দশম শ্রেণী গনিত: রাশি বিজ্ঞান – কষে দেখি 26.4

সংখ্যাগুরুমান (Mode) নির্ণয়

সংখ্যাগুরুমান কী?
কোনো তথ্যের মধ্যে যে পর্যবেক্ষণটি (Observation) সবচেয়ে বেশিবার থাকে, অর্থাৎ যার পরিসংখ্যা (Frequency) সর্বাধিক, তাকেই ওই তথ্যের সংখ্যাগুরুমান বা Mode বলা হয়।

সূত্র (Formula):
শ্রেণিযুক্ত পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকার ক্ষেত্রে সংখ্যাগুরুমান নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

যেখানে:

• $l$ = সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণির নিম্নসীমা (Lower limit of the modal class)।
• $f_1$ = সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণির পরিসংখ্যা (Frequency of the modal class)।
• $f_0$ = সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণির ঠিক আগের শ্রেণির পরিসংখ্যা (Frequency of the class preceding the modal class)।
• $f_2$ = সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণির ঠিক পরের শ্রেণির পরিসংখ্যা (Frequency of the class succeeding the modal class)।
• $h$ = সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণির শ্রেণি-দৈর্ঘ্য (Class size)।

নোট: যে শ্রেণির পরিসংখ্যা সবথেকে বেশি, সেটিই হলো সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণি (Modal Class)।

কষে দেখি – 26.4

1. আমাদের 16 জন বন্ধুর প্রতিদিন স্কুলে যাতায়াত ও অন্যান্য খরচের জন্য প্রাপ্ত টাকার পরিমাণ:
15, 16, 17, 18, 17, 19, 17, 15, 15, 10, 17, 16, 15, 16, 18, 11
আমাদের বন্ধুদের প্রতিদিন পাওয়া অর্থের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।

সমাধান:

প্রদত্ত তথ্যগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:
10, 11, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 19

এখানে পর্যবেক্ষণ করলে দেখা যায়:

• 15 আছে 4 বার
• 16 আছে 3 বার
• 17 আছে 4 বার
• বাকি সংখ্যাগুলো এর চেয়ে কম বার আছে।

যেহেতু 15 এবং 17 উভয়ই সর্বাধিক 4 বার করে আছে, তাই নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান দুটি।

উত্তর: নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান 15 টাকা এবং 17 টাকা।

---

2. নিচে আমাদের শ্রেণির কিছু ছাত্রছাত্রীদের উচ্চতা (সেমি.) হলো:
131, 130, 130, 132, 131, 133, 131, 134, 131, 132, 132, 131, 133, 130, 132, 130, 133, 135, 131, 135, 131, 135, 130, 132, 135, 134, 133
ছাত্রছাত্রীদের উচ্চতার সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।

সমাধান:

তথ্যগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:
130, 130, 130, 130, 130 (5 বার)
131, 131, 131, 131, 131, 131, 131 (7 বার)
132, 132, 132, 132, 132 (5 বার)
133, 133, 133, 133 (4 বার)
134, 134 (2 বার)
135, 135, 135, 135 (4 বার)

স্পষ্টতই, 131 সংখ্যাটি সর্বাধিক 7 বার আছে।

উত্তর: নির্ণেয় উচ্চতার সংখ্যাগুরুমান 131 সেমি।

---

3. নিচের তথ্যের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।

(i) 8, 5, 4, 6, 7, 4, 4, 3, 5, 4, 5, 4, 4, 5, 5, 4, 3, 3, 5, 4, 6, 5, 4, 5, 4, 2, 3, 4

সমাধান (i):

তথ্যগুলোকে সাজিয়ে পাই:

• 2 আছে 1 বার
• 3 আছে 4 বার
• 4 আছে 11 বার
• 5 আছে 9 বার
• 6 আছে 2 বার
• 7 আছে 1 বার
• 8 আছে 1 বার

যেহেতু 4 সংখ্যাটি সর্বাধিক 11 বার আছে, তাই সংখ্যাগুরুমান 4।

উত্তর: 4
(ii) 15, 11, 10, 8, 15, 18, 17, 15, 10, 19, 10, 11, 10, 8, 19, 15, 10, 18, 15, 3, 16, 14, 17, 2

সমাধান (ii):

এখানে পর্যবেক্ষণ করে পাই:

• 10 আছে 5 বার
• 15 আছে 5 বার
• অন্যান্য সংখ্যাগুলো এর চেয়ে কম বার আছে।

যেহেতু 10 এবং 15 উভয়ই সর্বাধিক 5 বার করে আছে, তাই এখানে দুটি সংখ্যাগুরুমান পাওয়া যাবে।

