WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 13: ভেদ – কষে দেখি 13
কষে দেখি – 13 (ভেদ)
1. দুটি A ও B-এর সম্পর্কিত মানগুলি:
| A | 25 | 30 | 45 | 250 |
| B | 10 | 12 | 18 | 100 |
A ও B-এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক থাকলে তা নির্ণয় করি ও ভেদ ধ্রুবকের মান লিখি।
সমাধান:
আমরা জানি, দুটি চলরাশি সরলভেদে থাকলে তাদের অনুপাত ধ্রুবক হয়। আর ব্যস্তভেদে থাকলে তাদের গুণফল ধ্রুবক হয়।
এখানে আমরা A ও B-এর অনুপাত ($\frac{A}{B}$) বের করে দেখি:
- ১ম ক্ষেত্র: $\frac{A}{B} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2} = 2.5$
- ২য় ক্ষেত্র: $\frac{A}{B} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = 2.5$ (উভয়কে 6 দিয়ে ভাগ করে)
- ৩য় ক্ষেত্র: $\frac{A}{B} = \frac{45}{18} = \frac{5}{2} = 2.5$ (উভয়কে 9 দিয়ে ভাগ করে)
- ৪র্থ ক্ষেত্র: $\frac{A}{B} = \frac{250}{100} = \frac{5}{2} = 2.5$
যেহেতু প্রতি ক্ষেত্রে অনুপাত সমান (ধ্রুবক), তাই A ও B সরলভেদে আছে।
সম্পর্কটি হলো: $A \propto B$
বা, $A = k \cdot B$ (যেখানে $k$ হলো ভেদ ধ্রুবক)
এখানে $k = 2.5$ বা $\frac{5}{2}$।
উত্তর: A ও B সরলভেদে আছে এবং ভেদ ধ্রুবকের মান 2.5।
2. x ও y দুটি চল এবং তাদের সম্পর্কিত মানগুলি:
| x | 18 | 8 | 12 | 6 |
| y | 3 | 27/4 | 9/2 | 9 |
x ও y-এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক আছে কিনা বুঝে লিখি।
সমাধান:
আমরা x ও y-এর গুণফল ($x \times y$) নির্ণয় করে দেখি:
- ১ম ক্ষেত্র: $18 \times 3 = 54$
- ২য় ক্ষেত্র: $8 \times \frac{27}{4} = 2 \times 27 = 54$
- ৩য় ক্ষেত্র: $12 \times \frac{9}{2} = 6 \times 9 = 54$
- ৪র্থ ক্ষেত্র: $6 \times 9 = 54$
যেহেতু চলরাশি দুটির গুণফল সর্বদা সমান (54), তাই x ও y ব্যস্তভেদে আছে।
সম্পর্কটি হলো: $xy = 54$ বা $x \propto \frac{1}{y}$।
উত্তর: x ও y ব্যস্তভেদে আছে এবং ভেদ ধ্রুবকটি হলো 54।
3. (i) বিপিনকাকুর ট্যাক্সি 25 মিনিটে 14 কিমি. পথ অতিক্রম করে। একই গতিবেগে ট্যাক্সি চালিয়ে 5 ঘণ্টায় তিনি কতটা পথ যাবেন তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, সময় = $t$ এবং অতিক্রান্ত দূরত্ব = $d$।
আমরা জানি, গতিবেগ স্থির থাকলে সময় বাড়লে বেশি দূরত্ব যাওয়া যায়। অর্থাৎ, দূরত্ব সময়ের সাথে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়।
$\therefore d \propto t$
বা, $d = k \cdot t$ ……(i) [যেখানে $k$ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
ধ্রুবকের মান নির্ণয়:
দেওয়া আছে, যখন $t = 25$ মিনিট, তখন $d = 14$ কিমি।
(i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$14 = k \times 25$
বা, $k = \frac{14}{25}$
নির্ণেয় মান বের করা:
এখন, সময় $t = 5$ ঘণ্টা।
প্রথমে ঘণ্টাকে মিনিটে নিতে হবে: $t = 5 \times 60 = 300$ মিনিট।
এখন (i) নং সমীকরণে $k = \frac{14}{25}$ এবং $t = 300$ বসিয়ে পাই:
$d = \frac{14}{25} \times 300$
$d = 14 \times 12$ [25 দিয়ে 300 কে কাটলে 12 হয়]
$d = 168$
উত্তর: তিনি 168 কিমি. পথ যাবেন।
