দশম শ্রেণী গনিত: রাশি বিজ্ঞান – কষে দেখি 26.1

কষে দেখি – 26.1

1. আমি আমার ৪০ জন বন্ধুর বয়স নিচে লিখেছি:

আমি আমার বন্ধুদের গড় বয়স প্রত্যক্ষ গড় পদ্ধতিতে নির্ণয় করি।

সমাধান:

প্রত্যক্ষ গড় পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের তালিকা:

আমরা জানি, প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে গড়,

$$ \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} $$

$$ = \frac{697}{40} $$

$$ = 17.425 $$

$\therefore$ আমার বন্ধুদের গড় বয়স ১৭.৪২ বছর (প্রায়)।

---

2. গ্রামের ৫০টি পরিবারের সদস্য সংখ্যা নিচের তালিকায় লিখেছি।

ওই ৫০ টি পরিবারের গড় সদস্য সংখ্যা কল্পিত গড় পদ্ধতিতে লিখি।

সমাধান:

ধরি, কল্পিত গড় ($A$) = ৪

আমরা জানি, কল্পিত গড় পদ্ধতিতে গড়,

$$ \bar{x} = A + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} $$

$$ = 4 + \frac{12}{50} $$

$$ = 4 + 0.24 $$

$$ = 4.24 $$

$\therefore$ নির্ণেয় গড় সদস্য সংখ্যা ৪.২৪ জন।

---

3. যদি নিচের প্রদত্ত তথ্যের যৌগিক গড় ২০.৬ হয়, তবে a-এর মান নির্ণয় করি:

সমাধান:

প্রশ্নানুসারে, যৌগিক গড় = ২০.৬

$$ \therefore \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 20.6 $$

বা, $$ \frac{530 + 25a}{50} = 20.6 $$

বা, $$ 530 + 25a = 20.6 \times 50 $$

বা, $$ 530 + 25a = 1030 $$

বা, $$ 25a = 1030 – 530 $$

বা, $$ 25a = 500 $$

বা, $$ a = \frac{500}{25} $$

$$ \therefore a = 20 $$

উত্তর: নির্ণেয় a-এর মান ২০।

---

4. যদি নিচের প্রদত্ত তথ্যের যৌগিক গড় ১৫ হয়, তবে p-এর মান হিসাব করে লিখি:

সমাধান:

প্রশ্নানুসারে, যৌগিক গড় = ১৫

$$ \therefore \frac{445 + 10p}{27 + p} = 15 $$

বা, $$ 445 + 10p = 15(27 + p) $$

বা, $$ 445 + 10p = 405 + 15p $$

বা, $$ 445 – 405 = 15p – 10p $$

বা, $$ 40 = 5p $$

বা, $$ p = \frac{40}{5} $$

$$ \therefore p = 8 $$

উত্তর: নির্ণেয় p-এর মান ৮।5. রহমতচাচা তার ৫০টি বাক্সে বিভিন্ন সংখ্যায় আম ভরে পাইকারি বাজারে নিয়ে যাবেন। কতগুলি বাক্সে কতগুলি আম রাখলেন তার তথ্য নিচের ছকে লিখলাম।

আমি ওই ৫০টি বাক্সে গড় আমের সংখ্যা হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

আমি এই অংকটি কল্পিত গড় পদ্ধতিতে সমাধান করছি।

ধরি, কল্পিত গড় ($A$) = ৫৫

[এখানে $\sum f_i d_i = (-24 – 28) + (18 + 20) = -52 + 38 = -14$]

আমরা জানি, কল্পিত গড় পদ্ধতিতে গড়,

$$ \bar{x} = A + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} $$

$$ = 55 + \frac{-14}{50} $$

$$ = 55 – \frac{14}{50} $$

$$ = 55 – 0.28 $$

$$ = 54.72 $$

$\therefore$ ৫০টি বাক্সে গড় আমের সংখ্যা ৫৪.৭২ টি।

---

6. মহিদুল পাড়ার হাসপাতালের ১০০ জন রোগীর বয়স নিচের ছকে লিখল। ওই ১০০ জন রোগীর গড় বয়স হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

আমি এই অংকটি প্রত্যক্ষ গড় পদ্ধতিতে সমাধান করছি।

নির্ণেয় গড়,

$$ \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} $$

$$ = \frac{4340}{100} $$

$$ = 43.4 $$

$\therefore$ রোগীদের গড় বয়স ৪৩.৪ বছর।

---

7. প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে নিচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।

(i)

সমাধান (i):

$$ \therefore \text{নির্ণেয় গড় } (\bar{x}) = \frac{750}{30} = 25 $$

উত্তর: ২৫
(ii)

সমাধান (ii):

$$ \therefore \text{নির্ণেয় গড় } (\bar{x}) = \frac{4030}{100} = 40.3 $$

উত্তর: ৪০.৩

8. কল্পিত গড় পদ্ধতিতে নিচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।

(i)

সমাধান (i):

ধরি, কল্পিত গড় ($A$) = ১০০

[এখানে $\sum f_i d_i = (-960 – 800) + (800 + 1040) = -1760 + 1840 = 80$]

$$ \therefore \bar{x} = A + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} $$

$$ = 100 + \frac{80}{90} $$

$$ = 100 + \frac{8}{9} $$

$$ = 100 + 0.89 $$ (প্রায়)

$$ = 100.89 $$ (প্রায়)

