নবম শ্রেণি: গনিত কষে দেখি – 21 log

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি = $\log_{4}(\frac{1}{64})$

আমরা জানি, $64 = 4^3$
সুতরাং, $\frac{1}{64} = \frac{1}{4^3} = 4^{-3}$

অতএব,
$= \log_{4}(4^{-3})$
$= -3 \log_{4}4$ [সূত্র: $\log_a m^n = n \log_a m$]
$= -3 \times 1$ [সূত্র: $\log_a a = 1$]
$= -3$

উত্তর: নির্ণেয় মান -3

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি = $\log_{0.01}0.000001$

আমরা জানি,
$0.01 \times 0.01 \times 0.01 = 0.000001$
অর্থাৎ, $(0.01)^3 = 0.000001$

অতএব,
$= \log_{0.01}(0.01)^3$
$= 3 \log_{0.01}(0.01)$
$= 3 \times 1$
$= 3$

উত্তর: নির্ণেয় মান 3

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি = $\log_{\sqrt{6}}216$

আমরা জানি, $216 = 6^3$
আবার, $6 = (\sqrt{6})^2$
সুতরাং, $216 = \{(\sqrt{6})^2\}^3 = (\sqrt{6})^6$

অতএব,
$= \log_{\sqrt{6}}(\sqrt{6})^6$
$= 6 \log_{\sqrt{6}}\sqrt{6}$
$= 6 \times 1$
$= 6$

উত্তর: নির্ণেয় মান 6

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি = $\log_{2\sqrt{3}} 1728$

এখানে নিধান (base) হলো $2\sqrt{3}$।
এখন, $2\sqrt{3} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{12}$।
আবার, $1728 = 12^3$
$= \{(\sqrt{12})^2\}^3 = (\sqrt{12})^6$
$= (2\sqrt{3})^6$

অতএব,
$= \log_{2\sqrt{3}}(2\sqrt{3})^6$
$= 6 \log_{2\sqrt{3}}(2\sqrt{3})$
$= 6 \times 1$
$= 6$

উত্তর: নির্ণেয় মান 6

সমাধান:

ধরি, নিধান = $x$

প্রশ্নানুসারে,
$\log_{x}625 = 4$
বা, $x^4 = 625$
বা, $x^4 = 5^4$ [কারণ $5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625$]
বা, $x = 5$

উত্তর: নিধান 5

সমাধান:

ধরি, নিধান = $x$

প্রশ্নানুসারে,
$\log_{x}5832 = 6$
বা, $x^6 = 5832$

এখন, 5832-কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
$5832 = 8 \times 729 = 2^3 \times 9^3 = (2 \times 9)^3 = 18^3$
কিন্তু আমাদের ঘাত 6 করতে হবে।
$18^3 = \{(\sqrt{18})^2\}^3 = (\sqrt{18})^6$
আবার, $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$
সুতরাং, $5832 = (3\sqrt{2})^6$

অতএব,
$x^6 = (3\sqrt{2})^6$
বা, $x = 3\sqrt{2}$

উত্তর: নিধান $3\sqrt{2}$

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ,
$1 + \log_{10}a = 2 \log_{10}b$

বা, $\log_{10}10 + \log_{10}a = \log_{10}b^2$ [যেহেতু $\log_{10}10 = 1$ এবং $n \log m = \log m^n$]
বা, $\log_{10}(10 \times a) = \log_{10}b^2$ [সূত্র: $\log m + \log n = \log mn$]
বা, $10a = b^2$ [উভয়পক্ষ থেকে লগারিদম বর্জন করে]
বা, $a = \frac{b^2}{10}$

উত্তর: $a = \frac{b^2}{10}$

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ,
$3 + \log_{10}x = 2 \log_{10}y$

