নবম শ্রেণি গনিত চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল কষে দেখি – 15.1
কষে দেখি – ১৫.১ (চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল)
1. আমি কামালদের বাড়ির ছবি দেখি ও উত্তর খুঁজি।
(i) কামালদের বাগানের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
(ii) প্রতি বর্গমিটারে 30 টাকা হিসাবে কামালদের বারান্দার মেঝে মেরামত করতে কত খরচ হবে হিসাব করে লিখি।
(iii) কামাল তার পড়ার ঘরের মেঝেতে টালি বসাতে চায়। যদি প্রতিটি টালি 25 সেমি. × 25 সেমি. হয়, তবে তার পড়ার ঘরের মেঝেতে টালি বসাতে কতগুলি টালি লাগবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
প্রদত্ত চিত্র অনুযায়ী পরিমাপগুলো হলো:
* বাগানের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = 20 মিটার (বর্গাকার)।
* বারান্দার দৈর্ঘ্য = 10 মিটার এবং প্রস্থ = 5 মিটার।
* পড়ার ঘরের দৈর্ঘ্য = 6 মিটার এবং প্রস্থ = 5 মিটার।
(i) বাগানের ক্ষেত্রফল:
বাগানটি বর্গাকার, তাই এর ক্ষেত্রফল = $(\text{বাহু})^2$
= $(20)^2$ বর্গ মিটার
= $400$ বর্গ মিটার।
(ii) বারান্দা মেরামতের খরচ:
বারান্দার ক্ষেত্রফল = $\text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ}$
= $10 \times 5$ বর্গ মিটার
= $50$ বর্গ মিটার।
প্রতি বর্গ মিটারে খরচ হয় 30 টাকা।
সুতরাং, মোট খরচ = $50 \times 30$ টাকা = $1500$ টাকা।
(iii) পড়ার ঘরের টালির সংখ্যা:
পড়ার ঘরের ক্ষেত্রফল = $6 \times 5$ বর্গ মিটার = $30$ বর্গ মিটার।
আমরা জানি, 1 বর্গ মিটার = 10000 বর্গ সেমি।
অতএব, পড়ার ঘরের ক্ষেত্রফল = $30 \times 10000$ = $300000$ বর্গ সেমি।
প্রতিটি টালির ক্ষেত্রফল = $25 \times 25$ বর্গ সেমি = $625$ বর্গ সেমি।
প্রয়োজনীয় টালির সংখ্যা = $\frac{\text{পড়ার ঘরের মোট ক্ষেত্রফল}}{\text{প্রতিটি টালির ক্ষেত্রফল}}$
= $\frac{300000}{625}$ টি
= $480$ টি।
উত্তর: (i) বাগানের ক্ষেত্রফল 400 বর্গ মিটার। (ii) বারান্দা মেরামতের খরচ 1500 টাকা। (iii) পড়ার ঘরের জন্য 480 টি টালি লাগবে।
2. নীচের ছবি দেখি ও রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
চিত্র (i):
সম্পূর্ণ আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল = $12 \times 8 = 96$ বর্গ মিটার।
রাস্তা বাদে ভেতরের অংশের দৈর্ঘ্য = $12 – 3 = 9$ মিটার।
রাস্তা বাদে ভেতরের অংশের প্রস্থ = $8 – 3 = 5$ মিটার।
সাদা অংশের ক্ষেত্রফল = $9 \times 5 = 45$ বর্গ মিটার।
সুতরাং, রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল = $96 – 45 = 51$ বর্গ মিটার।
চিত্র (ii):
দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = $26 \times 3 = 78$ বর্গ মিটার।
প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = $14 \times 3 = 42$ বর্গ মিটার।
দুটি রাস্তার সাধারণ অংশের (মাঝখানের ছেদবিন্দু) ক্ষেত্রফল = $3 \times 3 = 9$ বর্গ মিটার।
সুতরাং, রঙিন রাস্তার ক্ষেত্রফল = $(78 + 42) – 9 = 111$ বর্গ মিটার।
চিত্র (iii):
ভেতরের অংশের ক্ষেত্রফল = $16 \times 9 = 144$ বর্গ মিটার।
রাস্তাসহ বাইরের দৈর্ঘ্য = $16 + (4 \times 2) = 24$ মিটার।
রাস্তাসহ বাইরের প্রস্থ = $9 + (4 \times 2) = 17$ মিটার।
বাইরের মোট ক্ষেত্রফল = $24 \times 17 = 408$ বর্গ মিটার।
সুতরাং, রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল = $408 – 144 = 264$ বর্গ মিটার।
চিত্র (iv):
বাইরের মোট ক্ষেত্রফল = $28 \times 20 = 560$ বর্গ মিটার।
রাস্তা বাদে ভেতরের দৈর্ঘ্য = $28 – (3 \times 2) = 22$ মিটার।
রাস্তা বাদে ভেতরের প্রস্থ = $20 – (3 \times 2) = 14$ মিটার।
ভেতরের সাদা অংশের ক্ষেত্রফল = $22 \times 14 = 308$ বর্গ মিটার।
সুতরাং, রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল = $560 – 308 = 252$ বর্গ মিটার।
চিত্র (v):
দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = $120 \times 3 = 360$ বর্গ সেমি।
