দশম শ্রেণী গনিত: লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি – 16
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 16 | লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)
(Page 227 | Q-1 to Q-6)
প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী:
১. শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল = $\pi rl$ বর্গ একক
২. সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $\pi r(r+l)$ বর্গ একক
৩. আয়তন = $\frac{1}{3}\pi r^2h$ ঘন একক
(যেখানে $r$=ব্যাসার্ধ, $h$=উচ্চতা, $l$=তির্যক উচ্চতা এবং $l^2 = h^2 + r^2$)
১. আমি একটি মুখবন্ধ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করেছি যার ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 15 সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 24 সেমি। ওই শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ভূমির ব্যাসার্ধ ($r$) = 15 সেমি।
তির্যক উচ্চতা ($l$) = 24 সেমি।
(i) পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = $\pi rl$
$= \frac{22}{7} \times 15 \times 24$ বর্গ সেমি
$= \frac{7920}{7} = 1131\frac{3}{7}$ বর্গ সেমি।
(ii) সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $\pi r(l + r)$
$= \frac{22}{7} \times 15 (24 + 15)$ বর্গ সেমি
$= \frac{22}{7} \times 15 \times 39$
$= \frac{12870}{7} = 1838\frac{4}{7}$ বর্গ সেমি।
উত্তর: পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল $1131\frac{3}{7}$ বর্গ সেমি ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $1838\frac{4}{7}$ বর্গ সেমি।
২. শঙ্কুর আয়তন নির্ণয় করি যখন, (i) ভূমির ক্ষেত্রফল 1.54 বর্গ মিটার এবং উচ্চতা 2.4 মিটার, (ii) ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 মিটার এবং তির্যক উচ্চতা 17.5 মিটার।
সমাধান:
(i) ভূমির ক্ষেত্রফল ($\pi r^2$) = 1.54 বর্গ মিটার এবং উচ্চতা ($h$) = 2.4 মিটার।
আয়তন = $\frac{1}{3} \times \text{ভূমির ক্ষেত্রফল} \times \text{উচ্চতা}$
$= \frac{1}{3} \times 1.54 \times 2.4$
$= 1.54 \times 0.8 = 1.232$ ঘন মিটার।
(ii) ভূমির ব্যাস = 21 মিটার $\therefore$ ব্যাসার্ধ ($r$) = 10.5 মিটার। তির্যক উচ্চতা ($l$) = 17.5 মিটার।
আমরা জানি, $h = \sqrt{l^2 – r^2} = \sqrt{(17.5)^2 – (10.5)^2}$
$= \sqrt{(17.5 + 10.5)(17.5 – 10.5)} = \sqrt{28 \times 7} = \sqrt{196} = 14$ মিটার।
আয়তন = $\frac{1}{3}\pi r^2h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 \times 14$
$= 22 \times 3.5 \times 10.5 \times \frac{2}{3} = 1617$ ঘন মিটার।
উত্তর: (i) 1.232 ঘন মিটার এবং (ii) 1617 ঘন মিটার।
৩. আমিনা একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য 15 সেমি ও 20 সেমি। 15 সেমি দীর্ঘ বাহুটিকে অক্ষ ধরে ত্রিভুজটিকে একবার পূর্ণ আবর্তন করলে যে ঘনবস্তু তৈরি হয়, তার পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন নির্ণয় করি।
সমাধান:
15 সেমি বাহুকে অক্ষ ধরলে উৎপন্ন শঙ্কুর:
উচ্চতা ($h$) = 15 সেমি এবং ব্যাসার্ধ ($r$) = 20 সেমি।
তির্যক উচ্চতা ($l$) = $\sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ সেমি।
পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল: $\pi rl = \frac{22}{7} \times 20 \times 25 = \frac{11000}{7} = 1571\frac{3}{7}$ বর্গ সেমি।
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল: $\pi r(l+r) = \frac{22}{7} \times 20 (25+20) = \frac{22}{7} \times 20 \times 45 = \frac{19800}{7} = 2828\frac{4}{7}$ বর্গ সেমি।
আয়তন: $\frac{1}{3}\pi r^2h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 20 \times 20 \times 15 = \frac{44000}{7} = 6285\frac{5}{7}$ ঘন সেমি।