বা, $3 \times 1 + \log_{10}x = \log_{10}y^2$
বা, $3 \log_{10}10 + \log_{10}x = \log_{10}y^2$ [যেহেতু $\log_{10}10 = 1$]
বা, $\log_{10}10^3 + \log_{10}x = \log_{10}y^2$
বা, $\log_{10}1000 + \log_{10}x = \log_{10}y^2$
বা, $\log_{10}(1000 \times x) = \log_{10}y^2$
বা, $1000x = y^2$
বা, $x = \frac{y^2}{1000}$

উত্তর: $x = \frac{y^2}{1000}$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি = $\log_{2}[\log_{2}\{\log_{3}(\log_{3}27^{3})\}]$

প্রথম অংশ (ভিতর থেকে):
$\log_{3}27^{3} = 3 \log_{3}27$
$= 3 \log_{3}(3^3)$
$= 3 \times 3 \log_{3}3$
$= 9 \times 1 = 9$

এখন রাশিটি দাঁড়ালো:
$= \log_{2}[\log_{2}\{\log_{3}9\}]$
$= \log_{2}[\log_{2}\{\log_{3}3^2\}]$
$= \log_{2}[\log_{2}\{2 \log_{3}3\}]$
$= \log_{2}[\log_{2}\{2 \times 1\}]$
$= \log_{2}[\log_{2}2]$
$= \log_{2}[1]$ [যেহেতু $\log_{a}a = 1$]
$= 0$ [যেহেতু $\log_{a}1 = 0$]

উত্তর: নির্ণেয় মান 0

সমাধান:

লব (Numerator) = $\log\sqrt{27} + \log 8 – \log\sqrt{1000}$
$= \log(3^3)^{\frac{1}{2}} + \log 2^3 – \log(10^3)^{\frac{1}{2}}$
$= \log 3^{\frac{3}{2}} + \log 2^3 – \log 10^{\frac{3}{2}}$
$= \frac{3}{2}\log 3 + 3\log 2 – \frac{3}{2}\log 10$
$= \frac{3}{2}(\log 3 + 2\log 2 – \log 10)$
$= \frac{3}{2}(\log 3 + \log 2^2 – \log 10)$
$= \frac{3}{2}(\log 3 + \log 4 – \log 10)$
$= \frac{3}{2}\log(\frac{3 \times 4}{10})$
$= \frac{3}{2}\log(\frac{12}{10})$
$= \frac{3}{2}\log 1.2$

এখন পুরো রাশিটি হলো:
$= \frac{\frac{3}{2}\log 1.2}{\log 1.2}$
$= \frac{3}{2}$

উত্তর: নির্ণেয় মান $\frac{3}{2}$ (বা 1.5)

সমাধান:

আমরা জানি, $\log_{a}b \times \log_{b}c = \log_{a}c$

প্রদত্ত রাশি:
$= (\log_{3}4 \times \log_{4}5) \times \log_{5}6 \times \log_{6}7 \times \log_{7}3$
$= \log_{3}5 \times \log_{5}6 \times \log_{6}7 \times \log_{7}3$
$= (\log_{3}5 \times \log_{5}6) \times \log_{6}7 \times \log_{7}3$
$= \log_{3}6 \times \log_{6}7 \times \log_{7}3$
$= (\log_{3}6 \times \log_{6}7) \times \log_{7}3$
$= \log_{3}7 \times \log_{7}3$
$= \log_{3}3$
$= 1$

উত্তর: নির্ণেয় মান 1

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি:
$= \log_{10}\frac{384}{5} + \log_{10}\frac{81}{32} + \log_{10}(\frac{5}{3})^3 + \log_{10}\frac{1}{9}$
$= \log_{10}\frac{384}{5} + \log_{10}\frac{81}{32} + \log_{10}\frac{125}{27} + \log_{10}\frac{1}{9}$

আমরা জানি, $\log a + \log b + \log c + \log d = \log (a \times b \times c \times d)$

$= \log_{10} \left( \frac{384}{5} \times \frac{81}{32} \times \frac{125}{27} \times \frac{1}{9} \right)$

