নবম শ্রেণি গনিত: কষে দেখি 5.1
কষে দেখি – 5.1 : সহসমীকরণ গঠন ও সমাধান
1. আমার দিদি ও আমার বাবার বর্তমান বয়সের সমষ্টি 55 বছর। হিসাব করে দেখছি 16 বছর পরে আমার বাবার বয়স আমার দিদির বয়সের দ্বিগুণ হবে।
(a) সহসমীকরণ গঠন ও লেখচিত্র অঙ্কন:
ধরি, বাবার বর্তমান বয়স $x$ বছর এবং দিদির বর্তমান বয়স $y$ বছর।
১ম শর্তানুসারে:
$x + y = 55 \dots \dots (i)$
২য় শর্তানুসারে (16 বছর পরে):
বাবার বয়স হবে $(x + 16)$ এবং দিদির বয়স হবে $(y + 16)$।
প্রশ্নমতে, $x + 16 = 2(y + 16)$
বা, $x + 16 = 2y + 32$
বা, $x – 2y = 32 – 16$
$x – 2y = 16 \dots \dots (ii)$
লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য বিন্দু নির্ণয়:
$(i)$ নং সমীকরণ থেকে পাই, $y = 55 – x$
| $x$ | 25 | 35 | 45 |
| $y$ | 30 | 20 | 10 |
$(ii)$ নং সমীকরণ থেকে পাই, $x = 16 + 2y$
| $x$ | 16 | 36 | 42 |
| $y$ | 0 | 10 | 13 |
ছক কাগজে বিন্দুগুলি স্থাপন করলে আমরা দুটি সরলরেখা পাব।
(b) সাধারণ সমাধান:
লেখচিত্র আঁকলে দেখা যাবে যে, সরলরেখা দুটি পরস্পরকে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ছেদ করছে। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে $(42, 13)$। সুতরাং, সমীকরণ দুটির একটি নির্দিষ্ট সাধারণ সমাধান পাওয়া যাবে।
(c) উত্তর:
লেখচিত্র থেকে প্রাপ্ত ছেদবিন্দু $(42, 13)$।
$\therefore$ আমার বাবার বর্তমান বয়স 42 বছর এবং দিদির বর্তমান বয়স 13 বছর।
2. মিতা যাদববাবুর দোকান থেকে 42 টাকায় 3টি পেন ও 4টি পেন্সিল কিনেছে। আমি বন্ধুদের দেওয়ার জন্য যাদববাবুর দোকান থেকে একই মূল্যের 9টি পেন ও 1 ডজন পেন্সিল 126 টাকায় কিনলাম।
(a) সহসমীকরণ গঠন ও লেখচিত্র অঙ্কন:
ধরি, 1টি পেনের দাম $x$ টাকা এবং 1টি পেন্সিলের দাম $y$ টাকা।
১ম শর্তানুসারে:
$3x + 4y = 42 \dots \dots (i)$
২য় শর্তানুসারে (1 ডজন = 12 টি):
$9x + 12y = 126 \dots \dots (ii)$
লক্ষ্য করো, $(ii)$ নং সমীকরণ থেকে 3 কমন নিলে পাই:
$3(3x + 4y) = 126 \Rightarrow 3x + 4y = 42$, যা হুবহু $(i)$ নং সমীকরণের মতো।
লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য বিন্দু নির্ণয় ($3x + 4y = 42 \Rightarrow y = \frac{42 – 3x}{4}$):
| $x$ | 2 | 6 | 10 |
| $y$ | 9 | 6 | 3 |
(b) সাধারণ সমাধান:
লেখচিত্রে দুটি সমীকরণের জন্য আমরা একই সরলরেখা পাব (সরলরেখা দুটি সমাপতিত বা Coincident)। অর্থাৎ, এদের অসংখ্য সাধারণ সমাধান আছে।
(c) উত্তর:
না, লেখচিত্র থেকে 1টি পেন ও 1টি পেন্সিলের নির্দিষ্ট আলাদা দাম পাওয়া সম্ভব নয় কারণ সমীকরণ দুটি আসলে অভিন্ন। এর অসংখ্য সমাধান সম্ভব।
3. আজ স্কুলে আমরা যেমন খুশি আঁকব। তাই আমি 2টি আর্ট পেপার ও 5টি স্কেচপেন 16 টাকায় কিনেছি। কিন্তু দোলা ওই একই দোকান থেকে একই মূল্যের 4টি আর্ট পেপার ও 10টি স্কেচপেন 28 টাকায় কিনেছে।
(a) সহসমীকরণ গঠন ও লেখচিত্র অঙ্কন:
ধরি, 1টি আর্ট পেপারের দাম $x$ টাকা এবং 1টি স্কেচপেনের দাম $y$ টাকা।
আমার কেনাকাটা অনুযায়ী:
$2x + 5y = 16 \dots \dots (i)$
দোলার কেনাকাটা অনুযায়ী:
$4x + 10y = 28 \dots \dots (ii)$
লেখচিত্রের জন্য বিন্দু স্থাপন:
$(i)$ নং থেকে পাই $x = \frac{16 – 5y}{2}$:
| $x$ | 3 | 8 | -2 |
| $y$ | 2 | 0 | 4 |
$(ii)$ নং থেকে পাই $x = \frac{28 – 10y}{4} = \frac{14 – 5y}{2}$:
| $x$ | 2 | 7 | -3 |
| $y$ | 2 | 0 | 4 |
(b) সাধারণ সমাধান যাচাই:
লেখচিত্র অঙ্কন করলে দেখা যাবে যে সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল (Parallel)। তারা কখনোই একে অপরকে ছেদ করবে না।
কারণ: $(i)$ নং সমীকরণকে 2 দিয়ে গুণ করলে পাই $4x + 10y = 32$, কিন্তু $(ii)$ নং সমীকরণ বলছে $4x + 10y = 28$, যা অসম্ভব।
(c) উত্তর:
না, লেখচিত্র থেকে সমীকরণ দুটির কোনো সাধারণ সমাধান পাওয়া যাবে না। প্রদত্ত তথ্যটি অসঙ্গত, তাই আর্ট পেপার ও স্কেচপেনের নির্দিষ্ট দাম নির্ণয় করা সম্ভব নয়।
শেয়ার