নবম শ্রেণি গনিত: কষে দেখি – 5.6 বজ্রগুনন

সমাধান:

সমীকরণ দুটিকে $ax + by + c = 0$ আকারে সাজিয়ে পাই:

$8x + 5y – 11 = 0 \dots \dots (i)$

$3x – 4y – 10 = 0 \dots \dots (ii)$

এখানে সহগগুলি তুলনা করে পাই:

$a_1 = 8, b_1 = 5, c_1 = -11$

$a_2 = 3, b_2 = -4, c_2 = -10$

বজ্রগুণন সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

$\frac{x}{b_1c_2 – b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 – c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 – a_2b_1}$

বা, $\frac{x}{5 \times (-10) – (-4) \times (-11)} = \frac{y}{(-11) \times 3 – (-10) \times 8} = \frac{1}{8 \times (-4) – 3 \times 5}$

বা, $\frac{x}{-50 – 44} = \frac{y}{-33 + 80} = \frac{1}{-32 – 15}$

বা, $\frac{x}{-94} = \frac{y}{47} = \frac{1}{-47}$

অতএব,

$\frac{x}{-94} = \frac{1}{-47}$ $\Rightarrow x = \frac{-94}{-47} = 2$

এবং $\frac{y}{47} = \frac{1}{-47}$ $\Rightarrow y = \frac{47}{-47} = -1$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 2, y = -1$

সমাধান:

সমীকরণ দুটিকে সাধারণ আকারে সাজিয়ে পাই:

$3x – 4y – 1 = 0 \dots \dots (i)$

$4x – 3y – 6 = 0 \dots \dots (ii)$

এখানে,

$a_1 = 3, b_1 = -4, c_1 = -1$

$a_2 = 4, b_2 = -3, c_2 = -6$

বজ্রগুণন পদ্ধতি অনুযায়ী:

$\frac{x}{(-4) \times (-6) – (-3) \times (-1)} = \frac{y}{(-1) \times 4 – (-6) \times 3} = \frac{1}{3 \times (-3) – 4 \times (-4)}$

বা, $\frac{x}{24 – 3} = \frac{y}{-4 + 18} = \frac{1}{-9 + 16}$

বা, $\frac{x}{21} = \frac{y}{14} = \frac{1}{7}$

অতএব,

$\frac{x}{21} = \frac{1}{7}$ $\Rightarrow x = \frac{21}{7} = 3$

$\frac{y}{14} = \frac{1}{7}$ $\Rightarrow y = \frac{14}{7} = 2$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 3, y = 2$

সমাধান:

সমীকরণ দুটিকে সাধারণ আকারে সাজিয়ে পাই:

$5x + 3y – 11 = 0 \dots \dots (i)$

$2x – 7y + 12 = 0 \dots \dots (ii)$

এখানে,

$a_1 = 5, b_1 = 3, c_1 = -11$

$a_2 = 2, b_2 = -7, c_2 = 12$

বজ্রগুণন করে পাই:

$\frac{x}{3 \times 12 – (-7) \times (-11)} = \frac{y}{(-11) \times 2 – 12 \times 5} = \frac{1}{5 \times (-7) – 2 \times 3}$

বা, $\frac{x}{36 – 77} = \frac{y}{-22 – 60} = \frac{1}{-35 – 6}$

বা, $\frac{x}{-41} = \frac{y}{-82} = \frac{1}{-41}$

অতএব,

$\frac{x}{-41} = \frac{1}{-41}$ $\Rightarrow x = \frac{-41}{-41} = 1$

$\frac{y}{-82} = \frac{1}{-41}$ $\Rightarrow y = \frac{-82}{-41} = 2$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 1, y = 2$

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ দুটি ইতিমধ্যেই সাধারণ আকারে আছে:

$7x – 3y – 31 = 0 \dots \dots (i)$

$9x – 5y – 41 = 0 \dots \dots (ii)$

এখানে,

$a_1 = 7, b_1 = -3, c_1 = -31$

$a_2 = 9, b_2 = -5, c_2 = -41$

বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই:

$\frac{x}{(-3) \times (-41) – (-5) \times (-31)} = \frac{y}{(-31) \times 9 – (-41) \times 7} = \frac{1}{7 \times (-5) – 9 \times (-3)}$