3. (ii) আমাদের স্কুলের প্রথম শ্রেণির 24 জন শিশুর মধ্যে একবাক্স সন্দেশ সমান ভাগে ভাগ করে দিলাম এবং প্রত্যেকে 5 টি করে গোটা সন্দেশ পেল। যদি শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হত, তবে প্রত্যেকে কতগুলি গোটা সন্দেশ পেত তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, শিশুর সংখ্যা = $M$ এবং প্রত্যেকে প্রাপ্ত সন্দেশ সংখ্যা = $N$।
মোট সন্দেশ সংখ্যা নির্দিষ্ট থাকলে, শিশুর সংখ্যা কমলে প্রত্যেকে বেশি সন্দেশ পাবে। তাই, শিশুর সংখ্যা ও সন্দেশ সংখ্যা ব্যস্তভেদে আছে।
$\therefore N \propto \frac{1}{M}$
বা, $N = k \cdot \frac{1}{M}$ ……(i) [$k$ = ভেদ ধ্রুবক]
ধ্রুবকের মান নির্ণয়:
দেওয়া আছে, $M = 24$ হলে $N = 5$।
$5 = k \times \frac{1}{24}$
বা, $k = 5 \times 24 = 120$
নির্ণেয় মান বের করা:
যদি শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হতো, তবে নতুন শিশুর সংখ্যা $M = 24 – 4 = 20$।
এখন (i) নং সমীকরণে $k=120$ এবং $M=20$ বসিয়ে পাই:
$N = \frac{120}{20}$
$N = 6$
উত্তর: প্রত্যেকে 6টি করে গোটা সন্দেশ পেত।
3. (iii) একটি পুকুর কাটতে 50 জন গ্রামবাসীর 18 দিন সময় লেগেছে। পুকুরটি 15 দিনে কাটতে হলে অতিরিক্ত কতজন লোককে কাজ করতে হবে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, লোকসংখ্যা = $M$ এবং দিনসংখ্যা = $D$।
কাজের পরিমাণ নির্দিষ্ট থাকলে, সময় কমাতে হলে লোকসংখ্যা বাড়াতে হবে। অর্থাৎ, লোকসংখ্যা ও দিনসংখ্যা ব্যস্তভেদে আছে।
$\therefore M \propto \frac{1}{D}$
বা, $M = \frac{k}{D}$ ……(i) [$k$ = ভেদ ধ্রুবক]
ধ্রুবকের মান নির্ণয়:
দেওয়া আছে, $M = 50$ জন এবং $D = 18$ দিন।
$50 = \frac{k}{18}$
বা, $k = 50 \times 18 = 900$
নির্ণেয় মান বের করা:
এখন কাজটি $D = 15$ দিনে শেষ করতে হবে। কতজন লোক লাগবে ($M$)?
$M = \frac{900}{15}$
$M = 60$
অর্থাৎ, মোট 60 জন লোক লাগবে।
আগে ছিল 50 জন।
অতিরিক্ত লোক নিতে হবে = $60 – 50 = 10$ জন।
উত্তর: অতিরিক্ত 10 জন লোককে কাজ করতে হবে।
4. (i) y, x-এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে এবং y=9 যখন x=9; x-এর মান নির্ণয় করি যখন y=6।
সমাধান:
প্রশ্নানুসারে, $y \propto \sqrt{x}$
বা, $y = k \sqrt{x}$ ……(i) [$k$ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
ধ্রুবক নির্ণয়:
দেওয়া আছে, $x = 9$ হলে $y = 9$।
$9 = k \sqrt{9}$
$9 = k \times 3$
$k = \frac{9}{3} = 3$
$\therefore$ সম্পর্কটি হলো: $y = 3\sqrt{x}$
নির্ণেয় মান বের করা:
এখন, $y = 6$ হলে $x$-এর মান কত?
$6 = 3\sqrt{x}$
বা, $\sqrt{x} = \frac{6}{3} = 2$
উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:
$(\sqrt{x})^2 = (2)^2$
$\therefore x = 4$
উত্তর: নির্ণেয় x-এর মান 4।
4. (ii) x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে। y=4, z=5 হলে x=3 হয়। আবার y=16, z=30 হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
দেওয়া আছে: $x \propto y$ এবং $x \propto \frac{1}{z}$
যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী, $x \propto y \times \frac{1}{z}$
বা, $x = k \cdot \frac{y}{z}$ ……(i)
ধ্রুবক নির্ণয়:
যখন $y = 4, z = 5$ তখন $x = 3$।
$3 = k \cdot \frac{4}{5}$
$4k = 15 \Rightarrow k = \frac{15}{4}$
নির্ণেয় মান বের করা:
এখন $y = 16$ এবং $z = 30$ হলে $x$-এর মান কত?
