নবম শ্রেণি: গণিত কষে দেখি 16 বৃত্তের পরিধি
1. (i) প্রদত্ত জ্যামিতিক চিত্রটির পরিসীমা নির্ণয় করো। চিত্রে একটি সমকোণী ত্রিভুজ, একটি আয়তক্ষেত্র এবং একটি অর্ধবৃত্তের সমন্বয় রয়েছে। যার ভূমি 8 মিটার, উচ্চতা 4 মিটার এবং উপরের বাহু 5 মিটার।
ধরি, চিত্রে বামদিকের অতিভুজটি $AB$। এখানে উচ্চতা $AC = 4$ মিটার। ভূমির বাকি অংশ $BC = (8 – 5) = 3$ মিটার।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
বা, $AB^2 = 4^2 + 3^2$
বা, $AB^2 = 16 + 9 = 25$
বা, $AB = \sqrt{25} = 5$ মিটার।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে অতিভুজের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা হলো।
ডানদিকের অর্ধবৃত্তের ব্যাস $d = 4$ মিটার। সুতরাং ব্যাসার্ধ $r = \frac{4}{2} = 2$ মিটার।
অর্ধবৃত্তের পরিধি = $\frac{1}{2} \times (2 \times \frac{22}{7} \times 2)$ মিটার
= $\frac{44}{7} = 6\frac{2}{7}$ মিটার।
বৃত্তের পরিধির সূত্র $2\pi r$ এর অর্ধেক নেওয়া হয়েছে।
সম্পূর্ণ চিত্রটির পরিসীমা = বামদিকের অতিভুজ + নিচের ভূমি + অর্ধবৃত্তের পরিধি + উপরের বাহু
= $(5 + 8 + 6\frac{2}{7} + 5)$ মিটার
= $(18 + 6\frac{2}{7})$ মিটার
= $24\frac{2}{7}$ মিটার।
চিত্রের বাইরের দিকের সমস্ত সীমানার দৈর্ঘ্যের সমষ্টিই হলো পরিসীমা।
1. (ii) প্রদত্ত চিত্রটির পরিসীমা নির্ণয় করো। এখানে একটি বর্গক্ষেত্রাকার অংশ (বাহু 14 সেমি) থেকে একটি অর্ধবৃত্তাকার অংশ (ব্যাসার্ধ 7 সেমি) ভেতরে ঢুকে আছে।
অর্ধবৃত্তাকার অংশের ব্যাসার্ধ $r = 7$ সেমি।
অর্ধবৃত্তের পরিধি = $\frac{1}{2} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 7$ সেমি
= $22$ সেমি।
বক্ররেখার দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের জন্য অর্ধবৃত্তের পরিধির সূত্র ব্যবহার করা হয়েছে।
চিত্রটির পরিসীমা = উপরের বাহু + বামদিকের বাহু + নিচের বাহু + অর্ধবৃত্তের বক্ররেখা
= $(14 + 14 + 14 + 22)$ সেমি
= $64$ সেমি।
বাইরের তিনটি সরল বাহু এবং ভেতরের বক্ররেখা যোগ করে মোট পরিসীমা পাওয়া গেল।
2. 35 মিটার দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তাকার তারের রিং তৈরি করতে কত লম্বা তার নেব হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বৃত্তাকার রিং-এর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য $(r) = 35$ মিটার।
যেহেতু তারটি দিয়ে একটি বৃত্তাকার রিং তৈরি করা হবে, তাই তারের মোট দৈর্ঘ্য হবে ওই বৃত্তের পরিধির সমান।
বৃত্তাকার তারের পরিধি $= 2 \times \pi \times r$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 35$ মিটার
$= 2 \times 22 \times 5$ মিটার
$= 220$ মিটার।
আমরা জানি, $r$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের পরিধি $= 2\pi r$, যেখানে $\pi \approx \frac{22}{7}$।
উত্তর: 220 মিটার লম্বা তারের প্রয়োজন।
3. একটি ট্রেনের চাকার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 0.35 মিটার। 1 মিনিটে চাকাটি 450 বার ঘুরলে ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিমি, হিসাব করে লিখি।