উত্তর: 10 এবং 15

---

4. আমাদের পাড়ার একটি জুতোর দোকানে একটি বিশেষ কোম্পানির জুতো বিক্রির পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকা হলো:

উপরের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।

সমাধান:

প্রদত্ত তালিকায় লক্ষ করলে দেখা যায়, সর্বাধিক পরিসংখ্যা হলো 5।

এই সর্বাধিক পরিসংখ্যা (5) দুটি সাইজের ক্ষেত্রে রয়েছে: 4 নম্বর সাইজ এবং 6 নম্বর সাইজ।

সুতরাং, এই তথ্যের দুটি সংখ্যাগুরুমান আছে।

উত্তর: নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান 4 এবং 6।

5. একটি প্রবেশিকা পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীর বয়সের পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।

সমাধান:

প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকে সর্বাধিক পরিসংখ্যা হলো ৭৫।

সর্বাধিক পরিসংখ্যা যুক্ত শ্রেণিটি হলো (১৮ – ২০)।

সুতরাং, সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণিটি হলো ১৮ – ২০।

এখানে,

• $l$ (সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির নিম্নসীমা) = ১৮
• $f_1$ (সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির পরিসংখ্যা) = ৭৫
• $f_0$ (ঠিক আগের শ্রেণির পরিসংখ্যা) = ৪৫
• $f_2$ (ঠিক পরের শ্রেণির পরিসংখ্যা) = ৩৮
• $h$ (শ্রেণি দৈর্ঘ্য) = ২

$$ \therefore \text{নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান} = l + \left( \frac{f_1 – f_0}{2f_1 – f_0 – f_2} \right) \times h $$

$$ = 18 + \left( \frac{75 – 45}{2 \times 75 – 45 – 38} \right) \times 2 $$

$$ = 18 + \left( \frac{30}{150 – 83} \right) \times 2 $$

$$ = 18 + \frac{30}{67} \times 2 $$

$$ = 18 + \frac{60}{67} $$

$$ = 18 + 0.895 \text{ (প্রায়)} $$

$$ = 18.90 \text{ (প্রায়)} $$

উত্তর: ১৮.৯০ বছর (প্রায়)।

---

6. শ্রেণির একটি পর্যায়ক্রমিক পরীক্ষায় ৮০ জন ছাত্রছাত্রীর প্রাপ্ত নম্বরের পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকা দেখি ও সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।

সমাধান:

এখানে সর্বাধিক পরিসংখ্যা হলো ২২।

সুতরাং, সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণিটি হলো (২০ – ২৫)।

এখানে,

• $l = 20$
• $f_1 = 22$
• $f_0 = 16$
• $f_2 = 11$
• $h = 5$

$$ \therefore \text{নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান} = 20 + \left( \frac{22 – 16}{2 \times 22 – 16 – 11} \right) \times 5 $$

$$ = 20 + \left( \frac{6}{44 – 27} \right) \times 5 $$

$$ = 20 + \frac{6}{17} \times 5 $$

$$ = 20 + \frac{30}{17} $$

$$ = 20 + 1.76 \text{ (প্রায়)} $$

$$ = 21.76 \text{ (প্রায়)} $$

উত্তর: ২১.৭৬ নম্বর (প্রায়)।

---

7. নিচের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।

সমাধান:

এখানে সর্বাধিক পরিসংখ্যা হলো ২৮।

সুতরাং, সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণিটি হলো (১৫ – ২০)।

এখানে,

• $l = 15$
• $f_1 = 28$
• $f_0 = 18$
• $f_2 = 17$
• $h = 5$

$$ \therefore \text{নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান} = 15 + \left( \frac{28 – 18}{2 \times 28 – 18 – 17} \right) \times 5 $$

$$ = 15 + \left( \frac{10}{56 – 35} \right) \times 5 $$

$$ = 15 + \frac{10}{21} \times 5 $$

$$ = 15 + \frac{50}{21} $$

$$ = 15 + 2.38 \text{ (প্রায়)} $$

$$ = 17.38 \text{ (প্রায়)} $$

উত্তর: ১৭.৩৮ (প্রায়)।

---

8. নিচের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।

সমাধান:

প্রদত্ত শ্রেণিগুলি অন্তর্ভুক্ত পদ্ধতিতে (Inclusive Method) আছে (যেমন: 45-54, এরপর 55-64)। সংখ্যাগুরুমান নির্ণয়ের জন্য শ্রেণিগুলিকে শ্রেণি-সীমানায় (Class Boundary) পরিণত করতে হবে।