$x = \frac{15}{4} \times \frac{16}{30}$ [মান বসিয়ে]
$x = \frac{15}{4} \times \frac{8}{15}$ [16/30 কে সরল করে]
$x = \frac{8}{4} = 2$
উত্তর: নির্ণেয় x-এর মান 2।
4. (iii) x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। y=5 ও z=9 হলে x=$\frac{1}{6}$ হয়। x, y ও z-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি এবং y=6 ও z=$\frac{1}{5}$ হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী, $x \propto \frac{y}{z}$
বা, $x = k \cdot \frac{y}{z}$ ……(i)
ধ্রুবক নির্ণয়:
যখন $y = 5, z = 9$ তখন $x = \frac{1}{6}$।
$\frac{1}{6} = k \cdot \frac{5}{9}$
$k = \frac{1}{6} \times \frac{9}{5}$
$k = \frac{3}{10}$
$\therefore$ সম্পর্কটি হলো: $x = \frac{3y}{10z}$
নির্ণেয় মান বের করা:
এখন $y = 6$ এবং $z = \frac{1}{5}$।
$x = \frac{3 \times 6}{10 \times \frac{1}{5}}$
$x = \frac{18}{2}$ [যেহেতু $10 \times \frac{1}{5} = 2$]
$x = 9$
উত্তর: সম্পর্কটি হলো $x = \frac{3y}{10z}$ এবং x-এর মান 9।
5. (i) $x \propto y$ হলে, দেখাই যে, $x+y \propto x-y$
সমাধান:
দেওয়া আছে, $x \propto y$
$\therefore x = ky$ ……(i) [যেখানে $k$ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
এখন, $\frac{x+y}{x-y}$ এর মান নির্ণয় করি:
$$ \frac{x+y}{x-y} = \frac{ky + y}{ky – y} $$ [x-এর মান বসিয়ে]
$$ = \frac{y(k+1)}{y(k-1)} $$
$$ = \frac{k+1}{k-1} $$
যেহেতু $k$ একটি ধ্রুবক, তাই $\frac{k+1}{k-1}$ ও একটি ধ্রুবক। ধরি এই ধ্রুবকটি $m$।
$\therefore \frac{x+y}{x-y} = m$ (ধ্রুবক)
বা, $x+y = m(x-y)$
$\therefore x+y \propto x-y$ (প্রমাণিত)
5. (ii) $A \propto \frac{1}{C}, C \propto \frac{1}{B}$ হলে, দেখাই যে, $A \propto B$
সমাধান:
১ম সম্পর্ক: $A \propto \frac{1}{C} \Rightarrow A = \frac{k_1}{C}$ ……(i) [$k_1$ ভেদ ধ্রুবক]
২য় সম্পর্ক: $C \propto \frac{1}{B} \Rightarrow C = \frac{k_2}{B}$ ……(ii) [$k_2$ ভেদ ধ্রুবক]
(i) নং সমীকরণে $C$-এর মান বসিয়ে পাই:
$$ A = \frac{k_1}{\left( \frac{k_2}{B} \right)} $$
$$ A = \frac{k_1}{k_2} \times B $$
যেহেতু $\frac{k_1}{k_2}$ একটি ধ্রুবক, তাই $A \propto B$। (প্রমাণিত)
5. (iii) যদি $a \propto b, b \propto \frac{1}{c}$ এবং $c \propto d$ হয়, তবে $a$ ও $d$-এর মধ্যে ভেদ সম্পর্ক লিখি।
সমাধান:
$a \propto b \Rightarrow a = k_1 b$ ……(i)
$b \propto \frac{1}{c} \Rightarrow b = \frac{k_2}{c}$ ……(ii)
$c \propto d \Rightarrow c = k_3 d$ ……(iii)
এখন, (i) নং সমীকরণে $b$-এর মান এবং তারপর $c$-এর মান বসাই:
$a = k_1 \times \left( \frac{k_2}{c} \right)$
$a = \frac{k_1 k_2}{k_3 d}$ [$c$-এর জায়গায় $k_3 d$ বসিয়ে]
$a = \left( \frac{k_1 k_2}{k_3} \right) \times \frac{1}{d}$
যেহেতু ব্র্যাকেটের অংশটি ধ্রুবক, তাই $a \propto \frac{1}{d}$।
উত্তর: $a$ ও $d$ ব্যস্তভেদে আছে।
5. (iv) $x \propto y, y \propto z$ এবং $z \propto x$ হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।
সমাধান:
$x = k_1 y$ ……(i)
$y = k_2 z$ ……(ii)
$z = k_3 x$ ……(iii)
(i) নং এ $y$-এর মান এবং পরে $z$-এর মান বসাই:
$x = k_1 (k_2 z)$
$x = k_1 k_2 (k_3 x)$
$x = (k_1 k_2 k_3) x$
উভয়পক্ষকে $x$ দিয়ে ভাগ করে পাই ($x \neq 0$):
$1 = k_1 k_2 k_3$
উত্তর: ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল 1।
6. $x+y \propto x-y$ হলে, দেখাই যে:
সাধারণ প্রমাণ:
দেওয়া আছে, $x+y \propto x-y$
$\therefore \frac{x+y}{x-y} = k$ ($k$ ধ্রুবক)
যোগভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই:
$$ \frac{(x+y)+(x-y)}{(x+y)-(x-y)} = \frac{k+1}{k-1} $$
$$ \frac{2x}{2y} = m $$ [ধরি $\frac{k+1}{k-1} = m$ (ধ্রুবক)]
