নবম শ্রেণি গনিত: কষে দেখি – 7.4 বহুপদী সংখ্যামালা
কষে দেখি – 7.4 (গুণনীয়ক উপপাদ্য)
1. নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলির মধ্যে কোনগুলির একটি উৎপাদক $(x+1)$ হিসাব করে লিখি।
পদ্ধতি:
ধরি, $g(x) = x + 1$।
$g(x)$-এর শূন্য নির্ণয় করি: $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$।
গুণনীয়ক উপপাদ্য (Factor Theorem) অনুসারে, যদি কোনো বহুপদী সংখ্যামালা $f(x)$-এর ক্ষেত্রে $f(-1) = 0$ হয়, তবেই $(x+1)$ ওই সংখ্যামালার একটি উৎপাদক হবে।
(i) $2x^3 + 3x^2 – 1$
সমাধান:
ধরি, $f(x) = 2x^3 + 3x^2 – 1$
এখন, $x = -1$ বসিয়ে পাই:
$f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 – 1$
$= 2(-1) + 3(1) – 1$
$= -2 + 3 – 1$
$= 1 – 1$
$= 0$
যেহেতু $f(-1) = 0$, তাই গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে বলা যায়:
উত্তর: $(x+1)$ হলো $2x^3 + 3x^2 – 1$-এর একটি উৎপাদক।
(ii) $x^4 + x^3 – x^2 + 4x + 5$
সমাধান:
ধরি, $f(x) = x^4 + x^3 – x^2 + 4x + 5$
এখন, $x = -1$ বসিয়ে পাই:
$f(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 – (-1)^2 + 4(-1) + 5$
$= 1 – 1 – 1 – 4 + 5$
$= -5 + 5$
$= 0$
যেহেতু $f(-1) = 0$, তাই গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে বলা যায়:
উত্তর: $(x+1)$ হলো $x^4 + x^3 – x^2 + 4x + 5$-এর একটি উৎপাদক।
(iii) $7x^3 + x^2 + 7x + 1$
সমাধান:
ধরি, $f(x) = 7x^3 + x^2 + 7x + 1$
এখন, $x = -1$ বসিয়ে পাই:
$f(-1) = 7(-1)^3 + (-1)^2 + 7(-1) + 1$
$= 7(-1) + 1 – 7 + 1$
$= -7 + 1 – 7 + 1$
$= -12$
যেহেতু $f(-1) \neq 0$ (মান শূন্য নয়), তাই বলা যায়:
উত্তর: $(x+1)$ রাশিটি $7x^3 + x^2 + 7x + 1$-এর উৎপাদক নয়।
(iv) $3 + 3x – 5x^3 – 5x^4$
সমাধান:
ধরি, $f(x) = 3 + 3x – 5x^3 – 5x^4$
এখন, $x = -1$ বসিয়ে পাই:
$f(-1) = 3 + 3(-1) – 5(-1)^3 – 5(-1)^4$
$= 3 – 3 – 5(-1) – 5(1)$
$= 0 + 5 – 5$
$= 0$
যেহেতু $f(-1) = 0$, তাই গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে বলা যায়:
উত্তর: $(x+1)$ হলো $3 + 3x – 5x^3 – 5x^4$-এর একটি উৎপাদক।
(v) $x^4 + x^2 + x + 1$
সমাধান:
ধরি, $f(x) = x^4 + x^2 + x + 1$
এখন, $x = -1$ বসিয়ে পাই:
$f(-1) = (-1)^4 + (-1)^2 + (-1) + 1$
$= 1 + 1 – 1 + 1$
$= 2$
যেহেতু $f(-1) \neq 0$, তাই বলা যায়:
উত্তর: $(x+1)$ রাশিটি $x^4 + x^2 + x + 1$-এর উৎপাদক নয়।
(vi) $x^3 + x^2 + x + 1$
সমাধান:
ধরি, $f(x) = x^3 + x^2 + x + 1$
এখন, $x = -1$ বসিয়ে পাই:
$f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1$
$= -1 + 1 – 1 + 1$
$= 0$
যেহেতু $f(-1) = 0$, তাই গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে বলা যায়:
উত্তর: $(x+1)$ হলো $x^3 + x^2 + x + 1$-এর একটি উৎপাদক।
2. গুণনীয়ক উপপাদ্য ব্যবহার করে নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলি $f(x)$-এর একটি উৎপাদক $g(x)$ কিনা লিখি।
সাধারণ নিয়ম:
প্রথমে ভাজক $g(x)$-এর শূন্য নির্ণয় করব। তারপর সেই মানটি $f(x)$-এ বসিয়ে যদি মান শূন্য (0) পাই, তবে $g(x)$ উৎপাদক হবে।
(i) $f(x) = x^4 – x^2 – 12$ এবং $g(x) = x + 2$
সমাধান:
$g(x) = x + 2$-এর শূন্য নির্ণয় করি:
$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
এখন $f(x)$-এ $x = -2$ বসিয়ে পাই:
$f(-2) = (-2)^4 – (-2)^2 – 12$
$= 16 – 4 – 12$
$= 16 – 16$
$= 0$
যেহেতু $f(-2) = 0$, তাই গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে বলা যায়:
উত্তর: $g(x)$ হলো $f(x)$-এর একটি উৎপাদক।
(ii) $f(x) = 2x^3 + 9x^2 – 11x – 30$ এবং $g(x) = x + 5$
সমাধান:
$g(x) = x + 5$-এর শূন্য নির্ণয় করি:
$x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$
এখন $f(x)$-এ $x = -5$ বসিয়ে পাই:
$f(-5) = 2(-5)^3 + 9(-5)^2 – 11(-5) – 30$
$= 2(-125) + 9(25) + 55 – 30$
$= -250 + 225 + 55 – 30$
$= -25 + 25$
$= 0$
যেহেতু $f(-5) = 0$, তাই গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে বলা যায়:
উত্তর: $g(x)$ হলো $f(x)$-এর একটি উৎপাদক।
(iii) $f(x) = 2x^3 + 7x^2 – 24x – 45$ এবং $g(x) = x – 3$
সমাধান:
$g(x) = x – 3$-এর শূন্য নির্ণয় করি:
$x – 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
এখন $f(x)$-এ $x = 3$ বসিয়ে পাই:
$f(3) = 2(3)^3 + 7(3)^2 – 24(3) – 45$
$= 2(27) + 7(9) – 72 – 45$
$= 54 + 63 – 72 – 45$
$= 117 – 117$
$= 0$
যেহেতু $f(3) = 0$, তাই গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে বলা যায়:
উত্তর: $g(x)$ হলো $f(x)$-এর একটি উৎপাদক।
(iv) $f(x) = 3x^3 + x^2 – 20x + 12$ এবং $g(x) = 3x – 2$
সমাধান:
$g(x) = 3x – 2$-এর শূন্য নির্ণয় করি:
$3x – 2 = 0 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$
এখন $f(x)$-এ $x = \frac{2}{3}$ বসিয়ে পাই:
$f(\frac{2}{3}) = 3(\frac{2}{3})^3 + (\frac{2}{3})^2 – 20(\frac{2}{3}) + 12$
$= 3(\frac{8}{27}) + \frac{4}{9} – \frac{40}{3} + 12$
$= \frac{8}{9} + \frac{4}{9} – \frac{40}{3} + 12$
$= \frac{8 + 4 – 120 + 108}{9}$ [ল.সা.গু. 9]
$= \frac{120 – 120}{9}$
$= \frac{0}{9}$
$= 0$
যেহেতু $f(\frac{2}{3}) = 0$, তাই গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে বলা যায়:
উত্তর: $g(x)$ হলো $f(x)$-এর একটি উৎপাদক।
3. $k$-এর মান কত হলে $x+2$ দ্বারা $2x^4 + 3x^3 + 2kx^2 + 3x + 6$ বহুপদী সংখ্যামালাটি বিভাজ্য হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, $f(x) = 2x^4 + 3x^3 + 2kx^2 + 3x + 6$