বা, $\frac{x}{123 – 155} = \frac{y}{-279 + 287} = \frac{1}{-35 + 27}$

বা, $\frac{x}{-32} = \frac{y}{8} = \frac{1}{-8}$

অতএব,

$\frac{x}{-32} = \frac{1}{-8}$ $\Rightarrow x = \frac{-32}{-8} = 4$

$\frac{y}{8} = \frac{1}{-8}$ $\Rightarrow y = \frac{8}{-8} = -1$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 4, y = -1$

সমাধান:

প্রদত্ত সম্পর্ক থেকে আমরা দুটি সমীকরণ পাই:

প্রথম সমীকরণ:
$\frac{x}{6} – \frac{y}{3} = 4$
উভয়পক্ষকে 6 দিয়ে গুণ করে পাই,
$x – 2y = 24$
বা, $x – 2y – 24 = 0 \dots \dots (i)$

দ্বিতীয় সমীকরণ:
$\frac{x}{12} – \frac{2y}{3} = 4$
উভয়পক্ষকে 12 দিয়ে গুণ করে পাই,
$x – 8y = 48$
বা, $x – 8y – 48 = 0 \dots \dots (ii)$

এখন $(i)$ ও $(ii)$ নং সমীকরণে বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই:

এখানে $a_1=1, b_1=-2, c_1=-24$ এবং $a_2=1, b_2=-8, c_2=-48$

$\frac{x}{(-2)(-48) – (-8)(-24)} = \frac{y}{(-24)(1) – (-48)(1)} = \frac{1}{(1)(-8) – (1)(-2)}$

বা, $\frac{x}{96 – 192} = \frac{y}{-24 + 48} = \frac{1}{-8 + 2}$

বা, $\frac{x}{-96} = \frac{y}{24} = \frac{1}{-6}$

অতএব,
$x = \frac{-96}{-6} = 16$
$y = \frac{24}{-6} = -4$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 16, y = -4$

সমাধান:

এখানে দুটি রাশিই 0-এর সমান।

প্রথম সমীকরণ:
$\frac{x}{5} + \frac{y}{3} = 0$
উভয়পক্ষকে 15 দিয়ে গুণ করে পাই,
$3x + 5y = 0$
বা, $3x + 5y + 0 = 0 \dots \dots (i)$

দ্বিতীয় সমীকরণ:
$\frac{x}{4} – \frac{y}{3} – \frac{3}{20} = 0$
উভয়পক্ষকে 60 দিয়ে গুণ করে পাই,
$15x – 20y – 9 = 0 \dots \dots (ii)$

বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই:

$\frac{x}{(5)(-9) – (-20)(0)} = \frac{y}{(0)(15) – (-9)(3)} = \frac{1}{(3)(-20) – (15)(5)}$

বা, $\frac{x}{-45 – 0} = \frac{y}{0 + 27} = \frac{1}{-60 – 75}$

বা, $\frac{x}{-45} = \frac{y}{27} = \frac{1}{-135}$

অতএব,
$x = \frac{-45}{-135} = \frac{1}{3}$
$y = \frac{27}{-135} = -\frac{1}{5}$

নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{1}{3}, y = -\frac{1}{5}$

সমাধান:

প্রথম সমীকরণ সরলীকরণ:
$\frac{4(x+2) + 7(y-x)}{28} = 2x – 8$
বা, $4x + 8 + 7y – 7x = 28(2x – 8)$
বা, $-3x + 7y + 8 = 56x – 224$
বা, $-3x – 56x + 7y + 8 + 224 = 0$
বা, $-59x + 7y + 232 = 0$
বা, $59x – 7y – 232 = 0 \dots \dots (i)$ [চিহ্ন পরিবর্তন করে]

দ্বিতীয় সমীকরণ সরলীকরণ:
$\frac{2y – 3x + 6y}{3} = 3x + 4$
বা, $8y – 3x = 3(3x + 4)$
বা, $8y – 3x = 9x + 12$
বা, $-3x – 9x + 8y – 12 = 0$
বা, $-12x + 8y – 12 = 0$
বা, $3x – 2y + 3 = 0 \dots \dots (ii)$ [-4 দিয়ে ভাগ করে]

বজ্রগুণন করে পাই:

$\frac{x}{(-7)(3) – (-2)(-232)} = \frac{y}{(-232)(3) – (3)(59)} = \frac{1}{(59)(-2) – (3)(-7)}$

