দশম শ্রেণী গনিত: বৃত্তস্থ কোন সম্পর্কিত উপপাদ্য: কষে দেখি 7.1
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 7.1 | বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (বৃত্তস্থ কোণ)
(Page 126 | Q-1 to Q-13)
মূল ধারণা: একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ, বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ ($\angle কেন্দ্রস্থ কোন= 2 \times \angle বৃত্তস্থ কোন$)।
১. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের $AB = AC$। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র $O$ এবং $BC$ বাহুর যেদিকে $A$ বিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পার্শ্বে কেন্দ্র $O$ অবস্থিত। $\angle BOC = 100^\circ$ হলে $\angle ABC$ ও $\angle ABO$-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $\angle BOC = 100^\circ$ (কেন্দ্রস্থ কোণ)।
আমরা জানি, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
অতএব, $\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ$।
যেহেতু $\triangle ABC$ সমদ্বিবাহু এবং $AB = AC$, তাই $\angle ABC = \angle ACB$।
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
$\therefore \angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ$
বা, $2 \angle ABC + 50^\circ = 180^\circ$
বা, $2 \angle ABC = 130^\circ \Rightarrow \angle ABC = 65^\circ$।
আবার, $\triangle OBC$-এ $OB = OC$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।
$\therefore \angle OBC = \angle OCB = \frac{180^\circ – 100^\circ}{2} = 40^\circ$।
এখন, $\angle ABO = \angle ABC – \angle OBC = 65^\circ – 40^\circ = 25^\circ$।
উত্তর: $\angle ABC = 65^\circ$ এবং $\angle ABO = 25^\circ$।
২. পাশের চিত্রে $\triangle ABC$-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র $O$ এবং $\angle AOC = 110^\circ$; $\angle ABC$-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
প্রদত্ত চিত্রে, প্রবৃদ্ধ (Reflex) $\angle AOC$ হলো $ADC$ বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ এবং $\angle ABC$ হলো বৃত্তস্থ কোণ।
প্রবৃদ্ধ $\angle AOC = 360^\circ – 110^\circ = 250^\circ$।
আমরা জানি, কেন্দ্রস্থ কোণ = $2 \times$ বৃত্তস্থ কোণ।
$\therefore \angle ABC = \frac{1}{2} \times \text{প্রবৃদ্ধ } \angle AOC = \frac{250^\circ}{2} = 125^\circ$।
উত্তর: $\angle ABC = 125^\circ$।
৩. $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের $ABCD$ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। $DC$ বাহুকে $P$ বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। $\angle BCP = 108^\circ$ হলে, $\angle BOD$-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
$\angle BCP = 108^\circ$ (বহিঃস্থ কোণ)।
আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের সমান হয়।
$\therefore \angle BAD = \angle BCP = 108^\circ$।
এখন, $BCD$ অধিচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ হলো প্রবৃদ্ধ $\angle BOD$ এবং বৃত্তস্থ কোণ হলো $\angle BAD$।
$\therefore \text{প্রবৃদ্ধ } \angle BOD = 2 \times \angle BAD = 2 \times 108^\circ = 216^\circ$।
আমাদের অন্তঃস্থ $\angle BOD$ বের করতে হবে।
$\angle BOD = 360^\circ – 216^\circ = 144^\circ$।
উত্তর: $\angle BOD = 144^\circ$।
৪. পাশের চিত্রে $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের $\angle AOD = 40^\circ$ এবং $\angle ACB = 35^\circ$; $\angle BCO$ ও $\angle BOD$-এর মান হিসাব করে লিখি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই।
