নবম শ্রেণি গনিত: কষে দেখি – 4 স্থানাঙ্ক জ্যামিতি
কষে দেখি – ৪ (স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: দূরত্ব নির্ণয়)
1. মূলবিন্দু থেকে নীচের বিন্দুগুলির দূরত্ব নির্ণয় করি:
সূত্র: আমরা জানি, মূলবিন্দু $(0, 0)$ থেকে কোনো বিন্দু $(x, y)$-এর দূরত্ব = $\sqrt{x^2 + y^2}$ একক।
(i) $(7, -24)$
সমাধান:
এখানে প্রদত্ত বিন্দুটি হলো $(7, -24)$।
সুতরাং, $x = 7$ এবং $y = -24$।
মূলবিন্দু থেকে বিন্দুটির দূরত্ব
$= \sqrt{(7)^2 + (-24)^2}$ একক
$= \sqrt{49 + 576}$ একক
$= \sqrt{625}$ একক
$= 25$ একক।
উত্তর: মূলবিন্দু থেকে নির্ণেয় দূরত্ব 25 একক।
(ii) $(3, -4)$
সমাধান:
এখানে প্রদত্ত বিন্দুটি হলো $(3, -4)$।
সুতরাং, $x = 3$ এবং $y = -4$।
মূলবিন্দু থেকে বিন্দুটির দূরত্ব
$= \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}$ একক
$= \sqrt{9 + 16}$ একক
$= \sqrt{25}$ একক
$= 5$ একক।
উত্তর: মূলবিন্দু থেকে নির্ণেয় দূরত্ব 5 একক।
(iii) $(a+b, a-b)$
সমাধান:
এখানে প্রদত্ত বিন্দুটি হলো $(a+b, a-b)$।
সুতরাং, $x = a+b$ এবং $y = a-b$।
মূলবিন্দু থেকে বিন্দুটির দূরত্ব
$= \sqrt{(a+b)^2 + (a-b)^2}$ একক
আমরা জানি, বীজগণিতের সূত্রানুসারে: $2(a^2 + b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2$
অতএব, দূরত্ব $= \sqrt{2(a^2 + b^2)}$ একক।
উত্তর: মূলবিন্দু থেকে নির্ণেয় দূরত্ব $\sqrt{2(a^2 + b^2)}$ একক।
2. নীচের বিন্দুযুগলগুলির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি:
সূত্র: $(x_1, y_1)$ এবং $(x_2, y_2)$ বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = $\sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$ একক।
(i) (5, 7) এবং (8, 3)
সমাধান:
এখানে, $(x_1, y_1) = (5, 7)$ এবং $(x_2, y_2) = (8, 3)$।
নির্ণেয় দূরত্ব
$= \sqrt{(8 – 5)^2 + (3 – 7)^2}$ একক
$= \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}$ একক
$= \sqrt{9 + 16}$ একক
$= \sqrt{25}$ একক
$= 5$ একক।
উত্তর: বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 5 একক।
(ii) (7, 0) এবং (2, -12)
সমাধান:
এখানে, $(x_1, y_1) = (7, 0)$ এবং $(x_2, y_2) = (2, -12)$।
নির্ণেয় দূরত্ব
$= \sqrt{(2 – 7)^2 + (-12 – 0)^2}$ একক
$= \sqrt{(-5)^2 + (-12)^2}$ একক
$= \sqrt{25 + 144}$ একক
$= \sqrt{169}$ একক
$= 13$ একক।
উত্তর: বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 13 একক।
(iii) $(-\frac{3}{2}, 0)$ এবং $(0, -2)$
সমাধান:
এখানে, $(x_1, y_1) = (-\frac{3}{2}, 0)$ এবং $(x_2, y_2) = (0, -2)$।
নির্ণেয় দূরত্ব
$= \sqrt{\{0 – (-\frac{3}{2})\}^2 + (-2 – 0)^2}$ একক
$= \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-2)^2}$ একক
$= \sqrt{\frac{9}{4} + 4}$ একক
$= \sqrt{\frac{9 + 16}{4}}$ একক
$= \sqrt{\frac{25}{4}}$ একক
$= \frac{5}{2}$ একক
$= 2.5$ একক।
উত্তর: বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব $\frac{5}{2}$ একক বা 2.5 একক।
