নবম শ্রেণি গণিত: বহুপদী সংখ্যামালা কষে দেখি – 7.4
১. নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলির মধ্যে কোনগুলির একটি উৎপাদক $(x+1)$ হিসাব করে লিখি।
সহজ ব্যাখ্যা: গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুযায়ী, $P(x)$ এর উৎপাদক $(x+a)$ হবে যদি $P(-a)=0$ হয়। এখানে $x+1$ উৎপাদক কিনা তা যাচাই করতে $x=-1$ বসিয়ে $P(-1)=0$ কিনা দেখতে হবে।
(i) $P(x)=2x^{3}+3x^{2}-1$
$P(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 – 1 = 2(-1) + 3(1) – 1 = -2 + 3 – 1 = 0$
উত্তর: $(x+1)$ একটি উৎপাদক।
(ii) $P(x)=x^{4}+x^{3}-x^{2}+4x+5$
$P(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 – (-1)^2 + 4(-1) + 5 = 1 – 1 – 1 – 4 + 5 = 0$
উত্তর: $(x+1)$ একটি উৎপাদক।
(iii) $P(x)=7x^{3}+x^{2}+7x+1$
$P(-1) = 7(-1)^3 + (-1)^2 + 7(-1) + 1 = -7 + 1 – 7 + 1 = -12$
উত্তর: $(x+1)$ উৎপাদক নয়।
(iv) $P(x)=3+3x-5x^{3}-5x^{4}$
$P(-1) = 3 + 3(-1) – 5(-1)^3 – 5(-1)^4 = 3 – 3 – 5(-1) – 5(1) = 0 + 5 – 5 = 0$
উত্তর: $(x+1)$ একটি উৎপাদক।
(v) $P(x)=x^{4}+x^{2}+x+1$
$P(-1) = (-1)^4 + (-1)^2 + (-1) + 1 = 1 + 1 – 1 + 1 = 2$
উত্তর: $(x+1)$ উৎপাদক নয়।
(vi) $P(x)=x^{3}+x^{2}+x+1$
$P(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = -1 + 1 – 1 + 1 = 0$
উত্তর: $(x+1)$ একটি উৎপাদক।
২. গুণনীয়ক উপপাদ্য ব্যবহার করে নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলি $f(x)$-এর একটি উৎপাদক $g(x)$ কিনা লিখি।
(i) $f(x)=x^{4}-x^{2}-12$ এবং $g(x)=x+2$
$g(x)=x+2=0$ → $x=-2$। উৎপাদক হবে যদি $f(-2)=0$ হয়।
$f(-2) = (-2)^4 – (-2)^2 – 12 = 16 – 4 – 12 = 0$
উত্তর: হ্যাঁ, $g(x)$ একটি উৎপাদক।
(ii) $f(x)=2x^{3}+9x^{2}-11x-30$ এবং $g(x)=x+5$
$g(x)=x+5=0$ → $x=-5$। উৎপাদক হবে যদি $f(-5)=0$ হয়।
$f(-5) = 2(-5)^3 + 9(-5)^2 – 11(-5) – 30 = 2(-125) + 9(25) + 55 – 30$
$= -250 + 225 + 55 – 30 = 280 – 280 = 0$
উত্তর: হ্যাঁ, $g(x)$ একটি উৎপাদক।
(iii) $f(x)=2x^{3}+7x^{2}-24x-45$ এবং $g(x)=x-3$
$g(x)=x-3=0$ → $x=3$। উৎপাদক হবে যদি $f(3)=0$ হয়।
$f(3) = 2(3)^3 + 7(3)^2 – 24(3) – 45 = 2(27) + 7(9) – 72 – 45$
$= 54 + 63 – 117 = 117 – 117 = 0$
উত্তর: হ্যাঁ, $g(x)$ একটি উৎপাদক।
(iv) $f(x)=3x^{3}+x^{2}-20x+12$ এবং $g(x)=3x-2$
$g(x)=3x-2=0$ → $x=2/3$। উৎপাদক হবে যদি $f(2/3)=0$ হয়।
$f(\frac{2}{3}) = 3(\frac{2}{3})^3 + (\frac{2}{3})^2 – 20(\frac{2}{3}) + 12$
$= 3(\frac{8}{27}) + \frac{4}{9} – \frac{40}{3} + 12 = \frac{8}{9} + \frac{4}{9} – \frac{120}{9} + \frac{108}{9}$
$= \frac{8 + 4 – 120 + 108}{9} = \frac{120 – 120}{9} = 0$
উত্তর: হ্যাঁ, $g(x)$ একটি উৎপাদক।
৩. $k$-এর মান কত হলে $x+2$ দ্বারা $2x^{4}+3x^{3}+2kx^{2}+3x+6$ বহুপদী সংখ্যামালাটি বিভাজ্য হবে হিসাব করে লিখি।