$$ \frac{x}{y} = m \Rightarrow x = my $$ ……(A)
(i) $x^2+y^2 \propto xy$
সমাধান:
$$ \frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{(my)^2 + y^2}{(my)y} $$ [x-এর মান বসিয়ে]
$$ = \frac{m^2y^2 + y^2}{my^2} $$
$$ = \frac{y^2(m^2+1)}{y^2m} $$
$$ = \frac{m^2+1}{m} = \text{ধ্রুবক} $$
$\therefore x^2+y^2 \propto xy$ (প্রমাণিত)
(ii) $x^3+y^3 \propto x^3-y^3$
সমাধান:
$$ \frac{x^3+y^3}{x^3-y^3} = \frac{(my)^3 + y^3}{(my)^3 – y^3} $$
$$ = \frac{m^3y^3 + y^3}{m^3y^3 – y^3} $$
$$ = \frac{y^3(m^3+1)}{y^3(m^3-1)} $$
$$ = \frac{m^3+1}{m^3-1} = \text{ধ্রুবক} $$
$\therefore x^3+y^3 \propto x^3-y^3$ (প্রমাণিত)
(iii) $ax+by \propto px+qy$
সমাধান:
$$ \frac{ax+by}{px+qy} = \frac{a(my) + by}{p(my) + qy} $$
$$ = \frac{y(am+b)}{y(pm+q)} $$
$$ = \frac{am+b}{pm+q} $$
যেহেতু $a, b, p, q, m$ প্রত্যেকেই ধ্রুবক, তাই পুরো রাশিটিই ধ্রুবক।
$\therefore ax+by \propto px+qy$ (প্রমাণিত)
7. (i) $a^2+b^2 \propto ab$ হলে, প্রমাণ করি যে, $a+b \propto a-b$
সমাধান:
দেওয়া আছে, $a^2+b^2 \propto ab$
$\therefore a^2+b^2 = k \cdot ab$ ($k$ ধ্রুবক)
বা, $\frac{a^2+b^2}{ab} = k$
উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই:
$\frac{a^2+b^2}{2ab} = \frac{k}{2}$
যোগভাগ প্রক্রিয়া করে পাই:
$$ \frac{a^2+b^2+2ab}{a^2+b^2-2ab} = \frac{k+2}{k-2} $$
$$ \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} = m^2 $$ [ধরি $\frac{k+2}{k-2} = m^2$ ধ্রুবক]
উভয়পক্ষের বর্গমূল করে পাই:
$$ \frac{a+b}{a-b} = m $$
বা, $a+b = m(a-b)$
$\therefore a+b \propto a-b$ (প্রমাণিত)
7. (ii) $x^3+y^3 \propto x^3-y^3$ হলে, প্রমাণ করি যে, $x+y \propto x-y$
সমাধান:
দেওয়া আছে, $\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3} = k$
যোগভাগ প্রক্রিয়া করে পাই:
$$ \frac{(x^3+y^3)+(x^3-y^3)}{(x^3+y^3)-(x^3-y^3)} = \frac{k+1}{k-1} $$
$$ \frac{2x^3}{2y^3} = m^3 $$ [ডানপক্ষকে $m^3$ ধরি]
$$ \frac{x^3}{y^3} = m^3 \Rightarrow \frac{x}{y} = m $$
পুনরায় যোগভাগ করে পাই:
$$ \frac{x+y}{x-y} = \frac{m+1}{m-1} = \text{ধ্রুবক} $$
$\therefore x+y \propto x-y$ (প্রমাণিত)
8. 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কতদিনে চাষ করতে পারবেন তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, দিনসংখ্যা = $D$, কৃষক সংখ্যা = $M$ এবং জমির পরিমাণ = $L$।
সম্পর্ক নির্ণয়:
- জমির পরিমাণ স্থির থাকলে, লোকসংখ্যা বাড়লে সময় কম লাগে। $\therefore D \propto \frac{1}{M}$ (ব্যস্তভেদ)।
- লোকসংখ্যা স্থির থাকলে, জমির পরিমাণ বাড়লে সময় বেশি লাগে। $\therefore D \propto L$ (সরলভেদ)।
যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$$ D \propto \frac{L}{M} \Rightarrow D = k \cdot \frac{L}{M} $$ ……(i) [$k$ ভেদ ধ্রুবক]
১ম ক্ষেত্র: $M = 15, D = 5, L = 18$
(i) নং এ বসিয়ে পাই:
$5 = k \cdot \frac{18}{15}$
$5 = k \cdot \frac{6}{5}$
$k = \frac{25}{6}$
২য় ক্ষেত্র: $M = 10, L = 12$ হলে $D$ কত?
$D = \frac{25}{6} \times \frac{12}{10}$
$D = \frac{25}{6} \times \frac{6}{5}$
$D = \frac{25}{5} = 5$
উত্তর: 5 দিনে চাষ করতে পারবেন।
9. গোলকের আয়তন ব্যাসার্ধের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে আছে। $1\frac{1}{2}, 2$ এবং $2\frac{1}{2}$ মিটার ব্যাসের তিনটি গোলক গলিয়ে নতুন গোলক বানালে, তার ব্যাস কত হবে?
সমাধান:
ধরি, আয়তন = $V$ এবং ব্যাসার্ধ = $r$।
$V \propto r^3 \Rightarrow V = k r^3$
তিনটি গোলকের ব্যাসার্ধ:
- $r_1 = \frac{1.5}{2} = \frac{3}{4}$ মি.
- $r_2 = \frac{2}{2} = 1$ মি.
- $r_3 = \frac{2.5}{2} = \frac{5}{4}$ মি.