ট্রেনের চাকার ব্যাসার্ধ ($r$) = 0.35 মিটার।
চাকাটির পরিধি = $2 \times \frac{22}{7} \times 0.35$ মিটার
= $2 \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{100}$ মিটার
= $\frac{11}{5}$ মিটার
কারণ: চাকাটি একবার পূর্ণ আবর্তনে তার পরিধির সমান পথ অতিক্রম করে।
450 বার ঘুরলে চাকাটি পথ অতিক্রম করে = $(\frac{11}{5} \times 450)$ মিটার
= $990$ মিটার
যেহেতু চাকাটি 1 মিনিটে 450 বার ঘোরে, তাই ট্রেনটি 1 মিনিটে 990 মিটার পথ অতিক্রম করে।
1 ঘণ্টায় বা 60 মিনিটে ট্রেনটি অতিক্রম করে = $(990 \times 60)$ মিটার
= $59400$ মিটার
ট্রেনটির গতিবেগ কিমিতে প্রকাশ করলে পাই:
$\frac{59400}{1000}$ কিমি/ঘণ্টা
= $59.4$ কিমি/ঘণ্টা
যেহেতু 1000 মিটার = 1 কিমি।
উত্তর: ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 59.4 কিমি।
4. আমোদপুর গ্রামের একটি বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 280 মিটার। চৈতালী প্রতি ঘণ্টায় 5.5 কিমি বেগে হেঁটে মাঠটি পরিক্রম করতে চায়। হিসাব করে দেখি মাঠটি একবার প্রদক্ষিণ করতে চৈতালীর কত সময় লাগবে?
বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ($r$) = 280 মিটার।
বৃত্তাকার মাঠের পরিধি = $2 \times \frac{22}{7} \times 280$ মিটার
= 1760 মিটার
যেহেতু বৃত্তের পরিধি = $2\pi r$
মাঠটি একবার প্রদক্ষিণ করলে মোট 1760 মিটার পথ অতিক্রান্ত হয়।
চৈতালীর গতিবেগ = 5.5 কিমি/ঘণ্টা = $(5.5 \times 1000)$ মিটার / 60 মিনিটে
অর্থাৎ, চৈতালী $(5.5 \times 1000)$ মিটার পথ অতিক্রম করে 60 মিনিটে।
1 কিমি = 1000 মিটার এবং 1 ঘণ্টা = 60 মিনিট
1 মিটার পথ অতিক্রম করে = $\frac{60}{5.5 \times 1000}$ মিনিটে
1760 মিটার পথ অতিক্রম করে = $\frac{60 \times 10 \times 1760}{55 \times 1000}$ মিনিটে
= $\frac{96}{5}$ মিনিট
= 19 মিনিট 12 সেকেন্ড
$\frac{96}{5} = 19 \frac{1}{5}$ মিনিট; এবং $\frac{1}{5}$ মিনিট = $(\frac{1}{5} \times 60) = 12$ সেকেন্ড
উত্তর: মাঠটি একবার প্রদক্ষিণ করতে চৈতালীর 19 মিনিট 12 সেকেন্ড সময় লাগবে।
5. তথাগত একটি তামার তার আয়তাকারে বাঁকিয়েছে যার দৈর্ঘ্য 18 সেমি এবং প্রস্থ 15 সেমি। আমি এই তামার তারটি বাঁকিয়ে বৃত্ত তৈরি করলাম। হিসাব করে এই বৃত্তাকার তামার তারটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য লিখি।
আয়তাকার তামার তারটির দৈর্ঘ্য = 18 সেমি এবং প্রস্থ = 15 সেমি।
অতএব, আয়তাকার তামার তারটির পরিসীমা = $2 \times (18 + 15)$ সেমি
= $2 \times 33$ সেমি = 66 সেমি।
যেহেতু আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = $2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ})$।
ধরি, তারটি দিয়ে তৈরি বৃত্তাকার অংশের ব্যাসার্ধ $r$ সেমি।
যেহেতু আয়তাকার তারটি বাঁকিয়েই বৃত্ত তৈরি করা হয়েছে, তাই বৃত্তের পরিধি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান হবে।
শর্তানুসারে,