(iv) (3, 6) এবং (-2, -6)
সমাধান:
এখানে, $(x_1, y_1) = (3, 6)$ এবং $(x_2, y_2) = (-2, -6)$।
নির্ণেয় দূরত্ব
$= \sqrt{(-2 – 3)^2 + (-6 – 6)^2}$ একক
$= \sqrt{(-5)^2 + (-12)^2}$ একক
$= \sqrt{25 + 144}$ একক
$= \sqrt{169}$ একক
$= 13$ একক।
উত্তর: বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 13 একক।
(v) (1, -3) এবং (8, 3)
সমাধান:
এখানে, $(x_1, y_1) = (1, -3)$ এবং $(x_2, y_2) = (8, 3)$।
নির্ণেয় দূরত্ব
$= \sqrt{(8 – 1)^2 + \{3 – (-3)\}^2}$ একক
$= \sqrt{7^2 + (3 + 3)^2}$ একক
$= \sqrt{49 + 6^2}$ একক
$= \sqrt{49 + 36}$ একক
$= \sqrt{85}$ একক।
উত্তর: বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব $\sqrt{85}$ একক।
(vi) (5, 7) এবং (8, 3)
সমাধান:
এখানে, $(x_1, y_1) = (5, 7)$ এবং $(x_2, y_2) = (8, 3)$।
নির্ণেয় দূরত্ব
$= \sqrt{(8 – 5)^2 + (3 – 7)^2}$ একক
$= \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}$ একক
$= \sqrt{9 + 16}$ একক
$= \sqrt{25}$ একক
$= 5$ একক।
উত্তর: বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 5 একক।
3. প্রমাণ করি যে, (-2, -11) বিন্দুটি (-3, 7) ও (4, 6) বিন্দুদ্বয় থেকে সমদূরবর্তী।
সমাধান:
ধরি, প্রদত্ত বিন্দুটি $P(-2, -11)$ এবং অপর বিন্দু দুটি $A(-3, 7)$ ও $B(4, 6)$।
P বিন্দু থেকে A বিন্দুর দূরত্ব (PA):
$= \sqrt{\{-3 – (-2)\}^2 + \{7 – (-11)\}^2}$ একক
$= \sqrt{(-3 + 2)^2 + (7 + 11)^2}$ একক
$= \sqrt{(-1)^2 + (18)^2}$ একক
$= \sqrt{1 + 324}$ একক
$= \sqrt{325}$ একক।
P বিন্দু থেকে B বিন্দুর দূরত্ব (PB):
$= \sqrt{\{4 – (-2)\}^2 + \{6 – (-11)\}^2}$ একক
$= \sqrt{(4 + 2)^2 + (6 + 11)^2}$ একক
$= \sqrt{(6)^2 + (17)^2}$ একক
$= \sqrt{36 + 289}$ একক
$= \sqrt{325}$ একক।
যেহেতু $PA = PB = \sqrt{325}$ একক,
সুতরাং, $P(-2, -11)$ বিন্দুটি $A$ ও $B$ বিন্দুদ্বয় থেকে সমদূরবর্তী।
(প্রমাণিত)
4. হিসাব করে দেখাই যে (7, 9), (3, -7) এবং (-3, 3) বিন্দুগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি হলো $A(7, 9)$, $B(3, -7)$ এবং $C(-3, 3)$।
AB বাহুর দৈর্ঘ্য:
$AB = \sqrt{(3 – 7)^2 + (-7 – 9)^2}$ একক
$= \sqrt{(-4)^2 + (-16)^2}$ একক
$= \sqrt{16 + 256}$ একক
$= \sqrt{272}$ একক।
$\therefore AB^2 = 272$
BC বাহুর দৈর্ঘ্য:
$BC = \sqrt{(-3 – 3)^2 + \{3 – (-7)\}^2}$ একক
$= \sqrt{(-6)^2 + (3 + 7)^2}$ একক
$= \sqrt{36 + 10^2}$ একক
$= \sqrt{36 + 100}$ একক
$= \sqrt{136}$ একক।
$\therefore BC^2 = 136$
AC বাহুর দৈর্ঘ্য:
$AC = \sqrt{(-3 – 7)^2 + (3 – 9)^2}$ একক
$= \sqrt{(-10)^2 + (-6)^2}$ একক
$= \sqrt{100 + 36}$ একক
$= \sqrt{136}$ একক।
$\therefore AC^2 = 136$
পর্যবেক্ষণ:
এখানে, $BC^2 + AC^2 = 136 + 136 = 272$
এবং $AB^2 = 272$
$\therefore BC^2 + AC^2 = AB^2$