সহজ ব্যাখ্যা: বহুপদী সংখ্যামালাটি $(x+2)$ দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি $P(-2)=0$ হয়।
ধরি, $P(x) = 2x^{4}+3x^{3}+2kx^{2}+3x+6$। $x+2=0$ → $x=-2$।
$$P(-2) = 0$$
$$2(-2)^4 + 3(-2)^3 + 2k(-2)^2 + 3(-2) + 6 = 0$$
$$2(16) + 3(-8) + 2k(4) – 6 + 6 = 0$$
$$32 – 24 + 8k = 0$$
$$8 + 8k = 0$$
$$8k = -8 \implies k = -1$$উত্তর: $k$-এর মান $-1$ হলে বহুপদী সংখ্যামালাটি $(x+2)$ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
৪. $k$-এর মান কত হলে, নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলি $f(x)$-এর একটি উৎপাদক $g(x)$ হবে হিসাব করি:
(i) $f(x)=2x^{3}+9x^{2}+x+k$ এবং $g(x)=x-1$
$g(x)=x-1=0$ → $x=1$। উৎপাদক হওয়ার শর্ত: $f(1)=0$।
$f(1) = 2(1)^3 + 9(1)^2 + 1 + k = 0$
$2 + 9 + 1 + k = 0 \implies 12 + k = 0 \implies k = -12$
উত্তর: $k = -12$।
(ii) $f(x)=kx^{2}-3x+k$ এবং $g(x)=x-1$
$g(x)=x-1=0$ → $x=1$। উৎপাদক হওয়ার শর্ত: $f(1)=0$।
$f(1) = k(1)^2 – 3(1) + k = 0$
$k – 3 + k = 0 \implies 2k = 3 \implies k = \frac{3}{2}$
উত্তর: $k = \frac{3}{2}$।
(iii) $f(x)=2x^{4}+x^{3}-kx^{2}-x+6$ এবং $g(x)=2x-3$
$g(x)=2x-3=0$ → $x=3/2$। উৎপাদক হওয়ার শর্ত: $f(3/2)=0$।
$$f(\frac{3}{2}) = 2(\frac{3}{2})^4 + (\frac{3}{2})^3 – k(\frac{3}{2})^2 – \frac{3}{2} + 6 = 0$$
$$2(\frac{81}{16}) + \frac{27}{8} – k(\frac{9}{4}) – \frac{3}{2} + 6 = 0$$
$$\frac{81}{8} + \frac{27}{8} – \frac{9k}{4} – \frac{12}{8} + \frac{48}{8} = 0$$
$$\frac{81+27-12+48}{8} – \frac{9k}{4} = 0$$
$$\frac{144}{8} = \frac{9k}{4} \implies 18 = \frac{9k}{4} \implies 72 = 9k \implies k = 8$$
উত্তর: $k = 8$।
(iv) $f(x)=2x^{3}+kx^{2}+11x+k+3$ এবং $g(x)=2x-1$
$g(x)=2x-1=0$ → $x=1/2$। উৎপাদক হওয়ার শর্ত: $f(1/2)=0$।
$$f(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^3 + k(\frac{1}{2})^2 + 11(\frac{1}{2}) + k + 3 = 0$$
$$2(\frac{1}{8}) + k(\frac{1}{4}) + \frac{11}{2} + k + 3 = 0$$
$$\frac{1}{4} + \frac{k}{4} + \frac{22}{4} + \frac{4k}{4} + \frac{12}{4} = 0$$
$$\frac{1 + k + 22 + 4k + 12}{4} = 0$$
$$5k + 35 = 0 \implies 5k = -35 \implies k = -7$$
উত্তর: $k = -7$।
৫. $ax^{4}+2x^{3}-3x^{2}+bx-4$ বহুপদী সংখ্যামালার উৎপাদক $x^{2}-4$ হলে, $a$ ও $b$-এর মান কত হবে হিসাব করে লিখি।
সহজ ব্যাখ্যা: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ উৎপাদক হওয়ায়, $P(2)=0$ এবং $P(-2)=0$ হবে। এই দুটি শর্ত থেকে $a$ ও $b$-এর দুটি সমীকরণ গঠন করে সমাধান করা হয়েছে।
ধরি, $P(x) = ax^{4}+2x^{3}-3x^{2}+bx-4$।
শর্ত ১: $P(2) = 0$
$$a(2)^4 + 2(2)^3 – 3(2)^2 + b(2) – 4 = 0$$
$$16a + 16 – 12 + 2b – 4 = 0$$