উত্তর: পার্শ্বতল $1571\frac{3}{7}$ বর্গ সেমি, সমগ্রতল $2828\frac{4}{7}$ বর্গ সেমি, আয়তন $6285\frac{5}{7}$ ঘন সেমি।
৪. কোনো শঙ্কুর উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা যথাক্রমে 6 সেমি ও 10 সেমি হলে, শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করি।
সমাধান:
উচ্চতা ($h$) = 6 সেমি, তির্যক উচ্চতা ($l$) = 10 সেমি।
ব্যাসার্ধ ($r$) = $\sqrt{l^2 – h^2} = \sqrt{10^2 – 6^2} = \sqrt{100 – 36} = \sqrt{64} = 8$ সেমি।
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল: $\pi r(l+r) = \frac{22}{7} \times 8 (10+8) = \frac{22}{7} \times 8 \times 18 = \frac{3168}{7} = 452\frac{4}{7}$ বর্গ সেমি।
আয়তন: $\frac{1}{3}\pi r^2h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 8 \times 8 \times 6 = \frac{2816}{7} = 402\frac{2}{7}$ ঘন সেমি।
উত্তর: সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $452\frac{4}{7}$ বর্গ সেমি এবং আয়তন $402\frac{2}{7}$ ঘন সেমি।
৫. কোনো লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন 100$\pi$ ঘন সেমি এবং উচ্চতা 12 সেমি হলে, শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
শর্তানুসারে,
$\frac{1}{3}\pi r^2h = 100\pi$
বা, $\frac{1}{3} r^2 \times 12 = 100$ [উভয়পক্ষ থেকে $\pi$ বর্জন করে]
বা, $4r^2 = 100$
বা, $r^2 = 25 \Rightarrow r = 5$ সেমি।
তির্যক উচ্চতা ($l$) = $\sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ সেমি।
উত্তর: শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 13 সেমি।
৬. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবু তৈরি করতে 77 বর্গ মিটার ত্রিপল লেগেছে। তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা যদি 7 মিটার হয়, তবে তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
তাঁবুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = 77 বর্গ মিটার। তির্যক উচ্চতা ($l$) = 7 মিটার।
শর্তানুসারে, $\pi rl = 77$
বা, $\frac{22}{7} \times r \times 7 = 77$
বা, $22r = 77$
বা, $r = \frac{77}{22} = \frac{7}{2} = 3.5$ মিটার।
ভূমিতলের ক্ষেত্রফল = $\pi r^2 = \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} = 38.5$ বর্গ মিটার।
উত্তর: ভূমিতলের ক্ষেত্রফল 38.5 বর্গ মিটার।
৭. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 21 মিটার এবং উচ্চতা 14 মিটার। প্রতি বর্গ মিটার 1.50 টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রং করতে কত টাকা খরচ পড়বে হিসাব করি।
সমাধান:
ব্যাস = 21 মিটার $\therefore$ ব্যাসার্ধ ($r$) = 10.5 মিটার। উচ্চতা ($h$) = 14 মিটার।
তির্যক উচ্চতা ($l$) = $\sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(10.5)^2 + (14)^2} = \sqrt{110.25 + 196} = \sqrt{306.25} = 17.5$ মিটার।
পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = $\pi rl = \frac{22}{7} \times 10.5 \times 17.5 = 22 \times 1.5 \times 17.5 = 577.5$ বর্গ মিটার।
মোট খরচ = $577.5 \times 1.50 = 866.25$ টাকা।
উত্তর: 866.25 টাকা খরচ পড়বে।
৮. নিরেট শঙ্কু আকৃতির একটি কাঠের খেলনার ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 10 সেমি। খেলনাটির বক্রতলে প্রতি বর্গ সেমি 2.10 টাকা হিসাবে পালিশ করতে 429 টাকা খরচ পড়ে। খেলনাটির উচ্চতা কত হিসাব করি এবং খেলনাটি তৈরি করতে কত ঘন সেমি কাঠ লেগেছে নির্ণয় করি।
সমাধান:
ব্যাসার্ধ ($r$) = 5 সেমি।
বক্রতলের ক্ষেত্রফল = $\frac{\text{মোট খরচ}}{\text{প্রতি বর্গে খরচ}} = \frac{429}{2.10} = 204.28$ (প্রায়) … এভাবে না করে সরাসরি সূত্রে ফেলি।
শর্তানুসারে, $\pi rl \times 2.10 = 429$