কাটাকুটি করে পাই:
$384 \div 32 = 12$
$81 \div 27 = 3$
$125 \div 5 = 25$

রাশিটি দাঁড়ায়:
$= \log_{10} (12 \times 3 \times 25 \times \frac{1}{9})$
$= \log_{10} (\frac{36 \times 25}{9})$
$= \log_{10} (4 \times 25)$
$= \log_{10} 100$
$= \log_{10} 10^2$
$= 2 \log_{10} 10$
$= 2 \times 1$
$= 2$

উত্তর: নির্ণেয় মান 2

প্রমাণ:

বামপক্ষ (L.H.S.)
$= \log\frac{75}{16} – 2\log\frac{5}{9} + \log\frac{32}{243}$
$= \log\frac{75}{16} – \log(\frac{5}{9})^2 + \log\frac{32}{243}$
$= \log\frac{75}{16} – \log\frac{25}{81} + \log\frac{32}{243}$
$= \log \left( \frac{75}{16} \div \frac{25}{81} \times \frac{32}{243} \right)$
$= \log \left( \frac{75}{16} \times \frac{81}{25} \times \frac{32}{243} \right)$

কাটাকুটি করে পাই:
$\frac{75}{25} = 3$
$\frac{32}{16} = 2$
$\frac{81 \times 3}{243} = \frac{243}{243} = 1$

$= \log(3 \times 1 \times \frac{81}{243} \times 2)$ (উপরের সরলীকৃত মান অনুযায়ী সরাসরি লিখলে)
$= \log \left( \frac{3 \times 81 \times 2}{243} \right)$
$= \log \left( \frac{243 \times 2}{243} \right)$
$= \log 2$
$= \text{R.H.S.}$

(প্রমাণিত)

প্রমাণ:

বামপক্ষ (L.H.S.)
$= \log_{10}15(\log_{15}15+\log_{15}30) + \log_{10}(16)^{\frac{1}{2}}(\log_{4}4+\log_{4}7) – \log_{10}6(\log_{6}3+\log_{6}6+\log_{6}7)$
[যেহেতু $1 = \log_{a}a$ এবং $\frac{1}{2}\log x = \log \sqrt{x}$]
$= \log_{10}15 \times \log_{15}(15 \times 30) + \log_{10}4 \times \log_{4}(4 \times 7) – \log_{10}6 \times \log_{6}(3 \times 6 \times 7)$
$= \log_{10}15 \times \frac{\log_{10}450}{\log_{10}15} + \log_{10}4 \times \frac{\log_{10}28}{\log_{10}4} – \log_{10}6 \times \frac{\log_{10}126}{\log_{10}6}$
[ভিত্তি পরিবর্তন সূত্র $\log_b a = \frac{\log_k a}{\log_k b}$ ব্যবহার করে]
$= \log_{10}450 + \log_{10}28 – \log_{10}126$
$= \log_{10} \left( \frac{450 \times 28}{126} \right)$

গণনা:
$126 = 14 \times 9$
$28 \div 14 = 2$
$450 \div 9 = 50$
$\therefore \frac{450 \times 28}{126} = 50 \times 2 = 100$

$= \log_{10}100$
$= \log_{10}10^2$
$= 2 \log_{10}10$
$= 2 \times 1 = 2$
$= \text{R.H.S.}$

(প্রমাণিত)

প্রমাণ:

বামপক্ষ (L.H.S.)
$= \log_{2}\log_{2}\log_{4}(4^4) + 2\log_{2^{1/2}}2$
$= \log_{2}\log_{2}(4\log_{4}4) + 2 \times \frac{1}{1/2}\log_{2}2$ [সূত্র: $\log_{a^n}b = \frac{1}{n}\log_a b$]
$= \log_{2}\log_{2}(4 \times 1) + 2 \times 2 \times 1$
$= \log_{2}\log_{2}2^2 + 4$
$= \log_{2}(2\log_{2}2) + 4$
$= \log_{2}(2 \times 1) + 4$
$= \log_{2}2 + 4$
$= 1 + 4 = 5$
$= \text{R.H.S.}$

