নবম শ্রেণি গনিত: কষে দেখি – 19
কষে দেখি – ১৯ (স্থানাঙ্ক জ্যামিতি)
1. নীচের বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশগুলি যে বিন্দুতে প্রদত্ত অনুপাতে বিভক্ত তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।
(i) (6, -14) এবং (-8, 10); 3:4 অনুপাতে অন্তঃস্থভাবে।
সমাধান:
ধরি, নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(x, y)$।
এখানে, $x_1 = 6, y_1 = -14$
$x_2 = -8, y_2 = 10$
$m:n = 3:4$
যেহেতু বিন্দুটি প্রদত্ত অনুপাতে অন্তঃস্থভাবে বিভক্ত করে, তাই অন্তঃস্থভাবে বিভক্তির সূত্রানুসারে,
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}$
$= \frac{3(-8) + 4(6)}{3+4}$
$= \frac{-24 + 24}{7}$
$= \frac{0}{7} = 0$
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n}$
$= \frac{3(10) + 4(-14)}{3+4}$
$= \frac{30 – 56}{7}$
$= \frac{-26}{7}$
উত্তর: নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0, -\frac{26}{7})$।
(ii) (5, 3) এবং (-7, -2); 2:3 অনুপাতে অন্তঃস্থভাবে।
সমাধান:
এখানে, $x_1 = 5, y_1 = 3$
$x_2 = -7, y_2 = -2$
$m:n = 2:3$
অন্তঃস্থভাবে বিভক্তির সূত্রানুসারে নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক:
$x = \frac{2(-7) + 3(5)}{2+3} = \frac{-14 + 15}{5} = \frac{1}{5}$
$y = \frac{2(-2) + 3(3)}{2+3} = \frac{-4 + 9}{5} = \frac{5}{5} = 1$
উত্তর: নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{1}{5}, 1)$।
(iii) (-1, 2) এবং (4, -5); 3:2 অনুপাতে বহিঃস্থভাবে।
সমাধান:
এখানে, $x_1 = -1, y_1 = 2$
$x_2 = 4, y_2 = -5$
$m:n = 3:2$
বহিঃস্থভাবে বিভক্তির সূত্রানুসারে নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(x, y)$ হলে,
$x = \frac{mx_2 – nx_1}{m-n}$
$= \frac{3(4) – 2(-1)}{3-2}$
$= \frac{12 + 2}{1} = 14$
$y = \frac{my_2 – ny_1}{m-n}$
$= \frac{3(-5) – 2(2)}{3-2}$
$= \frac{-15 – 4}{1} = -19$
উত্তর: নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(14, -19)$।
(iv) (3, 2) এবং (6, 5); 2:1 অনুপাতে বহিঃস্থভাবে।
সমাধান:
এখানে, $x_1 = 3, y_1 = 2$
$x_2 = 6, y_2 = 5$
$m:n = 2:1$
বহিঃস্থভাবে বিভক্তির সূত্রানুসারে,
$x = \frac{2(6) – 1(3)}{2-1} = \frac{12 – 3}{1} = 9$
$y = \frac{2(5) – 1(2)}{2-1} = \frac{10 – 2}{1} = 8$
উত্তর: নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(9, 8)$।
2. নীচের প্রত্যেক বিন্দুগুলোর সংযোজক সরলরেখাংশগুলির মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি:
(i) (5, 4) এবং (3, -4)
সমাধান:
আমরা জানি, $(x_1, y_1)$ এবং $(x_2, y_2)$ বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$।
এখানে, $(5, 4)$ এবং $(3, -4)$ বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
$= (\frac{5+3}{2}, \frac{4+(-4)}{2})$
$= (\frac{8}{2}, \frac{0}{2})$
$= (4, 0)$
উত্তর: মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(4, 0)$।
(ii) (6, 0) এবং (0, 7)
সমাধান:
এখানে, $(6, 0)$ এবং $(0, 7)$ বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
