দশম শ্রেণী গনিত: সাদৃশ্যতা কষে দেখি – 18.4
WBBSE Class 10 Maths Kose Dekhi 18.4 | সদৃশতা (Similarity)
(Page 259)
১. $\triangle ABC$-এর $\angle ABC = 90^\circ$ এবং $BD \perp AC$; যদি $BD = 8$ সেমি এবং $AD = 5$ সেমি হয়, তবে $CD$-এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের ওপর লম্ব অঙ্কন করলে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়, তারা মূল ত্রিভুজের সঙ্গে এবং পরস্পর সদৃশ হয়।
আমরা জানি, $BD^2 = AD \times CD$
বা, $(8)^2 = 5 \times CD$
বা, $64 = 5 \times CD$
বা, $CD = \frac{64}{5} = 12.8$
উত্তর: CD-এর দৈর্ঘ্য 12.8 সেমি।
২. ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার $\angle B$ সমকোণ এবং $BD \perp AC$; যদি $AD = 4$ সেমি এবং $CD = 16$ সেমি হয়, তবে BD ও AB-এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
১. আমরা জানি, $BD^2 = AD \times CD$
বা, $BD^2 = 4 \times 16 = 64$
$\therefore BD = \sqrt{64} = 8$ সেমি।
২. আবার, $AC = AD + CD = 4 + 16 = 20$ সেমি।
আমরা জানি, $AB^2 = AD \times AC$
বা, $AB^2 = 4 \times 20 = 80$
$\therefore AB = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$ সেমি।
উত্তর: BD = 8 সেমি এবং AB = $4\sqrt{5}$ সেমি।
৩. O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের AB একটি ব্যাস। P বৃত্তের উপর যে-কোনো একটি বিন্দু। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটিকে P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটি যথাক্রমে Q ও R বিন্দুতে ছেদ করেছে। যদি বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হয়, প্রমাণ করি যে, $PQ \cdot PR = r^2$।
[attachment_0](attachment)
সমাধান:
প্রদত্ত: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়কে P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক যথাক্রমে Q ও R বিন্দুতে ছেদ করেছে। বৃত্তের ব্যাসার্ধ $OA = OB = OP = r$।
প্রমাণ করতে হবে যে: $PQ \cdot PR = r^2$
অঙ্কন: O, Q; O, R এবং O, P যুক্ত করা হলো।
প্রমাণ:
- বহিঃস্থ বিন্দু Q থেকে বৃত্তের ওপর দুটি স্পর্শক QA এবং QP।
$\therefore \angle AOQ = \angle POQ$ [কেননা কেন্দ্র ও বহিঃস্থ বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ স্পর্শক দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]
অর্থাৎ, $\angle POQ = \frac{1}{2} \angle AOP$ … (i)
- আবার, বহিঃস্থ বিন্দু R থেকে বৃত্তের ওপর দুটি স্পর্শক RB এবং RP।
$\therefore \angle BOR = \angle POR$
অর্থাৎ, $\angle POR = \frac{1}{2} \angle BOP$ … (ii)
- যেহেতু AB একটি সরলরেখা (ব্যাস), তাই $\angle AOP + \angle BOP = 180^\circ$।
উভয়পক্ষকে $\frac{1}{2}$ দিয়ে গুণ করে পাই,
$\frac{1}{2}\angle AOP + \frac{1}{2}\angle BOP = 90^\circ$
বা, $\angle POQ + \angle POR = 90^\circ$ [(i) ও (ii) থেকে]
$\therefore \angle QOR = 90^\circ$
- এখন সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle QOR$-এর অতিভুজ QR-এর ওপর $OP$ লম্ব (যেহেতু P বিন্দুতে QR স্পর্শক এবং OP ব্যাসার্ধ)।
সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের ওপর লম্ব টানলে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা সদৃশ হয়।
সেখান থেকে আমরা পাই: $\text{লম্ব}^2 = \text{অতিভুজের দুই অংশের গুণফল}$