প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = $90 \times 3 = 270$ বর্গ সেমি।
সাধারণ অংশের ক্ষেত্রফল = $3 \times 3 = 9$ বর্গ সেমি।
সুতরাং, রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল = $(360 + 270) – 9 = 621$ বর্গ সেমি।
উত্তর: রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে (i) 51 বর্গ মি. (ii) 111 বর্গ মি. (iii) 264 বর্গ মি. (iv) 252 বর্গ মি. (v) 621 বর্গ সেমি।
3. বিরাটি মহাজাতি সঙ্ঘের আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4:3; মাঠটির চারদিকে একবার হেঁটে এলে 336 মিটার পথ অতিক্রম করা যায়। মাঠের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য = $4x$ মিটার এবং প্রস্থ = $3x$ মিটার।
মাঠটির চারদিকে একবার হেঁটে আসার অর্থ হলো মাঠটির পরিসীমা অতিক্রম করা।
প্রশ্নানুসারে, পরিসীমা = 336 মিটার।
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = $2(\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ})$
অতএব,
$2(4x + 3x) = 336$
বা, $2 \times 7x = 336$
বা, $14x = 336$
বা, $x = \frac{336}{14}$
সুতরাং, $x = 24$
এখন, মাঠের দৈর্ঘ্য = $4 \times 24$ মিটার = $96$ মিটার।
এবং মাঠের প্রস্থ = $3 \times 24$ মিটার = $72$ মিটার।
মাঠের ক্ষেত্রফল = $\text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ}$
= $96 \times 72$ বর্গ মিটার
= $6912$ বর্গ মিটার।
উত্তর: মাঠের ক্ষেত্রফল 6912 বর্গ মিটার।
4. প্রতি বর্গ মিটারে 3.50 টাকা হিসাবে সমরদের একটি বর্গাকার জমি চাষ করতে খরচ হয় 1400 টাকা। প্রতি মিটারে 8.50 টাকা হিসাবে সমরদের জমিটির চারধারে একই উচ্চতার তারের বেড়া দিতে কত খরচ হবে হিসাব করি।
সমাধান:
সমরদের জমিটি বর্গাকার।
জমি চাষের মোট খরচ = $1400$ টাকা।
প্রতি বর্গ মিটারে চাষের খরচ = $3.50$ টাকা।
আমরা জানি, জমির ক্ষেত্রফল = $\frac{\text{মোট খরচ}}{\text{প্রতি বর্গ মিটারের খরচ}}$
= $\frac{1400}{3.50}$ বর্গ মিটার
= $\frac{1400 \times 100}{350}$ বর্গ মিটার
= $400$ বর্গ মিটার।
ধরি, বর্গাকার জমির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ মিটার।
শর্তানুসারে, $a^2 = 400$
বা, $a = \sqrt{400} = 20$ মিটার।
এখন, জমিটির চারধারে বেড়া দিতে হবে, অর্থাৎ আমাদের জমিটির পরিসীমা নির্ণয় করতে হবে।
জমিটির পরিসীমা = $4 \times \text{বাহুর দৈর্ঘ্য}$
= $4 \times 20$ মিটার
= $80$ মিটার।
প্রতি মিটার বেড়া দেওয়ার খরচ = $8.50$ টাকা।
সুতরাং, মোট বেড়া দেওয়ার খরচ = $\text{পরিসীমা} \times \text{প্রতি মিটারের খরচ}$
= $80 \times 8.50$ টাকা
= $680$ টাকা।
উত্তর: জমিটির চারধারে তারের বেড়া দিতে মোট 680 টাকা খরচ হবে।
5. সুহাসদের আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল 500 বর্গ মিটার। জমিটির দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমালে এবং প্রস্থ 2 মিটার বাড়ালে জমিটি বর্গাকার হয়। সুহাসদের জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, সুহাসদের আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য = $x$ মিটার এবং প্রস্থ = $y$ মিটার।
প্রথম শর্তানুসারে, জমির ক্ষেত্রফল $xy = 500$ ……(i)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমালে হয় $(x – 3)$ মিটার এবং প্রস্থ 2 মিটার বাড়ালে হয় $(y + 2)$ মিটার। তখন জমিটি বর্গাকার হয়, অর্থাৎ দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ সমান হয়।
অতএব, $x – 3 = y + 2$
বা, $x = y + 2 + 3$
বা, $x = y + 5$ ……(ii)
(i) নং সমীকরণে $x$-এর মান বসিয়ে পাই,
$(y + 5) \times y = 500$
বা, $y^2 + 5y – 500 = 0$
বা, $y^2 + 25y – 20y – 500 = 0$
বা, $y(y + 25) – 20(y + 25) = 0$
বা, $(y + 25)(y – 20) = 0$
হয় $y + 25 = 0$ অথবা $y – 20 = 0$
যেহেতু প্রস্থ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $y \neq -25$।