$= (\frac{6+0}{2}, \frac{0+7}{2})$
$= (3, \frac{7}{2})$
$= (3, 3.5)$
উত্তর: মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(3, 3.5)$।
3. (1, 3) বিন্দুটি (4, 6) ও (3, 5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে কী অনুপাতে বিভক্ত করেছে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, $(1, 3)$ বিন্দুটি প্রদত্ত বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে $m:n$ অনুপাতে বিভক্ত করেছে।
এখানে, $x_1 = 4, x_2 = 3$ এবং বিভাজন বিন্দুর ভুজ $x = 1$।
বিভক্তির সূত্রানুসারে,
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}$
বা, $1 = \frac{m(3) + n(4)}{m+n}$
বা, $m + n = 3m + 4n$
বা, $m – 3m = 4n – n$
বা, $-2m = 3n$
বা, $\frac{m}{n} = \frac{3}{-2}$
বা, $\frac{m}{n} = -\frac{3}{2}$
ঋণাত্মক চিহ্ন নির্দেশ করে যে বিন্দুটি প্রদত্ত সরলরেখাংশকে বহিঃস্থভাবে বিভক্ত করেছে।
উত্তর: (1, 3) বিন্দুটি প্রদত্ত সংযোজক সরলরেখাংশকে 3:2 অনুপাতে বহিঃস্থভাবে বিভক্ত করেছে।
4. (7, 3) ও (-9, 6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশ y-অক্ষ দ্বারা কী অনুপাতে বিভক্ত হয়েছে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, y-অক্ষ প্রদত্ত বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে $m:n$ অনুপাতে বিভক্ত করেছে।
আমরা জানি, y-অক্ষের ওপর অবস্থিত যেকোনো বিন্দুর ভুজ (x-স্থানাঙ্ক) শূন্য (0) হয়।
এখানে, $x_1 = 7, x_2 = -9$
বিভক্তির সূত্রানুসারে, ছেদবিন্দুর ভুজ:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}$
শর্তানুসারে,
$\frac{m(-9) + n(7)}{m+n} = 0$
বা, $-9m + 7n = 0$
বা, $9m = 7n$
বা, $\frac{m}{n} = \frac{7}{9}$
উত্তর: y-অক্ষ প্রদত্ত সরলরেখাংশকে 7:9 অনুপাতে অন্তঃস্থভাবে বিভক্ত করেছে।
5. প্রমাণ করি যে A (7, 3), B (9, 6), C (10, 12) এবং D (8, 9) বিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে একটি সামান্তরিক গঠিত হবে।
সমাধান:
আমরা জানি, চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক হয়। অর্থাৎ, কর্ণ দুটির মধ্যবিন্দু একই হবে।
১. AC কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
A(7, 3) এবং C(10, 12) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু
$= (\frac{7+10}{2}, \frac{3+12}{2})$
$= (\frac{17}{2}, \frac{15}{2})$
২. BD কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
B(9, 6) এবং D(8, 9) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু
$= (\frac{9+8}{2}, \frac{6+9}{2})$
$= (\frac{17}{2}, \frac{15}{2})$
যেহেতু AC ও BD কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক একই, তাই কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।
প্রমাণিত: A, B, C এবং D বিন্দুগুলি যুক্ত করলে একটি সামান্তরিক গঠিত হবে।
6. যদি (3, 2), (6, 3), (x, y) এবং (6, 5) বিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে একটি সামান্তরিক গঠিত হয়, তাহলে (x, y) কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দুগুলি হলো A(3, 2), B(6, 3), C(x, y) এবং D(6, 5)।