ভাজক $(x + 2)$-এর শূন্য নির্ণয় করি:
$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
যেহেতু বহুপদী সংখ্যামালাটি $(x + 2)$ দ্বারা বিভাজ্য, তাই ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী ভাগশেষ শূন্য হবে।
অর্থাৎ, $f(-2) = 0$
এখন $x = -2$ বসিয়ে পাই:
$2(-2)^4 + 3(-2)^3 + 2k(-2)^2 + 3(-2) + 6 = 0$
বা, $2(16) + 3(-8) + 2k(4) – 6 + 6 = 0$
বা, $32 – 24 + 8k = 0$
বা, $8 + 8k = 0$
বা, $8k = -8$
বা, $k = \frac{-8}{8}$
$\therefore k = -1$
উত্তর: $k$-এর নির্ণেয় মান -1
4. $k$-এর মান কত হলে, নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলি $f(x)$-এর একটি উৎপাদক $g(x)$ হবে হিসাব করি:
(i) $f(x) = 2x^3 + 9x^2 + x + k$ এবং $g(x) = x – 1$
সমাধান:
$g(x) = x – 1$-এর শূন্য নির্ণয় করি:
$x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
যেহেতু $g(x)$ হলো $f(x)$-এর একটি উৎপাদক, তাই $f(1) = 0$ হবে।
$\therefore 2(1)^3 + 9(1)^2 + 1 + k = 0$
বা, $2(1) + 9(1) + 1 + k = 0$
বা, $2 + 9 + 1 + k = 0$
বা, $12 + k = 0$
$\therefore k = -12$
উত্তর: $k = -12$
(ii) $f(x) = kx^2 – 3x + k$ এবং $g(x) = x – 1$
সমাধান:
$g(x) = x – 1$-এর শূন্য হলো $x = 1$।
যেহেতু $g(x)$ উৎপাদক, তাই $f(1) = 0$।
$\therefore k(1)^2 – 3(1) + k = 0$
বা, $k – 3 + k = 0$
বা, $2k = 3$
$\therefore k = \frac{3}{2}$
উত্তর: $k = \frac{3}{2}$
(iii) $f(x) = 2x^4 + x^3 – kx^2 – x + 6$ এবং $g(x) = 2x – 3$
সমাধান:
$g(x) = 2x – 3$-এর শূন্য নির্ণয় করি:
$2x – 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$
যেহেতু $g(x)$ উৎপাদক, তাই $f(\frac{3}{2}) = 0$।
$\therefore 2(\frac{3}{2})^4 + (\frac{3}{2})^3 – k(\frac{3}{2})^2 – \frac{3}{2} + 6 = 0$
বা, $2(\frac{81}{16}) + \frac{27}{8} – k(\frac{9}{4}) – \frac{3}{2} + 6 = 0$
বা, $\frac{81}{8} + \frac{27}{8} – \frac{9k}{4} – \frac{3}{2} + 6 = 0$
বা, $\frac{81 + 27 – 18k – 12 + 48}{8} = 0$ [ল.সা.গু. 8]
বা, $144 – 18k = 0$
বা, $18k = 144$
বা, $k = \frac{144}{18}$
$\therefore k = 8$
উত্তর: $k = 8$
(iv) $f(x) = 2x^3 + kx^2 + 11x + k + 3$ এবং $g(x) = 2x – 1$
সমাধান:
$g(x) = 2x – 1$-এর শূন্য নির্ণয় করি:
$2x – 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$
যেহেতু $g(x)$ উৎপাদক, তাই $f(\frac{1}{2}) = 0$।
$\therefore 2(\frac{1}{2})^3 + k(\frac{1}{2})^2 + 11(\frac{1}{2}) + k + 3 = 0$
বা, $2(\frac{1}{8}) + k(\frac{1}{4}) + \frac{11}{2} + k + 3 = 0$
বা, $\frac{1}{4} + \frac{k}{4} + \frac{11}{2} + k + 3 = 0$
বা, $\frac{1 + k + 22 + 4k + 12}{4} = 0$ [ল.সা.গু. 4]
বা, $5k + 35 = 0$