সুতরাং, $y = 20$।
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
$x = 20 + 5 = 25$
উত্তর: সুহাসদের জমির দৈর্ঘ্য 25 মিটার এবং প্রস্থ 20 মিটার।
6. আমাদের গ্রামে একটি বর্গাকার জমির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 300 মিটার। এই বর্গাকার জমির চারধার একই উচ্চতার 3 ডেসিমিটার চওড়া দেয়াল দিয়ে ঘিরব। হিসাব করে দেখি প্রতি 100 বর্গ মিটার জমিতে 5000 টাকা হিসাবে দেয়ালের জন্য কত খরচ পড়বে।
সমাধান:
বর্গাকার জমির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $300$ মিটার।
জমির মোট ক্ষেত্রফল = $(300)^2$ বর্গ মিটার = $90000$ বর্গ মিটার।
দেয়ালটি $3$ ডেসিমিটার চওড়া।
আমরা জানি, $10$ ডেসিমিটার = $1$ মিটার।
সুতরাং, $3$ ডেসিমিটার = $\frac{3}{10}$ মিটার = $0.3$ মিটার।
যেহেতু জমির চারধারে দেয়াল দেওয়া হবে, তাই দেয়ালটি জমির সীমানার ভেতরেই থাকবে।
দেয়াল বাদে ভেতরের অংশের বাহুর দৈর্ঘ্য = $300 – (2 \times 0.3)$ মিটার
= $300 – 0.6$ মিটার
= $299.4$ মিটার।
দেয়াল বাদে ভেতরের অংশের ক্ষেত্রফল = $(299.4)^2$ বর্গ মিটার।
অতএব, শুধুমাত্র দেয়ালের ক্ষেত্রফল = (পুরো জমির ক্ষেত্রফল) – (দেয়াল বাদে ভেতরের অংশের ক্ষেত্রফল)
= $(300)^2 – (299.4)^2$ বর্গ মিটার
[ $a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)$ সূত্র প্রয়োগ করে ]
= $(300 + 299.4)(300 – 299.4)$ বর্গ মিটার
= $599.4 \times 0.6$ বর্গ মিটার
= $359.64$ বর্গ মিটার।
খরচের হিসাব:
প্রতি $100$ বর্গ মিটারে খরচ হয় $5000$ টাকা।
সুতরাং, প্রতি $1$ বর্গ মিটারে খরচ হয় = $\frac{5000}{100}$ টাকা = $50$ টাকা।
মোট $359.64$ বর্গ মিটার দেয়ালের জন্য খরচ হবে = $359.64 \times 50$ টাকা
= $17982$ টাকা।
উত্তর: দেয়ালের জন্য মোট 17982 টাকা খরচ পড়বে।
7. রেহানাদের আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য 14 মিটার এবং প্রস্থ 12 মিটার। বাগানটির ভিতরে চারদিকে সমান চওড়া একটি রাস্তা তৈরি করতে প্রতি বর্গ মিটারে 20 টাকা হিসাবে মোট 1380 টাকা খরচ হলে, রাস্তাটি কত চওড়া হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
রেহানাদের বাগানের দৈর্ঘ্য = $14$ মিটার এবং প্রস্থ = $12$ মিটার।
বাগানের মোট ক্ষেত্রফল = $14 \times 12$ বর্গ মিটার = $168$ বর্গ মিটার।
রাস্তা তৈরির মোট খরচ = $1380$ টাকা।
প্রতি বর্গ মিটারে খরচ = $20$ টাকা।
সুতরাং, রাস্তার ক্ষেত্রফল = $\frac{1380}{20}$ বর্গ মিটার = $69$ বর্গ মিটার।
ধরি, রাস্তাটি $x$ মিটার চওড়া।
রাস্তা বাদে বাগানের ভেতরের দৈর্ঘ্য = $(14 – 2x)$ মিটার।
রাস্তা বাদে বাগানের ভেতরের প্রস্থ = $(12 – 2x)$ মিটার।
শর্তানুসারে,
(মোট ক্ষেত্রফল) – (রাস্তা বাদে ক্ষেত্রফল) = রাস্তার ক্ষেত্রফল
বা, $168 – (14 – 2x)(12 – 2x) = 69$
বা, $168 – (168 – 28x – 24x + 4x^2) = 69$
বা, $168 – 168 + 52x – 4x^2 = 69$
বা, $4x^2 – 52x + 69 = 0$
এখন আমরা মিডল টার্ম ফ্যাক্টর বা উৎপাদকে বিশ্লেষণ করব:
$4x^2 – 46x – 6x + 69 = 0$
বা, $2x(2x – 23) – 3(2x – 23) = 0$
বা, $(2x – 23)(2x – 3) = 0$
হয় $2x – 23 = 0 \Rightarrow x = \frac{23}{2} = 11.5$
অথবা $2x – 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} = 1.5$
কিন্তু রাস্তার চওড়া ($x$) $11.5$ মিটার হতে পারে না, কারণ বাগানের প্রস্থই হলো $12$ মিটার।
সুতরাং, $x = 1.5$।
উত্তর: রাস্তাটি 1.5 মিটার চওড়া।
8. 1200 বর্গ সেমি. ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য 40 সেমি. হলে, তার কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল = $1200$ বর্গ সেমি.।
জমির দৈর্ঘ্য = $40$ সেমি.।
আমরা জানি, $\text{ক্ষেত্রফল} = \text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ}$
অতএব, প্রস্থ = $\frac{\text{ক্ষেত্রফল}}{\text{দৈর্ঘ্য}}$
= $\frac{1200}{40}$ সেমি.