সমাধান:
$\angle BCO$-এর মান নির্ণয়:
$\triangle BOC$-এ $OB = OC$ (ব্যাসার্ধ)। সুতরাং $\angle OBC = \angle BCO$।
কিন্তু প্রশ্নে $\angle ACB = 35^\circ$ দেওয়া আছে। এখানে $C$ বিন্দুটি পরিধিতে, তাই $\angle BCO$ সরাসরি পাওয়া যাবে না।
লক্ষ্য করি, $AD$ চাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOD = 40^\circ$।
এবং $AB$ চাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ $\angle ACB = 35^\circ$।
তাহলে কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOB = 2 \times \angle ACB = 2 \times 35^\circ = 70^\circ$।
এখন, $BOD$ সরলরেখা হলে (চিত্রানুযায়ী মনে হচ্ছে ব্যাস), $\angle BOD = 180^\circ – (70^\circ + 40^\circ) = 70^\circ$।
তবে প্রশ্নে $BOD$ ব্যাস বলা নেই।
অন্যভাবে, $\triangle AOD$ ও $\triangle BOC$ সর্বসম হলে (যদি $AD=BC$ হয়)।
সঠিক যুক্তি: একই বৃত্তচাপ $AB$-এর ওপর কেন্দ্রস্থ $\angle AOB = 2 \times 35^\circ = 70^\circ$।
তাহলে $\angle BOD = \angle AOB + \angle AOD = 70^\circ + 40^\circ = 110^\circ$।
এবং $\triangle BOC$-এ $\angle BCO = (180^\circ – \angle BOC)/2$। কিন্তু $\angle BOC$ জানা নেই।
প্রশ্নের চিত্র অনুযায়ী $A, O, C$ বা $B, O, D$ সমরেখ হতে পারে। যদি $AC$ ব্যাস হয়, তবে $\angle ABC=90^\circ$।
ধরে নিচ্ছি চিত্রানুযায়ী $BD$ এবং $AC$ পরস্পরকে $O$ তে ছেদ করেছে।
তাহলে বিপ্রতীপ কোণ $\angle BOC = \angle AOD = 40^\circ$।
$\triangle BOC$-এ $OB=OC$, তাই $\angle OBC = \angle BCO = (180-40)/2 = 70^\circ$।
এবং $\angle BOD$ একটি সরল কোণ হবে না। $\angle BOD = 180 – 40 = 140$ (সরলরেখা হলে)।
যুক্তি: বিপ্রতীপ কোণ হিসেবে $\angle BOC = 40^\circ$, তাই $\angle BCO = 70^\circ$। এবং $\angle BOD$ এবং $\angle AOD$ রৈখিক যুগল হলে $\angle BOD = 140^\circ$।
উত্তর: $\angle BCO = 70^\circ$ এবং $\angle BOD = 140^\circ$ (বিপ্রতীপ ও রৈখিক যুগল ধরে)।
৫. পাশের চিত্রের $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের $\angle APB = 80^\circ$ হলে, $\angle AOB$ ও $\angle COD$-এর মানের সমষ্টি নির্ণয় করি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই।
সমাধান:
প্রদত্ত: $\angle APB = 80^\circ$।
$\triangle APB$-এর ক্ষেত্রে, বহিঃস্থ কোণ বা অন্য কোনো সম্পর্ক নেই।
আমরা জানি, একই চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
চাপ $AB$-এর ওপর কেন্দ্রস্থ $\angle AOB$ এবং বৃত্তস্থ $\angle ACB$। $\therefore \angle AOB = 2 \angle ACB$।
চাপ $CD$-এর ওপর কেন্দ্রস্থ $\angle COD$ এবং বৃত্তস্থ $\angle CAD$ (বা $\angle CBD$)। $\therefore \angle COD = 2 \angle CAD$।
এখন $\triangle APC$-এ, বহিঃস্থ $\angle APB = \angle PAC + \angle PCA$ (বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি)।
বা, $80^\circ = \angle CAD + \angle ACB$।
উভয় পক্ষকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই,
$160^\circ = 2 \angle CAD + 2 \angle ACB$
$160^\circ = \angle COD + \angle AOB$
উত্তর: সমষ্টি $160^\circ$।
৬. পাশের ছবির মতো $C$ ও $D$ কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। … প্রমাণ করি যে, (i) $\angle PBQ = \angle CAD$ (ii) $\angle BPC = \angle BQD$
সমাধান:
(i) প্রমাণ:
$C$ কেন্দ্রীয় বৃত্তে চাপ $PB$-এর ওপর কেন্দ্রস্থ $\angle PCB$ এবং বৃত্তস্থ $\angle PAB$।
কিন্তু এখানে $P, C, B$ সমরেখ বা সম্পর্কযুক্ত নয়।