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত সূত্রানুসারে, ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভুজ হলো $AB$ এবং $\angle C = 90^\circ$।
(প্রমাণিত)
5. প্রমাণ করি যে, উভয়ক্ষেত্রে নীচের বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু:
(i) (1, 4), (4, 1) ও (8, 8)
সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি হলো $A(1, 4)$, $B(4, 1)$ এবং $C(8, 8)$।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ প্রমাণ করতে হলে আমাদের দেখাতে হবে যে ত্রিভুজটির যে-কোনো দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান।
AB বাহুর দৈর্ঘ্য:
$= \sqrt{(4 – 1)^2 + (1 – 4)^2}$ একক
$= \sqrt{3^2 + (-3)^2}$ একক
$= \sqrt{9 + 9}$ একক
$= \sqrt{18}$ একক।
BC বাহুর দৈর্ঘ্য:
$= \sqrt{(8 – 4)^2 + (8 – 1)^2}$ একক
$= \sqrt{4^2 + 7^2}$ একক
$= \sqrt{16 + 49}$ একক
$= \sqrt{65}$ একক।
AC বাহুর দৈর্ঘ্য:
$= \sqrt{(8 – 1)^2 + (8 – 4)^2}$ একক
$= \sqrt{7^2 + 4^2}$ একক
$= \sqrt{49 + 16}$ একক
$= \sqrt{65}$ একক।
পর্যবেক্ষণ:
এখানে, $BC = AC = \sqrt{65}$ একক।
যেহেতু ত্রিভুজটির দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান, তাই এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
(প্রমাণিত)
(ii) (-2, -2), (2, 2) ও (4, -4)
সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি হলো $P(-2, -2)$, $Q(2, 2)$ এবং $R(4, -4)$।
PQ বাহুর দৈর্ঘ্য:
$= \sqrt{\{2 – (-2)\}^2 + \{2 – (-2)\}^2}$ একক
$= \sqrt{(2 + 2)^2 + (2 + 2)^2}$ একক
$= \sqrt{4^2 + 4^2}$ একক
$= \sqrt{16 + 16}$ একক
$= \sqrt{32}$ একক।
QR বাহুর দৈর্ঘ্য:
$= \sqrt{(4 – 2)^2 + (-4 – 2)^2}$ একক
$= \sqrt{2^2 + (-6)^2}$ একক
$= \sqrt{4 + 36}$ একক
$= \sqrt{40}$ একক।
PR বাহুর দৈর্ঘ্য:
$= \sqrt{\{4 – (-2)\}^2 + \{-4 – (-2)\}^2}$ একক
$= \sqrt{(4 + 2)^2 + (-4 + 2)^2}$ একক
$= \sqrt{6^2 + (-2)^2}$ একক
$= \sqrt{36 + 4}$ একক
$= \sqrt{40}$ একক।
পর্যবেক্ষণ:
এখানে, $QR = PR = \sqrt{40}$ একক।
যেহেতু ত্রিভুজটির দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান, তাই বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
(প্রমাণিত)
6. প্রমাণ করি যে, A(3, 3), B(8, -2) ও C(-2, -2) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। $\Delta ABC$-এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান:
প্রদত্ত বিন্দুগুলি হলো A(3, 3), B(8, -2) এবং C(-2, -2)।
AB বাহুর দৈর্ঘ্য:
$AB = \sqrt{(8 – 3)^2 + (-2 – 3)^2}$ একক
$= \sqrt{5^2 + (-5)^2}$ একক
$= \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50}$ একক।
$\therefore AB^2 = 50$
BC বাহুর দৈর্ঘ্য:
$BC = \sqrt{(-2 – 8)^2 + \{-2 – (-2)\}^2}$ একক
$= \sqrt{(-10)^2 + (-2 + 2)^2}$ একক
$= \sqrt{100 + 0} = \sqrt{100} = 10$ একক।
$\therefore BC^2 = 100$
AC বাহুর দৈর্ঘ্য:
$AC = \sqrt{(-2 – 3)^2 + (-2 – 3)^2}$ একক