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 66$
যেহেতু বৃত্তের পরিধি = $2\pi r$ এবং এখানে $\pi = \frac{22}{7}$ ধরা হয়েছে।
বা, $r = \frac{66 \times 7}{2 \times 22}$
বা, $r = \frac{3 \times 7}{2}$
বা, $r = \frac{21}{2}$
বা, $r = 10.5$
উত্তর: বৃত্তাকার তারটির ব্যাসার্ধ 10.5 সেমি।
6. একটি অর্ধবৃত্তাকার মাঠের পরিসীমা 108 মিটার হলে, মাঠের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
ধরি, অর্ধবৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ $r$ মিটার।
আমরা জানি, অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = (অর্ধ-পরিধি + ব্যাস) = $\pi r + 2r$
প্রশ্নানুসারে,
$\pi r + 2r = 108$
বা, $r(\pi + 2) = 108$
সাধারণ উৎপাদক $r$ কমন নেওয়া হলো।
বা, $r \left( \frac{22}{7} + 2 \right) = 108$
$\pi = \frac{22}{7}$ বসিয়ে পাই।
বা, $r \left( \frac{22 + 14}{7} \right) = 108$
বা, $r \times \frac{36}{7} = 108$
বা, $r = \frac{108 \times 7}{36}$
বা, $r = 3 \times 7 = 21$
108-কে 36 দিয়ে ভাগ করলে 3 হয়।
অতএব, অর্ধবৃত্তাকার মাঠের ব্যাস = $(21 \times 2)$ মিটার = 42 মিটার।
উত্তর: মাঠের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 42 মিটার।
7. একটি চাকার পরিধি ও ব্যাসের দৈর্ঘ্যের অন্তর 75 সেমি হলে, ওই চাকার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
মনে করি, চাকাটির ব্যাসার্ধ $r$ সেমি।
প্রশ্নানুসারে,
$$2\pi r – 2r = 75$$
যেহেতু পরিধি = $2\pi r$ এবং ব্যাস = $2r$
বা, $2r \left( \frac{22}{7} – 1 \right) = 75$
$\pi = \frac{22}{7}$ বসিয়ে এবং $2r$ কমন নিয়ে
বা, $2r \times \frac{15}{7} = 75$
বন্ধনী অংশের লসাগু করে পাই: $\frac{22-7}{7} = \frac{15}{7}$
বা, $r = \frac{75 \times 7}{2 \times 15}$
বা, $r = \frac{35}{2} = 17.5$
$\therefore$ ওই চাকার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 17.5 সেমি।
8. 28 মিটার দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তাকার ট্র্যাকে পূজা ও জাকির একই জায়গা থেকে একই সময়ে প্রতিযোগিতা শুরু করে। পূজা যখন 4 পাক ঘুরে প্রতিযোগিতা শেষ করে জাকির তখন এক পাক পিছনে থাকে। প্রতিযোগিতাটি কত মিটারের ছিল এবং পূজা জাকিরকে কত মিটারে পরাজিত করেছে হিসাব করে লিখি।
বৃত্তাকার ট্র্যাকের ব্যাস = 28 মিটার।
অতএব, বৃত্তাকার ট্র্যাকের ব্যাসার্ধ ($r$) = $\frac{28}{2}$ মিটার = 14 মিটার।
ব্যাসার্ধ হলো ব্যাসের অর্ধেক।
বৃত্তাকার ট্র্যাকটির পরিধি = $2\pi r$
= $2 \times \frac{22}{7} \times 14$ মিটার
= $2 \times 22 \times 2$ মিটার
= 88 মিটার।
একবার প্রদক্ষিণ করলে অতিক্রান্ত দূরত্ব ট্র্যাকেটির পরিধির সমান হয়।
পূজা 4 পাক ঘুরে প্রতিযোগিতা শেষ করে।
সুতরাং, প্রতিযোগিতার মোট দূরত্ব = $(88 \times 4)$ মিটার = 352 মিটার।
এক পাকের দূরত্বকে মোট পাক সংখ্যা দিয়ে গুণ করা হয়েছে।
পূজা যখন খেলা শেষ করে, জাকির তখন 1 পাক পিছনে ছিল।
অর্থাৎ, জাকির পূজার থেকে 88 মিটার কম দূরত্ব অতিক্রম করেছে।
