দশম শ্রেণী গনিত: দ্বিঘাত করণী – কষে দেখি 9.3
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 9.3 | দ্বিঘাত করণী (Page 161)
সমাধান (১-৯)
১. (a) $m+\frac{1}{m}=\sqrt{3}$ হলে, (i) $m^2+\frac{1}{m^2}$ এবং (ii) $m^3+\frac{1}{m^3}$ -এর সরলতম মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
(i) $m^2+\frac{1}{m^2}$
$= (m+\frac{1}{m})^2 – 2 \cdot m \cdot \frac{1}{m}$
$= (\sqrt{3})^2 – 2$
$= 3 – 2 = 1$
(ii) $m^3+\frac{1}{m^3}$
$= (m+\frac{1}{m})^3 – 3 \cdot m \cdot \frac{1}{m} (m+\frac{1}{m})$
$= (\sqrt{3})^3 – 3(\sqrt{3})$
$= 3\sqrt{3} – 3\sqrt{3} = 0$
উত্তর: (i) 1 এবং (ii) 0
(b) দেখাই যে, $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} – \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = 2\sqrt{15}$
সমাধান:
বামপক্ষ (L.H.S)
$= \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 – (\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}$
$= \frac{4 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 – (\sqrt{3})^2}$ [সূত্র: $(a+b)^2 – (a-b)^2 = 4ab$]
$= \frac{4\sqrt{15}}{5-3}$
$= \frac{4\sqrt{15}}{2}$
$= 2\sqrt{15}$ = ডানপক্ষ (R.H.S)
[প্রমাণিত]
২. সরল করি:
(a) $\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} – \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}$
সমাধান:
$= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \left[ \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} – \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \right]$
$= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \left[ \frac{(2+\sqrt{3})(\sqrt{3}-1) – (2-\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^2 – 1^2} \right]$
$= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \left[ \frac{(2\sqrt{3}-2+3-\sqrt{3}) – (2\sqrt{3}+2-3-\sqrt{3})}{3-1} \right]$
$= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \left[ \frac{(\sqrt{3}+1) – (\sqrt{3}-1)}{2} \right]$
$= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \frac{2}{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
(b) $\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} – \frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{7}} + \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$
সমাধান:
$= \frac{3\sqrt{7}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2} – \frac{5\sqrt{5}(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{7-2} + \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{7-5}$
$= \frac{3\sqrt{7}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3} – \frac{5\sqrt{5}(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{5} + \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{2}$
$= (\sqrt{35}-\sqrt{14}) – (\sqrt{35}-\sqrt{10}) + (\sqrt{14}-\sqrt{10})$
$= \sqrt{35}-\sqrt{14}-\sqrt{35}+\sqrt{10}+\sqrt{14}-\sqrt{10}$
$= 0$
(c) $\frac{4\sqrt{3}}{2-\sqrt{2}} – \frac{30}{4\sqrt{3}-\sqrt{18}} – \frac{\sqrt{18}}{3-\sqrt{12}}$
সমাধান:
১ম অংশ: $\frac{4\sqrt{3}(2+\sqrt{2})}{4-2} = \frac{4\sqrt{3}(2+\sqrt{2})}{2} = 2(2\sqrt{3}+\sqrt{6}) = 4\sqrt{3}+2\sqrt{6}$
২য় অংশ: $\frac{30(4\sqrt{3}+\sqrt{18})}{48-18} = \frac{30(4\sqrt{3}+3\sqrt{2})}{30} = 4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$
৩য় অংশ: $\frac{3\sqrt{2}(3+\sqrt{12})}{9-12} = \frac{3\sqrt{2}(3+2\sqrt{3})}{-3} = -(3\sqrt{2}+2\sqrt{6})$
এখন মান বসিয়ে পাই,
$= (4\sqrt{3}+2\sqrt{6}) – (4\sqrt{3}+3\sqrt{2}) – \{-(3\sqrt{2}+2\sqrt{6})\}$