= $30$ সেমি.।
এখন, আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(\text{দৈর্ঘ্য})^2 + (\text{প্রস্থ})^2}$
= $\sqrt{(40)^2 + (30)^2}$ সেমি.
= $\sqrt{1600 + 900}$ সেমি.
= $\sqrt{2500}$ সেমি.
= $50$ সেমি.।
কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। সেই বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে আয়তক্ষেত্রের কর্ণের সমান।
সুতরাং, নির্ণেয় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $(\text{কর্ণের দৈর্ঘ্য})^2$
= $(50)^2$ বর্গ সেমি.
= $2500$ বর্গ সেমি.।
উত্তর: কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 2500 বর্গ সেমি.।
9. একটি হলঘরের দৈর্ঘ্য 4 মিটার, প্রস্থ 6 মিটার এবং উচ্চতা 4 মিটার। ঘরটিতে তিনটি দরজা আছে যাদের প্রত্যেকটি 1.5 মি. × 1 মি. এবং চারটি জানালা আছে যাদের প্রত্যেকটি 1.2 মি. × 1 মি.। ঘরটির চার দেয়াল প্রতি বর্গ মিটারে 70 টাকা হিসাবে রঙিন কাগজ দিয়ে ঢাকতে কত খরচ হবে।
সমাধান:
হলঘরের দৈর্ঘ্য ($l$) = $4$ মিটার, প্রস্থ ($b$) = $6$ মিটার এবং উচ্চতা ($h$) = $4$ মিটার।
দরজা ও জানালারা সহ চার দেয়ালের মোট ক্ষেত্রফল = $2(l + b) \times h$
= $2(4 + 6) \times 4$ বর্গ মিটার
= $2 \times 10 \times 4$ বর্গ মিটার
= $80$ বর্গ মিটার।
১টি দরজার ক্ষেত্রফল = $1.5 \times 1 = 1.5$ বর্গ মিটার।
৩টি দরজার মোট ক্ষেত্রফল = $3 \times 1.5 = 4.5$ বর্গ মিটার।
১টি জানালার ক্ষেত্রফল = $1.2 \times 1 = 1.2$ বর্গ মিটার।
৪টি জানালার মোট ক্ষেত্রফল = $4 \times 1.2 = 4.8$ বর্গ মিটার।
দরজা ও জানালা বাদে চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল
= (মোট দেয়ালের ক্ষেত্রফল) – (দরজা ও জানালার মোট ক্ষেত্রফল)
= $80 – (4.5 + 4.8)$ বর্গ মিটার
= $80 – 9.3$ বর্গ মিটার
= $70.7$ বর্গ মিটার।
প্রতি বর্গ মিটারে খরচ হয় $70$ টাকা।
সুতরাং, মোট খরচ হবে = $70.7 \times 70$ টাকা
= $4949$ টাকা।
উত্তর: রঙিন কাগজ দিয়ে ঢাকতে মোট 4949 টাকা খরচ হবে।
10. একটি ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল 42 বর্গ মিটার এবং মেঝের ক্ষেত্রফল 12 বর্গ মিটার। ঘরটির দৈর্ঘ্য 4 মিটার হলে, ঘরটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ঘরটির মেঝের ক্ষেত্রফল = $12$ বর্গ মিটার এবং দৈর্ঘ্য = $4$ মিটার।
আমরা জানি, মেঝের ক্ষেত্রফল = $\text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ}$
সুতরাং, প্রস্থ = $\frac{12}{4} = 3$ মিটার।
ধরি, ঘরটির উচ্চতা = $h$ মিটার।
প্রশ্নানুসারে, চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = $42$ বর্গ মিটার।
চার দেয়ালের ক্ষেত্রফলের সূত্র: $2(\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ}) \times \text{উচ্চতা}$
শর্তানুসারে,
$2(4 + 3) \times h = 42$
বা, $2 \times 7 \times h = 42$
বা, $14h = 42$
বা, $h = \frac{42}{14}$
বা, $h = 3$
উত্তর: ঘরটির উচ্চতা 3 মিটার।
11. সুজাতা 84 বর্গ সেমি. ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি আয়তাকার কাগজে ছবি আঁকবে। কাগজটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অন্তর 5 সেমি.। সুজাতার কাগজটির পরিসীমা হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, আয়তাকার কাগজটির দৈর্ঘ্য = $x$ সেমি. এবং প্রস্থ = $y$ সেমি.।
প্রশ্নানুসারে,
১. ক্ষেত্রফল, $xy = 84$ ……(i)
২. দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অন্তর, $x – y = 5$ ……(ii)
আমাদের কাগজটির পরিসীমা নির্ণয় করতে হবে, অর্থাৎ $2(x + y)$-এর মান বের করতে হবে।
আমরা জানি,
$(x + y)^2 = (x – y)^2 + 4xy$
মান বসিয়ে পাই,
$(x + y)^2 = (5)^2 + 4 \times 84$
বা, $(x + y)^2 = 25 + 336$
বা, $(x + y)^2 = 361$
বা, $x + y = \sqrt{361}$
বা, $x + y = 19$
অতএব, পরিসীমা = $2(x + y)$
= $2 \times 19$ সেমি.