সুতরাং, পূজা জাকিরকে 88 মিটারে পরাজিত করেছে।
1 পাকের দূরত্ব 88 মিটার, তাই ব্যবধানও 88 মিটার।
উত্তর: প্রতিযোগিতাটি 352 মিটারের ছিল এবং পূজা জাকিরকে 88 মিটারে পরাজিত করেছে।
9. আমাদের পাড়ার একটি পাতকূয়ার পরিধি 440 সেমি.। এই পাতকূয়ার চারধারে সমান চওড়া একটি পাথরের পাড় আছে। যদি বেধসমেত পাতকূয়ার পরিধি 616 সেমি. হয়, তবে পাথরের পাড় কত চওড়া হিসাব করে লিখি।
ধরি, বৃত্তাকার পাতকূয়ার ব্যাসার্ধ $r$ সেমি।
বৃত্তের পরিধি = $2\pi r$ (যেখানে $r$ হলো ব্যাসার্ধ)
প্রশ্নানুসারে,
$2\pi r = 440$
বা, $2 \times \frac{22}{7} \times r = 440$
বা, $r = \frac{440 \times 7}{2 \times 22} = 70$
$\therefore$ বৃত্তাকার পাতকূয়ার ব্যাসার্ধ 70 সেমি।
আবার ধরি, বেধসহ পাতকূয়ার ব্যাসার্ধ $R$ সেমি।
প্রশ্নানুসারে,
$2\pi R = 616$
বা, $2 \times \frac{22}{7} \times R = 616$
বা, $R = \frac{616 \times 7}{2 \times 22} = 98$
$\therefore$ বেধসহ পাতকূয়ার ব্যাসার্ধ 98 সেমি।
অতএব, পাথরের পাড়টি চওড়া = $(R – r)$ সেমি
= $(98 – 70)$ সেমি
= 28 সেমি।
পাথরের পাড়ের চওড়া বের করার জন্য বাইরের ব্যাসার্ধ থেকে ভেতরের ব্যাসার্ধ বিয়োগ করা হয়েছে।
উত্তর: পাথরের পাড় 28 সেমি চওড়া।
10. গ্রামের নিয়ামতচাচা একটি মোটরের চাকার সঙ্গে বেল্ট দিয়ে একটি মেশিনের চাকা যুক্ত করেছেন। মোটরের চাকার ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি এবং মেশিনের চাকার ব্যাসের দৈর্ঘ্য 94.5 সেমি। মোটরের চাকা যদি প্রতি সেকেন্ডে 27 বার ঘোরে, তবে মেশিনের চাকা ঘণ্টায় কতবার ঘুরবে হিসাব করে লিখি।
মোটরের চাকার ব্যাস $= 14$ সেমি।
$\therefore$ মোটরের চাকার ব্যাসার্ধ $(r_1) = \frac{14}{2}$ সেমি $= 7$ সেমি।
$\therefore$ মোটরের চাকার পরিধি $= 2 \times \frac{22}{7} \times 7$ সেমি $= 44$ সেমি।
বৃত্তের পরিধির সূত্র হলো $2\pi r$, যেখানে $r$ হলো ব্যাসার্ধ।
মেশিনের চাকার ব্যাস $= 94.5$ সেমি।
$\therefore$ মেশিনের চাকার ব্যাসার্ধ $(r_2) = \frac{94.5}{2}$ সেমি।
$\therefore$ মেশিনের চাকার পরিধি $= 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{94.5}{2}$ সেমি
$= 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{945}{2 \times 10}$ সেমি $= 11 \times 27$ সেমি।
হিসাবের সুবিধার জন্য মেশিনের চাকার পরিধি $11 \times 27$ আকারে রাখা হয়েছে।
মোটরের চাকা $1$ বার ঘুরলে পথ অতিক্রম করে $44$ সেমি।
$\therefore$ মোটরের চাকা $27$ বার ঘুরলে পথ অতিক্রম করে $(44 \times 27)$ সেমি।
অর্থাৎ, মোটরের চাকা $1$ সেকেন্ডে অতিক্রম করে $(44 \times 27)$ সেমি।
$\therefore$ মোটরের চাকা $1$ ঘণ্টা বা $(60 \times 60)$ সেকেন্ডে অতিক্রম করে $(44 \times 27 \times 60 \times 60)$ সেমি।
যেহেতু $1$ ঘণ্টা $= 60 \times 60$ সেকেন্ড, তাই এক ঘণ্টায় অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব বের করা হলো। বেল্টের মাধ্যমে যুক্ত থাকায় উভয় চাকা একই দূরত্ব অতিক্রম করবে।