বা, $\frac{22}{7} \times 5 \times l \times \frac{21}{10} = 429$
বা, $33l = 429$
বা, $l = \frac{429}{33} = 13$ সেমি।
উচ্চতা ($h$) = $\sqrt{l^2 – r^2} = \sqrt{13^2 – 5^2} = 12$ সেমি।
কাঠ লেগেছে (আয়তন) = $\frac{1}{3}\pi r^2h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 25 \times 12 = \frac{2200}{7} = 314\frac{2}{7}$ ঘন সেমি।
উত্তর: উচ্চতা 12 সেমি এবং কাঠ লেগেছে $314\frac{2}{7}$ ঘন সেমি।
৯. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি লোহার পাতের বয়া তৈরি করতে $75\frac{3}{7}$ বর্গ মিটার লোহার পাত লেগেছে। বয়াটির তির্যক উচ্চতা যদি 5 মিটার হয়, তবে বয়াটিতে কত বায়ু আছে এবং বয়াটির উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $75\frac{3}{7} = \frac{528}{7}$ বর্গ মিটার। তির্যক উচ্চতা ($l$) = 5 মিটার।
শর্তানুসারে, $\pi r(l+r) = \frac{528}{7}$
বা, $\frac{22}{7} \times r(5+r) = \frac{528}{7}$
বা, $r(5+r) = \frac{528}{22} = 24$
বা, $r^2 + 5r – 24 = 0$
বা, $(r+8)(r-3) = 0$। যেহেতু ব্যাসার্ধ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $r = 3$ মিটার।
উচ্চতা ($h$) = $\sqrt{5^2 – 3^2} = 4$ মিটার।
বায়ুর পরিমাণ (আয়তন) = $\frac{1}{3}\pi r^2h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 3 \times 3 \times 4 = \frac{264}{7} = 37\frac{5}{7}$ ঘন মিটার।
রং করতে খরচ (সমগ্রতল $\times$ রেট) = $\frac{528}{7} \times 2.80 = 528 \times 0.4 = 211.20$ টাকা।
উত্তর: বায়ু আছে $37\frac{5}{7}$ ঘন মিটার, উচ্চতা 4 মিটার এবং রং করতে খরচ 211.20 টাকা।
১০. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবুতে 11 জন লোক থাকতে পারে। প্রত্যেক লোকের জন্য ভূমিতে 4 বর্গ মিটার জায়গা লাগে এবং 20 ঘন মিটার বাতাসের প্রয়োজন। ঠিক এই 11 জন লোকের জন্য নির্মিত তাঁবুর উচ্চতা নির্ণয় করি।
সমাধান:
মোট ভূমির ক্ষেত্রফল ($\pi r^2$) = $11 \times 4 = 44$ বর্গ মিটার।
মোট আয়তন ($\frac{1}{3}\pi r^2h$) = $11 \times 20 = 220$ ঘন মিটার।
এখন, $\frac{1}{3} \times (\pi r^2) \times h = 220$
বা, $\frac{1}{3} \times 44 \times h = 220$
বা, $h = \frac{220 \times 3}{44} = 5 \times 3 = 15$ মিটার।
উত্তর: তাঁবুর উচ্চতা 15 মিটার।
১১. শোলা দিয়ে তৈরি একটি শঙ্কু আকৃতির মাথার টোপরের ভূমির বাইরের দিকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 সেমি। টোপরটির উপরিভাগ রাংতা দিয়ে মুড়তে প্রতি বর্গ সেমি 10 পয়সা হিসাবে 57.75 টাকা খরচ পড়ে। টোপরটির উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ভূমির ব্যাসার্ধ ($r$) = 10.5 সেমি। মোট খরচ = 57.75 টাকা = 5775 পয়সা।
পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = $\frac{5775}{10} = 577.5$ বর্গ সেমি।
শর্তানুসারে, $\pi rl = 577.5$
বা, $\frac{22}{7} \times 10.5 \times l = 577.5$
বা, $33l = 577.5 \Rightarrow l = 17.5$ সেমি।
উচ্চতা ($h$) = $\sqrt{(17.5)^2 – (10.5)^2} = \sqrt{306.25 – 110.25} = \sqrt{196} = 14$ সেমি।
উত্তর: উচ্চতা 14 সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 17.5 সেমি।
১২. গমের একটি স্তূপ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারে আছে, যার ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 9 মিটার এবং উচ্চতা 3.5 মিটার। মোট গমের আয়তন নির্ণয় করি। গমের ওই স্তূপ ঢাকতে কমপক্ষে কত বর্গ মিটার প্লাস্টিকের চাদর প্রয়োজন হবে হিসাব করে দেখি। [ধরি, $\pi = 3.14, \sqrt{130} = 11.4$]
সমাধান:
ব্যাসার্ধ ($r$) = 4.5 মিটার, উচ্চতা ($h$) = 3.5 মিটার।
আয়তন: $\frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times (4.5)^2 \times 3.5$
$= \frac{1}{3} \times 3.14 \times 20.25 \times 3.5 = 74.18$ ঘন মিটার (প্রায়)।