= $38$ সেমি.।
উত্তর: সুজাতার কাগজটির পরিসীমা 38 সেমি.।
12. সিরাজদের বর্গাকার বাগানের বাইরের চারদিকে 2.5 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল 165 বর্গ মিটার। বাগানটির ক্ষেত্রফল এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য হিসাব করি। $(\sqrt{2}=1.414)$
সমাধান:
ধরি, বর্গাকার বাগানটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $x$ মিটার।
বাগানটির ক্ষেত্রফল = $x^2$ বর্গ মিটার।
বাগানটির বাইরের চারদিকে $2.5$ মিটার চওড়া রাস্তা আছে।
রাস্তাসহ বাগানের বাহুর দৈর্ঘ্য = $(x + 2.5 + 2.5)$ মিটার = $(x + 5)$ মিটার।
রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = $(x + 5)^2$ বর্গ মিটার।
প্রশ্নানুসারে, রাস্তার ক্ষেত্রফল = $165$ বর্গ মিটার।
শর্তানুসারে,
$(x + 5)^2 – x^2 = 165$
বা, $(x^2 + 10x + 25) – x^2 = 165$
বা, $10x + 25 = 165$
বা, $10x = 165 – 25$
বা, $10x = 140$
বা, $x = 14$
সুতরাং, বাগানটির বাহুর দৈর্ঘ্য $14$ মিটার।
বাগানটির ক্ষেত্রফল:
= $(14)^2$ বর্গ মিটার
= $196$ বর্গ মিটার।
বাগানটির কর্ণের দৈর্ঘ্য:
= $\text{বাহু} \sqrt{2}$
= $14\sqrt{2}$ মিটার
= $14 \times 1.414$ মিটার [যেহেতু $\sqrt{2}=1.414$]
= $19.796$ মিটার।
উত্তর: বাগানটির ক্ষেত্রফল 196 বর্গ মিটার এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য 19.796 মিটার।
13. যে বর্গাকার জমির কর্ণের দৈর্ঘ্য $20\sqrt{2}$ মিটার তার চারধার পাঁচিল দিয়ে ঘিরতে কত মিটার দৈর্ঘ্যের পাঁচিল দিতে হবে হিসাব করে লিখি। প্রতি বর্গমিটারে 20 টাকা হিসাবে ঘাস বসাতে কত খরচ হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, বর্গাকার জমির বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ মিটার।
আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $a\sqrt{2}$।
প্রশ্নানুসারে,
$a\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$
বা, $a = 20$
সুতরাং, জমির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $20$ মিটার।
১ম অংশ (পাঁচিলের দৈর্ঘ্য):
জমির চারধার পাঁচিল দিয়ে ঘিরতে হবে, অর্থাৎ পরিসীমা নির্ণয় করতে হবে।
পরিসীমা = $4 \times a = 4 \times 20$ মিটার = $80$ মিটার।
২য় অংশ (ঘাস বসানোর খরচ):
জমিতে ঘাস বসাতে হবে, অর্থাৎ ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
জমির ক্ষেত্রফল = $a^2 = (20)^2$ বর্গ মিটার = $400$ বর্গ মিটার।
প্রতি বর্গ মিটারে ঘাস বসানোর খরচ = $20$ টাকা।
মোট খরচ = $400 \times 20$ টাকা = $8000$ টাকা।
উত্তর: 80 মিটার দৈর্ঘ্যের পাঁচিল দিতে হবে এবং ঘাস বসাতে মোট 8000 টাকা খরচ হবে।
14. আমাদের আয়তাকার বাগানের একটি কর্ণ বরাবর একটি বেড়া দেব। আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 12 মিটার ও 7 মিটার হলে, বেড়ার দৈর্ঘ্য হিসাব করে দেখি। বেড়াটি আয়তাকার বাগানকে যে দুটি ত্রিভুজে ভাগ করবে তার পরিসীমা লিখি।
সমাধান:
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = $12$ মিটার এবং প্রস্থ = $7$ মিটার।
১ম অংশ (বেড়ার দৈর্ঘ্য):
যেহেতু বেড়াটি কর্ণ বরাবর দেওয়া হবে, তাই বেড়ার দৈর্ঘ্য হবে আয়তক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য।
কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(\text{দৈর্ঘ্য})^2 + (\text{প্রস্থ})^2}$
= $\sqrt{(12)^2 + (7)^2}$ মিটার
= $\sqrt{144 + 49}$ মিটার
= $\sqrt{193}$ মিটার।
২য় অংশ (ত্রিভুজের পরিসীমা):
কর্ণ বরাবর বেড়া দিলে আয়তক্ষেত্রটি দুটি সমান সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত হয়।
প্রতিটি ত্রিভুজের বাহুগুলো হলো: বাগানের দৈর্ঘ্য, বাগানের প্রস্থ এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য (বেড়া)।
সুতরাং, প্রতিটি ত্রিভুজের পরিসীমা = $\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ} + \text{কর্ণ}$
= $(12 + 7 + \sqrt{193})$ মিটার
= $(19 + \sqrt{193})$ মিটার।
উত্তর: বেড়ার দৈর্ঘ্য $\sqrt{193}$ মিটার এবং প্রতিটি ত্রিভুজের পরিসীমা $(19 + \sqrt{193})$ মিটার।
