নবম শ্রেণি গনিত: কষে দেখি – 5.7

সমাধান:

ধরি, প্রতিটি পেনের দাম $x$ টাকা এবং প্রতিটি পেনসিলের দাম $y$ টাকা।

প্রথম শর্তানুসারে: (রীতার কেনাকাটা)
$5 \times x + 3 \times y = 34$
বা, $5x + 3y = 34 \dots \dots (i)$

দ্বিতীয় শর্তানুসারে: (সুমিতের কেনাকাটা)
$7 \times x + 6 \times y = 53$
বা, $7x + 6y = 53 \dots \dots (ii)$

এখন, $(i)$ নং সমীকরণকে 7 দিয়ে গুণ করে পাই:
$35x + 21y = 238 \dots \dots (iii)$

এখন, $(ii)$ নং সমীকরণকে 5 দিয়ে গুণ করে পাই:
$35x + 30y = 265 \dots \dots (iv)$

$(iii)$ নং সমীকরণ থেকে $(iv)$ নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই:

$35x + 21y = 238$
$35x + 30y = 265$
(-) (-)     (-)
——————-
$-9y = -27$
বা, $y = \frac{-27}{-9} = 3$

বা, $y = 3$

$(i)$ নং সমীকরণে $y = 3$ বসিয়ে পাই:
$5x + 3 \times 3 = 34$
বা, $5x + 9 = 34$
বা, $5x = 34 – 9$
বা, $5x = 25$
বা, $x = \frac{25}{5} = 5$
বা, $x = 5$

উত্তর: একটি পেনের দাম 5 টাকা এবং একটি পেনসিলের দাম 3টাকা।

সমাধান:

ধরি, আয়েশার ওজন $x$ কিগ্রা এবং রফিকের ওজন $y$ কিগ্রা।

প্রথম শর্তানুসারে:
$x + y = 85 \dots \dots (i)$

দ্বিতীয় শর্তানুসারে:
আয়েশার ওজনের অর্ধেক = রফিকের ওজনের $\frac{4}{9}$ অংশ
$\frac{x}{2} = y \times \frac{4}{9}$
বা, $\frac{x}{2} = \frac{4y}{9}$
বা, $9x = 8y$ [বজ্রগুণন করে]
বা, $9x – 8y = 0 \dots \dots (ii)$

এখন, $(i)$ নং সমীকরণকে 8 দিয়ে গুণ করে পাই:
$8x + 8y = 680 \dots \dots (iii)$

$(ii)$ ও $(iii)$ নং সমীকরণ যোগ করে পাই:

$9x – 8y = 0$
$8x + 8y = 680$
——————-
$17x = 680$
বা, $x = \frac{680}{17}$
বা, $x = 40$

$(i)$ নং সমীকরণে $x = 40$ বসিয়ে পাই:
$40 + y = 85$
বা, $y = 85 – 40$
বা, $y = 45$

উত্তর: আয়েশার ওজন 40 কিগ্রা এবং রফিকের ওজন 45 কিগ্রা।

সমাধান:

ধরি, কাকাবাবুর বর্তমান বয়স $x$ বছর এবং বোনের বর্তমান বয়স $y$ বছর।

প্রথম শর্তানুসারে:
$x = 2y$
বা, $x – 2y = 0 \dots \dots (i)$

দ্বিতীয় শর্তানুসারে: (10 বছর আগে)
10 বছর আগে কাকাবাবুর বয়স ছিল $(x – 10)$ বছর।
10 বছর আগে বোনের বয়স ছিল $(y – 10)$ বছর।
প্রশ্নমতে,
$x – 10 = 3(y – 10)$
বা, $x – 10 = 3y – 30$
বা, $x – 3y = -30 + 10$
বা, $x – 3y = -20 \dots \dots (ii)$

$(i)$ নং সমীকরণ থেকে $x$-এর মান $(ii)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই (প্রতিস্থাপন পদ্ধতি):
$2y – 3y = -20$
বা, $-y = -20$
বা, $y = 20$

এখন, $x = 2y = 2 \times 20 = 40$

উত্তর: কাকাবাবুর বর্তমান বয়স 40 বছর এবং বোনের বর্তমান বয়স 20 বছর।

সমাধান:

ধরি, তিনি $x$ টি 5 টাকার নোট এবং $y$ টি 10 টাকার নোট পেয়েছেন।

প্রথম শর্তানুসারে: (মোট নোটের সংখ্যা)
$x + y = 70 \dots \dots (i)$

দ্বিতীয় শর্তানুসারে: (মোট টাকার পরিমাণ)
$5x + 10y = 590$
বা, $5(x + 2y) = 590$
বা, $x + 2y = \frac{590}{5}$
বা, $x + 2y = 118 \dots \dots (ii)$