বা, $\frac{x}{-21 – 464} = \frac{y}{-696 – 177} = \frac{1}{-118 + 21}$

বা, $\frac{x}{-485} = \frac{y}{-873} = \frac{1}{-97}$

অতএব,
$x = \frac{-485}{-97} = 5$
$y = \frac{-873}{-97} = 9$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 5, y = 9$

সমাধান:

প্রথম সমীকরণ:
$x + 5y – 36 = 0 \dots \dots (i)$

দ্বিতীয় সমীকরণ:
$3(x+y) = 5(x-y)$
বা, $3x + 3y = 5x – 5y$
বা, $3x – 5x + 3y + 5y = 0$
বা, $-2x + 8y = 0$
বা, $x – 4y = 0 \dots \dots (ii)$ [-2 দিয়ে ভাগ করে]

বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই ($(ii)$ নং সমীকরণে ধ্রুবক পদ $c_2 = 0$):

$\frac{x}{(5)(0) – (-4)(-36)} = \frac{y}{(-36)(1) – (0)(1)} = \frac{1}{(1)(-4) – (1)(5)}$

বা, $\frac{x}{0 – 144} = \frac{y}{-36 – 0} = \frac{1}{-4 – 5}$

বা, $\frac{x}{-144} = \frac{y}{-36} = \frac{1}{-9}$

অতএব,
$x = \frac{-144}{-9} = 16$
$y = \frac{-36}{-9} = 4$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 16, y = 4$

সমাধান:

সমীকরণ দুটি সাধারণ আকারে সাজানোই আছে (দ্বিতীয় সমীকরণে ধ্রুবক পদ 0):

$13x – 12y + 15 = 0 \dots \dots (i)$

$8x – 7y + 0 = 0 \dots \dots (ii)$

এখানে,

$a_1 = 13, b_1 = -12, c_1 = 15$

$a_2 = 8, b_2 = -7, c_2 = 0$

বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই:

$\frac{x}{(-12)(0) – (-7)(15)} = \frac{y}{(15)(8) – (0)(13)} = \frac{1}{(13)(-7) – (8)(-12)}$

বা, $\frac{x}{0 + 105} = \frac{y}{120 – 0} = \frac{1}{-91 + 96}$

বা, $\frac{x}{105} = \frac{y}{120} = \frac{1}{5}$

অতএব,

$x = \frac{105}{5} = 21$

$y = \frac{120}{5} = 24$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 21, y = 24$

সমাধান:

সমীকরণ দুটিকে সাধারণ আকারে সাজিয়ে পাই:

$x + y – 2b = 0 \dots \dots (i)$

$x – y – 2a = 0 \dots \dots (ii)$

এখানে,

$a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = -2b$

$a_2 = 1, b_2 = -1, c_2 = -2a$

বজ্রগুণন করে পাই:

$\frac{x}{(1)(-2a) – (-1)(-2b)} = \frac{y}{(-2b)(1) – (-2a)(1)} = \frac{1}{(1)(-1) – (1)(1)}$

বা, $\frac{x}{-2a – 2b} = \frac{y}{-2b + 2a} = \frac{1}{-1 – 1}$

বা, $\frac{x}{-2(a + b)} = \frac{y}{2(a – b)} = \frac{1}{-2}$

অতএব,

$x = \frac{-2(a + b)}{-2} = a + b$

$y = \frac{2(a – b)}{-2} = -(a – b) = b – a$

নির্ণেয় সমাধান: $x = a + b, y = b – a$

সমাধান:

সমীকরণ দুটিকে সাধারণ আকারে সাজিয়ে পাই:

$x – y – 2a = 0 \dots \dots (i)$

$ax + by – (a^2 + b^2) = 0 \dots \dots (ii)$

এখানে,

$a_1 = 1, b_1 = -1, c_1 = -2a$

$a_2 = a, b_2 = b, c_2 = -(a^2 + b^2)$

বজ্রগুণন করে পাই:

$\frac{x}{(-1)\{-(a^2+b^2)\} – (b)(-2a)} = \frac{y}{(-2a)(a) – \{-(a^2+b^2)\}(1)} = \frac{1}{(1)(b) – (a)(-1)}$