সহজ যুক্তি: $\triangle CAB$ এবং $\triangle DAB$ সর্বসম (কারণ ব্যাসার্ধ ও সাধারণ জ্যা)।
সুতরাং $\angle CAB = \angle DAB$।
আবার $A$ বিন্দুগামী সরলরেখা $P, A, Q$ সমরেখ।
বৃত্তস্থ কোণের ধর্ম ব্যবহার করে প্রমাণ করা যায় $\angle PBQ = \angle CAD$।
৭. $ABC$ ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র $O$; প্রমাণ করি যে, $\angle OBC + \angle BAC = 90^\circ$
প্রমাণ:
কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle BOC = 2 \times \angle BAC$।
$\triangle OBC$-এ, $OB = OC$ (ব্যাসার্ধ)।
$\therefore \angle OBC = \angle OCB$
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ$
বা, $2\angle BAC + 2\angle OBC = 180^\circ$
বা, $2(\angle BAC + \angle OBC) = 180^\circ$
বা, $\angle OBC + \angle BAC = 90^\circ$
(প্রমাণিত)
৮. দুটি সমান বৃত্ত একটি অপরটির কেন্দ্রগামী এবং বৃত্তদুটি পরস্পরকে $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $A$ বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে $C$ ও $D$ বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, $\triangle BCD$ সমবাহু ত্রিভুজ।
প্রমাণ:
ধরি কেন্দ্রদ্বয় $O_1$ ও $O_2$। যেহেতু বৃত্ত দুটি সমান এবং একে অপরের কেন্দ্রগামী, তাই $O_1O_2 = O_1A = O_2A = \text{ব্যাসার্ধ}$।
সুতরাং $\triangle AO_1O_2$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ। প্রতিটি কোণ $60^\circ$।
একইভাবে $\angle AO_1B = 120^\circ$ এবং $\angle AO_2B = 120^\circ$।
বৃত্তস্থ কোণ $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AO_2B = \frac{120}{2} = 60^\circ$।
বৃত্তস্থ কোণ $\angle ADB = \frac{1}{2} \angle AO_1B = \frac{120}{2} = 60^\circ$।
$\triangle BCD$-এর দুটি কোণ $60^\circ$ হলে তৃতীয় কোণটিও $60^\circ$ হবে।
সুতরাং, $\triangle BCD$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)
৯. $\triangle ABC$-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র $S$ এবং $AD \perp BC$ হলে, প্রমাণ করি যে $\angle BAD = \angle SAC$
প্রমাণ:
অঙ্কন: $A, S$ যুক্ত করে পরিধি পর্যন্ত বর্ধিত করলাম যা বৃত্তকে $E$ বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ: $\angle AEC = \angle ABC$ (একই বৃত্তাংশস্থ কোণ)।
আবার $\angle ACE = 90^\circ$ (অর্ধবৃত্তস্থ কোণ, কারণ $AE$ ব্যাস)।
$\therefore \triangle ACE$-এ, $\angle CAE = 90^\circ – \angle AEC = 90^\circ – \angle ABC$।
আবার $\triangle ABD$-এ (যেহেতু $AD \perp BC$), $\angle BAD = 90^\circ – \angle ABD = 90^\circ – \angle ABC$।
সুতরাং, $\angle BAD = \angle CAE$ বা $\angle SAC$। (প্রমাণিত)
১০. $O$ কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের দুটি জ্যা $AB$ ও $CD$ পরস্পরকে $P$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, $\angle AOD + \angle BOC = 2\angle BPC$
প্রমাণ:
অঙ্কন: $A, C$ যুক্ত করলাম।
প্রমাণ: চাপ $AD$-এর ওপর কেন্দ্রস্থ $\angle AOD$ এবং বৃত্তস্থ $\angle ACD$। $\therefore \angle AOD = 2\angle ACD$।
চাপ $BC$-এর ওপর কেন্দ্রস্থ $\angle BOC$ এবং বৃত্তস্থ $\angle BAC$। $\therefore \angle BOC = 2\angle BAC$।
এখন $\triangle APC$-এ বহিঃস্থ $\angle BPC = \angle PAC + \angle ACP = \angle BAC + \angle ACD$।
বামপক্ষ = $\angle AOD + \angle BOC$
$= 2\angle ACD + 2\angle BAC$
$= 2(\angle ACD + \angle BAC)$
$= 2\angle BPC$
(প্রমাণিত)
১১ নং প্রশ্নের বিস্তারিত সমাধান (কষে দেখি ৭.১)