$= 4\sqrt{3}+2\sqrt{6}-4\sqrt{3}-3\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2\sqrt{6}$
$= 4\sqrt{6}$
(d) $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{6}} – \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$
সমাধান:
$= \frac{3\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{6-3} – \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} + \frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2}$
$= \frac{3\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{3} – \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} + \frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{1}$
$= (\sqrt{12}-\sqrt{6}) – (\sqrt{18}-\sqrt{6}) + (\sqrt{18}-\sqrt{12})$
$= \sqrt{12}-\sqrt{6}-\sqrt{18}+\sqrt{6}+\sqrt{18}-\sqrt{12}$
$= 0$
৩. যদি $x=2, y=3$ এবং $z=6$ হয় তবে, $\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}} – \frac{4\sqrt{y}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$ -এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
মান বসিয়ে পাই,
$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{6}} – \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$
এটি ঠিক আগের অংকটির (২-এর d) মতো একই রাশিমালা (শুধু পদগুলো একটু আগে পিছে আছে)।
১ম অংশ: $\frac{3\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{3} = \sqrt{12}-\sqrt{6}$
২য় অংশ: $\frac{4\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = \sqrt{18}-\sqrt{6}$
৩য় অংশ: $\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{1} = \sqrt{18}-\sqrt{12}$
রাশিমালা = $(\sqrt{12}-\sqrt{6}) – (\sqrt{18}-\sqrt{6}) + (\sqrt{18}-\sqrt{12})$
$= \sqrt{12}-\sqrt{6}-\sqrt{18}+\sqrt{6}+\sqrt{18}-\sqrt{12}$
$= 0$
উত্তর: 0
৪. $x=\sqrt{7}+\sqrt{6}$ হলে, (i) $x-\frac{1}{x}$ (ii) $x+\frac{1}{x}$ (iii) $x^2+\frac{1}{x^2}$ এবং (iv) $x^3+\frac{1}{x^3}$ -এর সরলতম মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $x=\sqrt{7}+\sqrt{6}$
সুতরাং, $\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}} = \sqrt{7}-\sqrt{6}$
(i) $x-\frac{1}{x} = (\sqrt{7}+\sqrt{6}) – (\sqrt{7}-\sqrt{6}) = 2\sqrt{6}$
(ii) $x+\frac{1}{x} = (\sqrt{7}+\sqrt{6}) + (\sqrt{7}-\sqrt{6}) = 2\sqrt{7}$
(iii) $x^2+\frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2 – 2 = (2\sqrt{7})^2 – 2 = 28 – 2 = 26$
(iv) $x^3+\frac{1}{x^3} = (x+\frac{1}{x})^3 – 3(x+\frac{1}{x})$
$= (2\sqrt{7})^3 – 3(2\sqrt{7}) = 56\sqrt{7} – 6\sqrt{7} = 50\sqrt{7}$
৫. সরল করি: $\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}} + \frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}$ । সরলফল 14 হলে, $x$-এর মান কী কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
রাশিমালাটি $\frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b}$ আকারের, যার সূত্র $2\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$।
এখানে $a=x, b=\sqrt{x^2-1}$।
সরলফল = $2 \frac{x^2 + (\sqrt{x^2-1})^2}{x^2 – (\sqrt{x^2-1})^2}$
$= 2 \frac{x^2 + x^2 – 1}{x^2 – x^2 + 1}$
$= 2(2x^2-1) = 4x^2-2$
শর্তানুসারে,
$4x^2-2 = 14$
বা, $4x^2 = 16$
বা, $x^2 = 4$
বা, $x = \pm 2$
উত্তর: সরলফল $4x^2-2$ এবং $x$-এর মান $+2$ বা $-2$।
৬. যদি $a=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$ ও $b=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}$ হয়, তবে নীচের মানগুলি নির্ণয় করি।
সমাধান:
এখানে $a$ এবং $b$ একে অপরের অনোনক, অর্থাৎ $ab=1$।