নতুন গোলকের আয়তন = তিনটি গোলকের মোট আয়তন।
ধরি নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ $R$।
$k R^3 = k(r_1^3 + r_2^3 + r_3^3)$
$R^3 = \left(\frac{3}{4}\right)^3 + (1)^3 + \left(\frac{5}{4}\right)^3$
$R^3 = \frac{27}{64} + 1 + \frac{125}{64}$
$R^3 = \frac{27 + 64 + 125}{64} = \frac{216}{64}$
$R = \sqrt[3]{\frac{216}{64}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ মিটার।
নতুন ব্যাস = $2R = 2 \times \frac{3}{2} = 3$ মিটার।
উত্তর: নতুন গোলকের ব্যাস 3 মিটার।
10. y দুটি চলের সমষ্টি, একটি x-এর সঙ্গে সরলভেদে ও অন্যটি x-এর সঙ্গে ব্যস্তভেদে। x=1 হলে y=-1, x=3 হলে y=5। সম্পর্ক নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, $y = A + B$, যেখানে $A \propto x \Rightarrow A = k_1 x$ এবং $B \propto \frac{1}{x} \Rightarrow B = \frac{k_2}{x}$।
$\therefore$ সম্পর্কটি হলো: $y = k_1 x + \frac{k_2}{x}$ ……(i)
শর্ত ১: $x = 1, y = -1$
$-1 = k_1(1) + \frac{k_2}{1} \Rightarrow k_1 + k_2 = -1$ ……(ii)
শর্ত ২: $x = 3, y = 5$
$5 = 3k_1 + \frac{k_2}{3}$
$15 = 9k_1 + k_2$ ……(iii)
সমাধান:
(iii) – (ii) করে পাই:
$(9k_1 + k_2) – (k_1 + k_2) = 15 – (-1)$
$8k_1 = 16 \Rightarrow k_1 = 2$
(ii) নং থেকে পাই: $2 + k_2 = -1 \Rightarrow k_2 = -3$
(i) নং এ মান বসিয়ে পাই:
$y = 2x + \frac{-3}{x}$
উত্তর: নির্ণেয় সম্পর্ক $y = 2x – \frac{3}{x}$
11. $a \propto b, b \propto c$ হলে দেখাই যে, $a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3 \propto abc(a^3+b^3+c^3)$
সমাধান:
দেওয়া আছে:
- $b \propto c \Rightarrow b = k_1 c$ ……(i) [$k_1$ ভেদ ধ্রুবক]
- $a \propto b \Rightarrow a = k_2 b$ ……(ii) [$k_2$ ভেদ ধ্রুবক]
(ii) নং সমীকরণে $b$-এর মান বসিয়ে পাই:
$a = k_2 (k_1 c) = (k_1 k_2) c$
ধরি, $k_1 k_2 = m$ (আরেকটি ধ্রুবক)।
$\therefore a = mc$ এবং $b = k_1 c$
এখন আমরা প্রমাণ করার জন্য $\frac{\text{বামপক্ষ}}{\text{ডানপক্ষ}}$ এর মান নির্ণয় করব।
বামপক্ষ (L.H.S): $a^3b^3 + b^3c^3 + c^3a^3$
$= (mc)^3(k_1c)^3 + (k_1c)^3c^3 + c^3(mc)^3$ [মান বসিয়ে]
$= m^3c^3 \cdot k_1^3c^3 + k_1^3c^6 + c^3 \cdot m^3c^3$
$= m^3k_1^3c^6 + k_1^3c^6 + m^3c^6$
$= c^6 (m^3k_1^3 + k_1^3 + m^3)$
ডানপক্ষ (R.H.S): $abc(a^3+b^3+c^3)$
$= (mc)(k_1c)(c) [ (mc)^3 + (k_1c)^3 + c^3 ]$
$= m k_1 c^3 [ m^3c^3 + k_1^3c^3 + c^3 ]$
$= m k_1 c^3 \cdot c^3 (m^3 + k_1^3 + 1)$
$= c^6 \cdot m k_1 (m^3 + k_1^3 + 1)$
অনুপাত নির্ণয়:
$$ \frac{\text{বামপক্ষ}}{\text{ডানপক্ষ}} = \frac{c^6 (m^3k_1^3 + k_1^3 + m^3)}{c^6 \cdot m k_1 (m^3 + k_1^3 + 1)} $$
লব ও হর থেকে $c^6$ কেটে গেল। বাকি অংশে কেবল $m$ ও $k_1$ আছে, যা ধ্রুবক।
সুতরাং, পুরো রাশিটি একটি ধ্রুবক।
$\therefore a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3 \propto abc(a^3+b^3+c^3)$ (প্রমাণিত)
12. x ডেসিমিটার গভীর একটি কূয়ো খনন করার জন্য মোট খরচের এক অংশ x-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং অপর অংশ $x^2$-এর সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। যদি 100 ডেসিমিটার ও 200 ডেসিমিটার কূয়ো খনন করার জন্য যথাক্রমে 5000 টাকা ও 12000 টাকা ব্যয় হয়, তবে 250 ডেসিমিটার গভীর কূয়ো খনন করার জন্য কত খরচ হবে হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, মোট খরচ = $C$ টাকা এবং গভীরতা = $x$ ডেসিমিটার।
প্রশ্নানুসারে, $C$ দুটি অংশের সমষ্টি।
১ম অংশ $\propto x \Rightarrow k_1 x$
২য় অংশ $\propto x^2 \Rightarrow k_2 x^2$