সামান্তরিকের ধর্ম অনুযায়ী, কর্ণ AC এবং কর্ণ BD পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অতএব, AC-এর মধ্যবিন্দু = BD-এর মধ্যবিন্দু।
AC কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক = $(\frac{3+x}{2}, \frac{2+y}{2})$
BD কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক = $(\frac{6+6}{2}, \frac{3+5}{2}) = (\frac{12}{2}, \frac{8}{2}) = (6, 4)$
শর্তানুসারে,
$\frac{3+x}{2} = 6$ এবং $\frac{2+y}{2} = 4$
এখন,
$\frac{3+x}{2} = 6$
বা, $3+x = 12$
বা, $x = 12 – 3 = 9$
আবার,
$\frac{2+y}{2} = 4$
বা, $2+y = 8$
বা, $y = 8 – 2 = 6$
উত্তর: নির্ণেয় বিন্দু (x, y) এর মান (9, 6)।
7. যদি $(x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2}), (x_{3},y_{3})$ এবং $(x_{4},y_{4})$ বিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে একটি সামান্তরিক গঠিত হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, $x_{1}+x_{3}=x_{2}+x_{4}$ এবং $y_{1}+y_{3}=y_{2}+y_{4}$।
সমাধান:
ধরি, সামান্তরিকের চারটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে A$(x_1, y_1)$, B$(x_2, y_2)$, C$(x_3, y_3)$ এবং D$(x_4, y_4)$।
সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় (AC এবং BD) পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। সুতরাং, তাদের মধ্যবিন্দু একই হবে।
AC কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
$= (\frac{x_1+x_3}{2}, \frac{y_1+y_3}{2})$
BD কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
$= (\frac{x_2+x_4}{2}, \frac{y_2+y_4}{2})$
যেহেতু মধ্যবিন্দু একই, তাই ভুজ ও কোটি সমান হবে।
ভূজ সমান করে পাই:
$\frac{x_1+x_3}{2} = \frac{x_2+x_4}{2}$
বা, $x_1+x_3 = x_2+x_4$ (উভয়পক্ষ থেকে 2 বর্জন করে)
কোটি সমান করে পাই:
$\frac{y_1+y_3}{2} = \frac{y_2+y_4}{2}$
বা, $y_1+y_3 = y_2+y_4$
প্রমাণিত: $x_{1}+x_{3}=x_{2}+x_{4}$ এবং $y_{1}+y_{3}=y_{2}+y_{4}$।
8. ABC ত্রিভুজের A, B ও C শীর্ষবিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $(-1, 3)$, $(1, -1)$ এবং $(5, 1)$; AD মধ্যমার দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ত্রিভুজ ABC-এর শীর্ষবিন্দুগুলি হলো A$(-1, 3)$, B$(1, -1)$ এবং C$(5, 1)$।
AD হলো ত্রিভুজের মধ্যমা। অর্থাৎ, D হলো BC বাহুর মধ্যবিন্দু।
BC বাহুর মধ্যবিন্দু D-এর স্থানাঙ্ক:
$= (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$
$= (\frac{1+5}{2}, \frac{-1+1}{2})$
$= (\frac{6}{2}, \frac{0}{2})$
$= (3, 0)$
এখন, AD মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি (দূরত্বের সূত্রানুসারে):
A$(-1, 3)$ এবং D$(3, 0)$ এর দূরত্ব
$= \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$
$= \sqrt{(3 – (-1))^2 + (0 – 3)^2}$ একক
$= \sqrt{(3 + 1)^2 + (-3)^2}$ একক
$= \sqrt{4^2 + 9}$ একক
$= \sqrt{16 + 9}$ একক
$= \sqrt{25}$ একক
$= 5$ একক।
উত্তর: AD মধ্যমার দৈর্ঘ্য 5 একক।
9. একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $(2, -4)$, $(6, -2)$ এবং $(-4, 2)$; ত্রিভুজটির তিনটি মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি হলো A$(2, -4)$, B$(6, -2)$ এবং C$(-4, 2)$।
ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা হলো AD, BE এবং CF, যেখানে D, E এবং F যথাক্রমে BC, AC এবং AB বাহুর মধ্যবিন্দু।
১. AD মধ্যমার দৈর্ঘ্য:
BC-এর মধ্যবিন্দু D-এর স্থানাঙ্ক = $(\frac{6+(-4)}{2}, \frac{-2+2}{2}) = (\frac{2}{2}, \frac{0}{2}) = (1, 0)$
$\therefore AD = \sqrt{(1-2)^2 + (0-(-4))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1+16} = \sqrt{17}$ একক।
২. BE মধ্যমার দৈর্ঘ্য:
AC-এর মধ্যবিন্দু E-এর স্থানাঙ্ক = $(\frac{2+(-4)}{2}, \frac{-4+2}{2}) = (\frac{-2}{2}, \frac{-2}{2}) = (-1, -1)$
$\therefore BE = \sqrt{(-1-6)^2 + (-1-(-2))^2} = \sqrt{(-7)^2 + 1^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ একক।
৩. CF মধ্যমার দৈর্ঘ্য:
AB-এর মধ্যবিন্দু F-এর স্থানাঙ্ক = $(\frac{2+6}{2}, \frac{-4+(-2)}{2}) = (\frac{8}{2}, \frac{-6}{2}) = (4, -3)$
$\therefore CF = \sqrt{(4-(-4))^2 + (-3-2)^2} = \sqrt{8^2 + (-5)^2} = \sqrt{64+25} = \sqrt{89}$ একক।
উত্তর: ত্রিভুজটির তিনটি মধ্যমার দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $\sqrt{17}$ একক, $5\sqrt{2}$ একক এবং $\sqrt{89}$ একক।
10. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(4, 3)$, $(-2, 7)$ এবং $(0, 11)$; ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু তিনটি যথাক্রমে A$(x_1, y_1)$, B$(x_2, y_2)$ এবং C$(x_3, y_3)$।
AB, BC এবং CA বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $(4, 3)$, $(-2, 7)$ এবং $(0, 11)$।
স্থানাঙ্ক নির্ণয়:
১. AB বাহুর মধ্যবিন্দু $(4, 3)$।
$\frac{x_1+x_2}{2} = 4 \Rightarrow x_1+x_2 = 8$ ……(i)
$\frac{y_1+y_2}{2} = 3 \Rightarrow y_1+y_2 = 6$ ……(iv)
২. BC বাহুর মধ্যবিন্দু $(-2, 7)$।
$\frac{x_2+x_3}{2} = -2 \Rightarrow x_2+x_3 = -4$ ……(ii)
$\frac{y_2+y_3}{2} = 7 \Rightarrow y_2+y_3 = 14$ ……(v)
৩. CA বাহুর মধ্যবিন্দু $(0, 11)$।
$\frac{x_3+x_1}{2} = 0 \Rightarrow x_3+x_1 = 0$ ……(iii)
$\frac{y_3+y_1}{2} = 11 \Rightarrow y_3+y_1 = 22$ ……(vi)
ভুজ ($x$) এর মান নির্ণয়:
(i), (ii) ও (iii) যোগ করে পাই,
$2(x_1+x_2+x_3) = 8 – 4 + 0 = 4$
বা, $x_1+x_2+x_3 = 2$
এখন,
$x_3 = (x_1+x_2+x_3) – (x_1+x_2) = 2 – 8 = -6$
$x_1 = (x_1+x_2+x_3) – (x_2+x_3) = 2 – (-4) = 6$
$x_2 = (x_1+x_2+x_3) – (x_3+x_1) = 2 – 0 = 2$
কোটি ($y$) এর মান নির্ণয়:
(iv), (v) ও (vi) যোগ করে পাই,
$2(y_1+y_2+y_3) = 6 + 14 + 22 = 42$
বা, $y_1+y_2+y_3 = 21$
এখন,
$y_3 = (y_1+y_2+y_3) – (y_1+y_2) = 21 – 6 = 15$
$y_1 = (y_1+y_2+y_3) – (y_2+y_3) = 21 – 14 = 7$
$y_2 = (y_1+y_2+y_3) – (y_3+y_1) = 21 – 22 = -1$
উত্তর: ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $(6, 7)$, $(2, -1)$ এবং $(-6, 15)$।
কষে দেখি – ১৯ (M.C.Q.)