উত্তর: ১০০.৮৯ (প্রায়)

(ii)

সমাধান (ii):

ধরি, কল্পিত গড় ($A$) = ৫০

$$ \therefore \bar{x} = A + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} $$

$$ = 50 + \frac{60}{40} $$

$$ = 50 + 1.5 $$

$$ = 51.5 $$

উত্তর: ৫১.৫

---

9. ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে নিচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।

(i)

সমাধান (i):

ধরি, কল্পিত গড় ($A$) = ৭৫ এবং শ্রেণি-দৈর্ঘ্য ($h$) = ৩০

ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে গড়,

$$ \bar{x} = A + h \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) $$

$$ = 75 + 30 \left( \frac{2}{80} \right) $$

$$ = 75 + \frac{3}{4} $$

$$ = 75 + 0.75 $$

$$ = 75.75 $$

উত্তর: ৭৫.৭৫

(ii)

সমাধান (ii):

ধরি, কল্পিত গড় ($A$) = ৩৫ এবং শ্রেণি-দৈর্ঘ্য ($h$) = ১৪

$$ \therefore \bar{x} = A + h \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) $$

$$ = 35 + 14 \left( \frac{8}{90} \right) $$

$$ = 35 + \frac{112}{90} $$

$$ = 35 + 1.24 $$ (প্রায়)

$$ = 36.24 $$ (প্রায়)

উত্তর: ৩৬.২৪ (প্রায়)

---

10. যদি নিচের পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকার নম্বরের যৌগিক গড় ২৪ হয়, তবে p-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান:

প্রশ্নানুসারে, যৌগিক গড় = ২৪

$$ \therefore \frac{1700 + 35p}{80 + p} = 24 $$

বা, $$ 1700 + 35p = 24(80 + p) $$

বা, $$ 1700 + 35p = 1920 + 24p $$

বা, $$ 35p – 24p = 1920 – 1700 $$

বা, $$ 11p = 220 $$

বা, $$ p = \frac{220}{11} $$

$$ \therefore p = 20 $$

উত্তর: নির্ণেয় p-এর মান ২০।

11. আলোচনা সভায় উপস্থিত ব্যক্তিদের বয়সের তালিকা দেখি ও গড় বয়স নির্ণয় করি।

সমাধান:

আমি এই অংকটি কল্পিত গড় পদ্ধতিতে সমাধান করছি।

ধরি, কল্পিত গড় ($A$) = ৪২

[এখানে $\sum f_i d_i = (-100 – 60) + (30 + 40 + 45) = -160 + 115 = -45$]

$$ \therefore \bar{x} = A + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} $$

$$ = 42 + \frac{-45}{50} $$

$$ = 42 – \frac{9}{10} $$

$$ = 42 – 0.9 $$

$$ = 41.1 $$

উত্তর: নির্ণেয় গড় বয়স ৪১.১ বছর।

---

12. নিচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।

সমাধান:

যেহেতু শ্রেণি-মধ্যকগুলি দশমিকে আসবে, তাই ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে (Step Deviation Method) সমাধান করা সুবিধাজনক।

ধরি, কল্পিত গড় ($A$) = ৩৯.৫ এবং শ্রেণি-দৈর্ঘ্য ($h$) = ১০

$$ \therefore \bar{x} = A + h \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) $$

$$ = 39.5 + 10 \left( \frac{-23}{60} \right) $$

$$ = 39.5 – \frac{23}{6} $$

$$ = 39.5 – 3.83 $$ (প্রায়)

$$ = 35.67 $$ (প্রায়)

উত্তর: নির্ণেয় গড় ৩৫.৬৭ (প্রায়)।

---

13. ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয় করি যদি তাদের প্রাপ্ত নম্বরের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা নিম্নরূপ হয়:

সমাধান:

প্রদত্ত পরিসংখ্যাগুলি ক্রমযৌগিক (ক্ষুদ্রতর সূচক)। প্রথমে আমরা শ্রেণি-সীমানা এবং সাধারণ পরিসংখ্যা বের করব।

ধরি, কল্পিত গড় ($A$) = ২৫

$$ \therefore \bar{x} = A + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} $$

$$ = 25 + \frac{300}{45} $$

$$ = 25 + \frac{20}{3} $$

$$ = 25 + 6.67 $$ (প্রায়)

$$ = 31.67 $$ (প্রায়)

উত্তর: নির্ণেয় গড় ৩১.৬৭ (প্রায়)।

---

14. নিচের তালিকার 64 জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয় করি।

সমাধান:

এখানে প্রতিটি শ্রেণির দৈর্ঘ্য সমান নয়, তাই ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতি ব্যবহার করা যাবে না। আমরা প্রত্যক্ষ গড় পদ্ধতিতে এটি সমাধান করব।

$$ \therefore \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} $$

$$ = \frac{748}{64} $$

$$ = 11.6875 $$

উত্তর: নির্ণেয় গড় ১১.৬৯ (প্রায়)।