$\therefore OP^2 = PQ \cdot PR$
বা, $r^2 = PQ \cdot PR$ [যেহেতু $OP = r$]
(প্রমাণিত)
৪. AB-কে ব্যাস করে একটি অর্ধবৃত্ত অঙ্কন করেছি। AB-এর উপর যে-কোনো বিন্দু C থেকে AB-এর উপর লম্ব অঙ্কন করেছি যা অর্ধবৃত্তকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, CD, AC ও BC-এর মধ্যসমানুপাতী।
সমাধান:
প্রদত্ত: AB ব্যাসবিশিষ্ট অর্ধবৃত্তের ওপর D যেকোনো বিন্দু। AB-এর ওপর C যেকোনো বিন্দু এবং $DC \perp AB$।
প্রমাণ করতে হবে যে: CD হলো AC ও BC-এর মধ্যসমানুপাতী।
অর্থাৎ, $AC : CD = CD : BC$ বা $CD^2 = AC \cdot BC$।
অঙ্কন: A, D এবং B, D যুক্ত করা হলো।
প্রমাণ:
- যেহেতু ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ, তাই $\angle ADB = 90^\circ$।
অর্থাৎ, $\triangle ABD$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
- সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABD$-এর সমকৌণিক বিন্দু D থেকে অতিভুজ AB-এর ওপর $DC$ লম্ব।
উপপাদ্য-৪৮ অনুযায়ী, লম্বের উভয়পাশের ত্রিভুজদ্বয় পরস্পর সদৃশ।
$\therefore \triangle ACD \sim \triangle BCD$
- যেহেতু ত্রিভুজ দুটি সদৃশ, তাই তাদের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হবে।
$\triangle ACD$-এর $\angle ADC$ সংলগ্ন বাহু CD এবং $\triangle BCD$-এর $\angle CBD$ সংলগ্ন বাহু BC অনুরূপ (কারণ $\angle CAD = \angle CDB$)।
অনুপাতটি হলো:
$\frac{AC}{CD} = \frac{CD}{BC}$ [লম্ব/ভূমি অনুপাত তুলনা করে]
- বজ্রগুণন করে পাই,
$CD^2 = AC \cdot BC$
সুতরাং, CD হলো AC ও BC-এর মধ্যসমানুপাতী। (প্রমাণিত)
৫. সমকোণী ত্রিভুজ ABC-এর $\angle A$ সমকোণ। অতিভুজ BC-এর উপর লম্ব AD হলে, প্রমাণ করি যে, $\frac{\triangle ABC}{\triangle ACD} = \frac{BC^2}{AC^2}$।
সমাধান:
প্রদত্ত: ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার $\angle A = 90^\circ$ এবং $AD \perp BC$।
প্রমাণ করতে হবে যে: $\frac{\text{Area of } \triangle ABC}{\text{Area of } \triangle ACD} = \frac{BC^2}{AC^2}$
প্রমাণ:
- সমকোণী ত্রিভুজ ABC-এর সমকৌণিক বিন্দু A থেকে অতিভুজ BC-এর ওপর AD লম্ব।
সুতরাং, মূল ত্রিভুজ $\triangle ABC$ এবং উৎপন্ন ত্রিভুজ $\triangle ACD$ সদৃশ।
$\therefore \triangle ABC \sim \triangle ACD$
- আমরা জানি, দুটি সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত তাদের অনুরূপ বাহুর বর্গের অনুপাতের সমান হয়।
- এখানে,
$\triangle ABC$-এর অতিভুজ হলো $BC$ (কারণ $\angle A = 90^\circ$)।
$\triangle ACD$-এর অতিভুজ হলো $AC$ (কারণ $\angle ADC = 90^\circ$)।
সুতরাং, BC এবং AC হলো অনুরূপ বাহু।
- সদৃশতার ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য অনুযায়ী:
$\frac{\triangle ABC \text{ এর ক্ষেত্রফল}}{\triangle ACD \text{ এর ক্ষেত্রফল}} = \frac{(\text{অতিভুজ } BC)^2}{(\text{অতিভুজ } AC)^2} = \frac{BC^2}{AC^2}$
(প্রমাণিত)
বিকল্প পদ্ধতি
প্রদত্ত: $ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার $\angle A = 90^\circ$। অতিভুজ $BC$-এর উপর $AD$ লম্ব।
প্রমাণ করতে হবে যে: $\frac{\triangle ABC \text{ এর ক্ষেত্রফল}}{\triangle ACD \text{ এর ক্ষেত্রফল}} = \frac{BC^2}{AC^2}$
প্রমাণ:
১. $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রে:
যদি আমরা $BC$-কে ভূমি ধরি, তবে উচ্চতা হবে $AD$ (কারণ $AD \perp BC$)।
$\therefore \triangle ABC$-এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$
$= \frac{1}{2} \times BC \times AD$ … (i)
২. $\triangle ACD$-এর ক্ষেত্রে:
যদি আমরা $CD$-কে ভূমি ধরি, তবে উচ্চতা হবে $AD$ (কারণ $AD \perp BC$, তাই $AD \perp CD$)।
$\therefore \triangle ACD$-এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$
$= \frac{1}{2} \times CD \times AD$ … (ii)
৩. এখন (i) ও (ii) থেকে ত্রিভুজ দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত করি:
$\frac{\triangle ABC}{\triangle ACD} = \frac{\frac{1}{2} \times BC \times AD}{\frac{1}{2} \times CD \times AD}$
লব ও হর থেকে $\frac{1}{2}$ এবং $AD$ কেটে পাই:
$\frac{\triangle ABC}{\triangle ACD} = \frac{BC}{CD}$ … (iii)
৪. আবার আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের ওপর লম্ব অঙ্কন করলে:
$(\text{লম্ব})^2 = \text{অতিভুজ} \times \text{অতিভুজের সংলগ্ন অংশ}$
বা, উপপাদ্য থেকে পাই: $AC^2 = BC \times CD$
এখান থেকে $CD$-এর মান বের করি:
$CD = \frac{AC^2}{BC}$
৫. এবার (iii) নং সমীকরণে $CD$-এর এই মান বসিয়ে পাই:
$\frac{\triangle ABC}{\triangle ACD} = \frac{BC}{\left(\frac{AC^2}{BC}\right)}$
$= BC \times \frac{BC}{AC^2}$
$= \frac{BC^2}{AC^2}$
(প্রমাণিত)
৬. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস। A বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত একটি সরলরেখা বৃত্তকে C বিন্দুতে এবং B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শককে D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে,
(i) $BD^2 = AD \cdot DC$
(ii) যে-কোনো সরলরেখার জন্য AC এবং AD দ্বারা গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সর্বদা সমান।
সমাধান:
প্রদত্ত: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাস AB। B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক BD। A বিন্দুগামী একটি রেখা বৃত্তকে C এবং স্পর্শককে D বিন্দুতে ছেদ করে।
অঙ্কন: B, C যুক্ত করা হলো।
প্রমাণ:
(i) অংশের প্রমাণ:
- যেহেতু BD স্পর্শক এবং AB ব্যাস (ব্যাসার্ধ), তাই $\angle ABD = 90^\circ$।
সুতরাং, $\triangle ABD$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
- আবার $\angle ACB$ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ, তাই $\angle ACB = 90^\circ$।
যেহেতু $ACD$ একটি সরলরেখা, তাই $\angle BCD = 90^\circ$।
অর্থাৎ, সমকোণী ত্রিভুজ ABD-এর অতিভুজ AD-এর ওপর $BC$ লম্ব।
- সদৃশতার উপপাদ্য-৪৮ অনুযায়ী, $\triangle ABD \sim \triangle BCD$।
অনুরূপ বাহুর অনুপাত:
$\frac{BD}{CD} = \frac{AD}{BD}$
$\therefore BD^2 = AD \cdot CD$ (বা $AD \cdot DC$)
(প্রথম অংশ প্রমাণিত)
(ii) অংশের প্রমাণ:
- আবার, $\triangle ABC$ এবং $\triangle ABD$ সদৃশ (কারণ উভয়েই সমকোণী এবং $\angle A$ সাধারণ)।
অনুরূপ বাহুর অনুপাত:
$\frac{AC}{AB} = \frac{AB}{AD}$
- বজ্রগুণন করে পাই,
$AB^2 = AC \cdot AD$
- এখানে $AB$ হলো বৃত্তের ব্যাস। বৃত্ত নির্দিষ্ট হলে তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য সর্বদা ধ্রুবক (Constant)।
$\therefore AC \cdot AD = \text{ধ্রুবক}$।