প্লাস্টিকের চাদর (পার্শ্বতল):
তির্যক উচ্চতা ($l$) = $\sqrt{(4.5)^2 + (3.5)^2} = \sqrt{20.25 + 12.25} = \sqrt{32.5}$
$= \sqrt{\frac{3250}{100}} = \frac{5\sqrt{130}}{10} = \frac{11.4}{2} = 5.7$ মিটার।
ক্ষেত্রফল = $\pi rl = 3.14 \times 4.5 \times 5.7 = 80.54$ বর্গ মিটার (প্রায়)।
উত্তর: আয়তন 74.18 ঘন মিটার এবং প্লাস্টিক লাগবে 80.54 বর্গ মিটার।
১৩. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 15 সেমি এবং ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 16 সেমি হলে, শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
- (a) $60\pi$ বর্গ সেমি
- (b) $68\pi$ বর্গ সেমি
- (c) $120\pi$ বর্গ সেমি
- (d) $130\pi$ বর্গ সেমি
সমাধান:
তির্যক উচ্চতা ($l$) = 15 সেমি।
ব্যাস = 16 সেমি $\therefore$ ব্যাসার্ধ ($r$) = 8 সেমি।
পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = $\pi rl = \pi \times 8 \times 15 = 120\pi$ বর্গ সেমি।
সঠিক উত্তর: (c) $120\pi$ বর্গ সেমি
(ii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত 1:4 এবং তাদের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 4:5 হলে, তাদের উচ্চতার অনুপাত
- (a) 1:5
- (b) 5:4
- (c) 25:16
- (d) 25:64
সমাধান:
ধরি, ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $4r, 5r$ এবং উচ্চতা $h_1, h_2$।
আয়তনের অনুপাত = $\frac{\frac{1}{3}\pi (4r)^2 h_1}{\frac{1}{3}\pi (5r)^2 h_2} = \frac{1}{4}$
বা, $\frac{16 h_1}{25 h_2} = \frac{1}{4}$
বা, $\frac{h_1}{h_2} = \frac{1}{4} \times \frac{25}{16} = \frac{25}{64}$
সঠিক উত্তর: (d) 25:64
(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একই রেখে উচ্চতা দ্বিগুণ করলে, শঙ্কুটির আয়তন বৃদ্ধি পায়
- (a) 100%
- (b) 200%
- (c) 300%
- (d) 400%
সমাধান:
আয়তন $V \propto h$ (যখন $r$ স্থির)। উচ্চতা দ্বিগুণ ($2h$) হলে আয়তনও দ্বিগুণ ($2V$) হবে।
বৃদ্ধি = $2V – V = V$。
শতকরা বৃদ্ধি = $\frac{V}{V} \times 100 = 100\%$।
সঠিক উত্তর: (a) 100%
(iv) একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুণ হলে, শঙ্কুটির আয়তন হয় পূর্বের শঙ্কুর আয়তনের
- (a) 3 গুণ
- (b) 4 গুণ
- (c) 6 গুণ
- (d) 8 গুণ
সমাধান:
পূর্বের আয়তন $V = \frac{1}{3}\pi r^2h$।
নতুন আয়তন = $\frac{1}{3}\pi (2r)^2 (2h) = \frac{1}{3}\pi (4r^2)(2h) = 8 \times (\frac{1}{3}\pi r^2h) = 8V$।
সঠিক উত্তর: (d) 8 গুণ
(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য $\frac{r}{2}$ একক এবং তির্যক উচ্চতা $2l$ একক হলে, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
- (a) $2\pi r (l+r)$ বর্গ একক
- (b) $\pi r (l + \frac{r}{4})$ বর্গ একক
- (c) $\pi r (l+r)$ বর্গ একক
- (d) $2\pi rl$ বর্গ একক
সমাধান:
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $\pi (\text{ব্যাসার্ধ}) \times (\text{তির্যক উচ্চতা} + \text{ব্যাসার্ধ})$
$= \pi (\frac{r}{2}) (2l + \frac{r}{2})$
$= \pi (\frac{r}{2}) \times 2l + \pi (\frac{r}{2}) \times \frac{r}{2}$
$= \pi rl + \frac{\pi r^2}{4} = \pi r (l + \frac{r}{4})$ বর্গ একক।
সঠিক উত্তর: (b) $\pi r (l + \frac{r}{4})$ বর্গ একক
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ করা হলে শঙ্কুটির আয়তন একই থাকে।
উত্তর: মিথ্যা।
ব্যাখ্যা: নতুন আয়তন = $\frac{1}{3}\pi (\frac{r}{2})^2 (2h) = \frac{1}{3}\pi \frac{r^2}{4} \times 2h = \frac{1}{2} (\frac{1}{3}\pi r^2h)$। অর্থাৎ আয়তন অর্ধেক হয়ে যাবে।
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা, ব্যাসার্ধ এবং তির্যক উচ্চতা সর্বদা একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুত্রয়।