$(ii)$ নং সমীকরণ থেকে $(i)$ নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই:

$x + 2y = 118$
$x + y = 70$
(-) (-)     (-)
——————-
$y = 48$

$(i)$ নং সমীকরণে $y = 48$ বসিয়ে পাই:
$x + 48 = 70$
বা, $x = 70 – 48$
বা, $x = 22$

উত্তর: তিনি 22টি পাঁচ টাকার নোট এবং 48টি দশ টাকার নোট পেলেন।

সমাধান:

ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশটির লব $= x$ এবং হর $= y$।
$\therefore$ ভগ্নাংশটি হলো $\frac{x}{y}$।

প্রথম শর্তানুসারে: (হরটি লব অপেক্ষা 5 বেশি)
$y – x = 5$
বা, $-x + y = 5 \dots \dots (i)$

দ্বিতীয় শর্তানুসারে: (উভয়ের সাথে 3 যোগ করলে)
$\frac{x + 3}{y + 3} = \frac{3}{4}$
বা, $4(x + 3) = 3(y + 3)$
বা, $4x + 12 = 3y + 9$
বা, $4x – 3y = 9 – 12$
বা, $4x – 3y = -3 \dots \dots (ii)$

এখন, $(i)$ নং সমীকরণ থেকে পাই:
$y = x + 5 \dots \dots (iii)$

$(iii)$ নং সমীকরণের $y$-এর মান $(ii)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$4x – 3(x + 5) = -3$
বা, $4x – 3x – 15 = -3$
বা, $x = -3 + 15$
বা, $x = 12$

$(iii)$ নং সমীকরণে $x = 12$ বসিয়ে পাই:
$y = 12 + 5 = 17$

$\therefore$ ভগ্নাংশটি হলো $\frac{12}{17}$।

উত্তর: নির্ণেয় প্রকৃত ভগ্নাংশটি হলো $\frac{12}{17}$।

সমাধান:

ধরি, প্রথম সংখ্যাটি $x$ এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি $y$।

প্রথম শর্তানুসারে:
$x + 21 = 2y$
বা, $x – 2y = -21 \dots \dots (i)$

দ্বিতীয় শর্তানুসারে:
$y + 12 = 2x$
বা, $2x – y = 12 \dots \dots (ii)$

$(i)$ নং সমীকরণ থেকে পাই:
$x = 2y – 21 \dots \dots (iii)$

$(iii)$ নং সমীকরণের $x$-এর মান $(ii)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$2(2y – 21) – y = 12$
বা, $4y – 42 – y = 12$
বা, $3y = 12 + 42$
বা, $3y = 54$
বা, $y = \frac{54}{3} = 18$

$(iii)$ নং সমীকরণে $y = 18$ বসিয়ে পাই:
$x = 2(18) – 21$
বা, $x = 36 – 21$
বা, $x = 15$

উত্তর: মারিয়ার লেখা সংখ্যা দুটি হলো 15 এবং 18।

সমাধান:

ধরি, লালিমা একা কাজটি সম্পূর্ণ করতে পারে $x$ দিনে এবং রমেন একা কাজটি করতে পারে $y$ দিনে।
$\therefore$ লালিমা 1 দিনে করে কাজটির $\frac{1}{x}$ অংশ এবং রমেন 1 দিনে করে $\frac{1}{y}$ অংশ।

প্রথম শর্তানুসারে:
$\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = \frac{2}{3} \dots \dots (i)$

দ্বিতীয় শর্তানুসারে:
$\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{11}{12} \dots \dots (ii)$

$(i)$ নং সমীকরণকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই:
$\frac{8}{x} + \frac{6}{y} = \frac{4}{3} \dots \dots (iii)$

$(iii)$ নং সমীকরণ থেকে $(ii)$ নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই:

$(\frac{8}{x} + \frac{6}{y}) – (\frac{3}{x} + \frac{6}{y}) = \frac{4}{3} – \frac{11}{12}$
বা, $\frac{5}{x} = \frac{16 – 11}{12}$
বা, $\frac{5}{x} = \frac{5}{12}$
বা, $x = 12$

$(i)$ নং সমীকরণে $x = 12$ বসিয়ে পাই:
$\frac{4}{12} + \frac{3}{y} = \frac{2}{3}$
বা, $\frac{1}{3} + \frac{3}{y} = \frac{2}{3}$
বা, $\frac{3}{y} = \frac{2}{3} – \frac{1}{3}$
বা, $\frac{3}{y} = \frac{1}{3}$
বা, $y = 9$

উত্তর: লালিমা একা কাজটি 12 দিনে এবং রমেন একা কাজটি 9 দিনে শেষ করতে পারবে।

সমাধান:

ধরি, প্রথম ধরনের শরবত মেশানো হলো $x$ লিটার এবং দ্বিতীয় ধরনের শরবত মেশানো হলো $y$ লিটার।