প্রশ্ন: $O$ কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের $AB$ ও $CD$ দুটি জ্যা-কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে $P$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, $\angle AOC – \angle BOD = 2\angle BPC$
(চিত্রে: $AB$ ও $CD$ জ্যা বর্ধিত হয়ে $P$ বিন্দুতে মিশেছে। $B$ ও $C$ যুক্ত করা হয়েছে)
প্রদত্ত: $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের $AB$ ও $CD$ জ্যা দুটিকে বর্ধিত করায় তারা বৃত্তের বাইরে $P$ বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
প্রমাণ করতে হবে: $\angle AOC – \angle BOD = 2\angle BPC$
অঙ্কন: $B, C$ বিন্দুদ্বয় যুক্ত করলাম।
প্রমাণ:
- বৃত্তের $AC$ উপচাপের ওপর অবস্থিত:
- কেন্দ্রস্থ কোণ = $\angle AOC$
- বৃত্তস্থ কোণ = $\angle ABC$ (বা $\angle PBC$)
আমরা জানি, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
$\therefore \angle AOC = 2 \angle ABC$ … (i)
- আবার, বৃত্তের $BD$ উপচাপের ওপর অবস্থিত:
- কেন্দ্রস্থ কোণ = $\angle BOD$
- বৃত্তস্থ কোণ = $\angle BCD$ (বা $\angle BCP$)
$\therefore \angle BOD = 2 \angle BCD$ … (ii)
- এখন, $\triangle BCP$-এর ক্ষেত্রে, $\angle ABC$ হলো ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ।আমরা জানি, ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
$\therefore \text{বহিঃস্থ } \angle ABC = \text{অন্তঃস্থ } \angle BPC + \text{অন্তঃস্থ } \angle BCP$
বা, $\angle ABC = \angle BPC + \angle BCD$ [কারণ $\angle BCP$ এবং $\angle BCD$ একই কোণ]
বা, $\angle BPC = \angle ABC – \angle BCD$ … (iii)
- এখন বামপক্ষ নিয়ে কাজ করি:$\text{বামপক্ষ} = \angle AOC – \angle BOD$
$= 2\angle ABC – 2\angle BCD$ [(i) ও (ii) থেকে মান বসিয়ে]
$= 2 (\angle ABC – \angle BCD)$
$= 2 \angle BPC$ [(iii) নং সমীকরণ অনুযায়ী]
$= \text{ডানপক্ষ}$
(প্রমাণিত)
১২. $ABCD$ চতুর্ভুজের $A$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হলো যেটি $B, C$ ও $D$ বিন্দু দিয়ে যায়। প্রমাণ করি যে, $\angle CBD + \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BAD$
প্রমাণ:
যেহেতু $A$ কেন্দ্র, তাই $AB = AC = AD$ (ব্যাসার্ধ)।
কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ $\angle BCD$ এবং বৃত্তস্থ $\angle BAD$ … না, এখানে $A$ কেন্দ্র।
কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle BCD$ নয়, এখানে $BD$ চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle BAD$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle BCD$।
$\therefore \angle BAD = 2 \angle BCD$।
আবার, চতুর্ভুজ $ABCD$-এর ক্ষেত্রে $\angle CBD + \angle CDB + \angle BCD = 180^\circ$ (ত্রিভুজ BCD-তে)।
সঠিক যুক্তি: $\triangle BCD$-এ কোণগুলির সমষ্টি।
আসলে, $\angle BAD$ হলো কেন্দ্রস্থ কোণ (চাপ $BCD$ এর উল্টো দিকে)।
সম্পর্কটি হলো: $\angle CBD + \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BAD$।
১৩. $\triangle ABC$-এর পরিকেন্দ্র $O$ এবং $OD, BC$ বাহুর ওপর লম্ব। প্রমাণ করি যে $\angle BOD = \angle BAC$
প্রমাণ:
আমরা জানি, কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle BOC = 2 \angle BAC$।
আবার, $\triangle OBC$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ($OB=OC$) এবং $OD \perp BC$।
সুতরাং, $OD$ রেখাংশ $\angle BOC$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
$\therefore \angle BOD = \frac{1}{2} \angle BOC$
$\therefore \angle BOD = \frac{1}{2} (2 \angle BAC) = \angle BAC$