উত্তর: সত্য।
ব্যাখ্যা: $l^2 = h^2 + r^2$ পিথাগোরাসের সূত্র মেনে চলে।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) ABC সমকোণী ত্রিভুজের AC অতিভুজ। AB বাহুকে অক্ষ করে ত্রিভুজটির একবার পূর্ণ আবর্তনের জন্য যে লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু উৎপন্ন হয় তার ব্যাসার্ধ ________।
উত্তর: BC
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন V ঘন একক এবং ভূমিতলের ক্ষেত্রফল A বর্গ একক হলে, উচ্চতা ________।
উত্তর: $\frac{3V}{A}$
ব্যাখ্যা: $V = \frac{1}{3}Ah \Rightarrow 3V = Ah \Rightarrow h = \frac{3V}{A}$।
(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান এবং তাদের উচ্চতা সমান। তাদের আয়তনের অনুপাত ________।
উত্তর: 3 : 1
ব্যাখ্যা: চোঙের আয়তন : শঙ্কুর আয়তন = $\pi r^2h : \frac{1}{3}\pi r^2h = 1 : \frac{1}{3} = 3 : 1$।
১৪. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 12 সেমি এবং আয়তন $100\pi$ ঘন সেমি। শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধান:
শর্তানুসারে, $\frac{1}{3}\pi r^2 h = 100\pi$
বা, $\frac{1}{3} r^2 (12) = 100$
বা, $4r^2 = 100 \Rightarrow r^2 = 25 \Rightarrow r = 5$
উত্তর: ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি।
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ভূমিতলের ক্ষেত্রফলের $\sqrt{5}$ গুণ। শঙ্কুটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।
সমাধান:
শর্তানুসারে, $\pi rl = \sqrt{5} \pi r^2$
বা, $l = \sqrt{5}r$
উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই, $l^2 = 5r^2$
আমরা জানি, $l^2 = h^2 + r^2$
$\therefore h^2 + r^2 = 5r^2$
বা, $h^2 = 4r^2 \Rightarrow h = 2r$
$\therefore \frac{h}{r} = \frac{2}{1}$
উত্তর: উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের অনুপাত 2 : 1।
(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন V ঘন একক, ভূমিতলের ক্ষেত্রফল A বর্গ একক এবং উচ্চতা H একক হলে, $\frac{AH}{V}$-এর মান কত তা লিখি।
সমাধান:
আমরা জানি, $V = \frac{1}{3}AH$
$\therefore \frac{AH}{V} = \frac{AH}{\frac{1}{3}AH} = 3$
উত্তর: মান 3।
(iv) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন এবং পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। শঙ্কুটির উচ্চতা এবং ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে h একক এবং r একক হলে, $\frac{1}{h^2} + \frac{1}{r^2}$-এর মান কত তা লিখি।
সমাধান:
শর্তানুসারে, $\frac{1}{3}\pi r^2 h = \pi rl$
বা, $rh = 3l$
উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই, $r^2 h^2 = 9l^2$
বা, $r^2 h^2 = 9(h^2 + r^2)$ [যেহেতু $l^2 = h^2+r^2$]
বা, $\frac{h^2 + r^2}{r^2 h^2} = \frac{1}{9}$
বা, $\frac{h^2}{r^2 h^2} + \frac{r^2}{r^2 h^2} = \frac{1}{9}$
বা, $\frac{1}{r^2} + \frac{1}{h^2} = \frac{1}{9}$
উত্তর: মান $\frac{1}{9}$।
(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3:4 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 2:3; চোঙ এবং শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত কত তা লিখি।
সমাধান:
চোঙের আয়তন ($V_1$) : শঙ্কুর আয়তন ($V_2$)
$= \pi r_1^2 h_1 : \frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2$
$= 3 \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \left(\frac{h_1}{h_2}\right)$ [উভয়পক্ষকে $\frac{1}{3}\pi$ দিয়ে ভাগ ও পক্ষান্তর করে]
$= 3 \times \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \left(\frac{2}{3}\right)$
$= 3 \times \frac{9}{16} \times \frac{2}{3}$
$= \frac{54}{48} = \frac{9}{8}$
উত্তর: আয়তনের অনুপাত 9 : 8।
শেয়ার