মেশিনের চাকা $(11 \times 27)$ সেমি পথ যেতে ঘোরে $1$ বার।
$\therefore$ মেশিনের চাকা $1$ সেমি পথ যেতে ঘোরে $\frac{1}{11 \times 27}$ বার।
$\therefore$ মেশিনের চাকা $(44 \times 27 \times 60 \times 60)$ সেমি পথ যেতে ঘোরে:
$= \frac{44 \times 27 \times 60 \times 60}{11 \times 27}$ বার
$= 4 \times 3600$ বার $= 14400$ বার।
মোট অতিক্রান্ত দূরত্বকে মেশিনের চাকার পরিধি দিয়ে ভাগ করলে ঘূর্ণন সংখ্যা পাওয়া যায়।
উত্তর: মেশিনের চাকা ঘণ্টায় 14400 বার ঘুরবে।
11. আমাদের ক্লাব ঘরের ঘড়িটির ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8.4 সেমি এবং 14 সেমি। একদিনে প্রতিটি কাঁটা কতটা পথ অতিক্রম করবে হিসাব করে লিখি।
ঘণ্টার কাঁটার দৈর্ঘ্য $r_1 = 8.4$ সেমি।
ঘণ্টার কাঁটা 12 ঘণ্টায় একবার পূর্ণ আবর্তন করে। অর্থাৎ 12 ঘণ্টায় অতিক্রান্ত পথ এর পরিধির সমান।
12 ঘণ্টায় ঘণ্টার কাঁটা পথ অতিক্রম করে $= 2 \times \frac{22}{7} \times 8.4$ সেমি
$= 44 \times 1.2$ সেমি
$= 52.8$ সেমি
যেহেতু বৃত্তের পরিধি $= 2\pi r$ এবং এখানে $r = 8.4$ ও $\pi = \frac{22}{7}$
একদিন অর্থাৎ 24 ঘণ্টায় ঘণ্টার কাঁটা অতিক্রম করে:
$2 \times 52.8$ সেমি $= 105.6$ সেমি
যেহেতু একদিনে ঘণ্টার কাঁটা দুবার পূর্ণ আবর্তন করে (24 ঘণ্টা / 12 ঘণ্টা = 2 বার)।
মিনিটের কাঁটার দৈর্ঘ্য $r_2 = 14$ সেমি।
মিনিটের কাঁটা 1 ঘণ্টায় একবার পূর্ণ আবর্তন করে।
অতএব, মিনিটের কাঁটা 1 ঘণ্টায় অতিক্রান্ত পথ $= 2 \times \frac{22}{7} \times 14$ সেমি
$= 88$ সেমি
একদিন বা 24 ঘণ্টায় মিনিটের কাঁটা পথ অতিক্রম করে:
$24 \times 88$ সেমি $= 2112$ সেমি
মিনিটের কাঁটা প্রতি ঘণ্টায় একবার ঘোরে, তাই 24 ঘণ্টায় 24 বার আবর্তন করে।
উত্তর: একদিনে ঘণ্টার কাঁটা $105.6$ সেমি এবং মিনিটের কাঁটা $2112$ সেমি পথ অতিক্রম করবে।
12. আমি ও বন্ধু মিহির দুটি বৃত্ত এঁকেছি যাদের ব্যাসের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 5 : 7 । হিসাব করে দেখি আমাদের বৃত্তের পরিধির অনুপাত হয় [ ] : [ ] ।
ধরি, আমার ও বন্ধু মিহিরের আঁকা দুটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত $5 : 7$।
সুতরাং, আমার আঁকা বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য $5x$ একক এবং মিহিরের আঁকা বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য $7x$ একক।
(যেখানে $x$ একটি অশূন্য আনুপাতিক ধ্রুবক)
তাহলে, আমার ও মিহিরের আঁকা বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $\frac{5x}{2}$ একক ও $\frac{7x}{2}$ একক।
(যেহেতু ব্যাসার্ধ = ব্যাস / 2)
আমার আঁকা বৃত্তের পরিধি = $2 \times \pi \times \frac{5x}{2}$ একক।
মিহিরের আঁকা বৃত্তের পরিধি = $2 \times \pi \times \frac{7x}{2}$ একক।
(বৃত্তের পরিধি = $2\pi r$, যেখানে $r$ হলো ব্যাসার্ধ)
অতএব, আমার ও মিহিরের আঁকা বৃত্তের পরিধির অনুপাত:
$2 \times \pi \times \frac{5x}{2} : 2 \times \pi \times \frac{7x}{2}$
$= 5 : 7$
উত্তর: আমাদের বৃত্তের পরিধির অনুপাত হয় 5 : 7 ।