$= \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2}$ একক
$= \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50}$ একক।
$\therefore AC^2 = 50$
প্রমাণ:
১. এখানে $AB = AC = \sqrt{50}$ একক। যেহেতু দুটি বাহু সমান, তাই এটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
২. আবার, $AB^2 + AC^2 = 50 + 50 = 100$ এবং $BC^2 = 100$।
$\therefore AB^2 + AC^2 = BC^2$। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী এটি সমকোণী ত্রিভুজ।
সুতরাং, বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
অতিভুজের দৈর্ঘ্য:
যেহেতু সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় AB ও AC, তাই অতিভুজ হলো BC।
$\therefore$ অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 10 একক।
(প্রমাণিত এবং নির্ণেয় দৈর্ঘ্য 10 একক)
7. হিসাব করে দেখাই যে, (2, 1), (0, 0), (-1, 2) এবং (1, 3) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি কৌণিকবিন্দু।
সমাধান:
ধরি, চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি হলো A(2, 1), B(0, 0), C(-1, 2) এবং D(1, 3)।
বাহুগুলির দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
$AB = \sqrt{(0 – 2)^2 + (0 – 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ একক।
$BC = \sqrt{(-1 – 0)^2 + (2 – 0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ একক।
$CD = \sqrt{\{1 – (-1)\}^2 + (3 – 2)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ একক।
$DA = \sqrt{(2 – 1)^2 + (1 – 3)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ একক।
কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
কর্ণ $AC = \sqrt{(-1 – 2)^2 + (2 – 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ একক।
কর্ণ $BD = \sqrt{(1 – 0)^2 + (3 – 0)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ একক।
সিদ্ধান্ত:
যেহেতু চতুর্ভুজটির চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান ($AB = BC = CD = DA$) এবং কর্ণ দুটির দৈর্ঘ্যও সমান ($AC = BD$), তাই এটি একটি বর্গক্ষেত্র।
(প্রমাণিত)
8. হিসাব করে দেখি, y-এর মান কী হলে (2, y) এবং (10, -9) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব 10 একক হবে।
সমাধান:
প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় (2, y) এবং (10, -9)।
এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 10 একক।
শর্তানুসারে,
$\sqrt{(10 – 2)^2 + (-9 – y)^2} = 10$
বা, $\sqrt{8^2 + \{-(9 + y)\}^2} = 10$
বা, $\sqrt{64 + (y + 9)^2} = 10$
উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
$64 + (y + 9)^2 = 100$
বা, $(y + 9)^2 = 100 – 64$
বা, $(y + 9)^2 = 36$
বা, $y + 9 = \pm \sqrt{36}$
বা, $y + 9 = \pm 6$
হয়,
$y + 9 = 6$
বা, $y = 6 – 9 = -3$
অথবা,
$y + 9 = -6$
বা, $y = -6 – 9 = -15$
উত্তর: y-এর নির্ণেয় মান -3 অথবা -15।