(প্রমাণিত)

প্রমাণ:

বামপক্ষ (L.H.S.)
আমরা জানি, $\log_{a^n}b = \frac{1}{n}\log_{a}b$

$\therefore \log_{x^{2}}x = \frac{1}{2}\log_{x}x = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$

অনুরূপভাবে, $\log_{y^{2}}y = \frac{1}{2}$ এবং $\log_{z^{2}}z = \frac{1}{2}$

সুতরাং,
$= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$
$= \frac{1}{8}$
$= \text{R.H.S.}$

(প্রমাণিত)

প্রমাণ:

বামপক্ষ (L.H.S.)
$= \frac{1}{3}\log_{b}a \times \frac{1}{3}\log_{c}b \times \frac{1}{3}\log_{a}c$
$= (\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}) \times (\log_{b}a \times \log_{c}b \times \log_{a}c)$
$= \frac{1}{27} \times (\log_{c}b \times \log_{b}a \times \log_{a}c)$ [ক্রম পরিবর্তন করে]
$= \frac{1}{27} \times (\log_{c}a \times \log_{a}c)$ [চেইন রুল: $\log_x y \times \log_y z = \log_x z$]
$= \frac{1}{27} \times \log_{c}c$
$= \frac{1}{27} \times 1$
$= \frac{1}{27}$
$= \text{R.H.S.}$

(প্রমাণিত)

প্রমাণ:

বামপক্ষ (L.H.S.)
আমরা জানি, $\frac{1}{\log_{b}a} = \log_{a}b$

$= \log_{xyz}(xy) + \log_{xyz}(yz) + \log_{xyz}(zx)$
$= \log_{xyz}(xy \times yz \times zx)$
$= \log_{xyz}(x^2 y^2 z^2)$
$= \log_{xyz}(xyz)^2$
$= 2 \log_{xyz}(xyz)$
$= 2 \times 1 = 2$
$= \text{R.H.S.}$

(প্রমাণিত)

প্রমাণ:

বামপক্ষ (L.H.S.)
$= \log \left( \frac{a^{2}}{bc} \times \frac{b^{2}}{ca} \times \frac{c^{2}}{ab} \right)$
$= \log \left( \frac{a^2 b^2 c^2}{a^2 b^2 c^2} \right)$
$= \log 1$
$= 0$
$= \text{R.H.S.}$

(প্রমাণিত)

প্রমাণ:

ধরি, $K = x^{\log y-\log z} \times y^{\log z-\log x} \times z^{\log x-\log y}$

উভয়পক্ষে লগ (log) নিয়ে পাই,
$\log K = \log(x^{\log y-\log z}) + \log(y^{\log z-\log x}) + \log(z^{\log x-\log y})$
$= (\log y – \log z)\log x + (\log z – \log x)\log y + (\log x – \log y)\log z$
$= \log y \log x – \log z \log x + \log z \log y – \log x \log y + \log x \log z – \log y \log z$

সব পদ কেটে গিয়ে,
$\log K = 0$
বা, $\log K = \log 1$
সুতরাং, $K = 1$

অতএব, $x^{\log y-\log z} \times y^{\log z-\log x} \times z^{\log x-\log y} = 1$
$= \text{R.H.S.}$

(প্রমাণিত)

প্রমাণ:

দেওয়া আছে,
$\log\frac{x+y}{5} = \frac{1}{2}(\log x + \log y)$
বা, $\log\frac{x+y}{5} = \frac{1}{2}\log(xy)$
বা, $\log\frac{x+y}{5} = \log(xy)^{\frac{1}{2}}$
বা, $\log\frac{x+y}{5} = \log\sqrt{xy}$

