নবম শ্রেণি গনিত: কষে দেখি 7.1 বহুপদী সংখ্যামালা
কষে দেখি – ৭.১ (বহুপদী সংখ্যামালা)
1. নীচের কোন কোন ক্ষেত্রে বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি বহুপদী সংখ্যামালা লিখি। যেগুলি বহুপদী সংখ্যামালা তাদের প্রত্যেকের মাত্রা লিখি।
(i) $2x^6 – 4x^5 + 7x^2 + 3$
বিশ্লেষণ: এখানে চলের (x) সূচকগুলি হলো 6, 5, 2 এবং 0। প্রতিটি সূচকই অখণ্ড সংখ্যা (non-negative integer)।
উত্তর: এটি একটি বহুপদী সংখ্যামালা।
মাত্রা: 6
(ii) $x^{-2} + 2x^{-1} + 4$
বিশ্লেষণ: এখানে চলের সূচকগুলি হলো -2 এবং -1, যা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা। বহুপদী সংখ্যামালার সূচক ঋণাত্মক হতে পারে না।
উত্তর: এটি বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
(iii) $y^3 – \frac{3}{4}y + \sqrt{7}$
বিশ্লেষণ: এখানে চলের (y) সূচকগুলি হলো 3 এবং 1 (ধ্রুবক পদের সাথে 0)। প্রতিটি সূচকই অখণ্ড সংখ্যা।
উত্তর: এটি একটি বহুপদী সংখ্যামালা।
মাত্রা: 3
(iv) $\frac{1}{x} – x + 2$
বিশ্লেষণ: প্রদত্ত রাশিটিকে $x^{-1} – x + 2$ আকারে লেখা যায়। এখানে চলের সূচক -1, যা ঋণাত্মক।
উত্তর: এটি বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
(v) $x^{51} – 1$
বিশ্লেষণ: এখানে চলের সর্বোচ্চ সূচক 51, যা একটি অখণ্ড সংখ্যা।
উত্তর: এটি একটি বহুপদী সংখ্যামালা।
মাত্রা: 51
(vi) $\sqrt[3]{t} + \frac{t}{27}$
বিশ্লেষণ: রাশিটিকে $t^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{27}t$ আকারে লেখা যায়। এখানে চলের সূচক $\frac{1}{3}$, যা অখণ্ড সংখ্যা নয়।
উত্তর: এটি বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
(vii) 15
বিশ্লেষণ: 15 হলো একটি ধ্রুবক বহুপদী সংখ্যামালা (Constant Polynomial)। একে $15x^0$ আকারে লেখা যায়।
উত্তর: এটি একটি বহুপদী সংখ্যামালা।
মাত্রা: 0
(viii) 0
বিশ্লেষণ: 0 হলো শূন্য বহুপদী সংখ্যামালা (Zero Polynomial)।
উত্তর: এটি একটি বহুপদী সংখ্যামালা।
মাত্রা: অসংজ্ঞাত (Undefined)
(ix) $z + \frac{3}{z} + 2$
বিশ্লেষণ: রাশিটিকে $z + 3z^{-1} + 2$ আকারে লেখা যায়। এখানে চলের সূচক -1, যা ঋণাত্মক।
উত্তর: এটি বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
(x) $y^3 + 4$
বিশ্লেষণ: এখানে চলের সর্বোচ্চ সূচক 3, যা একটি অখণ্ড সংখ্যা।
উত্তর: এটি একটি বহুপদী সংখ্যামালা।
মাত্রা: 3
(xi) $\frac{1}{\sqrt{2}}x^2 – \sqrt{2}x + 2$
বিশ্লেষণ: এখানে চলের (x) সূচকগুলি হলো 2 এবং 1। সহগগুলি অমূলদ সংখ্যা হলেও চলের সূচক অখণ্ড সংখ্যা।
উত্তর: এটি একটি বহুপদী সংখ্যামালা।
মাত্রা: 2
2. নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি একচল বিশিষ্ট একঘাত সংখ্যামালা, কোনটি একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সংখ্যামালা এবং কোনটি একচলবিশিষ্ট ত্রিঘাত সংখ্যামালা লিখি।
(i) $2x + 17$
বিশ্লেষণ: এখানে একটিমাত্র চলরাশি $x$ আছে এবং চলের সর্বোচ্চ ঘাত (Degree) হলো 1।
উত্তর: এটি একচল বিশিষ্ট একঘাত সংখ্যামালা।