$\therefore C = k_1 x + k_2 x^2$ ……(i) [যেখানে $k_1, k_2$ ভেদ ধ্রুবক]
১ম শর্ত: $x = 100, C = 5000$
$5000 = k_1(100) + k_2(100)^2$
$5000 = 100k_1 + 10000k_2$
উভয়পক্ষকে 100 দিয়ে ভাগ করে পাই:
$50 = k_1 + 100k_2$ ……(ii)
২য় শর্ত: $x = 200, C = 12000$
$12000 = k_1(200) + k_2(200)^2$
$12000 = 200k_1 + 40000k_2$
উভয়পক্ষকে 200 দিয়ে ভাগ করে পাই:
$60 = k_1 + 200k_2$ ……(iii)
ধ্রুবক নির্ণয়:
(iii) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই:
$(k_1 + 200k_2) – (k_1 + 100k_2) = 60 – 50$
$100k_2 = 10$
$k_2 = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$
(ii) নং সমীকরণে $k_2 = \frac{1}{10}$ বসিয়ে পাই:
$50 = k_1 + 100 \times \frac{1}{10}$
$50 = k_1 + 10$
$k_1 = 50 – 10 = 40$
এখন নির্ণেয় সমীকরণ: $C = 40x + \frac{x^2}{10}$
ব্যয় নির্ণয়:
যখন গভীরতা $x = 250$ ডেসিমিটার।
$C = 40(250) + \frac{(250)^2}{10}$
$C = 10000 + \frac{62500}{10}$
$C = 10000 + 6250$
$C = 16250$
উত্তর: 250 ডেসিমিটার গভীর কূয়ো খনন করতে 16,250 টাকা খরচ হবে।
13. চোঙের আয়তন ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের এবং উচ্চতার সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে। দুটি চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 5:4 হলে, এদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, আয়তন = $V$, ব্যাসার্ধ = $r$ এবং উচ্চতা = $h$।
প্রশ্নানুসারে, $V \propto r^2 h$
$\therefore V = k r^2 h$ [$k$ একটি ভেদ ধ্রুবক]
প্রদত্ত তথ্য:
- ব্যাসার্ধের অনুপাত $r_1 : r_2 = 2 : 3 \Rightarrow \frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}$
- উচ্চতার অনুপাত $h_1 : h_2 = 5 : 4 \Rightarrow \frac{h_1}{h_2} = \frac{5}{4}$
আয়তনের অনুপাত নির্ণয়:
$$ \frac{V_1}{V_2} = \frac{k r_1^2 h_1}{k r_2^2 h_2} $$
$$ = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \times \left( \frac{h_1}{h_2} \right) $$
$$ = \left( \frac{2}{3} \right)^2 \times \frac{5}{4} $$
$$ = \frac{4}{9} \times \frac{5}{4} $$
$$ = \frac{5}{9} $$
উত্তর: আয়তনের অনুপাত 5:9।
14. পাঁচলা গ্রামের কৃষি সমবায় সমিতি একটি ট্রাক্টর ক্রয় করেছে। আগে সমিতির 2400 বিঘা জমি 25 টি লাঙল দিয়ে চাষ করতে 36 দিন সময় লাগত। এখন অর্ধেক জমি কেবল ট্রাক্টরটি দিয়ে 30 দিনে চাষ করা যায়। একটি ট্রাক্টর কয়টি লাঙলের সমান চাষ করে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, লাঙল সংখ্যা = $P$, জমির পরিমাণ = $L$ এবং দিনসংখ্যা = $D$।
সম্পর্ক:
- দিন স্থির থাকলে, জমি বাড়লে লাঙল বেশি লাগে। $\therefore P \propto L$ (সরলভেদ)
- জমি স্থির থাকলে, দিন বাড়লে লাঙল কম লাগে। $\therefore P \propto \frac{1}{D}$ (ব্যস্তভেদ)
যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$$ P \propto \frac{L}{D} \Rightarrow P = k \cdot \frac{L}{D} $$ ……(i)
ধ্রুবক নির্ণয়:
প্রদত্ত: $L = 2400, P = 25, D = 36$
$25 = k \cdot \frac{2400}{36}$
$25 = k \cdot \frac{200}{3}$ [12 দিয়ে কাটাকাটি করে]
$k = \frac{25 \times 3}{200} = \frac{75}{200} = \frac{3}{8}$
ট্রাক্টরের ক্ষমতা নির্ণয়:
এখন ট্রাক্টরটি যে কাজ করছে, সেই একই কাজ করতে কতগুলো লাঙল ($P$) লাগত তা বের করব।
নতুন জমির পরিমাণ = অর্ধেক = $\frac{2400}{2} = 1200$ বিঘা।
সময় $D = 30$ দিন।
(i) নং সমীকরণে $k = \frac{3}{8}$ বসিয়ে পাই:
$P = \frac{3}{8} \times \frac{1200}{30}$
$P = \frac{3}{8} \times 40$
$P = 3 \times 5 = 15$
অর্থাৎ, ট্রাক্টরটি একাই যে কাজ করে, তা করতে 15টি লাঙল লাগত।
উত্তর: একটি ট্রাক্টর 15 টি লাঙলের সমান চাষ করে।