9. x-অক্ষের উপর এমন একটি বিন্দু খুঁজি যা (3, 5) ও (1, 3) বিন্দু দুটি থেকে সমদূরবর্তী।
সমাধান:
যেহেতু বিন্দুটি x-অক্ষের উপর অবস্থিত, তাই তার কোটি (y-স্থানাঙ্ক) শূন্য হবে।
ধরি, নির্ণেয় বিন্দুটি হলো P(x, 0)।
প্রদত্ত বিন্দু দুটি A(3, 5) এবং B(1, 3)।
শর্তানুসারে, P বিন্দুটি A ও B থেকে সমদূরবর্তী।
$\therefore PA = PB$
বা, $PA^2 = PB^2$
দূরত্বের সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
$(x – 3)^2 + (0 – 5)^2 = (x – 1)^2 + (0 – 3)^2$
বা, $(x – 3)^2 + (-5)^2 = (x – 1)^2 + (-3)^2$
বা, $x^2 – 6x + 9 + 25 = x^2 – 2x + 1 + 9$
বা, $x^2 – 6x + 34 = x^2 – 2x + 10$
উভয়পক্ষ থেকে $x^2$ বর্জন করে পাই,
$-6x + 2x = 10 – 34$
বা, $-4x = -24$
বা, $x = \frac{-24}{-4}$
বা, $x = 6$
সুতরাং, নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক (6, 0)।
উত্তর: নির্ণেয় বিন্দুটি (6, 0)।
10. O(0, 0), A(4, 3) এবং B(8, 6) বিন্দু তিনটি সমরেখ কিনা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
OA-এর দূরত্ব:
$= \sqrt{(4 – 0)^2 + (3 – 0)^2}$ একক
$= \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ একক।
AB-এর দূরত্ব:
$= \sqrt{(8 – 4)^2 + (6 – 3)^2}$ একক
$= \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ একক।
OB-এর দূরত্ব:
$= \sqrt{(8 – 0)^2 + (6 – 0)^2}$ একক
$= \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ একক।
যাচাই:
এখানে, $OA + AB = 5 + 5 = 10$ একক।
এবং $OB = 10$ একক।
$\therefore OA + AB = OB$
উত্তর: বিন্দু তিনটি সমরেখ (Collinear)।
11. দেখাই যে, (2, 2), (-2, -2) এবং $(-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3})$ বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
সমাধান:
ধরি, বিন্দু তিনটি $A(2, 2)$, $B(-2, -2)$ এবং $C(-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3})$।
AB বাহুর দৈর্ঘ্য:
$= \sqrt{(-2 – 2)^2 + (-2 – 2)^2}$ একক
$= \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$ একক।
BC বাহুর দৈর্ঘ্য:
$= \sqrt{\{-2\sqrt{3} – (-2)\}^2 + \{2\sqrt{3} – (-2)\}^2}$ একক
$= \sqrt{(2 – 2\sqrt{3})^2 + (2 + 2\sqrt{3})^2}$ একক
$= \sqrt{2(2^2 + (2\sqrt{3})^2)}$ [সূত্র: $(a-b)^2 + (a+b)^2 = 2(a^2+b^2)$]
$= \sqrt{2(4 + 12)} = \sqrt{2 \times 16} = \sqrt{32}$ একক।
AC বাহুর দৈর্ঘ্য:
$= \sqrt{\{-2\sqrt{3} – 2\}^2 + \{2\sqrt{3} – 2\}^2}$ একক
$= \sqrt{2(2^2 + (2\sqrt{3})^2)} = \sqrt{2(4 + 12)} = \sqrt{32}$ একক।
যেহেতু $AB = BC = AC$, তাই এটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
(প্রমাণিত)
12. দেখাই যে, (-7, 12), (19, 18), (15, -6) এবং (-11, -12) বিন্দুগুলি পরপর যোগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয়।
সমাধান:
ধরি, শীর্ষবিন্দুগুলি $A(-7, 12)$, $B(19, 18)$, $C(15, -6)$ এবং $D(-11, -12)$।
AB বাহুর দৈর্ঘ্য:
$= \sqrt{\{19 – (-7)\}^2 + (18 – 12)^2}$ একক
$= \sqrt{26^2 + 6^2} = \sqrt{676 + 36} = \sqrt{712}$ একক।
CD বাহুর দৈর্ঘ্য:
$= \sqrt{(-11 – 15)^2 + \{-12 – (-6)\}^2}$ একক
$= \sqrt{(-26)^2 + (-6)^2} = \sqrt{676 + 36} = \sqrt{712}$ একক।
BC বাহুর দৈর্ঘ্য:
$= \sqrt{(15 – 19)^2 + (-6 – 18)^2}$ একক
$= \sqrt{(-4)^2 + (-24)^2} = \sqrt{16 + 576} = \sqrt{592}$ একক।
DA বাহুর দৈর্ঘ্য:
$= \sqrt{\{-7 – (-11)\}^2 + \{12 – (-12)\}^2}$ একক
$= \sqrt{4^2 + 24^2} = \sqrt{16 + 576} = \sqrt{592}$ একক।
যেহেতু বিপরীত বাহুগুলি সমান ($AB = CD$ এবং $BC = DA$), তাই এটি একটি সামান্তরিক।
(প্রমাণিত)
13. দেখাই যে, (2, -2), (8, 4), (5, 7) এবং (-1, 1) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।
সমাধান:
ধরি, $A(2, -2)$, $B(8, 4)$, $C(5, 7)$ এবং $D(-1, 1)$।
বাহুগুলির দৈর্ঘ্য:
$AB = \sqrt{(8-2)^2 + \{4-(-2)\}^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72}$ একক।
$CD = \sqrt{(-1-5)^2 + (1-7)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{72}$ একক।
$BC = \sqrt{(5-8)^2 + (7-4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{18}$ একক।
$DA = \sqrt{(2-(-1))^2 + (-2-1)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{18}$ একক।
বিপরীত বাহুগুলি সমান।
কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য:
$AC = \sqrt{(5-2)^2 + \{7-(-2)\}^2} = \sqrt{3^2 + 9^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90}$ একক।
$BD = \sqrt{(-1-8)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{(-9)^2 + (-3)^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90}$ একক।
কর্ণ দুটিও সমান।
যেহেতু বিপরীত বাহুগুলি সমান এবং কর্ণদ্বয় সমান, তাই এটি একটি আয়তক্ষেত্র।
(প্রমাণিত)
14. দেখাই যে, (2, 5), (5, 9), (9, 12) এবং (6, 8) বিন্দুগুলি পরস্পর যোগ করলে একটি রম্বস উৎপন্ন হয়।
সমাধান:
ধরি, $A(2, 5)$, $B(5, 9)$, $C(9, 12)$ এবং $D(6, 8)$।
বাহুগুলির দৈর্ঘ্য:
$AB = \sqrt{(5-2)^2 + (9-5)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5$ একক।
$BC = \sqrt{(9-5)^2 + (12-9)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = 5$ একক।
$CD = \sqrt{(6-9)^2 + (8-12)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = 5$ একক।
$DA = \sqrt{(2-6)^2 + (5-8)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = 5$ একক।
যেহেতু চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান, তাই এটি একটি রম্বস (বা বর্গক্ষেত্র)।
অতিরিক্ত যাচাই (কর্ণ):
$AC = \sqrt{(9-2)^2 + (12-5)^2} = \sqrt{7^2 + 7^2} = \sqrt{98}$ একক।
$BD = \sqrt{(6-5)^2 + (8-9)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ একক।
কর্ণ দুটি অসমান, সুতরাং এটি বর্গক্ষেত্র নয়, শুধুমাত্র রম্বস।
(প্রমাণিত)
কষে দেখি – ৪ (M.C.Q.)