13. রহিমের একটি বৃত্তাকার মাঠের পুরোটা একবার দৌড়াতে যে সময় লাগে, ব্যাস বরাবর একপ্রান্ত থেকে আর একপ্রান্তে যেতে 40 সেকেন্ড কম সময় লাগে। রহিমের গতিবেগ 90 মিটার প্রতি মিনিট হলে, মাঠের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
মনে করি, বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য $r$ মিটার।
মাঠের ব্যাসার্ধকে চলরাশি হিসেবে ধরে নেওয়া হলো।
সুতরাং, বৃত্তাকার মাঠের ব্যাস = $2r$ মিটার এবং মাঠের পরিধি = $2\pi r$ মিটার।
রহিমের গতিবেগ $90$ মিটার/মিনিট = $\frac{90}{60}$ মিটার/সেকেন্ড = $\frac{3}{2}$ মিটার/সেকেন্ড।
গতিবেগকে মিনিট থেকে সেকেন্ডে রূপান্তর করা হলো (1 মিনিট = 60 সেকেন্ড)।
$\frac{3}{2}$ মিটার/সেকেন্ড বেগে রহিমের:
- $2r$ মিটার (ব্যাস) যেতে সময় লাগে $\frac{2r}{\frac{3}{2}}$ সেকেন্ড।
- $2\pi r$ মিটার (পরিধি) যেতে সময় লাগে $\frac{2\pi r}{\frac{3}{2}}$ সেকেন্ড।
শর্তানুসারে,
$$\frac{2\pi r}{\frac{3}{2}} – \frac{2r}{\frac{3}{2}} = 40$$
বা, $2 \times \frac{2}{3} \times r \left( \frac{22}{7} – 1 \right) = 40$
এখানে $\pi = \frac{22}{7}$ এবং সাধারণ উৎপাদক $2 \times \frac{2}{3} \times r$ কমন নেওয়া হয়েছে।
বা, $2 \times \frac{2}{3} \times \frac{15}{7} \times r = 40$
বা, $2r = 40 \times \frac{7}{15} \times \frac{3}{2}$
বা, $2r = 28$
অতএব, মাঠটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 28 মিটার।
নির্ণেয় ব্যাস $2r = 28$।
14. দুটি বৃত্তের পরিধির অনুপাত 2 : 3 এবং তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অন্তর 2 সেমি। বৃত্ত দুটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
মনে করি, বড় বৃত্তটির ব্যাসার্ধ $R$ সেমি এবং ছোট বৃত্তটির ব্যাসার্ধ $(R – 2)$ সেমি।
যেহেতু ব্যাসার্ধের অন্তর 2 সেমি, তাই একটি $R$ হলে অন্যটি $(R – 2)$ হবে।
প্রশ্নানুসারে,
$$\frac{2\pi(R – 2)}{2\pi R} = \frac{2}{3}$$
বৃত্তের পরিধির সূত্র হলো $2\pi r$ এবং প্রশ্নে পরিধির অনুপাত $2 : 3$ দেওয়া আছে।
বা, $\frac{R – 2}{R} = \frac{2}{3}$
বা, $3(R – 2) = 2R$
বা, $3R – 6 = 2R$
বা, $3R – 2R = 6$
$\therefore R = 6$
বজ্রগুণন (Cross-multiplication) করে পাই।
অতএব, বড় বৃত্তটির ব্যাসার্ধ $6$ সেমি এবং ছোট বৃত্তটির ব্যাসার্ধ $(6 – 2) = 4$ সেমি।
সুতরাং,
বড় বৃত্তটির ব্যাস $= (2 \times 6)$ সেমি $= 12$ সেমি।
এবং ছোট বৃত্তটির ব্যাস $= (2 \times 4)$ সেমি $= 8$ সেমি।
ব্যাস হলো ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ (Diameter $= 2 \times$ Radius)।
15. 196 বর্গসেমি ক্ষেত্রফলের একটি বর্গাকার পিতলের পাত থেকে চারটি সর্ববৃহৎ বৃত্তাকার পাত কেটে নেওয়া হলো। প্রতিটি বৃত্তাকার পাতের পরিধি হিসাব করে লিখি।
বর্গাকার পিতলের পাতের ক্ষেত্রফল = 196 বর্গসেমি।
সুতরাং, বর্গাকার পাতের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{196}$ সেমি = 14 সেমি।