(i) $(l, 2m)$ এবং $(-l+2m, 2l-2m)$ বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক–
সমাধান:
আমরা জানি, $(x_1, y_1)$ এবং $(x_2, y_2)$ বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$।
এখানে, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় হলো $(l, 2m)$ এবং $(-l+2m, 2l-2m)$।
মধ্যবিন্দুর ভুজ ($x$) = $\frac{l + (-l+2m)}{2} = \frac{2m}{2} = m$
মধ্যবিন্দুর কোটি ($y$) = $\frac{2m + (2l-2m)}{2} = \frac{2l}{2} = l$
সুতরাং, মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(m, l)$।
সঠিক উত্তর: (d) $(m, l)$
(ii) A (1, 5) এবং B (-4, 7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে P বিন্দু অন্তঃস্থভাবে 2:3 অনুপাতে বিভক্ত করলে P বিন্দুর ভুজ–
সমাধান:
এখানে, $x_1 = 1, x_2 = -4$
$m = 2, n = 3$
অন্তঃস্থভাবে বিভক্তকারী বিন্দুর ভুজ নির্ণয়ের সূত্র:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}$
মান বসিয়ে পাই,
$x = \frac{2(-4) + 3(1)}{2+3}$
$= \frac{-8 + 3}{5}$
$= \frac{-5}{5}$
$= -1$
সঠিক উত্তর: (a) -1
(iii) একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক (7, 9) এবং (-1, -3); বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক–
সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র হলো ব্যাসের মধ্যবিন্দু।
প্রান্তবিন্দুদ্বয় $(7, 9)$ এবং $(-1, -3)$।
কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক = $(\frac{7+(-1)}{2}, \frac{9+(-3)}{2})$
$= (\frac{6}{2}, \frac{6}{2})$
$= (3, 3)$
সঠিক উত্তর: (a) $(3, 3)$
(iv) (2, -5) এবং (-3, -2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে একটি বিন্দু 4:3 অনুপাতে বহিঃস্থভাবে বিভক্ত করেছে। ওই বিন্দুর কোটি–
সমাধান:
এখানে, $y_1 = -5, y_2 = -2$
$m = 4, n = 3$
বহিঃস্থভাবে বিভক্তকারী বিন্দুর কোটি ($y$) নির্ণয়ের সূত্র:
$y = \frac{my_2 – ny_1}{m-n}$
মান বসিয়ে পাই,
$y = \frac{4(-2) – 3(-5)}{4-3}$
$= \frac{-8 + 15}{1}$
$= 7$
সঠিক উত্তর: (d) 7
(v) PQRS সামান্তরিকের P(1, 2), Q(4, 6), R(5, 7) এবং S(x, y) শীর্ষবিন্দু হলে–
সমাধান:
আমরা জানি, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অর্থাৎ, PR কর্ণের মধ্যবিন্দু এবং QS কর্ণের মধ্যবিন্দু একই হবে।
PR কর্ণের মধ্যবিন্দু = $(\frac{1+5}{2}, \frac{2+7}{2}) = (3, 4.5)$
QS কর্ণের মধ্যবিন্দু = $(\frac{4+x}{2}, \frac{6+y}{2})$
তুলনা করে পাই,
১) $\frac{4+x}{2} = 3 \Rightarrow 4+x = 6 \Rightarrow x = 2$
২) $\frac{6+y}{2} = 4.5 \Rightarrow 6+y = 9 \Rightarrow y = 3$
সুতরাং, $x = 2, y = 3$
সঠিক উত্তর: (c) $x=2, y=3$
কষে দেখি – ১৯ (সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন)
(i) একটি বৃত্তের কেন্দ্র C এবং ব্যাস AB; A এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (6, -7) এবং (5, -2) হলে, B বিন্দুর স্থানাঙ্ক হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
যেহেতু AB বৃত্তের ব্যাস এবং C বৃত্তের কেন্দ্র, তাই C হলো AB রেখাংশের মধ্যবিন্দু।
ধরি, B বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(x, y)$।
প্রদত্ত, A বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(6, -7)$ এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(5, -2)$।
মধ্যবিন্দুর সূত্রানুসারে,
$\frac{6+x}{2} = 5$ এবং $\frac{-7+y}{2} = -2$
এখন,
$\frac{6+x}{2} = 5$
বা, $6+x = 10$
বা, $x = 10 – 6 = 4$
আবার,
$\frac{-7+y}{2} = -2$
বা, $-7+y = -4$
বা, $y = -4 + 7 = 3$
উত্তর: B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, 3)।
(ii) P ও Q বিন্দু যথাক্রমে প্রথম ও তৃতীয় পাদে অবস্থিত এবং x-অক্ষ ও y-অক্ষ থেকে বিন্দুদুটির প্রত্যেকটির দূরত্ব যথাক্রমে 6 একক এবং 4 একক। PQ সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি।