15. দেখাই যে, গোলকের আয়তনের বর্গ তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে থাকে।
সমাধান:
ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = $r$।
আমরা জানি,
- গোলকের আয়তন ($V$) ব্যাসার্ধের ত্রিঘাতের সমানুপাতী।
$V \propto r^3 \Rightarrow V = k_1 r^3$ ……(i)
- গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ($S$) ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতী।
$S \propto r^2 \Rightarrow S = k_2 r^2$ ……(ii)
আমাদের প্রমাণ করতে হবে: $V^2 \propto S^3$
(i) নং সমীকরণকে বর্গ করে পাই:
$V^2 = (k_1 r^3)^2 = k_1^2 r^6$
(ii) নং সমীকরণকে ঘন করে পাই:
$S^3 = (k_2 r^2)^3 = k_2^3 r^6$
এখন $V^2$ কে $S^3$ দিয়ে ভাগ করি:
$$ \frac{V^2}{S^3} = \frac{k_1^2 r^6}{k_2^3 r^6} $$
$$ \frac{V^2}{S^3} = \frac{k_1^2}{k_2^3} $$
যেহেতু $k_1$ ও $k_2$ ধ্রুবক, তাই পুরো ডানপক্ষটি একটি ধ্রুবক।
$\therefore V^2 \propto S^3$
(প্রমাণিত)
16. (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):
(i) $x \propto \frac{1}{y}$ হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
দেওয়া আছে, $x \propto \frac{1}{y}$
বা, $x = k \cdot \frac{1}{y}$ [যেখানে $k$ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, $xy = k$
অর্থাৎ, $x$ ও $y$-এর গুণফল একটি অশূন্য ধ্রুবক।
উত্তর: (d) $xy = \text{অশূন্য ধ্রুবক}$
(ii) যদি $x \propto y$ হয়, তবে নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
দেওয়া আছে, $x \propto y$
বা, $x = ky$
উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:
$x^2 = k^2 y^2$
যেহেতু $k$ ধ্রুবক, তাই $k^2$-ও ধ্রুবক।
সুতরাং, $x^2 \propto y^2$
উত্তর: (d) $x^2 \propto y^2$
(iii) $x \propto y$ এবং $y=8$ যখন $x=2$; $y=16$ হলে $x$-এর মান কত?
সমাধান:
$x \propto y \Rightarrow x = ky$
প্রথমে $x=2, y=8$ বসিয়ে পাই:
$2 = k \cdot 8 \Rightarrow k = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
এখন, $y=16$ হলে $x$-এর মান:
$x = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4$
উত্তর: (b) 4
(iv) $x \propto y^2$ এবং $y=4$ যখন $x=8$; $x=32$ হলে $y$-এর ধনাত্মক মান কত?
সমাধান:
$x \propto y^2 \Rightarrow x = ky^2$
প্রথমে $x=8, y=4$ বসিয়ে পাই:
$8 = k \cdot (4)^2$
$8 = 16k \Rightarrow k = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
এখন, $x=32$ হলে $y$-এর মান:
$32 = \frac{1}{2} y^2$
$y^2 = 32 \times 2 = 64$
$y = \sqrt{64} = 8$ (ধনাত্মক মান)
উত্তর: (b) 8
(v) যদি $y-z \propto \frac{1}{x}, z-x \propto \frac{1}{y}, x-y \propto \frac{1}{z}$ হয়, তবে ভেদ ধ্রুবক তিনটির সমষ্টি কত?
সমাধান:
১ম সম্পর্ক: $y-z = \frac{k_1}{x} \Rightarrow x(y-z) = k_1 \Rightarrow xy – xz = k_1$
২য় সম্পর্ক: $z-x = \frac{k_2}{y} \Rightarrow y(z-x) = k_2 \Rightarrow yz – xy = k_2$
৩য় সম্পর্ক: $x-y = \frac{k_3}{z} \Rightarrow z(x-y) = k_3 \Rightarrow xz – yz = k_3$
ভেদ ধ্রুবক তিনটির সমষ্টি ($k_1+k_2+k_3$):
$= (xy – xz) + (yz – xy) + (xz – yz)$
$= xy – xz + yz – xy + xz – yz$
$= 0$
উত্তর: (a) 0
16. (B) সত্য বা মিথ্যা লিখি:
(i) $y \propto \frac{1}{x}$ হলে $\frac{y}{x} = \text{অশূন্য ধ্রুবক}$।
সমাধান:
$y \propto \frac{1}{x} \Rightarrow y = \frac{k}{x} \Rightarrow xy = k$ (ধ্রুবক)।
কিন্তু প্রশ্নে বলা হয়েছে $\frac{y}{x}$ ধ্রুবক, যা সঠিক নয়।
উত্তর: মিথ্যা
(ii) $x \propto z$ এবং $y \propto z$ হলে $xy \propto z$।
সমাধান:
$x \propto z \Rightarrow x = k_1 z$