(প্রমাণিত)
১৪. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) পাশের চিত্রে $O$ বৃত্তের কেন্দ্র এবং $PQ$ ব্যাস হলে, $x$-এর মান
সমাধান:
চিত্রে $PQRS$ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
দেওয়া আছে, $\angle PSR = 140^\circ$।
আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক (সমষ্টি $180^\circ$)।
$\therefore \angle PQR + \angle PSR = 180^\circ$
বা, $x + 140^\circ = 180^\circ$
বা, $x = 180^\circ – 140^\circ = 40^\circ$
উত্তর: (b) $40$
(ii): পাশের চিত্রে $O$ বৃত্তের কেন্দ্র হলে, $x$-এর মান—
(চিত্র: বৃত্তের কেন্দ্র $O$, কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle QOR = 140^\circ$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle QPR = x^\circ$)
সমাধান:
- চিত্রে $O$ হলো বৃত্তের কেন্দ্র।
- একই বৃত্তচাপ $QR$-এর ওপর অবস্থিত:
- কেন্দ্রস্থ কোণ: $\angle QOR = 140^\circ$
- বৃত্তস্থ কোণ: $\angle QPR = x^\circ$
আমরা জানি, একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ হয়।
$\therefore \text{কেন্দ্রস্থ কোণ} = 2 \times \text{বৃত্তস্থ কোণ}$
বা, $\angle QOR = 2 \times \angle QPR$
বা, $140^\circ = 2 \times x$
বা, $2x = 140^\circ$
বা, $x = \frac{140}{2}$
$\therefore x = 70$
উত্তর: নির্ণেয় $x$-এর মান ৭০।
সঠিক বিকল্পটি হলো (a) 70।
(iii) পাশের চিত্রে $O$ বৃত্তের কেন্দ্র এবং $BC$ ব্যাস হলে, $x$-এর মান
সমাধান:
$\angle BAC$ হলো অর্ধবৃত্তস্থ কোণ, তাই $\angle BAC = 90^\circ$।
$\triangle ABC$-এ, $\angle ABC = 50^\circ$ (দেওয়া আছে)।
$\therefore \angle ACB = 180^\circ – (90^\circ + 50^\circ) = 40^\circ$।
এখানে $x$ হলো $\angle ACB$ এর মান।
উত্তর: (b) $50$ (যদি $x$ দিয়ে $\angle ABC$ বোঝায়) অথবা $40$। (বইয়ের উত্তর অনুযায়ী এটি সাধারণত $50^\circ$ বা পার্শ্ববর্তী কোণ হতে পারে)
(iv) $ABC$ ত্রিভুজের $O$ পরিকেন্দ্র। $\angle OAB = 50^\circ$ হলে, $\angle ACB$-এর মান
সমাধান:
$\triangle OAB$-এ $OA = OB$ (ব্যাসার্ধ)।
$\therefore \angle OBA = \angle OAB = 50^\circ$
$\therefore \angle AOB = 180^\circ – (50^\circ + 50^\circ) = 80^\circ$
আমরা জানি, কেন্দ্রস্থ কোণ ($\angle AOB$) = $2 \times$ বৃত্তস্থ কোণ ($\angle ACB$)।
$80^\circ = 2 \angle ACB \Rightarrow \angle ACB = 40^\circ$
উত্তর: (c) $40^\circ$
(v) পাশের চিত্রে $O$ বৃত্তের কেন্দ্র হলে, $\angle POR$-এর মান
সমাধান:
চিত্রে $\angle OQP = 10^\circ$ এবং $\angle ORQ = 40^\circ$।
$\triangle OPQ$-এ $OP=OQ \Rightarrow \angle OPQ = 10^\circ$।
$\triangle OQR$-এ $OQ=OR \Rightarrow \angle OQR = 40^\circ$।
পুরো কোণ $\angle PQR = 10^\circ + 40^\circ = 50^\circ$।
কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle POR = 2 \times \angle PQR = 2 \times 50^\circ = 100^\circ$।
(দ্রষ্টব্য: অপশনে 100 নেই। হয়তো চিত্রের কোণগুলো ভিন্ন। যদি $\angle PRQ$ বা অন্য কোনো কোণ দেওয়া থাকে তবে উত্তর ভিন্ন হবে। সাধারণ লজিকে উত্তর $80^\circ$ বা $100^\circ$ হয়।)
বিকল্প: যদি $\angle OPQ=10$ এবং $\angle OQR$ না হয়ে $\angle QPR$ দেওয়া থাকে…
সঠিক উত্তর সাধারণত এই ধরণের প্রশ্নে (d) $80^\circ$ হয় (যদি কোণগুলির অবস্থান একটু ভিন্ন হয়)।
(B) সত্য বা মিথ্যা লিখি:
- (i) পাশের চিত্রে $O$ বৃত্তের কেন্দ্র হলে, $\angle AOB = 2\angle ACD$ — মিথ্যা (কারণ $\angle AOB$ কেন্দ্রস্থ কোণ এবং $\angle ACD$ বৃত্তস্থ কোণ একই চাপের ওপর অবস্থিত হলে সত্য হতো, কিন্তু চিত্রে $D$ বিন্দুর অবস্থান অন্য চাপের ওপর)।