১ম শরবতে চিনির পরিমাণ: প্রতি লিটারে $\frac{5}{100}$ কিগ্রা।
২য় শরবতে চিনির পরিমাণ: প্রতি লিটারে $\frac{8}{100}$ কিগ্রা।

প্রথম শর্তানুসারে: (মোট শরবতের পরিমাণ)
$x + y = 150 \dots \dots (i)$

দ্বিতীয় শর্তানুসারে: (মোট চিনির পরিমাণ)
$\frac{5x}{100} + \frac{8y}{100} = 9\frac{2}{3}$
বা, $\frac{5x + 8y}{100} = \frac{29}{3}$
বা, $3(5x + 8y) = 2900$
বা, $15x + 24y = 2900 \dots \dots (ii)$

$(i)$ নং সমীকরণকে 15 দিয়ে গুণ করে পাই:
$15x + 15y = 2250 \dots \dots (iii)$

$(ii)$ নং সমীকরণ থেকে $(iii)$ নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই:

$15x + 24y = 2900$
$15x + 15y = 2250$
(-) (-)     (-)
———————–
$9y = 650$
বা, $y = \frac{650}{9} = 72\frac{2}{9}$

$(i)$ নং সমীকরণে $y$-এর মান বসিয়ে পাই:
$x + \frac{650}{9} = 150$
বা, $x = 150 – \frac{650}{9}$
বা, $x = \frac{1350 – 650}{9}$
বা, $x = \frac{700}{9} = 77\frac{7}{9}$

উত্তর: প্রথম ধরনের শরবত $77\frac{7}{9}$ লিটার এবং দ্বিতীয় ধরনের শরবত $72\frac{2}{9}$ লিটার মেশাতে হবে।

সমাধান:

ধরি, অখিলবাবু ভোট পেয়েছেন $x$ টি এবং ছন্দাদেবী ভোট পেয়েছেন $y$ টি।

প্রথম শর্তানুসারে: (অখিলবাবু 75 ভোটে জয়ী)
$x – y = 75$
বা, $x = y + 75 \dots \dots (i)$

দ্বিতীয় শর্তানুসারে:
অখিলবাবুর 20% ভোট কমলে তাঁর নতুন ভোট হয় = $x – \frac{20x}{100} = x – 0.2x = 0.8x$
সেই ভোট ছন্দাদেবী পেলে তাঁর নতুন ভোট হয় = $y + \frac{20x}{100} = y + 0.2x$
এই অবস্থায় ছন্দাদেবী 19 ভোটে জিততেন, তাই:
$(y + 0.2x) – 0.8x = 19$
বা, $y – 0.6x = 19 \dots \dots (ii)$

$(i)$ নং সমীকরণের $x$-এর মান $(ii)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$y – 0.6(y + 75) = 19$
বা, $y – 0.6y – 45 = 19$
বা, $0.4y = 19 + 45$
বা, $0.4y = 64$
বা, $y = \frac{64}{0.4} = \frac{640}{4} = 160$

$(i)$ নং সমীকরণে $y = 160$ বসিয়ে পাই:
$x = 160 + 75 = 235$

উত্তর: অখিলবাবু পেয়েছেন 235 টি ভোট এবং ছন্দাদেবী পেয়েছেন 160 টি ভোট।

সমাধান:

ধরি, মেঝের দৈর্ঘ্য $x$ মিটার এবং প্রস্থ $y$ মিটার।
$\therefore$ মেঝের ক্ষেত্রফল $= xy$ বর্গমিটার।

প্রথম শর্তানুসারে:
$(x + 2)(y + 3) = xy + 75$
বা, $xy + 3x + 2y + 6 = xy + 75$
বা, $3x + 2y = 75 – 6$
বা, $3x + 2y = 69 \dots \dots (i)$

দ্বিতীয় শর্তানুসারে:
$(x – 2)(y + 3) = xy + 15$
বা, $xy + 3x – 2y – 6 = xy + 15$
বা, $3x – 2y = 15 + 6$
বা, $3x – 2y = 21 \dots \dots (ii)$

$(i)$ ও $(ii)$ নং সমীকরণ যোগ করে পাই:

$3x + 2y = 69$
$3x – 2y = 21$
——————-
$6x = 90$
বা, $x = \frac{90}{6} = 15$

$(i)$ নং সমীকরণে $x = 15$ বসিয়ে পাই:
$3(15) + 2y = 69$
বা, $45 + 2y = 69$
বা, $2y = 69 – 45$
বা, $2y = 24$
বা, $y = 12$

উত্তর: রফিকদের মেঝের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং প্রস্থ 12 মিটার।

সমাধান:

ধরি, মেরির কাছে আছে $x$ টাকা এবং ঈশানের কাছে আছে $y$ টাকা।

প্রথম শর্তানুসারে: (ঈশান মেরিকে দিলে)
$x + \frac{y}{3} = 200$
বা, $\frac{3x + y}{3} = 200$
বা, $3x + y = 600 \dots \dots (i)$

দ্বিতীয় শর্তানুসারে: (মেরি ঈশানকে দিলে)
$y + \frac{x}{2} = 200$
বা, $\frac{2y + x}{2} = 200$
বা, $x + 2y = 400 \dots \dots (ii)$

$(ii)$ নং সমীকরণ থেকে পাই $x = 400 – 2y$। এই মান $(i)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$3(400 – 2y) + y = 600$
বা, $1200 – 6y + y = 600$
বা, $-5y = 600 – 1200$
বা, $-5y = -600$
বা, $y = 120$

এখন, $x = 400 – 2(120) = 400 – 240 = 160$

উত্তর: মেরির কাছে 160 টাকা এবং ঈশানের কাছে 120 টাকা আছে।

সমাধান:

ধরি, দাদারা মোট $x$ জন মেলায় গিয়েছিল এবং দাদু মোট $y$ টাকা দিয়েছিলেন।

প্রথম শর্তানুসারে:
যদি $x-2$ জন হতো, তবে প্রত্যেকে পেত 18 টাকা।
$\therefore$ মোট টাকা $y = 18(x – 2) \dots \dots (i)$

দ্বিতীয় শর্তানুসারে:
যদি $x+3$ জন হতো, তবে প্রত্যেকে পেত 12 টাকা।
$\therefore$ মোট টাকা $y = 12(x + 3) \dots \dots (ii)$

$(i)$ ও $(ii)$ নং সমীকরণ তুলনা করে পাই:
$18(x – 2) = 12(x + 3)$
বা, $18x – 36 = 12x + 36$
বা, $18x – 12x = 36 + 36$
বা, $6x = 72$
বা, $x = 12$

$(i)$ নং সমীকরণে $x = 12$ বসিয়ে পাই:
$y = 18(12 – 2) = 18 \times 10 = 180$

উত্তর: দাদারা 12 জন মেলায় গিয়েছিল এবং দাদু মোট 180 টাকা দিয়েছিলেন।

সমাধান:

ধরি, প্রথমে থলিতে 1 টাকার মুদ্রা ছিল $x$ টি এবং 50 পয়সার মুদ্রা ছিল $y$ টি।

আমরা জানি, 1 টাকা = 1 টাকা এবং 50 পয়সা = $\frac{1}{2}$ টাকা।

প্রথম শর্তানুসারে: (মোট টাকার পরিমাণ 350)
$1 \times x + \frac{1}{2} \times y = 350$
বা, $x + \frac{y}{2} = 350$
বা, $\frac{2x + y}{2} = 350$
বা, $2x + y = 700 \dots \dots (i)$

দ্বিতীয় শর্তানুসারে:
বোন $\frac{1}{3}$ অংশ 50 পয়সা বের করে নিল।
$\therefore$ বের করা 50 পয়সার সংখ্যা = $\frac{y}{3}$ টি।
অবশিষ্ট 50 পয়সার সংখ্যা = $y – \frac{y}{3} = \frac{2y}{3}$ টি।

সে সমসংখ্যক অর্থাৎ $\frac{y}{3}$ টি 1 টাকার মুদ্রা রাখল।
$\therefore$ এখন 1 টাকার মুদ্রার সংখ্যা = $x + \frac{y}{3}$ টি।

প্রশ্নানুসারে এখন মোট টাকা 400:
$1(x + \frac{y}{3}) + \frac{1}{2}(\frac{2y}{3}) = 400$
বা, $x + \frac{y}{3} + \frac{y}{3} = 400$
বা, $x + \frac{2y}{3} = 400$
বা, $\frac{3x + 2y}{3} = 400$
বা, $3x + 2y = 1200 \dots \dots (ii)$

এখন, $(i)$ নং সমীকরণ থেকে পাই $y = 700 – 2x$। এই মান $(ii)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$3x + 2(700 – 2x) = 1200$
বা, $3x + 1400 – 4x = 1200$
বা, $-x = 1200 – 1400$
বা, $-x = -200$
বা, $x = 200$

$(i)$ নং সমীকরণে $x = 200$ বসিয়ে পাই:
$2(200) + y = 700$
বা, $400 + y = 700$
বা, $y = 300$

উত্তর: প্রথমে থলিতে 1 টাকার মুদ্রা ছিল 200টি এবং 50 পয়সার মুদ্রা ছিল 300টি।

সমাধান:

ধরি, গাড়ির নির্দিষ্ট গতিবেগ $v$ কিমি/ঘণ্টা এবং মোট সময় লাগে $t$ ঘণ্টা।
$\therefore$ মোট দূরত্ব $d = v \times t$ কিমি।