উভয়পক্ষ থেকে লগ (log) বর্জন করে পাই,
$\frac{x+y}{5} = \sqrt{xy}$
বা, $\frac{(x+y)^2}{25} = xy$ [উভয়পক্ষে বর্গ করে]
বা, $(x+y)^2 = 25xy$
বা, $x^2 + 2xy + y^2 = 25xy$
বা, $x^2 + y^2 = 25xy – 2xy$
বা, $x^2 + y^2 = 23xy$

উভয়পক্ষকে $xy$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$\frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} = \frac{23xy}{xy}$
বা, $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 23$

(প্রমাণিত)

প্রমাণ:

দেওয়া আছে,
$a^4 + b^4 = 14a^2b^2$
বা, $(a^2)^2 + (b^2)^2 = 14a^2b^2$
উভয়পক্ষে $2a^2b^2$ যোগ করে পাই,
$(a^2)^2 + 2a^2b^2 + (b^2)^2 = 14a^2b^2 + 2a^2b^2$
বা, $(a^2 + b^2)^2 = 16a^2b^2$
বা, $(a^2 + b^2)^2 = (4ab)^2$

উভয়পক্ষে বর্গমূল করে পাই,
$a^2 + b^2 = 4ab$

এখন উভয়পক্ষে লগ (log) নিয়ে পাই,
$\log(a^2 + b^2) = \log(4ab)$
$= \log(4 \times a \times b)$
$= \log 4 + \log a + \log b$
$= \log 2^2 + \log a + \log b$
$= 2\log 2 + \log a + \log b$
$= \log a + \log b + 2\log 2$ [সাজিয়ে লিখে]

(প্রমাণিত)

প্রমাণ:

ধরি, $\frac{\log x}{y-z} = \frac{\log y}{z-x} = \frac{\log z}{x-y} = k$ (যেখানে $k \neq 0$)

সুতরাং,
$\log x = k(y-z)$
$\log y = k(z-x)$
$\log z = k(x-y)$

এখন,
$\log(xyz) = \log x + \log y + \log z$
$= k(y-z) + k(z-x) + k(x-y)$ [মান বসিয়ে]
$= k(y – z + z – x + x – y)$
$= k(0)$
$= 0$

বা, $\log(xyz) = \log 1$ [যেহেতু $\log 1 = 0$]
$\therefore xyz = 1$

(প্রমাণিত)

প্রমাণ:

ধরি, $\frac{\log x}{b-c} = \frac{\log y}{c-a} = \frac{\log z}{a-b} = k$

সুতরাং,
$\log x = k(b-c)$
$\log y = k(c-a)$
$\log z = k(a-b)$

বামপক্ষ (L.H.S.) এর লগ (log) নিয়ে পাই:
$\log (x^{b+c} \cdot y^{c+a} \cdot z^{a+b})$
$= (b+c)\log x + (c+a)\log y + (a+b)\log z$
$= (b+c)k(b-c) + (c+a)k(c-a) + (a+b)k(a-b)$
$= k \{ (b+c)(b-c) + (c+a)(c-a) + (a+b)(a-b) \}$
$= k \{ (b^2 – c^2) + (c^2 – a^2) + (a^2 – b^2) \}$
$= k \{ b^2 – c^2 + c^2 – a^2 + a^2 – b^2 \}$
$= k \times 0$
$= 0$

যেহেতু রাশিটির লগারিদমের মান 0, তাই রাশিটির মান 1।
$\therefore x^{b+c} \cdot y^{c+a} \cdot z^{a+b} = 1$

(প্রমাণিত)

প্রমাণ:

একইভাবে $\log x = k(b-c), \log y = k(c-a), \log z = k(a-b)$ ধরে,

বামপক্ষের লগ (log) নিয়ে পাই:
$= (b^2+bc+c^2)\log x + (c^2+ca+a^2)\log y + (a^2+ab+b^2)\log z$
$= (b^2+bc+c^2)k(b-c) + (c^2+ca+a^2)k(c-a) + (a^2+ab+b^2)k(a-b)$
$= k \{ (b-c)(b^2+bc+c^2) + (c-a)(c^2+ca+a^2) + (a-b)(a^2+ab+b^2) \}$