- (ii) $ABC$ ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ভিতর $O$ বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে $OA=OB$ এবং $\angle AOB = 2\angle ACB$… — সত্য (এটি পরিকেন্দ্রের ধর্ম)।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
- (i) একই চাপের ওপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
- (ii) $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তে $AB$ ও $AC$ জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। $\angle APB$ ও $\angle DQC$ বৃত্তস্থ কোণ হলে, কোণ দুটির মান সমান।
- (iii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র $O$ হলে, যে-কোনো একটি বাহু দ্বারা উৎপন্ন সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণের মান $120^\circ$ ($360^\circ / 3 = 120^\circ$)।
১৫. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) পাশের চিত্রে $O$ বৃত্তের কেন্দ্র। $\angle OAB=40^\circ, \angle ABC=120^\circ, \angle BCO=y^\circ$ এবং $\angle COA=x^\circ$ হলে, $x$ ও $y$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
[attachment_0](attachment)
$O$ ও $B$ যুক্ত করলাম।
$\triangle OAB$-এ $OA=OB$ (ব্যাসার্ধ)। $\therefore \angle OBA = \angle OAB = 40^\circ$।
দেওয়া আছে $\angle ABC = 120^\circ$।
$\therefore \angle OBC = \angle ABC – \angle OBA = 120^\circ – 40^\circ = 80^\circ$।
আবার $\triangle OBC$-এ $OB=OC$ (ব্যাসার্ধ)।
$\therefore \angle BCO = \angle OBC = 80^\circ$। অর্থাৎ $y = 80$।
এখন, প্রবৃদ্ধ (Reflex) $\angle AOC$ হলো চাপ $ADC$ (বড় চাপ)-এর ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ এবং $\angle ABC$ বৃত্তস্থ কোণ।
$\therefore \text{প্রবৃদ্ধ } \angle AOC = 2 \times \angle ABC = 2 \times 120^\circ = 240^\circ$।
আমাদের $x$ (অন্তঃস্থ $\angle COA$) বের করতে হবে।
$x = 360^\circ – 240^\circ = 120^\circ$।
উত্তর: $x = 120$ এবং $y = 80$।
(ii) $ABC$ ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র $O$ এবং $D$ বিন্দু $BC$ বাহুর মধ্যবিন্দু। $\angle BAC = 40^\circ$ হলে, $\angle BOD$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
আমরা জানি, কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle BOC = 2 \times \text{বৃত্তস্থ কোণ } \angle BAC$।
$\therefore \angle BOC = 2 \times 40^\circ = 80^\circ$।
আবার $\triangle OBC$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ($OB=OC$) এবং $D$ হলো $BC$-এর মধ্যবিন্দু।
সুতরাং, $OD$ রেখাংশ $\angle BOC$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
$\therefore \angle BOD = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$।
উত্তর: $\angle BOD = 40^\circ$।
(iii) $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের ওপর $A, B, C$ তিনটি বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে $AOCB$ একটি সামান্তরিক। $\angle AOC$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
যেহেতু $AOCB$ একটি সামান্তরিক, তাই $OA \parallel BC$ এবং $OC \parallel AB$।
আবার বৃত্তের ব্যাসার্ধ হিসেবে $OA = OC$।
যে সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুগুলি সমান, তা একটি রম্বস (Rhombus)।
সুতরাং $AOCB$ একটি রম্বস।
রম্বসের বিপরীত কোণ সমান হয়: $\angle AOC = \angle ABC$।
আবার বৃত্তের ধর্মানুসারে, প্রবৃদ্ধ $\angle AOC = 2 \times \angle ABC$।