প্রথম শর্তানুসারে: (বেগ বাড়লে সময় কমে)
$(v + 9)(t – 3) = vt$ [কারণ দূরত্ব একই থাকে]
বা, $vt – 3v + 9t – 27 = vt$
বা, $9t – 3v = 27$
বা, $3t – v = 9 \dots \dots (i)$ [উভয়পক্ষকে 3 দিয়ে ভাগ করে]

দ্বিতীয় শর্তানুসারে: (বেগ কমলে সময় বাড়ে)
$(v – 6)(t + 3) = vt$
বা, $vt + 3v – 6t – 18 = vt$
বা, $3v – 6t = 18$
বা, $v – 2t = 6 \dots \dots (ii)$ [উভয়পক্ষকে 3 দিয়ে ভাগ করে]

$(i)$ নং সমীকরণ থেকে পাই $v = 3t – 9$। এই মান $(ii)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$(3t – 9) – 2t = 6$
বা, $t – 9 = 6$
বা, $t = 15$

এখন $t = 15$ হলে,
$v = 3(15) – 9 = 45 – 9 = 36$

$\therefore$ গতিবেগ 36 কিমি/ঘণ্টা এবং সময় লাগে 15 ঘণ্টা।
$\therefore$ মোট দূরত্ব = গতিবেগ $\times$ সময় = $36 \times 15 = 540$ কিমি।

উত্তর: মামার বাড়ির দূরত্ব 540 কিমি. এবং গাড়ির গতিবেগ ঘণ্টায় 36 কিমি.।

সমাধান:

ধরি, দুই অঙ্কের সংখ্যাটির দশকের ঘরের অঙ্ক $x$ এবং এককের ঘরের অঙ্ক $y$।
$\therefore$ সংখ্যাটি হলো $10x + y$।
অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি = $x + y$।

প্রথম শর্তানুসারে:
$10x + y = 4(x + y) + 3$
বা, $10x + y = 4x + 4y + 3$
বা, $10x – 4x + y – 4y = 3$
বা, $6x – 3y = 3$
বা, $2x – y = 1 \dots \dots (i)$ [3 দিয়ে ভাগ করে]

দ্বিতীয় শর্তানুসারে:
সংখ্যাটির অঙ্কদুটি স্থানবিনিময় করলে নতুন সংখ্যা হয় $10y + x$।
প্রশ্নমতে,
$10y + x = (10x + y) + 18$
বা, $10y – y + x – 10x = 18$
বা, $9y – 9x = 18$
বা, $y – x = 2 \dots \dots (ii)$ [9 দিয়ে ভাগ করে]

$(ii)$ নং সমীকরণ থেকে পাই $y = x + 2$। এই মান $(i)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$2x – (x + 2) = 1$
বা, $2x – x – 2 = 1$
বা, $x = 1 + 2$
বা, $x = 3$

এখন, $y = 3 + 2 = 5$।
$\therefore$ সংখ্যাটি হলো $10(3) + 5 = 35$।

উত্তর: মোহিত যে সংখ্যাটি লিখবে তা হলো 35।

সমাধান:

ধরি, সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক $x$ এবং এককের অঙ্ক $y$।
$\therefore$ সংখ্যাটি হলো $10x + y$।

প্রথম শর্তানুসারে:
$x + y = 14 \dots \dots (i)$

দ্বিতীয় শর্তানুসারে:
“সংখ্যাটি থেকে 29 বিয়োগ করলে অঙ্কদুটি সমান হবে।”
এর অর্থ হলো, বিয়োগফলের অঙ্কগুলি সমান হবে (যেমন 11, 22, 33…)।
ধরি, বিয়োগফলটি $11k$ (যেখানে $k$ একটি অখণ্ড সংখ্যা, $1 \le k \le 9$)।
$\therefore (10x + y) – 29 = 11k$

$(i)$ নং সমীকরণ থেকে পাই $y = 14 – x$। এই মান বসিয়ে পাই:
$10x + (14 – x) – 29 = 11k$
বা, $9x – 15 = 11k$

যেহেতু $x$ একটি অঙ্ক (এবং $x+y=14$ হওয়ায় $x$ এর মান 5 থেকে 9 এর মধ্যে হতে হবে), আমরা পরীক্ষা করে দেখি:
যদি $x = 9$ হয়, তবে $9(9) – 15 = 81 – 15 = 66$, যা 11 দ্বারা বিভাজ্য ($k=6$)।
অন্য কোনো মান (যেমন $x=8, 7…$) বসালে $11k$ আকার পাওয়া যায় না।
$\therefore x = 9$

এখন $y = 14 – 9 = 5$।
$\therefore$ নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো $95$।