$$16a + 2b = 0 \implies 8a + b = 0 \implies b = -8a$$ (সমীকরণ ১)
শর্ত ২: $P(-2) = 0$
$$a(-2)^4 + 2(-2)^3 – 3(-2)^2 + b(-2) – 4 = 0$$
$$16a – 16 – 12 – 2b – 4 = 0$$
$$16a – 2b = 32 \implies 8a – b = 16$$ (সমীকরণ ২)
সমীকরণ (১) থেকে $b=-8a$ মানটি সমীকরণ (২)-এ বসিয়ে পাই:
$8a – (-8a) = 16 \implies 16a = 16 \implies a = 1$
$a=1$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই: $b = -8(1) = -8$উত্তর: $a=1$ এবং $b=-8$।
৬. $x^{3}+3x^{2}+2ax+b$ বহুপদী সংখ্যামালার দুটি উৎপাদক $(x+1)$ এবং $(x+2)$ হলে, $a$ ও $b$-এর মান কত হবে হিসাব করে লিখি।
সহজ ব্যাখ্যা: $(x+1)$ উৎপাদক হওয়ায় $P(-1)=0$ এবং $(x+2)$ উৎপাদক হওয়ায় $P(-2)=0$ হবে। এই দুটি শর্ত থেকে $a$ ও $b$-এর দুটি সমীকরণ গঠন করে অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করা হয়েছে।
ধরি, $P(x) = x^{3}+3x^{2}+2ax+b$।
শর্ত ১: $P(-1) = 0$
$$(-1)^3 + 3(-1)^2 + 2a(-1) + b = 0$$
$$-1 + 3 – 2a + b = 0 \implies -2a + b = -2$$ (সমীকরণ ১)
শর্ত ২: $P(-2) = 0$
$$(-2)^3 + 3(-2)^2 + 2a(-2) + b = 0$$
$$-8 + 12 – 4a + b = 0 \implies -4a + b = -4$$ (সমীকরণ ২)
সমীকরণ (১) থেকে (২) বিয়োগ করে পাই:
$(-2a + b) – (-4a + b) = -2 – (-4)$
$2a = 2 \implies a = 1$
$a=1$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই: $-2(1) + b = -2 \implies b = 0$উত্তর: $a=1$ এবং $b=0$।
৭. $ax^{3}+bx^{2}+x-6$ বহুপদী সংখ্যামালাকে $(x-2)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 4 হয় এবং এই বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক $x+2$ হলে, $a$ ও $b$-এর মান কত হবে হিসাব করি।
সহজ ব্যাখ্যা: ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী $P(2)=4$ এবং গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুযায়ী $P(-2)=0$ হবে। এই দুটি শর্ত থেকে $a$ ও $b$-এর দুটি সমীকরণ গঠন করে অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করা হয়েছে।
ধরি, $P(x) = ax^{3}+bx^{2}+x-6$।
শর্ত ১: $P(2) = 4$ (ভাগশেষ উপপাদ্য)
$$a(2)^3 + b(2)^2 + 2 – 6 = 4$$
$$8a + 4b – 4 = 4 \implies 8a + 4b = 8 \implies 2a + b = 2$$ (সমীকরণ ১)
শর্ত ২: $P(-2) = 0$ (গুণনীয়ক উপপাদ্য)
$$a(-2)^3 + b(-2)^2 + (-2) – 6 = 0$$
$$-8a + 4b – 8 = 0 \implies -8a + 4b = 8 \implies -2a + b = 2$$ (সমীকরণ ২)
সমীকরণ (১) ও (২) যোগ করে পাই:
$(2a + b) + (-2a + b) = 2 + 2$
$2b = 4 \implies b = 2$
$b=2$ মানটি সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই: $2a + 2 = 2 \implies 2a = 0 \implies a = 0$উত্তর: $a=0$ এবং $b=2$।
৮. $n$ যে-কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (যুগ্ম বা অযুগ্ম) হলে, দেখাই যে, $x^{n}-y^{n}$ বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক $x-y$.