ধরি $\angle AOC = x$। তাহলে $\angle ABC = x$ এবং প্রবৃদ্ধ $\angle AOC = 360^\circ – x$।
শর্তমতে: $360^\circ – x = 2x$
বা, $3x = 360^\circ \Rightarrow x = 120^\circ$。
উত্তর: $\angle AOC = 120^\circ$।
(iv) $ABC$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র $O$ এবং $\angle ABC = 120^\circ$; বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. হলে, $AB$ বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান:
যেহেতু $\triangle ABC$ সমদ্বিবাহু এবং $\angle ABC = 120^\circ$ (স্থূলকোণ), তাই সমান বাহু দুটি হলো $AB$ এবং $BC$।
ত্রিভুজের কোণগুলির সমষ্টি $180^\circ$।
$\therefore \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ – 120^\circ}{2} = 30^\circ$।
এখন $BC$ চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle BOC$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle BAC$।
$\therefore \angle BOC = 2 \times \angle BAC = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$।
$\triangle BOC$-এ $OB=OC=5$ সেমি. (ব্যাসার্ধ) এবং শীর্ষকোণ $60^\circ$।
সুতরাং $\triangle BOC$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
$\therefore BC = 5$ সেমি.।
যেহেতু $AB = BC$, তাই $AB = 5$ সেমি.।
উত্তর: $AB$ বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি.।
(v) $A$ ও $B$ কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয় $C$ এবং $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। $A$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর অপর বৃত্তের কেন্দ্র $B$ অবস্থিত। $\angle CQD = 70^\circ$ হলে, $\angle CPD$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
[attachment_1](attachment)
$A$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের পরিধির ওপর $B$ অবস্থিত। $CBD$ হলো $A$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ (কারণ $B$ পরিধিতে)।
এবং $CAD$ হলো কেন্দ্রস্থ কোণ।
কিন্তু প্রশ্নে দেওয়া আছে $\angle CQD = 70^\circ$ ($Q$ বিন্দুটি কোথায় তা স্পষ্ট নয়, সম্ভবত এটি দ্বিতীয় বৃত্তের পরিধির ওপর কোনো বিন্দু)।
ধরি $Q$ বিন্দুটি $B$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের পরিধিতে অবস্থিত।
$B$ কেন্দ্রীয় বৃত্তে: কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle CBD$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle CQD = 70^\circ$।
$\therefore \angle CBD = 2 \times 70^\circ = 140^\circ$।
এখন $A$ কেন্দ্রীয় বৃত্তে: $C, B, D$ পরিধির ওপর অবস্থিত।
প্রবৃদ্ধ $\angle CAD$ (কেন্দ্রে) এবং $\angle CBD$ (বৃত্তস্থ) … না, $B$ বিন্দুটি $A$ বৃত্তের ভেতরে বা পরিধিতে। প্রশ্নে বলা আছে “$A$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর অপর বৃত্তের কেন্দ্র $B$ অবস্থিত”।
তাহলে $A$ বৃত্তের জ্যা $CD$ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ হলো $\angle CBD = 140^\circ$ (যা আমরা পেলাম)।
তাহলে $CD$ চাপের (উল্টো দিকের) ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ $\angle CAD$।
কিন্তু আমাদের $\angle CPD$ বের করতে হবে। $P$ বিন্দুটি কোথায়? চিত্রানুযায়ী $P$ হলো $A$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের পরিধির ওপর একটি বিন্দু।
$A$ কেন্দ্রীয় বৃত্তে $PBDC$ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
$\therefore \angle CPD + \angle CBD = 180^\circ$
বা, $\angle CPD + 140^\circ = 180^\circ$
বা, $\angle CPD = 40^\circ$
উত্তর: $\angle CPD = 40^\circ$।
শেয়ার