বা, $5k = -35$
বা, $k = \frac{-35}{5}$
$\therefore k = -7$
উত্তর: $k = -7$
5. $ax^4 + 2x^3 – 3x^2 + bx – 4$ বহুপদী সংখ্যামালার উৎপাদক $x^2 – 4$ হলে, $a$ ও $b$-এর মান কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, $f(x) = ax^4 + 2x^3 – 3x^2 + bx – 4$
উৎপাদকটি হলো $x^2 – 4$।
একে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাই: $x^2 – 2^2 = (x – 2)(x + 2)$।
যেহেতু $x^2 – 4$ প্রদত্ত বহুপদী সংখ্যামালার উৎপাদক, তাই $(x – 2)$ এবং $(x + 2)$ উভয়েই $f(x)$-এর উৎপাদক হবে।
সুতরাং, $f(2) = 0$ এবং $f(-2) = 0$ হবে।
১ম শর্তানুসারে ($f(2) = 0$):
$a(2)^4 + 2(2)^3 – 3(2)^2 + b(2) – 4 = 0$
বা, $16a + 16 – 12 + 2b – 4 = 0$
বা, $16a + 2b = 0$
বা, $2(8a + b) = 0$
বা, $8a + b = 0 \dots \dots (i)$
২য় শর্তানুসারে ($f(-2) = 0$):
$a(-2)^4 + 2(-2)^3 – 3(-2)^2 + b(-2) – 4 = 0$
বা, $16a – 16 – 12 – 2b – 4 = 0$
বা, $16a – 2b – 32 = 0$
বা, $16a – 2b = 32$
বা, $2(8a – b) = 32$
বা, $8a – b = 16 \dots \dots (ii)$
সমীকরণ সমাধান:
$(i)$ ও $(ii)$ নং সমীকরণ যোগ করে পাই:
$(8a + b) + (8a – b) = 0 + 16$
বা, $16a = 16$
$\therefore a = 1$
$(i)$ নং সমীকরণে $a = 1$ বসিয়ে পাই:
$8(1) + b = 0$
বা, $8 + b = 0$
$\therefore b = -8$
উত্তর: $a = 1$ এবং $b = -8$
6. $x^3 + 3x^2 + 2ax + b$ বহুপদী সংখ্যামালার দুটি উৎপাদক $(x + 1)$ এবং $(x + 2)$ হলে, $a$ ও $b$-এর মান কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, $f(x) = x^3 + 3x^2 + 2ax + b$
যেহেতু $(x + 1)$ এবং $(x + 2)$ দুটি উৎপাদক, তাই উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী $f(-1) = 0$ এবং $f(-2) = 0$ হবে।
১ম শর্ত ($f(-1) = 0$):
$(-1)^3 + 3(-1)^2 + 2a(-1) + b = 0$
বা, $-1 + 3 – 2a + b = 0$
বা, $2 – 2a + b = 0$
বা, $-2a + b = -2$
বা, $2a – b = 2 \dots \dots (i)$ [উভয়পক্ষকে -1 দিয়ে গুণ করে]
২য় শর্ত ($f(-2) = 0$):
$(-2)^3 + 3(-2)^2 + 2a(-2) + b = 0$
বা, $-8 + 3(4) – 4a + b = 0$
বা, $-8 + 12 – 4a + b = 0$
বা, $4 – 4a + b = 0$
বা, $-4a + b = -4$
বা, $4a – b = 4 \dots \dots (ii)$ [উভয়পক্ষকে -1 দিয়ে গুণ করে]
সমীকরণ সমাধান:
$(ii)$ নং সমীকরণ থেকে $(i)$ নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই:
$(4a – b) – (2a – b) = 4 – 2$
বা, $2a = 2$
$\therefore a = 1$
$(i)$ নং সমীকরণে $a = 1$ বসিয়ে পাই:
$2(1) – b = 2$
বা, $2 – b = 2$
বা, $-b = 2 – 2$
বা, $-b = 0$
$\therefore b = 0$
উত্তর: $a = 1$ এবং $b = 0$
7. $ax^3 + bx^2 + x – 6$ বহুপদী সংখ্যামালাকে $(x – 2)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 4 হয় এবং এই বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক $x + 2$ হলে, $a$ ও $b$-এর মান কত হবে হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, $f(x) = ax^3 + bx^2 + x – 6$