- $AC \cdot AD$ হলো AC এবং AD বাহুবিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।
যেহেতু $AC \cdot AD$-এর মান সর্বদা $AB^2$-এর সমান, তাই এই ক্ষেত্রফল সর্বদা সমান হবে।
(দ্বিতীয় অংশ প্রমাণিত)
৭. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) $\triangle ABC$ ও $\triangle DEF$-এ $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{FD} = \frac{AC}{EF}$ হলে,
সমাধান:
বাহুর অনুপাত অনুযায়ী সদৃশতা: $AB \leftrightarrow DE$, $BC \leftrightarrow FD$, $AC \leftrightarrow EF$।
কোণগুলি হবে: $\angle A = \angle E$, $\angle B = \angle D$, $\angle C = \angle F$।
সঠিক উত্তর: (c) $\angle B = \angle D$
(ii) $\triangle DEF$ ও $\triangle PQR$-এ $\angle D = \angle Q$ এবং $\angle R = \angle E$ হলে, নীচের কোনটি সঠিক নয় লিখি।
সমাধান:
$\triangle DEF \sim \triangle QRP$।
অনুপাত: $\frac{DE}{QR} = \frac{EF}{RP} = \frac{DF}{QP}$।
অপশন (b) $\frac{QR}{PQ} = \frac{EF}{DF}$ যাচাই করলে দেখা যায় এটি সঠিক অনুপাত নয়।
সঠিক উত্তর: (b) $\frac{QR}{PQ} = \frac{EF}{DF}$
(iii) ABC ও DEF ত্রিভুজে $\angle A = \angle E = 40^\circ$, $AB : ED = AC : EF$ এবং $\angle F = 65^\circ$ হলে $\angle B$-এর মান
সমাধান:
$\triangle ABC \sim \triangle EDF$ (SAS শর্তে)।
$\angle C = \angle F = 65^\circ$।
$\angle B = 180^\circ – (40^\circ + 65^\circ) = 180^\circ – 105^\circ = 75^\circ$।
সঠিক উত্তর: (c) $75^\circ$
(iv) $\triangle ABC$ এবং $\triangle PQR$-এ $\frac{AB}{QR} = \frac{BC}{PR} = \frac{CA}{PQ}$ হলে,
সমাধান:
সদৃশতা: $\triangle ABC \sim \triangle QRP$।
সুতরাং, $\angle A = \angle Q$।
সঠিক উত্তর: (a) $\angle A = \angle Q$
(v) ABC ত্রিভুজে AB=9সেমি, BC=6সেমি, CA=7.5সেমি। $\triangle DEF \sim \triangle ABC$; $\triangle DEF$-এ BC বাহুর অনুরূপ বাহু EF; EF=8সেমি হলে $\triangle DEF$-এর পরিসীমা
সমাধান:
$\triangle ABC$-এর পরিসীমা = $9 + 6 + 7.5 = 22.5$ সেমি।
পরিসীমার অনুপাত = অনুরূপ বাহুর অনুপাত।
$\frac{\text{Perimeter of DEF}}{22.5} = \frac{EF}{BC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
Perimeter of DEF = $22.5 \times \frac{4}{3} = 7.5 \times 4 = 30$ সেমি।
সঠিক উত্তর: (d) 30 সেমি
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) দুটি চতুর্ভুজের অনুরূপ কোণগুলি সমান হলে চতুর্ভুজ দুটি সদৃশ।
উত্তর: মিথ্যা।
ব্যাখ্যা: চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে কোণ সমান হওয়ার সাথে সাথে বাহুগুলি সমানুপাতিক হতে হয়। যেমন—বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের কোণ সমান ($90^\circ$) কিন্তু তারা সদৃশ নয়।
(ii) পাশের চিত্রে $\angle ADE = \angle ACB$ হলে, $\triangle ADE \sim \triangle ACB$।
উত্তর: সত্য।
ব্যাখ্যা: $\angle A$ সাধারণ কোণ এবং প্রদত্ত কোণ সমান, তাই AA সদৃশতা অনুযায়ী তারা সদৃশ।
(iii) $\triangle PQR$-এর QR বাহুর উপর D এমন একটি বিন্দু যে $PD \perp QR$; সুতরাং $\triangle PQD \sim \triangle RPD$।
উত্তর: মিথ্যা।
ব্যাখ্যা: এটি তখনই সত্য হবে যদি $\angle P = 90^\circ$ হয়। সাধারণ ত্রিভুজে এটি সত্য নয়।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হবে যদি তাদের ________ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