$a+b = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1} + \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1} = \frac{2(5+1)}{5-1} = \frac{12}{4} = 3$
$a-b = \frac{4\sqrt{5}}{4} = \sqrt{5}$
(i) $\frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2} = \frac{(a+b)^2-ab}{(a+b)^2-3ab} = \frac{3^2-1}{3^2-3(1)} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
(ii) $\frac{(a-b)^3}{(a+b)^3} = \frac{(\sqrt{5})^3}{(3)^3} = \frac{5\sqrt{5}}{27}$
(iii) $\frac{3a^2+5ab+3b^2}{3a^2-5ab+3b^2} = \frac{3(a^2+b^2)+5ab}{3(a^2+b^2)-5ab}$
এখানে $a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab = 9-2=7$
$= \frac{3(7)+5(1)}{3(7)-5(1)} = \frac{21+5}{21-5} = \frac{26}{16} = \frac{13}{8}$
(iv) $\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3} = \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}$
$= \frac{3(7-1)}{\sqrt{5}(7+1)} = \frac{3 \times 6}{8\sqrt{5}} = \frac{18}{8\sqrt{5}} = \frac{9}{4\sqrt{5}} = \frac{9\sqrt{5}}{20}$
৭. যদি $x=2+\sqrt{3}, y=2-\sqrt{3}$ হয়, তবে নিম্নলিখিতগুলির সরলতম মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
$x+y = 4, xy = 4-3=1$
$x-y = 2\sqrt{3}$
(a) (i) $x-\frac{1}{x} = x-y$ [যেহেতু $xy=1$ তাই $\frac{1}{x}=y$]
$= 2\sqrt{3}$
(ii) $y^2+\frac{1}{y^2} = y^2+x^2 = (x+y)^2-2xy = 4^2-2 = 14$
(iii) $x^3-\frac{1}{x^3} = x^3-y^3 = (x-y)^3+3xy(x-y)$
$= (2\sqrt{3})^3 + 3(1)(2\sqrt{3}) = 24\sqrt{3}+6\sqrt{3} = 30\sqrt{3}$
(iv) $xy+\frac{1}{xy} = 1+\frac{1}{1} = 2$
(b) $3x^2-5xy+3y^2$
$= 3(x^2+y^2)-5xy$
$= 3\{(x+y)^2-2xy\} – 5xy$
$= 3(16-2) – 5(1)$
$= 3(14) – 5 = 42 – 5 = 37$
৮. $x=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ এবং $xy=1$ হলে, দেখাই যে, $\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2} = \frac{12}{11}$
সমাধান:
$xy=1$ হওয়ায় $y=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$
$x+y = \frac{2(7+3)}{7-3} = \frac{20}{4} = 5$
বামপক্ষ $= \frac{(x+y)^2-xy}{(x+y)^2-3xy}$
$= \frac{5^2-1}{5^2-3(1)}$
$= \frac{25-1}{25-3}$
$= \frac{24}{22}$
$= \frac{12}{11}$ = ডানপক্ষ
[প্রমাণিত]
৯. $(\sqrt{7}+1)$ এবং $(\sqrt{5}+\sqrt{3})$-এর মধ্যে কোনটি বড়ো লিখি।
সমাধান:
আমরা উভয় রাশির বর্গ নির্ণয় করি।
$(\sqrt{7}+1)^2 = 7+1+2\sqrt{7} = 8+\sqrt{28}$
$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 = 5+3+2\sqrt{15} = 8+\sqrt{60}$
যেহেতু, $\sqrt{60} > \sqrt{28}$
সুতরাং, $8+\sqrt{60} > 8+\sqrt{28}$
অতএব, $(\sqrt{5}+\sqrt{3}) > (\sqrt{7}+1)$
উত্তর: $(\sqrt{5}+\sqrt{3})$ বড়ো।
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) $x=2+\sqrt{3}$ হলে, $x+\frac{1}{x}$-এর মান
সমাধান:
$x = 2+\sqrt{3}$
$\therefore \frac{1}{x} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2)^2-(\sqrt{3})^2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}$
সুতরাং, $x+\frac{1}{x} = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4$
উত্তর: (c) 4
(ii) যদি $p+q=\sqrt{13}$ এবং $p-q=\sqrt{5}$ হয়, তবে $pq$-এর মান
সমাধান:
$pq = \frac{(p+q)^2 – (p-q)^2}{4}$
$= \frac{(\sqrt{13})^2 – (\sqrt{5})^2}{4}$
$= \frac{13-5}{4} = \frac{8}{4} = 2$
উত্তর: (a) 2
(iii) যদি $a+b=\sqrt{5}$ এবং $a-b=\sqrt{3}$ হয়, তবে $(a^2+b^2)$-এর মান
সমাধান:
$a^2+b^2 = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{2}$
$= \frac{(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{3})^2}{2}$
$= \frac{5+3}{2} = \frac{8}{2} = 4$
উত্তর: (b) 4
(iv) $\sqrt{125}$ থেকে $\sqrt{5}$ বিয়োগ করলে বিয়োগফল হবে
সমাধান:
$\sqrt{125} – \sqrt{5} = \sqrt{25 \times 5} – \sqrt{5}$