15. মৌসুমীদের বাড়ির আয়তাকার বড় হলঘরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 9:5 এবং পরিসীমা 140 মিটার। মৌসুমীরা হলঘরের মেঝেতে 25 সেমি. × 20 সেমি. আকারের আয়তাকার টালি বসাতে চায়। প্রতি 100 টালির দাম 500 টাকা হলে, মৌসুমীদের হলঘরের মেঝেতে টালি বসাতে কত খরচ হবে হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, হলঘরের দৈর্ঘ্য = $9x$ মিটার এবং প্রস্থ = $5x$ মিটার (যেখানে $x$ একটি আনুপাতিক ধ্রুবক)।
হলঘরের পরিসীমা = $140$ মিটার।
শর্তানুসারে,
$2(9x + 5x) = 140$
বা, $2 \times 14x = 140$
বা, $28x = 140$
বা, $x = \frac{140}{28}$
বা, $x = 5$
সুতরাং, হলঘরের দৈর্ঘ্য = $9 \times 5 = 45$ মিটার।
এবং প্রস্থ = $5 \times 5 = 25$ মিটার।
হলঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল = $45 \times 25$ বর্গ মিটার = $1125$ বর্গ মিটার।
টালি বসানোর হিসাব:
প্রতিটি টালির আকার = $25$ সেমি. $\times$ $20$ সেমি.।
আমরা জানি, $1$ মিটার = $100$ সেমি.।
সুতরাং, টালির দৈর্ঘ্য = $0.25$ মিটার এবং প্রস্থ = $0.20$ মিটার।
প্রতিটি টালির ক্ষেত্রফল = $0.25 \times 0.20$ বর্গ মিটার = $0.05$ বর্গ মিটার।
প্রয়োজনীয় টালির সংখ্যা = $\frac{\text{মেঝের মোট ক্ষেত্রফল}}{\text{প্রতিটি টালির ক্ষেত্রফল}}$
= $\frac{1125}{0.05}$
= $\frac{112500}{5}$
= $22500$ টি।
খরচের হিসাব:
প্রতি $100$ টি টালির দাম = $500$ টাকা।
সুতরাং, $1$ টি টালির দাম = $\frac{500}{100} = 5$ টাকা।
মোট $22500$ টি টালির জন্য খরচ হবে = $22500 \times 5$ টাকা
= $112500$ টাকা।
উত্তর: হলঘরের মেঝেতে টালি বসাতে মোট 112500 টাকা খরচ হবে।
16. 18 মিটার দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট একটি বড়ো হলঘরে কার্পেট দিয়ে মুড়তে 2160 টাকা খরচ হয়। যদি হলঘরের প্রস্থ 4 মিটার কম হতো তাহলে 1620 টাকা খরচ হতো। হলঘরের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।
সমাধান:
হলঘরের দৈর্ঘ্য = $18$ মিটার।
প্রথমে কার্পেট বসানোর মোট খরচ হয় = $2160$ টাকা।
প্রস্থ $4$ মিটার কম হলে খরচ হয় = $1620$ টাকা।
খরচ কমে যায় = $2160 – 1620 = 540$ টাকা।
যেহেতু দৈর্ঘ্য স্থির ($18$ মিটার) আছে, তাই প্রস্থ $4$ মিটার কমার জন্য ক্ষেত্রফল কমেছে।
ক্ষেত্রফল কমেছে = $\text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থের হ্রাস}$
= $18 \times 4$ বর্গ মিটার
= $72$ বর্গ মিটার।
অর্থাৎ, $72$ বর্গ মিটার জায়গায় কার্পেট বসানোর খরচ $540$ টাকা।
অতএব, প্রতি বর্গ মিটারে কার্পেট বসানোর খরচ = $\frac{540}{72}$ টাকা = $7.50$ টাকা।
এখন, হলঘরের মোট ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
মোট খরচ $2160$ টাকা এবং প্রতি বর্গ মিটারের খরচ $7.50$ টাকা।
সুতরাং, হলঘরের ক্ষেত্রফল = $\frac{\text{মোট খরচ}}{\text{প্রতি বর্গ মিটারের খরচ}}$
= $\frac{2160}{7.50}$ বর্গ মিটার
= $\frac{216000}{750}$ বর্গ মিটার
= $288$ বর্গ মিটার।
উত্তর: হলঘরের ক্ষেত্রফল 288 বর্গ মিটার।
17. একটি আয়তাকার জমির কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অন্তর 3 মিটার। জমিটির পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য = $x$ মিটার এবং প্রস্থ = $y$ মিটার।
প্রশ্নানুসারে,
১. কর্ণের দৈর্ঘ্য $\sqrt{x^2 + y^2} = 15$
বা, $x^2 + y^2 = (15)^2 = 225$ ……(i)
২. দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অন্তর $x – y = 3$ ……(ii)
ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
আমরা জানি, $(x – y)^2 = x^2 + y^2 – 2xy$
মান বসিয়ে পাই,
$(3)^2 = 225 – 2xy$
বা, $9 = 225 – 2xy$
বা, $2xy = 225 – 9$
বা, $2xy = 216$
বা, $xy = 108$
সুতরাং, জমিটির ক্ষেত্রফল $108$ বর্গ মিটার।
পরিসীমা নির্ণয়:
আমরা জানি, $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$
= $225 + 216$ [ (i) নং এবং $2xy$ এর মান বসিয়ে ]
= $441$
বা, $x + y = \sqrt{441} = 21$
অতএব, পরিসীমা = $2(x + y)$
= $2 \times 21$ মিটার
= $42$ মিটার।
উত্তর: জমিটির পরিসীমা 42 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 108 বর্গ মিটার।
18. 385 মিটার × 60 মিটার পরিমাপের একটি আয়তাকার চাতাল পাকা করতে সর্ববৃহৎ কত মাপের বর্গাকার টাইলস ব্যবহার করা যাবে এবং সেক্ষেত্রে টাইলসের সংখ্যা কত হবে হিসাব করি।
সমাধান:
আয়তাকার চাতালের দৈর্ঘ্য = $385$ মিটার এবং প্রস্থ = $60$ মিটার।