$y \propto z \Rightarrow y = k_2 z$
গুণ করলে: $xy = (k_1 z)(k_2 z) = k_1 k_2 z^2$
অর্থাৎ, $xy \propto z^2$।
প্রশ্নে বলা হয়েছে $xy \propto z$, যা সঠিক নয়।
উত্তর: মিথ্যা
16. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) $x \propto \frac{1}{y}$ এবং $y \propto \frac{1}{z}$ হলে, $x \propto$ ______।
সমাধান:
$x = \frac{k_1}{y}$ এবং $y = \frac{k_2}{z}$
$y$-এর মান $x$-এর সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$x = \frac{k_1}{(k_2/z)} = \frac{k_1}{k_2} \times z$
যেহেতু $\frac{k_1}{k_2}$ ধ্রুবক, তাই $x \propto z$।
উত্তর: $z$
(ii) $x \propto y$ হলে, $x^n \propto$ ______।
সমাধান:
$x = ky$
উভয়পক্ষে $n$ ঘাত নিলে:
$x^n = (ky)^n = k^n y^n$
যেহেতু $k^n$ ধ্রুবক, তাই $x^n \propto y^n$।
উত্তর: $y^n$
(iii) $x \propto y$ এবং $x \propto z$ হলে, $(y+z) \propto$ ______।
সমাধান:
$x \propto y \Rightarrow y \propto x \Rightarrow y = k_1 x$
$x \propto z \Rightarrow z \propto x \Rightarrow z = k_2 x$
যোগ করলে: $y + z = k_1 x + k_2 x = (k_1 + k_2) x$
যেহেতু $(k_1+k_2)$ ধ্রুবক, তাই $(y+z) \propto x$।
উত্তর: $x$
17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.):
(i) $x \propto y^2$ এবং $y=2a$ যখন $x=a$; $x$ ও $y$-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।
সমাধান:
$x \propto y^2 \Rightarrow x = k y^2$
প্রদত্ত মান বসাই: $x=a, y=2a$
$a = k (2a)^2$
$a = k \cdot 4a^2$
$k = \frac{a}{4a^2} = \frac{1}{4a}$
এখন $k$-এর মান মূল সমীকরণে বসাই:
$x = \frac{1}{4a} y^2$
বা, $y^2 = 4ax$
উত্তর: $y^2 = 4ax$
(ii) $x \propto y, y \propto z$ এবং $z \propto x$ হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল নির্ণয় করি।
সমাধান:
$x \propto y \Rightarrow x = k_1 y$ ……(i)
$y \propto z \Rightarrow y = k_2 z$ ……(ii)
$z \propto x \Rightarrow z = k_3 x$ ……(iii)
(i) এ $y$-এর মান এবং পরে $z$-এর মান বসাই:
$x = k_1 (k_2 z) = k_1 k_2 (k_3 x) = k_1 k_2 k_3 x$
উভয়পক্ষ থেকে $x$ বাদ দিলে পাই:
$1 = k_1 k_2 k_3$
উত্তর: 1
(iii) $x \propto \frac{1}{y}$ এবং $y \propto \frac{1}{z}$ হলে, $x, z$-এর সঙ্গে সরলভেদে না ব্যস্তভেদে আছে তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
$x = \frac{k_1}{y}$ এবং $y = \frac{k_2}{z}$
$y$-এর মান বসিয়ে পাই:
$x = \frac{k_1}{(k_2/z)}$
$x = \frac{k_1}{k_2} \times z$
যেহেতু $\frac{k_1}{k_2}$ একটি ধ্রুবক, তাই $x \propto z$।
সুতরাং, $x$ এবং $z$ সরলভেদে আছে।
উত্তর: সরলভেদে আছে।
(iv) $x \propto yz$ এবং $y \propto zx$ হলে, দেখাই যে, $z$ একটি অশূন্য ধ্রুবক।
সমাধান:
$x = k_1 yz$ ……(i)
$y = k_2 zx$ ……(ii)
(ii) নং থেকে $y$-এর মান (i) নং এ বসাই:
$x = k_1 (k_2 zx) z$
$x = k_1 k_2 z^2 x$
উভয়পক্ষকে $x$ দিয়ে ভাগ করে পাই ($x \neq 0$):
$1 = k_1 k_2 z^2$
$z^2 = \frac{1}{k_1 k_2}$
যেহেতু $k_1, k_2$ ধ্রুবক, তাই $z^2$ ধ্রুবক, সুতরাং $z$ ও ধ্রুবক।
উত্তর: $z$ একটি অশূন্য ধ্রুবক।
(v) যদি $b \propto a^3$ হয় এবং $a$-এর বৃদ্ধি হয় 2:3 অনুপাতে, তবে $b$-এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $b \propto a^3 \Rightarrow b = k a^3$
ধরি, $a$-এর প্রাথমিক মান $a_1 = 2x$ এবং পরবর্তী মান $a_2 = 3x$।
তাহলে, $b$-এর প্রাথমিক মান $b_1 = k (2x)^3 = k \cdot 8x^3 = 8kx^3$
এবং $b$-এর পরবর্তী মান $b_2 = k (3x)^3 = k \cdot 27x^3 = 27kx^3$
অনুপাত নির্ণয়:
$$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{8kx^3}{27kx^3} = \frac{8}{27} $$
উত্তর: 8 : 27 অনুপাতে বৃদ্ধি পাবে।
শেয়ার