(i) $(a+b, c-d)$ এবং $(a-b, c+d)$ বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব
সমাধান:
নির্ণেয় দূরত্ব
$= \sqrt{\{(a-b) – (a+b)\}^2 + \{(c+d) – (c-d)\}^2}$ একক
$= \sqrt{(a – b – a – b)^2 + (c + d – c + d)^2}$ একক
$= \sqrt{(-2b)^2 + (2d)^2}$ একক
$= \sqrt{4b^2 + 4d^2}$ একক
$= \sqrt{4(b^2 + d^2)}$ একক
$= 2\sqrt{b^2 + d^2}$ একক
সঠিক উত্তর: (b) $2\sqrt{b^2+d^2}$
(ii) $(x, -7)$ এবং $(3, -3)$ বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 5 একক হলে, x-এর মানগুলি হলো
সমাধান:
শর্তানুসারে,
$\sqrt{(x – 3)^2 + \{-7 – (-3)\}^2} = 5$
বা, $(x – 3)^2 + (-7 + 3)^2 = 5^2$ [উভয়পক্ষে বর্গ করে]
বা, $(x – 3)^2 + (-4)^2 = 25$
বা, $(x – 3)^2 + 16 = 25$
বা, $(x – 3)^2 = 25 – 16$
বা, $(x – 3)^2 = 9$
বা, $x – 3 = \pm 3$
হয়,
$x – 3 = 3 \Rightarrow x = 6$
অথবা,
$x – 3 = -3 \Rightarrow x = 0$
সঠিক উত্তর: (a) 0 অথবা 6
(iii) যদি $(x, 4)$ বিন্দুটির মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 5 একক হয়, তাহলে x-এর মান
সমাধান:
মূলবিন্দু $(0, 0)$ থেকে $(x, 4)$-এর দূরত্ব = $\sqrt{x^2 + 4^2}$
শর্তানুসারে,
$\sqrt{x^2 + 16} = 5$
বা, $x^2 + 16 = 25$ [বর্গ করে]
বা, $x^2 = 25 – 16$
বা, $x^2 = 9$
বা, $x = \pm 3$
সঠিক উত্তর: (c) $\pm 3$
(iv) (3, 0), (-3, 0) এবং (0, 3) বিন্দু তিনটি যোগ করে যে ত্রিভুজটি উৎপন্ন হয়, সেটি
সমাধান:
ধরি, $A(3, 0)$, $B(-3, 0)$ এবং $C(0, 3)$।
$AB = \sqrt{(-3 – 3)^2 + 0} = \sqrt{36} = 6$ একক।
$BC = \sqrt{(0 – (-3))^2 + (3 – 0)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$ একক।
$AC = \sqrt{(0 – 3)^2 + (3 – 0)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$ একক।
যেহেতু $BC = AC$, তাই এটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
আবার, $BC^2 + AC^2 = 18 + 18 = 36 = AB^2$।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য মেনে চলায় এটি সমকোণী ত্রিভুজ।
সঠিক উত্তর: (d) সমকোণী সমদ্বিবাহু
(v) একটি বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (0, 0) এবং বৃত্তের উপরিস্থ একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 4) হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
সমাধান:
ব্যাসার্ধ = কেন্দ্র $(0, 0)$ থেকে পরিধির উপরিস্থ বিন্দু $(3, 4)$-এর দূরত্ব।
ব্যাসার্ধ
$= \sqrt{(3 – 0)^2 + (4 – 0)^2}$ একক
$= \sqrt{3^2 + 4^2}$ একক
$= \sqrt{9 + 16}$ একক
$= \sqrt{25}$ একক
$= 5$ একক
সঠিক উত্তর: (a) 5 একক
কষে দেখি – ৪ (সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন)
(i) মূলবিন্দু থেকে $(-4, y)$ বিন্দুর দূরত্ব 5 একক হলে, y-এর মান কত লিখি।
সমাধান:
মূলবিন্দু $(0, 0)$ থেকে $(-4, y)$ বিন্দুর দূরত্ব:
$= \sqrt{(-4)^2 + y^2}$
$= \sqrt{16 + y^2}$ একক।
প্রশ্নানুসারে,
$\sqrt{16 + y^2} = 5$
বা, $16 + y^2 = 25$ [উভয়পক্ষে বর্গ করে]
বা, $y^2 = 25 – 16$
বা, $y^2 = 9$
বা, $y = \pm 3$
উত্তর: y-এর নির্ণেয় মান 3 অথবা -3।