$= 5\sqrt{5} – \sqrt{5} = 4\sqrt{5} = \sqrt{16 \times 5} = \sqrt{80}$
উত্তর: (a) $\sqrt{80}$
(v) $(5-\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)(5+\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)$-এর গুণফল
সমাধান:
সাজিয়ে পাই:
$= (5-\sqrt{3})(5+\sqrt{3}) \times (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)$
$= (5^2 – (\sqrt{3})^2) \times ((\sqrt{3})^2 – 1^2)$
$= (25-3) \times (3-1)$
$= 22 \times 2 = 44$
উত্তর: (b) 44
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) $\sqrt{75}$ এবং $\sqrt{147}$ সদৃশ করণী।
ব্যাখ্যা: $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ এবং $\sqrt{147} = 7\sqrt{3}$। উভয়ক্ষেত্রেই অমূলদ অংশ $\sqrt{3}$, তাই এরা সদৃশ।
উত্তর: সত্য
(ii) $\sqrt{\pi}$ একটি দ্বিঘাত করণী।
ব্যাখ্যা: $\pi$ একটি অমূলদ সংখ্যা, কিন্তু দ্বিঘাত করণী হতে গেলে রুটের ভিতরের সংখ্যাটি ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা হতে হয় যা পূর্ণবর্গ নয়।
উত্তর: মিথ্যা
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) $5\sqrt{11}$ একটি ________ সংখ্যা।
উত্তর: অমূলদ
(ii) $(\sqrt{3}-5)$-এর অনুবন্ধী করণী ________।
ব্যাখ্যা: $(\sqrt{3}-5)$ কে লেখা যায় $(-5+\sqrt{3})$। এর অনুবন্ধী হবে $(-5-\sqrt{3})$।
উত্তর: $(-5-\sqrt{3})$
(iii) দুটি দ্বিঘাত করণীর যোগফল ও গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা হলে করণীদ্বয় ________ করণী।
উত্তর: অনুবন্ধী
১১. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) $x=3+2\sqrt{2}$ হলে, $x+\frac{1}{x}$-এর মান লিখি।
সমাধান:
$x = 3+2\sqrt{2}$
$\therefore \frac{1}{x} = \frac{1}{3+2\sqrt{2}}$
হর থেকে করণী নিরসন করে পাই,
$= \frac{3-2\sqrt{2}}{(3)^2 – (2\sqrt{2})^2} = \frac{3-2\sqrt{2}}{9-8} = 3-2\sqrt{2}$
সুতরাং, $x+\frac{1}{x} = (3+2\sqrt{2}) + (3-2\sqrt{2}) = 6$
উত্তর: 6
(ii) $(\sqrt{15}+\sqrt{3})$ এবং $(\sqrt{10}+\sqrt{8})$-এর মধ্যে কোনটি বড়ো লিখি।
সমাধান:
উভয় রাশির বর্গ করে পাই:
$(\sqrt{15}+\sqrt{3})^2 = 15+3+2\sqrt{45} = 18 + 6\sqrt{5}$
$(\sqrt{10}+\sqrt{8})^2 = 10+8+2\sqrt{80} = 18 + 2(4\sqrt{5}) = 18 + 8\sqrt{5}$
যেহেতু $8\sqrt{5} > 6\sqrt{5}$, তাই দ্বিতীয় রাশিটির বর্গ বড়ো।
সুতরাং, $(\sqrt{10}+\sqrt{8}) > (\sqrt{15}+\sqrt{3})$
উত্তর: $(\sqrt{10}+\sqrt{8})$ বড়ো।
(iii) দুটি মিশ্র দ্বিঘাত করণী লিখি যাদের গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা।
সমাধান:
ধরি, দুটি মিশ্র দ্বিঘাত করণী হলো $(2+\sqrt{3})$ এবং $(2-\sqrt{3})$।
যাচাই: গুণফল $= (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 4-3=1$ (মূলদ সংখ্যা)।
উত্তর: $(2+\sqrt{3})$ এবং $(2-\sqrt{3})$ (অন্য উত্তরও হতে পারে)
(iv) $\sqrt{72}$ থেকে কত বিয়োগ করলে $\sqrt{32}$ হবে তা লিখি।
সমাধান:
ধরি, $x$ বিয়োগ করতে হবে।
$\sqrt{72} – x = \sqrt{32}$
বা, $x = \sqrt{72} – \sqrt{32}$
বা, $x = \sqrt{36 \times 2} – \sqrt{16 \times 2}$
বা, $x = 6\sqrt{2} – 4\sqrt{2}$
বা, $x = 2\sqrt{2} = \sqrt{8}$
উত্তর: $\sqrt{8}$ (বা $2\sqrt{2}$) বিয়োগ করতে হবে।
(v) $\frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$-এর সরলতম মান লিখি।
সমাধান:
প্রতিটি পদের হরের করণী নিরসন করে পাই:
১ম পদ: $\frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2}-1$
২য় পদ: $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$
৩য় পদ: $\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} = \sqrt{4}-\sqrt{3} = 2-\sqrt{3}$
এখন যোগ করে পাই,
$(\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (2-\sqrt{3})$
$= \sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+2-\sqrt{3}$
$= -1+2$
$= 1$
উত্তর: 1
শেয়ার