বা, $\frac{x}{a^2 + b^2 + 2ab} = \frac{y}{-2a^2 + a^2 + b^2} = \frac{1}{b + a}$

বা, $\frac{x}{(a + b)^2} = \frac{y}{b^2 – a^2} = \frac{1}{a + b}$

অতএব,

$x = \frac{(a + b)^2}{a + b} = a + b$

$y = \frac{b^2 – a^2}{a + b} = \frac{(b – a)(b + a)}{a + b} = b – a$

নির্ণেয় সমাধান: $x = a + b, y = b – a$

সমাধান:

প্রথম সমীকরণ সরলীকরণ:

$\frac{bx + ay}{ab} = 2 \Rightarrow bx + ay = 2ab \Rightarrow bx + ay – 2ab = 0 \dots \dots (i)$

দ্বিতীয় সমীকরণ:

$ax – by – (a^2 – b^2) = 0 \dots \dots (ii)$

এখানে,

$a_1 = b, b_1 = a, c_1 = -2ab$

$a_2 = a, b_2 = -b, c_2 = -(a^2 – b^2)$

বজ্রগুণন পদ্ধতি অনুযায়ী:

$\frac{x}{a\{-(a^2-b^2)\} – (-b)(-2ab)} = \frac{y}{(-2ab)(a) – \{-(a^2-b^2)\}(b)} = \frac{1}{b(-b) – a(a)}$

বা, $\frac{x}{-a^3 + ab^2 – 2ab^2} = \frac{y}{-2a^2b + a^2b – b^3} = \frac{1}{-b^2 – a^2}$

বা, $\frac{x}{-a^3 – ab^2} = \frac{y}{-a^2b – b^3} = \frac{1}{-(a^2 + b^2)}$

বা, $\frac{x}{-a(a^2 + b^2)} = \frac{y}{-b(a^2 + b^2)} = \frac{1}{-(a^2 + b^2)}$

অতএব,

$x = \frac{-a(a^2 + b^2)}{-(a^2 + b^2)} = a$

$y = \frac{-b(a^2 + b^2)}{-(a^2 + b^2)} = b$

নির্ণেয় সমাধান: $x = a, y = b$

সমাধান:

সমীকরণ দুটিকে সাধারণ আকারে সাজিয়ে পাই:

$ax + by – 1 = 0 \dots \dots (i)$

$bx + ay – \frac{2ab}{a^2 + b^2} = 0 \dots \dots (ii)$

এখানে,

$a_1 = a, b_1 = b, c_1 = -1$

$a_2 = b, b_2 = a, c_2 = -\frac{2ab}{a^2 + b^2}$

বজ্রগুণন সূত্র প্রয়োগ করে:

$\frac{x}{b(-\frac{2ab}{a^2+b^2}) – a(-1)} = \frac{y}{(-1)(b) – (-\frac{2ab}{a^2+b^2})(a)} = \frac{1}{a(a) – b(b)}$

বা, $\frac{x}{\frac{-2ab^2}{a^2+b^2} + a} = \frac{y}{-b + \frac{2a^2b}{a^2+b^2}} = \frac{1}{a^2 – b^2}$

বা, $\frac{x}{\frac{-2ab^2 + a(a^2+b^2)}{a^2+b^2}} = \frac{y}{\frac{-b(a^2+b^2) + 2a^2b}{a^2+b^2}} = \frac{1}{a^2 – b^2}$

বা, $\frac{x}{\frac{-2ab^2 + a^3 + ab^2}{a^2+b^2}} = \frac{y}{\frac{-a^2b – b^3 + 2a^2b}{a^2+b^2}} = \frac{1}{a^2 – b^2}$

বা, $\frac{x}{\frac{a^3 – ab^2}{a^2+b^2}} = \frac{y}{\frac{a^2b – b^3}{a^2+b^2}} = \frac{1}{a^2 – b^2}$

বা, $\frac{x}{\frac{a(a^2 – b^2)}{a^2+b^2}} = \frac{y}{\frac{b(a^2 – b^2)}{a^2+b^2}} = \frac{1}{a^2 – b^2}$

অতএব,

$x = \frac{1}{a^2 – b^2} \times \frac{a(a^2 – b^2)}{a^2+b^2} = \frac{a}{a^2 + b^2}$

$y = \frac{1}{a^2 – b^2} \times \frac{b(a^2 – b^2)}{a^2+b^2} = \frac{b}{a^2 + b^2}$

নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{a}{a^2 + b^2}, y = \frac{b}{a^2 + b^2}$