(ii) y-অক্ষের উপর একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যার থেকে (2, 3) এবং (-1, 2) বিন্দু দুটির দূরত্ব সমান।
সমাধান:
যেহেতু বিন্দুটি y-অক্ষের উপর অবস্থিত, তাই তার ভুজ (x-স্থানাঙ্ক) শূন্য হবে।
ধরি, বিন্দুটি $P(0, y)$।
প্রদত্ত বিন্দু দুটি $A(2, 3)$ এবং $B(-1, 2)$।
শর্তানুসারে, $PA = PB$
বা, $PA^2 = PB^2$
বা, $(0 – 2)^2 + (y – 3)^2 = \{0 – (-1)\}^2 + (y – 2)^2$
বা, $(-2)^2 + (y – 3)^2 = (1)^2 + (y – 2)^2$
বা, $4 + y^2 – 6y + 9 = 1 + y^2 – 4y + 4$
বা, $y^2 – 6y + 13 = y^2 – 4y + 5$
উভয়পক্ষ থেকে $y^2$ বাদ দিয়ে পাই,
$-6y + 4y = 5 – 13$
বা, $-2y = -8$
বা, $y = \frac{-8}{-2}$
বা, $y = 4$
সুতরাং, বিন্দুটির স্থানাঙ্ক $(0, 4)$।
উত্তর: নির্ণেয় বিন্দুটি (0, 4)।
(iii) x-অক্ষ এবং y-অক্ষের উপর দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাতে x-অক্ষ, y-অক্ষ এবং বিন্দু দুটির সংযোগকারী সরলরেখাংশ দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজটি সমকোণী সমদ্বিবাহু হয়।
সমাধান:
x-অক্ষ ও y-অক্ষ পরস্পরকে মূলবিন্দুতে $(0, 0)$ সমকোণে ছেদ করে। তাই উৎপন্ন ত্রিভুজটি সর্বদা সমকোণী হবে।
ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু হতে হলে, মূলবিন্দু থেকে x-অক্ষের বিন্দুর দূরত্ব এবং y-অক্ষের বিন্দুর দূরত্ব সমান হতে হবে।
ধরি, মূলবিন্দু থেকে উভয় বিন্দুর দূরত্ব $a$ একক।
তাহলে, x-অক্ষের উপর বিন্দুটি হতে পারে $(a, 0)$ এবং y-অক্ষের উপর বিন্দুটি হতে পারে $(0, a)$।
উদাহরণস্বরূপ, যদি $a = 3$ নিই, তবে বিন্দু দুটি হবে $(3, 0)$ এবং $(0, 3)$।
[বিঃদ্রঃ এরকম অসংখ্য বিন্দুর জোড় হতে পারে, যেমন $(5, 0)$ ও $(0, 5)$ বা $(-2, 0)$ ও $(0, 2)$ ইত্যাদি।]
উত্তর: বিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক (3, 0) এবং (0, 3) [যেকোনো একটি উদাহরণ]।
(iv) x-অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাদের দূরত্ব x-অক্ষ থেকে সমান।
সমাধান:
কোনো বিন্দুর x-অক্ষ থেকে দূরত্ব হলো তার কোটি (y-স্থানাঙ্ক)-এর পরম মান $|y|$।
x-অক্ষের বিপরীত দিকে থাকার অর্থ হলো একটি বিন্দুর y-স্থানাঙ্ক ধনাত্মক এবং অপরটির ঋণাত্মক হবে।
ধরি, x-অক্ষ থেকে দূরত্ব 2 একক।
তাহলে একটি বিন্দু হতে পারে $(3, 2)$ এবং অপর বিন্দুটি $(5, -2)$।
এখানে উভয় বিন্দুর x-অক্ষ থেকে দূরত্ব $|2| = 2$ এবং $|-2| = 2$ একক।
উত্তর: বিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক (3, 2) এবং (5, -2) [যেকোনো একটি উদাহরণ]।
(v) y-অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাদের দূরত্ব y-অক্ষ থেকে সমান।
সমাধান:
কোনো বিন্দুর y-অক্ষ থেকে দূরত্ব হলো তার ভুজ (x-স্থানাঙ্ক)-এর পরম মান $|x|$।
y-অক্ষের বিপরীত দিকে থাকার অর্থ হলো একটি বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক ধনাত্মক এবং অপরটির ঋণাত্মক হবে।
ধরি, y-অক্ষ থেকে দূরত্ব 4 একক।
তাহলে একটি বিন্দু হতে পারে $(4, 6)$ এবং অপর বিন্দুটি $(-4, 8)$।
এখানে উভয় বিন্দুর y-অক্ষ থেকে দূরত্ব $|4| = 4$ এবং $|-4| = 4$ একক।
উত্তর: বিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক (4, 6) এবং (-4, 8) [যেকোনো একটি উদাহরণ]।
শেয়ার