এখানে প্রতিটি শ্রেণির ব্যবধান ১, তাই ০.৫ বিয়োগ করে নিম্নসীমা এবং ০.৫ যোগ করে উচ্চসীমা নির্ণয় করা হলো।

এখানে সর্বাধিক পরিসংখ্যা হলো ৩২।

সুতরাং, সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণিটি হলো (৭৪.৫ – ৮৪.৫)।

এখানে,

• $l$ (নিম্নসীমা) = ৭৪.৫
• $f_1$ = ৩২
• $f_0$ = ১৯
• $f_2$ = ১২
• $h$ (শ্রেণি দৈর্ঘ্য) = ১০

$$ \therefore \text{নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান} = 74.5 + \left( \frac{32 – 19}{2 \times 32 – 19 – 12} \right) \times 10 $$

$$ = 74.5 + \left( \frac{13}{64 – 31} \right) \times 10 $$

$$ = 74.5 + \frac{13}{33} \times 10 $$

$$ = 74.5 + \frac{130}{33} $$

$$ = 74.5 + 3.94 \text{ (প্রায়)} $$

$$ = 78.44 \text{ (প্রায়)} $$

উত্তর: ৭৮.৪৪ (প্রায়)।

অতিসংক্ষিপ্ত ও সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন

9. (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):

(i) একটি পরিসংখ্যা বিভাজনের মধ্যমা যে লেখচিত্রের সাহায্যে পাওয়া যায় তা হলো,

(a) পরিসংখ্যা রেখা (b) পরিসংখ্যা বহুভুজ (c) আয়তলেখ (d) ওজাইভ

উত্তর: (d) ওজাইভ

(ii) 6, 7, x, 8, y, 14 সংখ্যাগুলির গড় 9 হলে,

(a) x+y=21 (b) x+y=19 (c) x-y=21 (d) x-y=19

সমাধান:

প্রশ্নানুসারে, $\frac{6+7+x+8+y+14}{6} = 9$

বা, $35 + x + y = 54$

বা, $x + y = 54 – 35$

বা, $x + y = 19$

উত্তর: (b) x+y=19

(iii) 30, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40 তথ্যে 35 না থাকলে মধ্যমা বৃদ্ধি পায়

(a) 2 (b) 1.5 (c) 1 (d) 0.5

সমাধান:

প্রথমে তথ্যগুলি (৮টি পদ): 30, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40

মধ্যমা = $\frac{36+37}{2} = 36.5$

35 না থাকলে তথ্যগুলি (৭টি পদ): 30, 34, 36, 37, 38, 39, 40

নতুন মধ্যমা = $37$ (চতুর্থ পদ)

বৃদ্ধি = $37 – 36.5 = 0.5$

উত্তর: (d) 0.5

(iv) 16, 15, 17, 16, 15, x, 19, 17, 14 তথ্যের সংখ্যাগুরুমান 15 হলে x-এর মান

(a) 15 (b) 16 (c) 17 (d) 19

সমাধান:

এখানে 15, 16 এবং 17 প্রত্যেকেই দুবার করে আছে। সংখ্যাগুরুমান 15 হতে হলে 15-কে সর্বাধিক বার থাকতে হবে। তাই x-এর মান অবশ্যই 15 হবে।

উত্তর: (a) 15

(v) ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজানো 8, 9, 12, 17, x+2, x+4, 30, 31, 34, 39 তথ্যের মধ্যমা 24 হলে, x-এর মান

(a) 22 (b) 21 (c) 20 (d) 24

সমাধান:

এখানে মোট পদ সংখ্যা $n=10$ (জোড় সংখ্যা)।

মধ্যমা = $\frac{\text{৫ম পদ} + \text{৬ষ্ঠ পদ}}{2}$

বা, $24 = \frac{(x+2) + (x+4)}{2}$

বা, $48 = 2x + 6$

বা, $2x = 42$

বা, $x = 21$

উত্তর: (b) 21

---

9. (B) নিচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

(i) 2, 3, 9, 10, 9, 3, 9 তথ্যের সংখ্যাগুরুমান 10

উত্তর: মিথ্যা (কারণ 9 সর্বাধিক ৩ বার আছে, তাই সংখ্যাগুরুমান 9 হবে)।

(ii) 3, 14, 18, 20, 5 তথ্যের মধ্যমা 18

উত্তর: মিথ্যা (সাজিয়ে পাই: 3, 5, 14, 18, 20; মধ্যমা হলো 14)।

---

9. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

(i) যৌগিক গড়, মধ্যমা, সংখ্যাগুরুমান হলো ______ প্রবণতার মাপক।

উত্তর: কেন্দ্রীয় (Central)