সমাধান:
কোনো বিন্দুর x-অক্ষ থেকে দূরত্ব হলো তার কোটির ($y$-স্থানাঙ্ক) মান এবং y-অক্ষ থেকে দূরত্ব হলো তার ভুজের ($x$-স্থানাঙ্ক) মান ।
প্রশ্নানুসারে,
x-অক্ষ থেকে দূরত্ব = 6 একক (অর্থাৎ $|y| = 6$)
y-অক্ষ থেকে দূরত্ব = 4 একক (অর্থাৎ $|x| = 4$)
১. P বিন্দু প্রথম পাদে অবস্থিত (যেখানে $x > 0, y > 0$):
সুতরাং, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(4, 6)$।
২. Q বিন্দু তৃতীয় পাদে অবস্থিত (যেখানে $x < 0, y < 0$):
সুতরাং, Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-4, -6)$।
PQ সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
$= (\frac{4+(-4)}{2}, \frac{6+(-6)}{2})$
$= (\frac{0}{2}, \frac{0}{2})$
$= (0, 0)$
উত্তর: PQ সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 0)।
(iii) A ও B বিন্দু যথাক্রমে দ্বিতীয় ও চতুর্থ পাদে অবস্থিত এবং x-অক্ষ ও y-অক্ষ থেকে বিন্দুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দূরত্ব যথাক্রমে 8 একক ও 6 একক। AB সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি।
সমাধান:
x-অক্ষ থেকে দূরত্ব 8 একক $\Rightarrow |y| = 8$
y-অক্ষ থেকে দূরত্ব 6 একক $\Rightarrow |x| = 6$
১. A বিন্দু দ্বিতীয় পাদে অবস্থিত (যেখানে $x < 0, y > 0$):
সুতরাং, A বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-6, 8)$।
২. B বিন্দু চতুর্থ পাদে অবস্থিত (যেখানে $x > 0, y < 0$):
সুতরাং, B বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(6, -8)$।
AB সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
$= (\frac{-6+6}{2}, \frac{8+(-8)}{2})$
$= (\frac{0}{2}, \frac{0}{2})$
$= (0, 0)$
উত্তর: AB সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 0)।
(iv) AB সরলরেখাংশের উপর P একটি বিন্দু এবং AP = PB; A ও B বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (3, -4) এবং (-5, 2); P বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি।
সমাধান:
যেহেতু $AP = PB$, তাই P হলো AB সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু।
A$(3, -4)$ এবং B$(-5, 2)$ বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু P-এর স্থানাঙ্ক:
$= (\frac{3+(-5)}{2}, \frac{-4+2}{2})$
$= (\frac{-2}{2}, \frac{-2}{2})$
$= (-1, -1)$
উত্তর: P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, -1)।
(v) ABCD আয়তক্ষেত্রের বাহুগুলি অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল। B এবং D বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (7, 3) এবং (2, 6); A ও C বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং AC কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি।
সমাধান:
প্রদত্ত, আয়তক্ষেত্রের বাহুগুলি অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল এবং বিপরীত দুটি শীর্ষবিন্দু B$(7, 3)$ ও D$(2, 6)$।
সুতরাং, অপর দুটি শীর্ষবিন্দু A এবং C-এর স্থানাঙ্ক হবে $(2, 3)$ এবং $(7, 6)$।
(কারণ A ও C বিন্দুর ভুজ ও কোটি যথাক্রমে B ও D বিন্দুর ভুজ ও কোটির সমন্বয়ে গঠিত হবে)।
১. A ও C বিন্দুর স্থানাঙ্ক:
যদি আমরা প্রচলিত ক্রম ধরি, তবে A$(2, 3)$ এবং C$(7, 6)$।
২. AC কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই AC কর্ণের মধ্যবিন্দু ও BD কর্ণের মধ্যবিন্দু একই হবে।
AC-এর মধ্যবিন্দু = $(\frac{2+7}{2}, \frac{3+6}{2})$
$= (\frac{9}{2}, \frac{9}{2})$
$= (4.5, 4.5)$
উত্তর: A ও C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (2, 3) ও (7, 6) এবং AC কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (4.5, 4.5)।
শেয়ার