১ম শর্ত: $(x – 2)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 4।
$\therefore f(2) = 4$
বা, $a(2)^3 + b(2)^2 + 2 – 6 = 4$
বা, $8a + 4b – 4 = 4$
বা, $8a + 4b = 8$
বা, $4(2a + b) = 8$
বা, $2a + b = 2 \dots \dots (i)$
২য় শর্ত: $(x + 2)$ একটি উৎপাদক।
$\therefore f(-2) = 0$
বা, $a(-2)^3 + b(-2)^2 + (-2) – 6 = 0$
বা, $-8a + 4b – 8 = 0$
বা, $-8a + 4b = 8$
বা, $4(-2a + b) = 8$
বা, $-2a + b = 2 \dots \dots (ii)$
সমীকরণ সমাধান:
$(i)$ ও $(ii)$ নং সমীকরণ যোগ করে পাই:
$(2a + b) + (-2a + b) = 2 + 2$
বা, $2b = 4$
$\therefore b = 2$
$(i)$ নং সমীকরণে $b = 2$ বসিয়ে পাই:
$2a + 2 = 2$
বা, $2a = 2 – 2$
বা, $2a = 0$
$\therefore a = 0$
উত্তর: $a = 0$ এবং $b = 2$
8. $n$ যে-কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (যুগ্ম বা অযুগ্ম) হলে, দেখাই যে, $x^n – y^n$ বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক $x – y$।
প্রমাণ:
ধরি, $f(x) = x^n – y^n$।
আমাদের দেখাতে হবে যে $(x – y)$ এই সংখ্যামালার একটি উৎপাদক।
গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুযায়ী, যদি $f(y) = 0$ হয়, তবে $(x – y)$ একটি উৎপাদক হবে।
এখন $x = y$ বসিয়ে পাই:
$f(y) = y^n – y^n = 0$
যেহেতু $n$ যে-কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে সর্বদা $y^n – y^n = 0$ হয়, তাই ভাগশেষ শূন্য।
সুতরাং, $(x – y)$ সর্বদা $x^n – y^n$ বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক। (প্রমাণিত)
9. $n$ যে-কোনো অযুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে, দেখাই যে $x^n + y^n$ বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক $x + y$।
প্রমাণ:
ধরি, $f(x) = x^n + y^n$।
আমাদের দেখাতে হবে যে $(x + y)$ একটি উৎপাদক।
$(x + y)$-এর শূন্য হলো $x = -y$।
গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুযায়ী, যদি $f(-y) = 0$ হয়, তবে $(x + y)$ উৎপাদক হবে।
এখন $x = -y$ বসিয়ে পাই:
$f(-y) = (-y)^n + y^n$
যেহেতু $n$ একটি **অযুগ্ম (Odd)** সংখ্যা, তাই $(-y)^n = -y^n$ হবে।
$\therefore f(-y) = -y^n + y^n = 0$
সুতরাং, $n$ অযুগ্ম হলে $(x + y)$ রাশিটি $x^n + y^n$-এর একটি উৎপাদক। (প্রমাণিত)
10. $n$ যে-কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (যুগ্ম বা অযুগ্ম) হলে, দেখাই যে $x^n + y^n$ বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক কখনই $x – y$ হবে না।
প্রমাণ:
ধরি, $f(x) = x^n + y^n$।
যদি $(x – y)$ একটি উৎপাদক হতে হয়, তবে গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুযায়ী $f(y) = 0$ হতে হবে।