যাচাই:
সংখ্যাটি 95।
অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি: $9 + 5 = 14$ (মিলেছে)।
সংখ্যাটি থেকে 29 বিয়োগ করলে: $95 – 29 = 66$, যার অঙ্কদুটি (6 এবং 6) সমান।

উত্তর: দুই অঙ্কের সংখ্যাটি হলো 95।

সমাধান:

ধরি, স্থির জলে নৌকার গতিবেগ $x$ মাইল/ঘণ্টা এবং স্রোতের গতিবেগ $y$ মাইল/ঘণ্টা।

$\therefore$ স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ = $(x + y)$ মাইল/ঘণ্টা।
এবং স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ = $(x – y)$ মাইল/ঘণ্টা।

প্রথম শর্তানুসারে: (অনুকূলে 30 মাইল যেতে 6 ঘণ্টা লাগে)
$6(x + y) = 30$
বা, $x + y = \frac{30}{6}$
বা, $x + y = 5 \dots \dots (i)$

দ্বিতীয় শর্তানুসারে: (প্রতিকূলে 30 মাইল ফিরতে 10 ঘণ্টা লাগে)
$10(x – y) = 30$
বা, $x – y = \frac{30}{10}$
বা, $x – y = 3 \dots \dots (ii)$

$(i)$ ও $(ii)$ নং সমীকরণ যোগ করে পাই:

$x + y = 5$
$x – y = 3$
——————-
$2x = 8$
বা, $x = 4$

$(i)$ নং সমীকরণে $x = 4$ বসিয়ে পাই:
$4 + y = 5$
বা, $y = 5 – 4 = 1$

উত্তর: স্থির জলে নৌকার গতিবেগ 4 মাইল/ঘণ্টা এবং স্রোতের গতিবেগ 1 মাইল/ঘণ্টা।

সমাধান:

ধরি, ট্রেনটির পূর্বের বেগ (স্বাভাবিক বেগ) ছিল $v$ কিমি/ঘণ্টা এবং মোট দূরত্ব $d$ কিমি।

দ্বিতীয় শর্তের বিশ্লেষণ:
দুর্ঘটনাটি 50 কিমি দূরে ঘটলে ট্রেনটি 1 ঘণ্টা 20 মিনিট বা $\frac{4}{3}$ ঘণ্টা সময় বাঁচাতো।
এই সময়ের পার্থক্যটি তৈরি হয়েছে শুধুমাত্র ওই 50 কিমি রাস্তার জন্য।
প্রথম ক্ষেত্রে, ওই 50 কিমি পথ ট্রেনটি $\frac{3}{5}v$ বেগে অতিক্রম করেছে।
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, ওই 50 কিমি পথ ট্রেনটি $v$ বেগে অতিক্রম করেছে।

$\therefore$ সময়ের পার্থক্য = (ধীর গতিতে সময়) – (স্বাভাবিক গতিতে সময়)
$\frac{50}{\frac{3v}{5}} – \frac{50}{v} = \frac{4}{3}$
বা, $\frac{250}{3v} – \frac{50}{v} = \frac{4}{3}$
বা, $\frac{250 – 150}{3v} = \frac{4}{3}$
বা, $\frac{100}{3v} = \frac{4}{3}$
বা, $12v = 300$
বা, $v = \frac{300}{12} = 25$

$\therefore$ ট্রেনটির পূর্বের বেগ ছিল 25 কিমি/ঘণ্টা।

দূরত্ব নির্ণয়:
প্রথম ক্ষেত্রে:
1 ঘণ্টা চলার পর বাকি দূরত্ব = $(d – 25)$ কিমি।
এই পথ যেতে সময় লাগে = $\frac{d – 25}{\frac{3}{5} \times 25} = \frac{d – 25}{15}$ ঘণ্টা।
স্বাভাবিক সময়ে ওই পথ যেতে লাগত = $\frac{d – 25}{25}$ ঘণ্টা।
দেরি হয়েছে = (নতুন সময় + 1 ঘণ্টা বিরতি) – স্বাভাবিক সময় = 3 ঘণ্টা।
$\therefore (\frac{d – 25}{15} + 1) – \frac{d – 25}{25} = 3$
বা, $\frac{d – 25}{15} – \frac{d – 25}{25} = 3 – 1$
বা, $(d – 25) (\frac{1}{15} – \frac{1}{25}) = 2$
বা, $(d – 25) (\frac{5 – 3}{75}) = 2$
বা, $(d – 25) \times \frac{2}{75} = 2$
বা, $d – 25 = 75$
বা, $d = 100$

উত্তর: ট্রেনটি মোট 100 কিমি পথ চলেছিল এবং পূর্বের বেগ ছিল 25 কিমি/ঘণ্টা।

সমাধান:

ধরি, সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক $x$ এবং এককের অঙ্ক $y$।
$\therefore$ সংখ্যাটি হলো $10x + y$ এবং অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি $(x + y)$।

প্রথম শর্তানুসারে: (ভাজ্য = ভাজক $\times$ ভাগফল + ভাগশেষ)
$10x + y = 6(x + y) + 6$
বা, $10x + y = 6x + 6y + 6$
বা, $10x – 6x + y – 6y = 6$
বা, $4x – 5y = 6 \dots \dots (i)$

দ্বিতীয় শর্তানুসারে: (স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হয় $10y + x$)
$10y + x = 4(x + y) + 9$
বা, $10y + x = 4x + 4y + 9$
বা, $x – 4x + 10y – 4y = 9$
বা, $-3x + 6y = 9$
বা, $-x + 2y = 3$ [3 দিয়ে ভাগ করে]
বা, $x = 2y – 3 \dots \dots (ii)$

$(ii)$ নং সমীকরণের $x$-এর মান $(i)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$4(2y – 3) – 5y = 6$
বা, $8y – 12 – 5y = 6$
বা, $3y = 6 + 12$
বা, $3y = 18$
বা, $y = 6$

$(ii)$ নং সমীকরণে $y = 6$ বসিয়ে পাই:
$x = 2(6) – 3 = 12 – 3 = 9$

$\therefore$ সংখ্যাটি হলো $10(9) + 6 = 96$।

উত্তর: মৌসুমির সংখ্যাটি 96।

সমাধান:

ধরি, বাক্সের সংখ্যা $x$ টি এবং প্রতি বাক্সে কমলালেবুর সংখ্যা $y$ টি।
$\therefore$ মোট কমলালেবু $= xy$ টি।

প্রথম শর্তানুসারে:
$(x – 3)(y + 20) = xy$
বা, $xy + 20x – 3y – 60 = xy$
বা, $20x – 3y = 60 \dots \dots (i)$

দ্বিতীয় শর্তানুসারে:
(বইয়ের প্রশ্নে ‘1টি’ উল্লেখ থাকলেও গাণিতিক সমাধানের সুবিধার্থে এবং সাধারণ প্রশ্নের ধরন অনুযায়ী এখানে ‘5টি’ ধরা হলো। ‘1টি’ ধরলে বাক্সের সংখ্যা পূর্ণসংখ্যায় আসে না।)
$(x + 1)(y – 5) = xy$
বা, $xy – 5x + y – 5 = xy$
বা, $y – 5x = 5$
বা, $y = 5x + 5 \dots \dots (ii)$

$(ii)$ নং সমীকরণের $y$-এর মান $(i)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$20x – 3(5x + 5) = 60$
বা, $20x – 15x – 15 = 60$
বা, $5x = 60 + 15$
বা, $5x = 75$
বা, $x = 15$

$(ii)$ নং সমীকরণে $x = 15$ বসিয়ে পাই:
$y = 5(15) + 5 = 75 + 5 = 80$

$\therefore$ বাক্সের সংখ্যা 15 টি এবং মোট কমলালেবু $= 15 \times 80 = 1200$ টি।

উত্তর: ফরিদাবিবির কাছে 1200টি কমলালেবু এবং 15টি বাক্স ছিল।

সমাধান:
প্রদত্ত, $x = 3y$
$x$ ও $y$-এর মান বসিয়ে পাই:
$3t = 3(\frac{2t}{3} – 1)$
বা, $3t = 3 \times \frac{2t}{3} – 3 \times 1$
বা, $3t = 2t – 3$
বা, $3t – 2t = -3$
$\therefore t = -3$

উত্তর: $t = -3$

সমাধান:
আমরা জানি, $a_1x + b_1y = c_1$ এবং $a_2x + b_2y = c_2$ সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না যদি $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ হয়।
এখানে, $\frac{2}{2} = \frac{5}{-k}$
বা, $1 = \frac{5}{-k}$
বা, $-k = 5$
$\therefore k = -5$

উত্তর: $k = -5$

সমাধান:
কয়েকটি বাস্তব সংখ্যার বর্গের সমষ্টি শূন্য হলে, তারা পৃথকভাবে শূন্য হয়।
$\therefore (x – 5)^2 = 0 \Rightarrow x – 5 = 0 \Rightarrow x = 5$
এবং $(x – y)^2 = 0 \Rightarrow x – y = 0 \Rightarrow y = x$
যেহেতু $x = 5$, তাই $y = 5$।

উত্তর: $x = 5, y = 5$

সমাধান:
$x^2 + y^2 – 2x + 4y + 5 = 0$
বা, $(x^2 – 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 0$ [5 কে $1+4$ এ ভেঙে]
বা, $(x – 1)^2 + (y + 2)^2 = 0$
বর্গের সমষ্টি শূন্য হওয়ায়,
$x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
$y + 2 = 0 \Rightarrow y = -2$