কারণ: বর্গক্ষেত্রের বাহু = $\sqrt{\text{ক্ষেত্রফল}}$
যেহেতু 14 সেমি বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্র থেকে 4টি সর্ববৃহৎ সমান বৃত্তাকার পাত কেটে নেওয়া হয়েছে,
তাই প্রতিটি বৃত্তাকার পাতের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হবে = $\frac{14}{2}$ সেমি = 7 সেমি।
চিত্রানুসারে, দুটি বৃত্তের ব্যাস মিলে বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান।
বৃত্তাকার পাতের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ($r$) = $\frac{7}{2}$ সেমি।
প্রতিটি বৃত্তাকার পাতের পরিধি হবে = $2 \times \pi \times r$
= $2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2}$ সেমি
= 22 সেমি।
সূত্র: বৃত্তের পরিধি = $2\pi r$ (যেখানে $\pi \approx \frac{22}{7}$)
উত্তর: প্রতিটি বৃত্তাকার পাতের পরিধি 22 সেমি।
16. একটি বৃত্তাকার মাঠের বৃত্ত বরাবর একপ্রান্ত থেকে অপরপ্রান্তে যেতে নাসিফার যে সময় লাগে, মাঠের ব্যাস বরাবর অতিক্রম করতে তার থেকে 45 সেকেন্ড সময় কম লাগে। নাসিফার গতিবেগ মিনিটে 80 মিটার হলে, মাঠটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
ধরি, বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ $r$ মিটার।
মাঠের ব্যাসার্ধকে $r$ চলক হিসেবে ধরে নেওয়া হলো।
অতএব, বৃত্তাকার মাঠের ব্যাস = $2r$ মিটার এবং মাঠের অর্ধপরিধি = $\pi r$ মিটার।
বৃত্তের ব্যাস $2 \times$ ব্যাসার্ধ এবং পরিধি $2\pi r$ হওয়ায় অর্ধপরিধি $\pi r$ হয়।
নাসিফার গতিবেগ 80 মিটার/মিনিট = $\frac{80}{60}$ মিটার/সেকেন্ড = $\frac{4}{3}$ মিটার/সেকেন্ড।
1 মিনিট = 60 সেকেন্ড ধরে গতিবেগকে মি./সেকেন্ড-এ রূপান্তর করা হলো।
$2r$ মিটার পথ (ব্যাস) অতিক্রম করতে নাসিফার সময় লাগে $\frac{2r}{\frac{4}{3}} = \frac{3 \times 2r}{4} = \frac{3r}{2}$ সেকেন্ড।
$\pi r$ মিটার পথ (অর্ধপরিধি) অতিক্রম করতে সময় লাগে $\frac{\pi r}{\frac{4}{3}} = \frac{3\pi r}{4}$ সেকেন্ড।
সময় = দূরত্ব / গতিবেগ সূত্রটি ব্যবহার করে দুটি ভিন্ন পথের সময় বের করা হলো।
প্রশ্নানুসারে,
$\frac{3\pi r}{4} – \frac{3r}{2} = 45$
বা, $\frac{3r}{2} (\frac{\pi}{2} – 1) = 45$
বা, $\frac{3r}{2} (\frac{22}{7 \times 2} – 1) = 45$
বা, $\frac{3r}{2} (\frac{11}{7} – 1) = 45$
বা, $\frac{3r}{2} \times \frac{4}{7} = 45$
বা, $\frac{6r}{7} = 45$
বা, $6r = 45 \times 7$
বা, $2r = \frac{45 \times 7}{3} = 15 \times 7 = 105$
শর্ত অনুযায়ী সময়ের পার্থক্য 45 সেকেন্ড ধরে $2r$ বা ব্যাসের মান বের করা হলো।
অতএব, মাঠটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 105 মিটার।
নির্ণেয় উত্তর।
17. মহিম সাইকেলে চেপে 7 মিটার 5 ডেসিমি. চওড়া একটি বৃত্তাকার পথের বাইরের ও ভিতরের ধার বরাবর সম্পূর্ণ একবার ঘুরতে যথাক্রমে 46 সেকেন্ড ও 44 সেকেন্ড নেয়। ভিতরের ধার বরাবর বৃত্তটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করি।
ধরি, বৃত্তাকার পথের ভিতরের দিকের ব্যাসার্ধ $r$ ডেসিমি.