(ii) $x^3 + x^2 + x + 1$
বিশ্লেষণ: এখানে একটিমাত্র চলরাশি $x$ আছে এবং চলের সর্বোচ্চ ঘাত হলো 3।
উত্তর: এটি একচল বিশিষ্ট ত্রিঘাত সংখ্যামালা।
(iii) $-3 + 2y^2 + 5xy$
বিশ্লেষণ: এই সংখ্যামালায় দুটি চলরাশি $x$ এবং $y$ আছে।
উত্তর: এটি একচল বিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা নয় (এটি দুই চলবিশিষ্ট)।
(iv) $5 – x – x^3$
বিশ্লেষণ: এখানে একটিমাত্র চলরাশি $x$ আছে এবং চলের সর্বোচ্চ ঘাত হলো 3।
উত্তর: এটি একচল বিশিষ্ট ত্রিঘাত সংখ্যামালা।
(v) $\sqrt{2} + t – t^2$
বিশ্লেষণ: এখানে একটিমাত্র চলরাশি $t$ আছে এবং চলের সর্বোচ্চ ঘাত হলো 2।
উত্তর: এটি একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সংখ্যামালা।
(vi) $\sqrt{5}x$
বিশ্লেষণ: এখানে একটিমাত্র চলরাশি $x$ আছে এবং চলের সর্বোচ্চ ঘাত হলো 1। ($\sqrt{5}$ হলো ধ্রুবক বা সহগ)।
উত্তর: এটি একচল বিশিষ্ট একঘাত সংখ্যামালা।
3. নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলির নির্দেশ অনুযায়ী সহগ লিখি:
(i) $5x^3 – 13x^2 + 2$ -এর $x^3$-এর সহগ
সমাধান:
প্রদত্ত বহুপদী সংখ্যামালাটি হলো $5x^3 – 13x^2 + 2$।
এখানে $x^3$ যুক্ত পদটি হলো $5x^3$।
সুতরাং, $x^3$-এর সঙ্গে গুণ হিসেবে আছে 5।
উত্তর: $x^3$-এর সহগ হলো 5।
(ii) $x^2 – x + 2$ -এর $x$-এর সহগ
সমাধান:
প্রদত্ত বহুপদী সংখ্যামালাটি হলো $x^2 – x + 2$।
একে লেখা যায়: $x^2 + (-1)x + 2$ হিসেবে।
এখানে $x$ যুক্ত পদটি হলো $-x$ বা $(-1)x$।
উত্তর: $x$-এর সহগ হলো -1।
(iii) $8x – 19$ -এর $x^2$-এর সহগ
সমাধান:
প্রদত্ত বহুপদী সংখ্যামালাটি হলো $8x – 19$।
লক্ষ্য করলে দেখা যায়, এই রাশিতে $x^2$ যুক্ত কোনো পদ নেই।
তাই একে আমরা $0 \cdot x^2 + 8x – 19$ আকারে ভাবতে পারি।
উত্তর: $x^2$-এর সহগ হলো 0।
(iv) $\sqrt{11} – 3\sqrt{11}x + x^2$ -এর $x^0$-এর সহগ
সমাধান:
প্রদত্ত বহুপদী সংখ্যামালাটি হলো $\sqrt{11} – 3\sqrt{11}x + x^2$।
আমরা জানি, $x^0 = 1$। তাই ধ্রুবক পদটিকে $x^0$-এর সহগ হিসেবে ধরা হয়।
এখানে ধ্রুবক পদটি হলো $\sqrt{11}$, যাকে $\sqrt{11} \cdot x^0$ লেখা যায়।
উত্তর: $x^0$-এর সহগ হলো $\sqrt{11}$।
4. আমি নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলির প্রত্যেকটির মাত্রা লিখি।
(i) $x^4 + 2x^3 + x^2 + x$
সমাধান:
প্রদত্ত বহুপদী সংখ্যামালাটিতে চলরাশি $x$-এর সর্বোচ্চ ঘাত বা সূচক হলো 4।
উত্তর: মাত্রা = 4
(ii) $7x – 5$
সমাধান:
এখানে $x$-এর সর্বোচ্চ ঘাত হলো 1 (কারণ $7x = 7x^1$)।
উত্তর: মাত্রা = 1
(iii) 16
সমাধান:
16 একটি ধ্রুবক বহুপদী সংখ্যামালা। একে $16x^0$ আকারে লেখা যায়।
সুতরাং, চলরাশির সর্বোচ্চ ঘাত হলো 0।
উত্তর: মাত্রা = 0
(iv) $2 – y – y^3$
সমাধান:
প্রদত্ত বহুপদী সংখ্যামালাটিতে চলরাশি $y$-এর সর্বোচ্চ ঘাত বা সূচক হলো 3।
উত্তর: মাত্রা = 3
(v) $7t$
সমাধান:
এখানে চলরাশি $t$-এর সর্বোচ্চ ঘাত হলো 1 (কারণ $7t = 7t^1$)।
উত্তর: মাত্রা = 1
(vi) $5 – x^2 + x^{19}$
সমাধান:
প্রদত্ত বহুপদী সংখ্যামালাটিতে চলরাশি $x$-এর সর্বোচ্চ ঘাত বা সূচক হলো 19।