আমরা জানি, $a^3 – b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
$= k \{ (b^3 – c^3) + (c^3 – a^3) + (a^3 – b^3) \}$
$= k \{ b^3 – c^3 + c^3 – a^3 + a^3 – b^3 \}$
$= k \times 0$
$= 0$

যেহেতু লগারিদমের মান 0, তাই মূল রাশিটির মান 1।
$\therefore x^{b^2+bc+c^2} \cdot y^{c^2+ca+a^2} \cdot z^{a^2+ab+b^2} = 1$

(প্রমাণিত)

প্রমাণ:

দেওয়া আছে,
$a^{3-x} \cdot b^{5x} = a^{5+x} \cdot b^{3x}$

উভয়পক্ষে লগ (log) নিয়ে পাই,
$\log(a^{3-x} \cdot b^{5x}) = \log(a^{5+x} \cdot b^{3x})$
বা, $\log a^{3-x} + \log b^{5x} = \log a^{5+x} + \log b^{3x}$
বা, $(3-x)\log a + 5x\log b = (5+x)\log a + 3x\log b$

$x$ যুক্ত পদগুলিকে একদিকে এনে পাই,
$5x\log b – 3x\log b = (5+x)\log a – (3-x)\log a$
বা, $2x\log b = \log a \{ (5+x) – (3-x) \}$
বা, $2x\log b = \log a \{ 5 + x – 3 + x \}$
বা, $2x\log b = \log a \{ 2 + 2x \}$
বা, $2x\log b = 2(1+x)\log a$

উভয়পক্ষ থেকে 2 বর্জন করে পাই,
$x\log b = (1+x)\log a$
বা, $x\log b = \log a + x\log a$
বা, $x\log b – x\log a = \log a$
বা, $x(\log b – \log a) = \log a$
বা, $x\log(\frac{b}{a}) = \log a$

(প্রমাণিত)

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ,

$\log_{8}[\log_{2}\{\log_{3}(4^{x}+17)\}] = \frac{1}{3}$

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী ($ \log_a M = x \Rightarrow M = a^x $),

$\log_{2}\{\log_{3}(4^{x}+17)\} = 8^{\frac{1}{3}}$

বা, $\log_{2}\{\log_{3}(4^{x}+17)\} = (2^3)^{\frac{1}{3}}$

বা, $\log_{2}\{\log_{3}(4^{x}+17)\} = 2^1 = 2$

আবার সংজ্ঞা প্রয়োগ করে পাই,

$\log_{3}(4^{x}+17) = 2^2$

বা, $\log_{3}(4^{x}+17) = 4$

পুনরায় সংজ্ঞা প্রয়োগ করে পাই,

$4^{x}+17 = 3^4$

বা, $4^{x}+17 = 81$

বা, $4^{x} = 81 – 17$

বা, $4^{x} = 64$

বা, $4^{x} = 4^3$

সুতরাং, $x = 3$

উত্তর: নির্ণেয় সমাধান x = 3

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ,

$\log_{8}x + \log_{4}x + \log_{2}x = 11$

আমরা জানি, $\log_{a^n}b = \frac{1}{n}\log_{a}b$।

সুতরাং,

$\log_{2^3}x + \log_{2^2}x + \log_{2}x = 11$

বা, $\frac{1}{3}\log_{2}x + \frac{1}{2}\log_{2}x + \log_{2}x = 11$

$\log_{2}x$ কমন নিয়ে পাই,

$\log_{2}x (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1) = 11$

বা, $\log_{2}x (\frac{2 + 3 + 6}{6}) = 11$

বা, $\log_{2}x (\frac{11}{6}) = 11$

বা, $\log_{2}x = 11 \times \frac{6}{11}$

বা, $\log_{2}x = 6$

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী,

$x = 2^6$

বা, $x = 64$

উত্তর: নির্ণেয় সমাধান x = 64

সমাধান:

আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, $\frac{1}{4} < \log_{10}2 < \frac{1}{3}$।

১ম অংশ:

আমরা জানি, $16 > 10$

বা, $2^4 > 10^1$

উভয়পক্ষে নিধান 10 সাপেক্ষে লগ (log) নিয়ে পাই,

$\log_{10}2^4 > \log_{10}10$

বা, $4\log_{10}2 > 1$

বা, $\log_{10}2 > \frac{1}{4}$ …….(i)

২য় অংশ:

আবার আমরা জানি, $8 < 10$

বা, $2^3 < 10^1$

উভয়পক্ষে নিধান 10 সাপেক্ষে লগ (log) নিয়ে পাই,

$\log_{10}2^3 < \log_{10}10$

বা, $3\log_{10}2 < 1$

বা, $\log_{10}2 < \frac{1}{3}$ …….(ii)

(i) ও (ii) নং অসমীকরণ থেকে পাই,

$\frac{1}{4} < \log_{10}2 < \frac{1}{3}$

অর্থাৎ, $\log_{10}2$-এর মান $\frac{1}{4}$ এবং $\frac{1}{3}$-এর মধ্যে অবস্থিত।

(প্রমাণিত)

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ,

$\log_{\sqrt{x}}0.25 = 4$

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী ($ \log_a M = y \Rightarrow M = a^y $),

$(\sqrt{x})^4 = 0.25$

বা, $(x^{\frac{1}{2}})^4 = 0.25$

বা, $x^2 = 0.25$

বা, $x^2 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

বা, $x = \sqrt{\frac{1}{4}}$ [লগারিদমের নিধান সর্বদা ধনাত্মক হয়]

বা, $x = \frac{1}{2} = 0.5$

সঠিক উত্তর: (a) 0.5

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ,

$\log_{10}(7x-5) = 2$

সংজ্ঞা অনুযায়ী পাই,

$7x – 5 = 10^2$

বা, $7x – 5 = 100$

বা, $7x = 100 + 5$

বা, $7x = 105$

বা, $x = \frac{105}{7}$

বা, $x = 15$

সঠিক উত্তর: (c) 15

সমাধান:

আমাদের মান বের করতে হবে $\log_{8}27$-এর।

$\log_{8}27$

$= \log_{2^3}3^3$

আমরা জানি, $\log_{a^n}b^m = \frac{m}{n}\log_{a}b$

$= \frac{3}{3}\log_{2}3$

$= 1 \times \log_{2}3$

$= a$ [যেহেতু দেওয়া আছে $\log_{2}3 = a$]

সঠিক উত্তর: (d) a

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\log_{\sqrt{2}}x = a$

বা, $\frac{\log x}{\log \sqrt{2}} = a$

বা, $\log x = a \log \sqrt{2}$

এখন, $\log_{2\sqrt{2}}x$

$= \frac{\log x}{\log 2\sqrt{2}}$

$= \frac{a \log \sqrt{2}}{\log 2\sqrt{2}}$ [মান বসিয়ে]

$= \frac{a \log 2^{1/2}}{\log (2^1 \times 2^{1/2})}$

$= \frac{a \times \frac{1}{2} \log 2}{\log 2^{3/2}}$

$= \frac{\frac{a}{2} \log 2}{\frac{3}{2} \log 2}$

$= \frac{a/2}{3/2}$

$= \frac{a}{2} \times \frac{2}{3}$

$= \frac{a}{3}$

সঠিক উত্তর: (a) $\frac{a}{3}$

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ,

$\log_{x}(\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3}$

সংজ্ঞা অনুযায়ী পাই,

$x^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$

বা, $x^{-\frac{1}{3}} = 3^{-1}$

উভয়পক্ষকে $-3$ ঘাতে উন্নীত করে পাই,

$(x^{-\frac{1}{3}})^{-3} = (3^{-1})^{-3}$

বা, $x^{1} = 3^{3}$

বা, $x = 27$

সঠিক উত্তর: (a) 27

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি = $\log_{4}\log_{4}\log_{4}256$