সর্ববৃহৎ মাপের বর্গাকার টাইলস ব্যবহার করতে হলে, টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য হতে হবে $385$ এবং $60$ এর গসাগু (H.C.F)।
এখন, $385$ এবং $60$ এর গসাগু নির্ণয় করি:
$385 = 5 \times 7 \times 11$
$60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$
উভয় সংখ্যার মধ্যে সাধারণ উৎপাদক হলো $5$।
সুতরাং, গসাগু = $5$।
অর্থাৎ, সর্ববৃহৎ বর্গাকার টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে $5$ মিটার।
টাইলসের সংখ্যা নির্ণয়:
চাতালের ক্ষেত্রফল = $385 \times 60$ বর্গ মিটার।
প্রতিটি টাইলসের ক্ষেত্রফল = $5 \times 5$ বর্গ মিটার।
প্রয়োজনীয় টাইলসের সংখ্যা = $\frac{\text{চাতালের ক্ষেত্রফল}}{\text{প্রতিটি টাইলসের ক্ষেত্রফল}}$
= $\frac{385 \times 60}{5 \times 5}$
= $\frac{385}{5} \times \frac{60}{5}$
= $77 \times 12$
= $924$ টি।
উত্তর: সর্ববৃহৎ 5 মিটার মাপের বর্গাকার টাইলস ব্যবহার করা যাবে এবং টাইলস লাগবে 924 টি।
অধ্যায় ১৫: ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল বহু বিকল্প ভিত্তিক প্রশ্নোত্তর MCQ
19. (i) একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য $12\sqrt{2}$ সেমি.। বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল
সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $12\sqrt{2}$ সেমি.।
আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের বাহু = $\frac{\text{কর্ণ}}{\sqrt{2}}$
সুতরাং, বাহুর দৈর্ঘ্য ($a$) = $\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 12$ সেমি.।
বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = $a^2 = (12)^2$ বর্গ সেমি. = $144$ বর্গ সেমি.।
উত্তর: (b) 144 বর্গ সেমি.
19. (ii) যদি একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $A_1$ বর্গ একক এবং ওই বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $A_2$ বর্গ একক হয়, তাহলে $A_1:A_2$ হবে
সমাধান:
ধরি, প্রথম বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ একক।
প্রশ্নানুসারে, $A_1 = a^2$ বর্গ একক।
বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = $a\sqrt{2}$ একক।
কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে মূল বর্গক্ষেত্রের কর্ণের সমান, অর্থাৎ $a\sqrt{2}$ একক।
সুতরাং, $A_2 = (a\sqrt{2})^2 = 2a^2$ বর্গ একক।
অতএব, $A_1 : A_2 = a^2 : 2a^2 = 1 : 2$।
উত্তর: (a) 1:2
19. (iii) 6 মিটার লম্বা ও 4 মিটার চওড়া একটি আয়তাকার জায়গা 2 ডেসিমি. বর্গ টালি দিয়ে বাঁধাতে হলে টালি লাগবে
সমাধান:
আয়তাকার জায়গার দৈর্ঘ্য = $6$ মিটার = $60$ ডেসিমি.।
প্রস্থ = $4$ মিটার = $40$ ডেসিমি.।
মোট ক্ষেত্রফল = $60 \times 40 = 2400$ বর্গ ডেসিমি.।
প্রতিটি টালির বাহুর দৈর্ঘ্য = $2$ ডেসিমি.।
প্রতিটি টালির ক্ষেত্রফল = $(2)^2 = 4$ বর্গ ডেসিমি.।
প্রয়োজনীয় টালির সংখ্যা = $\frac{\text{মোট ক্ষেত্রফল}}{\text{একটি টালির ক্ষেত্রফল}}$
= $\frac{2400}{4} = 600$ টি।
উত্তর: (c) 600
19. (iv) সমান পরিসীমাবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র এবং একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে $S$ এবং $R$ হলে
সমাধান:
আমরা জানি, নির্দিষ্ট পরিসীমাবিশিষ্ট সকল চতুর্ভুজের মধ্যে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সর্বাধিক হয়।
যেহেতু বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা সমান, তাই বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ($S$) সর্বদা আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ($R$) অপেক্ষা বেশি হবে।
সুতরাং, $S > R$।
উত্তর: (b) S>R
19. (v) একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 10 সেমি. এবং ক্ষেত্রফল 62.5 বর্গ সেমি. হলে, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সমষ্টি
সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = $l$ এবং প্রস্থ = $b$।
প্রশ্নানুসারে, কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{l^2 + b^2} = 10$
বা, $l^2 + b^2 = 100$।
এবং ক্ষেত্রফল, $lb = 62.5$।
আমাদের $(l + b)$ এর মান নির্ণয় করতে হবে।
আমরা জানি, $(l + b)^2 = l^2 + b^2 + 2lb$
= $100 + 2(62.5)$
= $100 + 125$
= $225$
সুতরাং, $l + b = \sqrt{225} = 15$।
উত্তর: (b) 15 সেমি.