রাস্তাটি 7 মিটার 5 ডেসিমি. বা 75 ডেসিমি. চওড়া।
কারণ: 1 মিটার = 10 ডেসিমি.। তাই $7 \times 10 + 5 = 75$ ডেসিমি.।
বৃত্তাকার পথের বাইরের দিকের ব্যাসার্ধ $(r + 75)$ ডেসিমি.।
রাস্তাটির ভিতরের দিকের পরিধি $2\pi r$ ডেসিমি. এবং বাইরের দিকের পরিধি $2\pi(r + 75)$ ডেসিমি.।
সাইকেলটি 46 সেকেন্ডে অতিক্রম করে $2\pi(r + 75)$ ডেসিমি.।
$\therefore 1$ সেকেন্ডে অতিক্রম করে $\frac{2\pi(r + 75)}{46}$ ডেসিমি.।
আবার, 44 সেকেন্ডে অতিক্রম করে $2\pi r$ ডেসিমি.।
$\therefore 1$ সেকেন্ডে অতিক্রম করে $\frac{2\pi r}{44}$ ডেসিমি.।
যেহেতু সাইকেলটির গতিবেগ একই,
শর্তানুসারে, $\frac{2\pi(r + 75)}{46} = \frac{2\pi r}{44}$
বা, $\frac{2\pi(r + 75)}{2\pi r} = \frac{46}{44}$
বা, $\frac{r + 75}{r} = \frac{23}{22}$
বা, $23r = 22r + 22 \times 75$
বা, $23r – 22r = 1650$
বা, $r = 1650$
ভিতরের ধার বরাবর বৃত্তটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য:
$(1650 \times 2)$ ডেসিমি.
$= 3300$ ডেসিমি.
$= 330$ মিটার।
ব্যাস = $2 \times$ ব্যাসার্ধ।
উত্তর: ভিতরের ধার বরাবর বৃত্তটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 330 মিটার।
14. একজন সাইকেল আরোহীর একটি বৃত্তাকার পথে বাইরের ও ভিতরের ধার বরাবর সম্পূর্ণ একবার ঘুরতে সময়ের অনুপাত 20 : 19; যদি পথটি 5 মিটার চওড়া হয়, তবে ভিতরের বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য লিখি।
ধরি, বৃত্তাকার পথের ভিতরের দিকের ব্যাসার্ধ $r$ মিটার।
যেহেতু ব্যাসার্ধ অজানা, তাই আমরা এটিকে একটি চলরাশি $r$ হিসেবে ধরে নিলাম।
যেহেতু পথটি 5 মিটার চওড়া, সুতরাং রাস্তাসহ বৃত্তাকার পথের বাইরের দিকের ব্যাসার্ধ $R = (r + 5)$ মিটার।
বাইরের ব্যাসার্ধ হলো ভিতরের ব্যাসার্ধ এবং রাস্তার চওড়ার সমষ্টি।
পথ ছাড়া ভিতরের বৃত্তাকার অংশের পরিধি $= 2\pi r$ মিটার এবং পথসহ বাইরের বৃত্তাকার অংশের পরিধি $= 2\pi(r + 5)$ মিটার।
বৃত্তের পরিধির সূত্র হলো $2\pi \times \text{radius}$।
ধরি, সাইকেলটির গতিবেগ $x$ মিটার/ঘণ্টা।
ভিতরের পথ অতিক্রম করতে সময় লাগে $\frac{2\pi r}{x}$ ঘণ্টা এবং বাইরের পথ অতিক্রম করতে সময় লাগে $\frac{2\pi(r + 5)}{x}$ ঘণ্টা।
সময় = দূরত্ব / গতিবেগ।
প্রশ্নানুসারে,
$$\frac{2\pi(r + 5)}{x} : \frac{2\pi r}{x} = 20 : 19$$
বা, $\frac{r + 5}{r} = \frac{20}{19}$
উভয়পক্ষ থেকে ধ্রুবক পদ $\frac{2\pi}{x}$ বাদ দেওয়া হয়েছে।
বা, $20r = 19r + 95$
বা, $20r – 19r = 95$
বা, $r = 95$
বজ্রগুণন (Cross-multiplication) করে সমাধান করা হলো।
ভিতরের দিকের বৃত্তাকার অংশের ব্যাসের দৈর্ঘ্য $= 2r = 2 \times 95 = 190$ মিটার।
ব্যাস হলো ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ ($2r$)।
উত্তর: ভিতরের বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 190 মিটার।
শেয়ার