আমরা জানি, $256 = 4^4$

$= \log_{4}\log_{4}(\log_{4}4^4)$

$= \log_{4}\log_{4}(4\log_{4}4)$ [সূত্র: $\log_a m^n = n\log_a m$]

$= \log_{4}\log_{4}(4 \times 1)$ [সূত্র: $\log_a a = 1$]

$= \log_{4}(\log_{4}4)$

$= \log_{4}(1)$

$= 0$ [সূত্র: $\log_a 1 = 0$]

উত্তর: নির্ণেয় মান 0

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি:

$= \log\frac{a^{n}}{b^{n}} + \log\frac{b^{n}}{c^{n}} + \log\frac{c^{n}}{a^{n}}$

আমরা জানি, $\log x + \log y + \log z = \log(xyz)$

$= \log \left( \frac{a^{n}}{b^{n}} \times \frac{b^{n}}{c^{n}} \times \frac{c^{n}}{a^{n}} \right)$

$= \log(1)$ [সব পদ কেটে গিয়ে 1 থাকে]

$= 0$

উত্তর: নির্ণেয় মান 0

প্রমাণ:

ধরি, $M = a^{\log_{a}x}$

উভয়পক্ষে নিধান $a$ সাপেক্ষে লগ (log) নিয়ে পাই:

$\log_{a}M = \log_{a}(a^{\log_{a}x})$

বা, $\log_{a}M = (\log_{a}x) \times \log_{a}a$ [ঘাত সামনে আসে]

বা, $\log_{a}M = (\log_{a}x) \times 1$ [যেহেতু $\log_{a}a = 1$]

বা, $\log_{a}M = \log_{a}x$

উভয়পক্ষ থেকে লগ বর্জন করে পাই,

$M = x$

যেহেতু আমরা ধরেছিলাম $M = a^{\log_{a}x}$, সুতরাং:

$a^{\log_{a}x} = x$

(প্রমাণিত)

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ,

$\log_{e}2 \cdot \log_{x}25 = \log_{10}16 \cdot \log_{e}10$

বামপক্ষ (L.H.S.):

$\log_{e}2 \cdot \frac{\log_{e}25}{\log_{e}x}$ [ভিত্তি পরিবর্তন সূত্র]

$= \log_{e}2 \cdot \frac{\log_{e}5^2}{\log_{e}x}$

$= \frac{2\log_{e}2 \cdot \log_{e}5}{\log_{e}x}$

ডানপক্ষ (R.H.S.):

$\log_{10}16 \cdot \log_{e}10$

$= \frac{\log_{e}16}{\log_{e}10} \cdot \log_{e}10$ [ভিত্তি পরিবর্তন]

$= \log_{e}16$

$= \log_{e}2^4$

$= 4\log_{e}2$

শর্তানুসারে,

$\frac{2\log_{e}2 \cdot \log_{e}5}{\log_{e}x} = 4\log_{e}2$

উভয়পক্ষ থেকে $\log_{e}2$ বর্জন করে পাই,

$\frac{2\log_{e}5}{\log_{e}x} = 4$

বা, $\frac{\log_{e}5}{\log_{e}x} = 2$

বা, $\log_{x}5 = 2$ [ভিত্তি পরিবর্তন সূত্রানুসারে]

সংজ্ঞা অনুযায়ী,

$x^2 = 5$

বা, $x = \sqrt{5}$ [লগারিদমের নিধান সর্বদা ধনাত্মক, তাই ঋণাত্মক মান অগ্রাহ্য]

উত্তর: $x = \sqrt{5}$