(ii) $x_1, x_2, x_3 \dots x_n$ এর গড় $\bar{x}$ হলে, $ax_1, ax_2, ax_3 \dots ax_n$ -এর গড় ______, যেখানে $a \neq 0$

উত্তর: $a\bar{x}$

(iii) ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে বিন্যস্ত রাশিতথ্যের যৌগিক গড় নির্ণয়ের সময় সকল শ্রেণির শ্রেণি-দৈর্ঘ্য ______।

উত্তর: সমান

---

10. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন:

(i) উপরের পরিসংখ্যা বিভাজন ছকের মধ্যমা শ্রেণির ঊর্ধ্ব শ্রেণি-সীমানা এবং সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির নিম্ন শ্রেণি-সীমানার অন্তরফল নির্ণয় করি।

সমাধান:

মোট পরিসংখ্যা $N = 77$, তাই $N/2 = 38.5$।

৩৮.৫-এর পরবর্তী ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা ৪২, তাই মধ্যমা শ্রেণি হলো (125-145)।

$\therefore$ মধ্যমা শ্রেণির ঊর্ধ্ব শ্রেণি-সীমানা = 145

আবার, সর্বাধিক পরিসংখ্যা হলো 20, যা (125-145) শ্রেণিতে অবস্থিত।

তাই সংখ্যাগুরুমান শ্রেণি হলো (125-145)।

$\therefore$ সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির নিম্ন শ্রেণি-সীমানা = 125

নির্ণেয় অন্তরফল = $145 – 125 = 20$

উত্তর: 20

(ii) 150 জন অ্যাথলিট 100 মিটার হার্ডল রেস যত সেকেন্ডে সম্পূর্ণ করে তার একটি পরিসংখ্যা বিভাজন ছক দেওয়া আছে। 14.6 সেকেন্ডের কম সময়ে কতজন অ্যাথলিট 100 মিটার দৌড় সম্পন্ন করে নির্ণয় করি।

সমাধান:

ছক থেকে আমরা পাই:

• 13.8 – 14 সেকেন্ডে শেষ করে: 2 জন
• 14 – 14.2 সেকেন্ডে শেষ করে: 4 জন
• 14.2 – 14.4 সেকেন্ডে শেষ করে: 5 জন
• 14.4 – 14.6 সেকেন্ডে শেষ করে: 71 জন

সুতরাং, 14.6 সেকেন্ডের কম সময়ে দৌড় সম্পন্নকারীর মোট সংখ্যা = $2 + 4 + 5 + 71 = 82$ জন।

উত্তর: 82 জন।

(iii) একটি পরিসংখ্যা বিভাজনের গড় 8.1, $\sum f_i x_i = 132 + 5k$ এবং $\sum f_i = 20$ হলে, k-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান:

আমরা জানি, গড় $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$

প্রশ্নানুসারে,

$$ 8.1 = \frac{132 + 5k}{20} $$

বা, $162 = 132 + 5k$

বা, $5k = 162 – 132$

বা, $5k = 30$

বা, $k = 6$

উত্তর: k = 6

(iv) যদি $u_i = \frac{x_i – 25}{10}$, $\sum f_i u_i = 20$ এবং $\sum f_i = 100$ হয়, তাহলে $\bar{x}$-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান:

প্রদত্ত সম্পর্ক $u_i = \frac{x_i – A}{h}$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

কল্পিত গড় ($A$) = 25 এবং শ্রেণি দৈর্ঘ্য ($h$) = 10।

আমরা জানি,

$$ \bar{x} = A + h \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) $$

$$ = 25 + 10 \times \frac{20}{100} $$

$$ = 25 + 10 \times \frac{1}{5} $$

$$ = 25 + 2 $$

$$ = 27 $$

উত্তর: 27

(v) উপরের পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে সংখ্যাগুরুমান শ্রেণিটি লিখি।

সমাধান:

প্রথমে ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা থেকে সাধারণ পরিসংখ্যা নির্ণয় করি:

• 0 – 10: 3
• 10 – 20: $12 – 3 = 9$
• 20 – 30: $27 – 12 = 15$
• 30 – 40: $57 – 27 = 30$ (সর্বাধিক)
• 40 – 50: $75 – 57 = 18$
• 50 – 60: $80 – 75 = 5$

যেহেতু সর্বাধিক পরিসংখ্যা হলো 30, যা (30-40) শ্রেণির অন্তর্গত।

উত্তর: সংখ্যাগুরুমান শ্রেণিটি হলো 30-40।