অধ্যায় ১৫: ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন উত্তর
২০. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন
(i) একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি করলে, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
সমাধান:
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = $100$ একক।
সুতরাং, প্রাথমিক ক্ষেত্রফল = $(100)^2 = 10000$ বর্গ একক।
বাহুর দৈর্ঘ্য $10\%$ বৃদ্ধি পেলে নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য হয় = $110$ একক।
নতুন ক্ষেত্রফল = $(110)^2 = 12100$ বর্গ একক।
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেল = $12100 – 10000 = 2100$ বর্গ একক।
শতকরা বৃদ্ধি = $\frac{2100}{10000} \times 100 = 21\%$।
উত্তর: ক্ষেত্রফল 21% বৃদ্ধি পাবে।
(ii) একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ 10% হ্রাস করা হলে, ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি বা হ্রাস পাবে?
সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = $100$ একক এবং প্রস্থ = $100$ একক।
প্রাথমিক ক্ষেত্রফল = $100 \times 100 = 10000$ বর্গ একক।
দৈর্ঘ্য $10\%$ বৃদ্ধি পেলে নতুন দৈর্ঘ্য = $110$ একক।
প্রস্থ $10\%$ হ্রাস পেলে নতুন প্রস্থ = $90$ একক।
নতুন ক্ষেত্রফল = $110 \times 90 = 9900$ বর্গ একক।
ক্ষেত্রফল হ্রাস পেল = $10000 – 9900 = 100$ বর্গ একক।
শতকরা হ্রাস = $\frac{100}{10000} \times 100 = 1\%$।
উত্তর: ক্ষেত্রফল 1% হ্রাস পাবে।
(iii) একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 5 সেমি.। কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু থেকে আয়তক্ষেত্রের একটি প্রস্থের উপর লম্বের দৈর্ঘ্য 2 সেমি.। আয়তক্ষেত্রের প্রস্থের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। ছেদবিন্দুটি হলো আয়তক্ষেত্রের কেন্দ্র।
কেন্দ্র থেকে প্রস্থের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য হলো দৈর্ঘ্যের অর্ধেক।
অর্থাৎ, $\frac{\text{দৈর্ঘ্য}}{2} = 2$ সেমি.।
সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ($l$) = $4$ সেমি.।
প্রদত্ত আছে, কর্ণের দৈর্ঘ্য ($d$) = $5$ সেমি.।
ধরি, প্রস্থ = $b$ সেমি.।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, $l^2 + b^2 = d^2$
বা, $4^2 + b^2 = 5^2$
বা, $16 + b^2 = 25$
বা, $b^2 = 25 – 16 = 9$
বা, $b = 3$
উত্তর: আয়তক্ষেত্রের প্রস্থের দৈর্ঘ্য 3 সেমি.।
(iv) একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু থেকে তার যে-কোনো বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য $2\sqrt{2}$ সেমি. হলে, বর্গক্ষেত্রটির প্রতিটি কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু (কেন্দ্র) থেকে বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য হলো বাহুর দৈর্ঘ্যের অর্ধেক।
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ সেমি.।
শর্তানুসারে, $\frac{a}{2} = 2\sqrt{2}$
বা, $a = 4\sqrt{2}$ সেমি.।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $a\sqrt{2}$
= $(4\sqrt{2}) \times \sqrt{2}$ সেমি.
= $4 \times 2$ সেমি.
= $8$ সেমি.।
উত্তর: বর্গক্ষেত্রটির প্রতিটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 8 সেমি.।
(v) একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা 34 সেমি. এবং ক্ষেত্রফল 60 বর্গ সেমি.। আয়তক্ষেত্রের প্রতিটি কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = $l$ সেমি. এবং প্রস্থ = $b$ সেমি.।
১. পরিসীমা, $2(l + b) = 34 \Rightarrow l + b = 17$ ……(i)
২. ক্ষেত্রফল, $lb = 60$ ……(ii)
আমরা জানি, কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{l^2 + b^2}$
এখন, $l^2 + b^2 = (l + b)^2 – 2lb$
= $(17)^2 – 2(60)$
= $289 – 120$
= $169$
সুতরাং, কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{169}$ সেমি. = $13$ সেমি.।
উত্তর: আয়তক্ষেত্রের প্রতিটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 13 সেমি.।
শেয়ার