উত্তর: $x = 1, y = -2$

সমাধান:
সমাধান সম্ভব না হওয়ার শর্ত: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
এখানে, $\frac{r}{4 – r} = \frac{-3}{-1}$
বা, $\frac{r}{4 – r} = 3$
বা, $r = 3(4 – r)$
বা, $r = 12 – 3r$
বা, $4r = 12 \Rightarrow r = 3$

উত্তর: $r = 3$

সমাধান:
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$
বা, $b_1y = -a_1x – c_1$
বা, $y = (-\frac{a_1}{b_1})x + (-\frac{c_1}{b_1})$ [উভয়পক্ষকে $b_1$ দ্বারা ভাগ করে]
তুলনা করে পাই: $m = -\frac{a_1}{b_1}$ এবং $c = -\frac{c_1}{b_1}$

উত্তর: $y = (-\frac{a_1}{b_1})x + (-\frac{c_1}{b_1})$

সমাধান:
একটিমাত্র সমাধান থাকার শর্ত: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
এখানে, $\frac{k}{8} \neq \frac{-21}{-7}$
বা, $\frac{k}{8} \neq 3$
বা, $k \neq 24$

উত্তর: $k \neq 24$ (অর্থাৎ $k$-এর মান 24 ছাড়া অন্য যেকোনো বাস্তব সংখ্যা)

সমাধান:
অসংখ্য সমাধান থাকার শর্ত: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
$\therefore \frac{5}{a + b} = \frac{8}{a – b} = \frac{7}{2a + b + 1}$

১ম ও ২য় অংশ থেকে:
$5(a – b) = 8(a + b) \Rightarrow 5a – 5b = 8a + 8b \Rightarrow 3a + 13b = 0 \dots (1)$

২য় ও ৩য় অংশ থেকে:
$8(2a + b + 1) = 7(a – b) \Rightarrow 16a + 8b + 8 = 7a – 7b \Rightarrow 9a + 15b = -8 \dots (2)$

$(1)$ নং থেকে পাই $3a = -13b \Rightarrow 9a = -39b$ [3 দিয়ে গুণ করে]
$(2)$ নং-এ বসিয়ে পাই:
$-39b + 15b = -8 \Rightarrow -24b = -8 \Rightarrow b = \frac{1}{3}$
$\therefore 3a = -13(\frac{1}{3}) \Rightarrow a = -\frac{13}{9}$

উত্তর: $a = -\frac{13}{9}, b = \frac{1}{3}$

ব্যাখ্যা:
এখানে, $a_1 = 4, b_1 = 3$
এবং $a_2 = 7, b_2 = -3$
অনুপাত তুলনা করে পাই: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{7}$ এবং $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{-3} = -1$
যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, তাই সমীকরণদ্বয়ের একটি নির্দিষ্ট সমাধান আছে।

উত্তর: (a) একটি নির্দিষ্ট সমাধান আছে

ব্যাখ্যা:
এখানে অনুপাতগুলি হলো:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$
যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, তাই সমীকরণদ্বয়ের অসংখ্য সমাধান আছে।

উত্তর: (b) অসংখ্য সমাধান আছে

ব্যাখ্যা:
এখানে অনুপাতগুলি হলো:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{5}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{5}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$
যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, তাই সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান নেই।

উত্তর: (c) কোনো সমাধান নেই

ব্যাখ্যা:
আমরা $x=1$ ও $y=1$ বসিয়ে যাচাই করি:
(a) $2(1) + 3(1) = 5 \neq 9$
(b) $6(1) + 2(1) = 8 \neq 9$
(c) $3(1) + 2(1) = 3 + 2 = 5$ (মিলেছে)
(d) $4(1) + 6(1) = 10 \neq 8$

উত্তর: (c) $3x + 2y = 5$

ব্যাখ্যা:
বিকল্পগুলি যাচাই করে পাই:
(a) $x=4, y=3$ হলে,
১ম সমীকরণ: $4(4) + 3(3) = 16 + 9 = 25$ (মিলেছে)
২য় সমীকরণ: $5(4) – 2(3) = 20 – 6 = 14$ (মিলেছে)
যেহেতু দুটি সমীকরণই সিদ্ধ হয়, তাই এটিই সঠিক উত্তর।

উত্তর: (a) $x = 4, y = 3$

ব্যাখ্যা:
যে বিন্দুগুলির ভুজ ($x$) ও কোটি ($y$)-এর যোগফল 7 হবে, সেগুলিই সঠিক।
(a) $1+6=7$, কিন্তু $3-4=-1 \neq 7$
(b) $1-6=-5 \neq 7$
(c) $1+6=7$ এবং $4+3=7$ (উভয়ই মিলেছে)

উত্তর: (c) $(1, 6), (4, 3)$