উত্তর: মাত্রা = 19
5. আমি দুটি আলাদা একচলবিশিষ্ট দ্বিপদী সংখ্যামালা লিখি যাদের মাত্রা 17।
সমাধান:
আমাদের এমন দুটি সংখ্যামালা লিখতে হবে যার:
- একটিমাত্র চলরাশি থাকবে।
- দুটি পদ থাকবে (দ্বিপদী)।
- চলের সর্বোচ্চ ঘাত বা মাত্রা হবে 17।
সম্ভাব্য উত্তর অনেক হতে পারে। নিচে দুটি উদাহরণ দেওয়া হলো:
১) $x^{17} + 5$
২) $2y^{17} – y$
উত্তর: $x^{17} + 5$ এবং $2y^{17} – y$ (উত্তর আলাদা হতে পারে)
6. আমি দুটি আলাদা একচল বিশিষ্ট একপদী সংখ্যামালা লিখি যাদের মাত্রা 4।
সমাধান:
শর্তানুযায়ী সংখ্যামালাটিতে:
- একটিমাত্র চলরাশি থাকবে।
- মাত্র একটি পদ থাকবে (একপদী)।
- চলের সর্বোচ্চ ঘাত বা মাত্রা হবে 4।
দুটি উদাহরণ:
১) $x^4$
২) $5y^4$
উত্তর: $x^4$ এবং $5y^4$ (উত্তর আলাদা হতে পারে)
7. আমি দুটি আলাদা একচলবিশিষ্ট ত্রিপদী সংখ্যামালা লিখি যাদের মাত্রা 3।
সমাধান:
শর্তানুযায়ী সংখ্যামালাটিতে:
- একটিমাত্র চলরাশি থাকবে।
- তিনটি পদ থাকবে (ত্রিপদী)।
- চলের সর্বোচ্চ ঘাত বা মাত্রা হবে 3।
দুটি উদাহরণ:
১) $x^3 + x^2 + 1$
২) $2t^3 – 5t + 4$
উত্তর: $x^3 + x^2 + 1$ এবং $2t^3 – 5t + 4$ (উত্তর আলাদা হতে পারে)
8. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলির মধ্যে কোনগুলি একচলবিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা, কোনগুলি দুইচলবিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা এবং কোনগুলি বহুপদীসংখ্যামালা নয় তা লিখি।
(i) $x^2 + 3x + 2$
বিশ্লেষণ:
১. এখানে একটিমাত্র চলরাশি $x$ আছে।
২. চলের সূচকগুলি (2, 1, 0) অখণ্ড সংখ্যা (Whole numbers)।
উত্তর: এটি একচলবিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা।
(ii) $x^2 + y^2 + a^2$
বিশ্লেষণ:
১. এখানে চলরাশি হিসেবে $x$ এবং $y$ আছে (সাধারণত $a$-কে ধ্রুবক হিসেবে ধরা হয়)।
২. চলের সূচকগুলি অখণ্ড সংখ্যা।
উত্তর: এটি দুইচলবিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা।
(iii) $y^2 – 4ax$
বিশ্লেষণ:
১. এখানে চলরাশি হিসেবে $x$ এবং $y$ আছে ($a$ ধ্রুবক)।
২. চলের সূচকগুলি অখণ্ড সংখ্যা।
উত্তর: এটি দুইচলবিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা।
(iv) $x + y + 2$
বিশ্লেষণ:
১. এখানে দুটি চলরাশি $x$ এবং $y$ আছে।
২. চলের সূচকগুলি অখণ্ড সংখ্যা।
উত্তর: এটি দুইচলবিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা।
(v) $x^8 + y^4 + x^5y^9$
বিশ্লেষণ:
১. এখানে দুটি চলরাশি $x$ এবং $y$ আছে।
২. প্রতিটি পদে চলের সূচকগুলি অখণ্ড সংখ্যা।
উত্তর: এটি দুইচলবিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা।
(vi) $x + \frac{5}{x}$
বিশ্লেষণ:
১. প্রদত্ত রাশিটিকে লেখা যায় $x + 5x^{-1}$ আকারে।
২. এখানে দ্বিতীয় পদে $x$-এর সূচক -1, যা অখণ্ড সংখ্যা নয় (ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা)।
বহুপদী সংখ্যামালার সূচক ঋণাত্মক হতে পারে না।
উত্তর: এটি বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
শেয়ার