এখন $x = y$ বসিয়ে পাই:
$f(y) = y^n + y^n$
$= 2y^n$
যেহেতু $y \neq 0$ (সাধারণত চলরাশি বা ধ্রুবক শূন্য নয় ধরা হয়), তাই $2y^n \neq 0$।
অর্থাৎ, ভাগশেষ শূন্য হচ্ছে না।
সুতরাং, $(x – y)$ কখনই $x^n + y^n$-এর উৎপাদক হতে পারে না। (প্রমাণিত)
11. (i) $x^3 + 6x^2 + 4x + k$ বহুপদী সংখ্যামালাটি $(x + 2)$ দ্বারা বিভাজ্য হলে, $k$-এর মান
(দ্রষ্টব্য: প্রশ্নে $(x-2)$ উল্লেখ থাকলেও প্রদত্ত বিকল্পগুলির সাথে মিলতে হলে ভাজকটি $(x+2)$ হতে হবে। তাই এখানে $(x+2)$ ধরে সমাধান করা হলো।)
সমাধান:
ধরি, $f(x) = x^3 + 6x^2 + 4x + k$
ভাজক $(x + 2)$-এর শূন্য হলো $x = -2$।
যেহেতু রাশিটি বিভাজ্য, তাই $f(-2) = 0$ হবে।
$\therefore (-2)^3 + 6(-2)^2 + 4(-2) + k = 0$
বা, $-8 + 6(4) – 8 + k = 0$
বা, $-8 + 24 – 8 + k = 0$
বা, $8 + k = 0$
$\therefore k = -8$
উত্তর: (c) -8
(ii) $f(x)$ বহুপদী সংখ্যামালার $f(-\frac{1}{2}) = 0$ হলে, $f(x)$-এর একটি উৎপাদক হবে
সমাধান:
প্রদত্ত, $f(-\frac{1}{2}) = 0$।
গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুযায়ী, $x = -\frac{1}{2}$ বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি শূন্য।
$\therefore x = -\frac{1}{2}$
বা, $2x = -1$
বা, $2x + 1 = 0$
সুতরাং, উৎপাদকটি হবে $(2x + 1)$।
উত্তর: (b) $2x + 1$
(iii) $f(x)$ বহুপদী সংখ্যামালার $(x – 1)$ একটি উৎপাদক, কিন্তু $g(x)$ বহুপদী সংখ্যামালার উৎপাদক নয়। সুতরাং $(x – 1)$ একটি উৎপাদক হবে
সমাধান:
যেহেতু $(x – 1)$, $f(x)$-এর উৎপাদক, তাই $f(1) = 0$।
যেহেতু $(x – 1)$, $g(x)$-এর উৎপাদক নয়, তাই $g(1) \neq 0$。
এখন বিকল্পগুলি যাচাই করি:
(a) $f(x)g(x)$-এর ক্ষেত্রে, $x=1$ বসালে পাই $f(1)g(1) = 0 \cdot g(1) = 0$। (এটি উৎপাদক হবে)
(b) $-f(1) + g(1) = 0 + g(1) \neq 0$
(c) $f(1) – g(1) = 0 – g(1) \neq 0$
উত্তর: (a) $f(x)g(x)$
(iv) $x^n + 1$ বহুপদী সংখ্যামালার $(x + 1)$ একটি উৎপাদক হবে যখন
সমাধান:
ধরি, $f(x) = x^n + 1$।
$(x + 1)$ উৎপাদক হতে হলে $f(-1) = 0$ হতে হবে।
$\therefore (-1)^n + 1 = 0$
বা, $(-1)^n = -1$
এটি তখনই সম্ভব যখন $n$ একটি অযুগ্ম (বিজোড়) পূর্ণসংখ্যা হয়।
উত্তর: (a) n একটি অযুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা
(v) $an^4 + bn^3 + cn^2 + dn + e$ বহুপদী সংখ্যামালার $n^2 – 1$ উৎপাদক হলে
সমাধান:
$n^2 – 1 = (n – 1)(n + 1)$।
অর্থাৎ, $(n – 1)$ এবং $(n + 1)$ উভয়েই উৎপাদক।
ধরি, $P(n) = an^4 + bn^3 + cn^2 + dn + e$
যেহেতু $(n + 1)$ উৎপাদক, তাই $P(-1) = 0$ হবে।
$\therefore a(-1)^4 + b(-1)^3 + c(-1)^2 + d(-1) + e = 0$
বা, $a – b + c – d + e = 0$
বা, $a + c + e = b + d$
উত্তর: (a) $a + c + e = b + d$