উত্তর: অনুরূপ
(ii) $\triangle ABC$ ও $\triangle DEF$-এর পরিসীমা যথাক্রমে 30 সেমি এবং 18 সেমি। $\triangle ABC \sim \triangle DEF$; BC ও EF অনুরূপ বাহু। যদি BC = 9 সেমি হয়, তাহলে EF = ________ সেমি।
সমাধান:
$\frac{30}{18} = \frac{9}{EF} \Rightarrow \frac{5}{3} = \frac{9}{EF} \Rightarrow 5 EF = 27 \Rightarrow EF = 5.4$।
উত্তর: 5.4
৮. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) পাশের চিত্রে, $\angle ACB = \angle BAD$ এবং $AD \perp BC$; AC = 15 সেমি, AB = 20 সেমি এবং BC = 25 সেমি হলে, AD-এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধান:
ত্রিভুজটিতে $AB^2 + AC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625 = (25)^2 = BC^2$।
সুতরাং, $\triangle ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার $\angle A = 90^\circ$।
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$।
$\frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times BC \times AD$
$20 \times 15 = 25 \times AD$
$300 = 25 \times AD$
$AD = \frac{300}{25} = 12$।
উত্তর: AD-এর দৈর্ঘ্য 12 সেমি।
(ii) পাশের চিত্রে, $\angle ABC = 90^\circ$ এবং $BD \perp AC$; যদি AB = 30 সেমি, BD = 24 সেমি এবং AD = 18 সেমি হয়, তবে BC-এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-তে $BD \perp AC$।
আমরা জানি, $AB^2 = AD \cdot AC$
$30^2 = 18 \cdot AC$
$900 = 18 \cdot AC \Rightarrow AC = 50$ সেমি।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$BC = \sqrt{AC^2 – AB^2} = \sqrt{50^2 – 30^2} = \sqrt{2500 – 900} = \sqrt{1600} = 40$।
উত্তর: BC-এর দৈর্ঘ্য 40 সেমি।
(iii) পাশের চিত্রে, $\angle ABC = 90^\circ$ এবং $BD \perp AC$; যদি BD = 8 সেমি এবং AD = 4 সেমি হয়, তাহলে CD-এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধান:
সূত্র: $BD^2 = AD \cdot CD$
$8^2 = 4 \cdot CD$
$64 = 4 \cdot CD$
$CD = \frac{64}{4} = 16$।
উত্তর: CD-এর দৈর্ঘ্য 16 সেমি।
(iv) ABCD ট্রাপিজিয়ামের BC || AD এবং AD = 4 সেমি। AC ও BD কর্ণদ্বয় এমনভাবে O বিন্দুতে ছেদ করে যে $\frac{AO}{OC} = \frac{DO}{OB} = \frac{1}{2}$ হয়। BC-এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধান:
যেহেতু $AD \parallel BC$, তাই $\triangle AOD \sim \triangle COB$।
সদৃশতার অনুপাত: $\frac{AD}{BC} = \frac{AO}{OC} = \frac{DO}{OB}$।
$\frac{4}{BC} = \frac{1}{2}$
$BC = 4 \times 2 = 8$।
উত্তর: BC-এর দৈর্ঘ্য 8 সেমি।
(v) $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ এবং $\triangle ABC$ ও $\triangle DEF$-এ AB, BC ও CA বাহুর অনুরূপ বাহুগুলি যথাক্রমে DE, EF ও DF; $\angle A = 47^\circ$ এবং $\angle E = 83^\circ$ হলে, $\angle C$-এর পরিমাপ কত তা লিখি।
সমাধান:
যেহেতু ত্রিভুজ দুটি সদৃশ, অনুরূপ কোণগুলি সমান হবে।
$\angle A = \angle D = 47^\circ$
$\angle B = \angle E = 83^\circ$
$\triangle ABC$-তে তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
$\angle C = 180^\circ – (\angle A + \angle B)$
$= 180^\circ – (47^\circ + 83^\circ)$
$= 180^\circ – 130^\circ = 50^\circ$।
উত্তর: $\angle C$-এর পরিমাপ $50^\circ$।
শেয়ার