নবম শ্রেণি গনিত: উৎপাদকে বিশ্লেষণ কষে দেখি 8.1
১. $x^{3}-3x+2$
সমাধান:
ধরি, $P(x) = x^3 – 3x + 2$
$x=1$ বসিয়ে পাই: $P(1) = 1^3 – 3(1) + 2 = 1 – 3 + 2 = 0$
সুতরাং, $(x-1)$ একটি উৎপাদক।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$= x^3 – x^2 + x^2 – x – 2x + 2$
$= x^2(x – 1) + x(x – 1) – 2(x – 1)$
$= (x – 1)(x^2 + x – 2)$
$= (x – 1)(x^2 + 2x – x – 2)$
$= (x – 1)[x(x + 2) – 1(x + 2)]$
$= (x – 1)(x + 2)(x – 1)$
$= (x – 1)^2 (x + 2)$
উত্তর: $(x – 1)^2 (x + 2)$।
২. $x^{3}+2x+3$
সমাধান:
ধরি, $P(x) = x^3 + 2x + 3$
$x=-1$ বসিয়ে পাই: $P(-1) = (-1)^3 + 2(-1) + 3 = -1 – 2 + 3 = 0$
সুতরাং, $(x+1)$ একটি উৎপাদক।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$= x^3 + x^2 – x^2 – x + 3x + 3$
$= x^2(x + 1) – x(x + 1) + 3(x + 1)$
$= (x + 1)(x^2 – x + 3)$
উত্তর: $(x + 1)(x^2 – x + 3)$।
৩. $a^{3}-12a+16$
সমাধান:
ধরি, $P(a) = a^3 – 12a + 16$
$a=2$ বসিয়ে পাই: $P(2) = 2^3 – 12(2) + 16 = 8 – 24 + 16 = 0$
সুতরাং, $(a-2)$ একটি উৎপাদক।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$= a^3 – 2a^2 + 2a^2 – 4a – 8a + 16$
$= a^2(a – 2) + 2a(a – 2) – 8(a – 2)$
$= (a – 2)(a^2 + 2a – 8)$
$= (a – 2)(a^2 + 4a – 2a – 8)$
$= (a – 2)[a(a + 4) – 2(a + 4)]$
$= (a – 2)(a + 4)(a – 2)$
$= (a – 2)^2 (a + 4)$
উত্তর: $(a – 2)^2 (a + 4)$।
৪. $x^{3}-6x+4$
সমাধান:
ধরি, $P(x) = x^3 – 6x + 4$
$x=2$ বসিয়ে পাই: $P(2) = 2^3 – 6(2) + 4 = 8 – 12 + 4 = 0$
সুতরাং, $(x-2)$ একটি উৎপাদক।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$= x^3 – 2x^2 + 2x^2 – 4x – 2x + 4$
$= x^2(x – 2) + 2x(x – 2) – 2(x – 2)$
$= (x – 2)(x^2 + 2x – 2)$
উত্তর: $(x – 2)(x^2 + 2x – 2)$।
৫. $x^{3}-19x-30$
সমাধান:
ধরি, $P(x) = x^3 – 19x – 30$
$x=-2$ বসিয়ে পাই: $P(-2) = (-2)^3 – 19(-2) – 30 = -8 + 38 – 30 = 0$
সুতরাং, $(x+2)$ একটি উৎপাদক।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$= x^3 + 2x^2 – 2x^2 – 4x – 15x – 30$
$= x^2(x + 2) – 2x(x + 2) – 15(x + 2)$
$= (x + 2)(x^2 – 2x – 15)$
$= (x + 2)(x^2 – 5x + 3x – 15)$
$= (x + 2)[x(x – 5) + 3(x – 5)]$
$= (x + 2)(x – 5)(x + 3)$
উত্তর: $(x + 2)(x – 5)(x + 3)$।
৬. $4a^{3}-9a^{2}+3a+2$
সমাধান:
ধরি, $P(a) = 4a^3 – 9a^2 + 3a + 2$
$a=1$ বসিয়ে পাই: $P(1) = 4(1)^3 – 9(1)^2 + 3(1) + 2 = 4 – 9 + 3 + 2 = 0$