সহজ ব্যাখ্যা: গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুযায়ী, $P(x)$ এর উৎপাদক $(x-a)$ হবে যদি $P(a)=0$ হয়। এখানে $x-y$ উৎপাদক কিনা তা যাচাই করতে $x=y$ বসিয়ে $P(y)=0$ কিনা দেখতে হবে।
ধরি, $P(x) = x^{n}-y^{n}$। উৎপাদক $(x-y)$ হওয়ার শর্ত: $P(y)=0$।
$P(y) = y^{n} – y^{n} = 0$
যেহেতু $P(y)=0$, তাই গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুযায়ী $(x-y)$ বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক। এই ফলাফল $n$-এর যুগ্ম বা অযুগ্ম হওয়ার উপর নির্ভরশীল নয়, কেবল $n$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলেই যথেষ্ট।
উত্তর: প্রমাণিত।
৯. $n$ যে-কোনো অযুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে, দেখাই যে $x^{n}+y^{n}$ বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক $x+y$.
সহজ ব্যাখ্যা: গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুযায়ী, $x+y$ উৎপাদক হবে যদি $P(-y)=0$ হয়। এখানে $n$ অযুগ্ম হওয়ায় $(-y)^n = -y^n$ হবে।
ধরি, $P(x) = x^{n}+y^{n}$। উৎপাদক $(x+y)$ হওয়ার শর্ত: $P(-y)=0$।
$P(-y) = (-y)^{n} + y^{n}$
যেহেতু $n$ একটি **অযুগ্ম** ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, $(-y)^n = -y^n$ হবে।
$P(-y) = -y^{n} + y^{n} = 0$
যেহেতু $P(-y)=0$, তাই গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুযায়ী $(x+y)$ বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক।
উত্তর: প্রমাণিত।
১০. $n$ যে-কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (যুগ্ম বা অযুগ্ম) হলে, দেখাই যে $x^{n}+y^{n}$ বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক কখনই $x-y$ হবে না।
সহজ ব্যাখ্যা: $x-y$ উৎপাদক হবে যদি $P(y)=0$ হয়। এখানে $P(y)=2y^n$ হবে, যা শূন্য নয় (যদি $y \neq 0$ হয়)।
ধরি, $P(x) = x^{n}+y^{n}$। $(x-y)$ উৎপাদক হওয়ার শর্ত: $P(y)=0$।
$P(y) = (y)^{n} + y^{n} = 2y^{n}$
যেহেতু $n$ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, $2y^n$ কখনই শূন্য হবে না, যদি না $y=0$ হয়। যেহেতু $y$ চলরাশি এবং $n \ge 1$, তাই সাধারণভাবে $\mathbf{2y^n \neq 0}$।
অতএব, $(x-y)$ কখনই $x^{n}+y^{n}$ বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক হবে না।
উত্তর: প্রমাণিত।
১১. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) $x^{3}+6x^{2}+4x+k$ বহুপদী সংখ্যামালাটি $(x-2)$ দ্বারা বিভাজ্য হলে, $k$-এর মান
সহজ ব্যাখ্যা: গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুযায়ী, $(x-2)$ উৎপাদক হলে $P(2)=0$ হবে।
$P(2) = (2)^3 + 6(2)^2 + 4(2) + k = 0$
$8 + 6(4) + 8 + k = 0$
