূলদ সংখ্যা।
উত্তর: $(2 + \sqrt{3})$ এবং $(2 – \sqrt{3})$। (অন্য উত্তরও হতে পারে)
শেয়ার