12. (i) $x^3 + ax^2 – 2x + a – 12$ বহুপদী সংখ্যামালার $x + a$ একটি উৎপাদক হলে, $a$-এর মান কত হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, $f(x) = x^3 + ax^2 – 2x + a – 12$
যেহেতু $(x + a)$ বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক, তাই ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী $f(-a) = 0$ হবে।
এখন $x = -a$ বসিয়ে পাই:
$(-a)^3 + a(-a)^2 – 2(-a) + a – 12 = 0$
বা, $-a^3 + a^3 + 2a + a – 12 = 0$
বা, $3a – 12 = 0$
বা, $3a = 12$
বা, $a = \frac{12}{3}$
$\therefore a = 4$
উত্তর: $a$-এর নির্ণেয় মান 4
(ii) $k^2x^3 – kx^2 + 3kx – k$ বহুপদী সংখ্যামালার $x – 3$ একটি উৎপাদক হলে, $k$-এর মান কত হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, $f(x) = k^2x^3 – kx^2 + 3kx – k$
যেহেতু $(x – 3)$ একটি উৎপাদক, তাই $f(3) = 0$ হবে।
এখন $x = 3$ বসিয়ে পাই:
$k^2(3)^3 – k(3)^2 + 3k(3) – k = 0$
বা, $27k^2 – 9k + 9k – k = 0$
বা, $27k^2 – k = 0$
বা, $k(27k – 1) = 0$
হয় $k = 0$,
অথবা $27k – 1 = 0 \Rightarrow 27k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{27}$
উত্তর: $k$-এর নির্ণেয় মান 0 অথবা $\frac{1}{27}$
(iii) $f(x) = 2x + 5$ হলে, $f(x) + f(-x)$-এর মান কত হবে লিখি।
সমাধান:
প্রদত্ত, $f(x) = 2x + 5$
সুতরাং, $f(-x) = 2(-x) + 5 = -2x + 5$
এখন,
$f(x) + f(-x)$
$= (2x + 5) + (-2x + 5)$
$= 2x + 5 – 2x + 5$
$= 10$
উত্তর: নির্ণেয় মান 10
(iv) $px^2 + 5x + r$ বহুপদী সংখ্যামালার $(x – 2)$ এবং $(x – \frac{1}{2})$ উভয়েই উৎপাদক হলে, $p$ ও $r$-এর মধ্যে সম্পর্ক হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, $f(x) = px^2 + 5x + r$
১ম শর্ত: $(x – 2)$ একটি উৎপাদক, তাই $f(2) = 0$
$\therefore p(2)^2 + 5(2) + r = 0$
বা, $4p + 10 + r = 0$
বা, $4p + r = -10 \dots \dots (i)$
২য় শর্ত: $(x – \frac{1}{2})$ একটি উৎপাদক, তাই $f(\frac{1}{2}) = 0$
$\therefore p(\frac{1}{2})^2 + 5(\frac{1}{2}) + r = 0$
বা, $\frac{p}{4} + \frac{5}{2} + r = 0$
বা, $\frac{p + 10 + 4r}{4} = 0$ [ল.সা.গু. 4]
বা, $p + 4r + 10 = 0$
বা, $p + 4r = -10 \dots \dots (ii)$
$(i)$ ও $(ii)$ নং সমীকরণ তুলনা করে পাই:
$4p + r = p + 4r$ [উভয়পক্ষই -10 এর সমান]
বা, $4p – p = 4r – r$
বা, $3p = 3r$
$\therefore p = r$
উত্তর: নির্ণেয় সম্পর্কটি হলো $p = r$
(v) $f(x) = 2x + 3$ রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য কত হবে লিখি।
সমাধান:
বহুপদী সংখ্যামালাটির শূন্য নির্ণয়ের জন্য আমরা পাই:
$f(x) = 0$
বা, $2x + 3 = 0$
বা, $2x = -3$
$\therefore x = -\frac{3}{2}$
উত্তর: নির্ণেয় শূন্য হলো $-\frac{3}{2}$
শেয়ার