$8 + 24 + 8 + k = 0$
$40 + k = 0 \implies k = -40$
বিকল্পের সাথে মিলছে না। বিকল্পগুলি হলো $-6, -7, -8, -10$। **সম্ভাব্য প্রশ্ন ত্রুটি**। যদি $\mathbf{x-1}$ দ্বারা বিভাজ্য হতো, $k=-11$ হতো।
ধরে নিচ্ছি প্রশ্নে ত্রুটি আছে। তবুও সঠিক গাণিতিক উত্তর হলো $-40$। যেহেতু এই উত্তরে $-40$ নেই, আমরা গাণিতিক নিয়ম মেনে $-40$ নির্বাচন করব না।
(ii) $f(x)$ বহুপদী সংখ্যামালার $f(-\frac{1}{2})=0$ হলে, $f(x)$ এর একটি উৎপাদক হবে
সহজ ব্যাখ্যা: গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুযায়ী, $f(a)=0$ হলে $(x-a)$ একটি উৎপাদক হয়। এখানে $a = -\frac{1}{2}$।
উৎপাদকটি হবে: $x – (-\frac{1}{2}) = x + \frac{1}{2} = \frac{2x+1}{2}$।
সুতরাং, $2x+1$ উৎপাদক হবে।
উত্তর: (b) $2x+1$।
(iii) $f(x)$ বহুপদী সংখ্যামালার $(x-1)$ একটি উৎপাদক, কিন্তু $g(x)$ বহুপদী সংখ্যামালার উৎপাদক নয়। সুতরাং $(x-1)$ একটি উৎপাদক হবে
সহজ ব্যাখ্যা: $f(1)=0$ এবং $g(1) \ne 0$। $(x-1)$ উৎপাদক হবে যদি $x=1$ বসালে রাশিটির মান শূন্য হয়।
- (a) $f(1)g(1) = 0 \times g(1) = 0$
- (b) $-f(1)+g(1) = 0 + g(1) \ne 0$
- (c) $f(1)-g(1) = 0 – g(1) \ne 0$
- (d) $\{f(1)+g(1)\}g(1) = \{0 + g(1)\}g(1) = g(1)^2 \ne 0$
শুধুমাত্র $f(x)g(x)$ এর মান $x=1$ এ শূন্য হয়।
উত্তর: (a) $f(x)g(x)$।
(iv) $x^{n}+1$ বহুপদী সংখ্যামালার $(x+1)$ একটি উৎপাদক হবে যখন
সহজ ব্যাখ্যা: $(x+1)$ উৎপাদক হলে $P(-1)=0$ হবে।
$P(-1) = (-1)^n + 1 = 0 \implies (-1)^n = -1$।
এটি তখনই সম্ভব যখন $n$ একটি **অযুগ্ম** ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হবে।
উত্তর: (a) $n$ একটি অযুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
(v) $an^{4}+bn^{3}+cn^{2}+dn+e$ বহুপদী সংখ্যামালার $n^{2}-1$ উৎপাদক হলে
সহজ ব্যাখ্যা: $n^2-1 = (n-1)(n+1)$ উৎপাদক হওয়ায়, $P(1)=0$ এবং $P(-1)=0$ হবে।
শর্ত ১: $P(1) = a(1)^4 + b(1)^3 + c(1)^2 + d(1) + e = 0 \implies a+b+c+d+e = 0$
শর্ত ২: $P(-1) = a(-1)^4 + b(-1)^3 + c(-1)^2 + d(-1) + e = 0 \implies a-b+c-d+e = 0$
শর্ত ১ ও ২ যোগ করে পাই:
$(a+b+c+d+e) + (a-b+c-d+e) = 0+0$
$2a + 2c + 2e = 0 \implies a + c + e = 0$
শর্ত ১ ও ২ বিয়োগ করে পাই:
$(a+b+c+d+e) – (a-b+c-d+e) = 0-0$
$2b + 2d = 0 \implies b + d = 0$
যেহেতু $a+c+e = 0$ এবং $b+d=0$, তাই $a+c+e = b+d$ হবে না। **(কারণ $b+d=0$)।**
আসলে, $a+c+e = – (b+d)$ হবে। কিন্তু বিকল্পগুলিতে যোগফল চাওয়া হয়েছে।
$a+c+e = – (b+d)$ → $\mathbf{a+c+e+b+d = 0}$ (যা প্রথম শর্ত)
বিকল্প (a) তে দেওয়া আছে $a+c+e = b+d$ (যদি $b+d$ এর মান $0$ হতো)।
$a+c+e = -(b+d)$ → $a+c+e = -b-d$.