সুতরাং, $(a-1)$ একটি উৎপাদক।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$= 4a^3 – 4a^2 – 5a^2 + 5a – 2a + 2$
$= 4a^2(a – 1) – 5a(a – 1) – 2(a – 1)$
$= (a – 1)(4a^2 – 5a – 2)$
উত্তর: $(a – 1)(4a^2 – 5a – 2)$।
৭. $x^{3}-9x^{2}+23x-15$
সমাধান:
ধরি, $P(x) = x^3 – 9x^2 + 23x – 15$
$x=1$ বসিয়ে পাই: $P(1) = 1^3 – 9(1)^2 + 23(1) – 15 = 1 – 9 + 23 – 15 = 0$
সুতরাং, $(x-1)$ একটি উৎপাদক।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$= x^3 – x^2 – 8x^2 + 8x + 15x – 15$
$= x^2(x – 1) – 8x(x – 1) + 15(x – 1)$
$= (x – 1)(x^2 – 8x + 15)$
$= (x – 1)(x^2 – 5x – 3x + 15)$
$= (x – 1)[x(x – 5) – 3(x – 5)]$
$= (x – 1)(x – 5)(x – 3)$
উত্তর: $(x – 1)(x – 5)(x – 3)$।
৮. $5a^{3}+11a^{2}+4a-2$
সমাধান:
ধরি, $P(a) = 5a^3 + 11a^2 + 4a – 2$
$a=-1$ বসিয়ে পাই: $P(-1) = 5(-1)^3 + 11(-1)^2 + 4(-1) – 2 = -5 + 11 – 4 – 2 = 0$
সুতরাং, $(a+1)$ একটি উৎপাদক।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$= 5a^3 + 5a^2 + 6a^2 + 6a – 2a – 2$
$= 5a^2(a + 1) + 6a(a + 1) – 2(a + 1)$
$= (a + 1)(5a^2 + 6a – 2)$
উত্তর: $(a + 1)(5a^2 + 6a – 2)$।
৯. $2x^{3}-x^{2}+9x+5$
সমাধান:
ধরি, $P(x) = 2x^3 – x^2 + 9x + 5$
$x$ এর সহগগুলির যোগফল $2 – 1 + 9 + 5 = 15 \ne 0$।
$x=-1$ বসিয়ে পাই: $P(-1) = 2(-1)^3 – (-1)^2 + 9(-1) + 5 = -2 – 1 – 9 + 5 = -7 \ne 0$।
চেক করি $x=-1/2$:
$P(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{8}) – (\frac{1}{4}) + 9(-\frac{1}{2}) + 5 = -\frac{1}{4} – \frac{1}{4} – \frac{18}{4} + \frac{20}{4}$
$= \frac{-1 – 1 – 18 + 20}{4} = \frac{0}{4} = 0$
সুতরাং, $(2x+1)$ একটি উৎপাদক।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$= 2x^3 + x^2 – 2x^2 – x + 10x + 5$
$= x^2(2x + 1) – x(2x + 1) + 5(2x + 1)$
$= (2x + 1)(x^2 – x + 5)$
উত্তর: $(2x + 1)(x^2 – x + 5)$।
১০. $2y^{3}-5y^{2}-19y+42$
সমাধান:
ধরি, $P(y) = 2y^3 – 5y^2 – 19y + 42$
$y=2$ বসিয়ে পাই: $P(2) = 2(2)^3 – 5(2)^2 – 19(2) + 42 = 16 – 20 – 38 + 42 = 0$
সুতরাং, $(y-2)$ একটি উৎপাদক।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$= 2y^3 – 4y^2 – y^2 + 2y – 21y + 42$
$= 2y^2(y – 2) – y(y – 2) – 21(y – 2)$
$= (y – 2)(2y^2 – y – 21)$
$= (y – 2)(2y^2 – 7y + 6y – 21)$
$= (y – 2)[y(2y – 7) + 3(2y – 7)]$
$= (y – 2)(2y – 7)(y + 3)$
উত্তর: $(y – 2)(2y – 7)(y + 3)$।
শেয়ার