$a+c+e+b+d = 0$ (প্রথম শর্ত থেকে)
ধরি, $a+c+e = X$ এবং $b+d = Y$। শর্ত $X+Y=0$ এবং $X-Y=0$। যোগ করে $2X=0$ বিয়োগ করে $2Y=0$। অর্থাৎ, $a+c+e=0$ এবং $b+d=0$। সুতরাং $a+c+e = b+d$ (উভয়ই শূন্য)।
উত্তর: (a) $a+c+e=b+d$।
১২. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন:
(i) $x^{3}+ax^{2}-2x+a-12$ বহুপদী সংখ্যামালার $x+a$ একটি উৎপাদক হলে, $a$-এর মান কত হিসাব করে লিখি।
সহজ ব্যাখ্যা: $(x+a)$ উৎপাদক হলে $P(-a)=0$ হবে।
$P(-a) = (-a)^3 + a(-a)^2 – 2(-a) + a – 12 = 0$
$-a^3 + a(a^2) + 2a + a – 12 = 0$
$-a^3 + a^3 + 3a – 12 = 0$
$3a = 12 \implies a = 4$
উত্তর: $a$-এর মান 4।
(ii) $k^{2}x^{3}-kx^{2}+3kx-k^{2}$ বহুপদী সংখ্যামালার $x-3$ একটি উৎপাদক হলে, $k$-এর মান কত হিসাব করে লিখি।
সহজ ব্যাখ্যা: $(x-3)$ উৎপাদক হলে $P(3)=0$ হবে।
$P(3) = k^{2}(3)^3 – k(3)^2 + 3k(3) – k^{2} = 0$
$27k^{2} – 9k + 9k – k^{2} = 0$
$26k^{2} = 0 \implies k = 0$
উত্তর: $k$-এর মান 0।
(iii) $f(x)=2x+5$ হলে, $f(x)+f(-x)$-এর মান কত হবে লিখি।
$f(x) = 2x+5$
$f(-x) = 2(-x) + 5 = 5 – 2x$
$f(x) + f(-x) = (2x+5) + (5-2x) = 10$
উত্তর: মান 10।
(iv) $px^{2}+5x+r$ বহুপদী সংখ্যামালার $(x-2)$ এবং $(x-\frac{1}{2})$ উভয়েই উৎপাদক হলে, $p$ ও $r$ এর মধ্যে সম্পর্ক হিসাব করে লিখি।
ধরি, $P(x) = px^{2}+5x+r$।
শর্ত ১: $(x-2)$ উৎপাদক → $P(2) = 0$
$p(2)^2 + 5(2) + r = 0 \implies 4p + 10 + r = 0$ (সমীকরণ ১)
শর্ত ২: $(x-\frac{1}{2})$ উৎপাদক → $P(\frac{1}{2}) = 0$
$p(\frac{1}{2})^2 + 5(\frac{1}{2}) + r = 0 \implies \frac{p}{4} + \frac{5}{2} + r = 0$ (সমীকরণ ২)
সমীকরণ (২)-কে 4 দ্বারা গুণ করি:
$p + 10 + 4r = 0$ (সমীকরণ ৩)
সমীকরণ (১) থেকে (৩) বিয়োগ করে পাই:
$(4p + 10 + r) – (p + 10 + 4r) = 0 – 0$
$3p – 3r = 0 \implies 3p = 3r \implies p = r$
উত্তর: $p = r$।
(v) $f(x)=2x+3$ রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য কত হবে লিখি।
$2x+3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2}$
উত্তর: শূন্য $-\frac{3}{2}$।
শেয়ার