নবম শ্রেণি গনিত: চতুর্ভুজ ও ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, কষে দেখি – 15.3
অধ্যায় ১৫: ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল (কষে দেখি – 15.3)
1. রাতুল একটি সামান্তরিক এঁকেছে যার ভূমির দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং উচ্চতা 4 সেমি.। রাতুলের আঁকা সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।
সমাধান:
প্রদত্ত সামান্তরিকের ভূমির দৈর্ঘ্য ($b$) = $5$ সেমি.।
সামান্তরিকের উচ্চতা ($h$) = $4$ সেমি.।
আমরা জানি, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = $\text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$
= $5 \times 4$ বর্গ সেমি.
= $20$ বর্গ সেমি.।
উত্তর: রাতুলের আঁকা সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 20 বর্গ সেমি.।
2. একটি সামান্তরিকের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ। যদি সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 98 বর্গ সেমি. হয়, তাহলে সামান্তরিকটির দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার পরিমাপ হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, সামান্তরিকটির উচ্চতা = $x$ সেমি.।
যেহেতু ভূমি উচ্চতার দ্বিগুণ, তাই ভূমির দৈর্ঘ্য = $2x$ সেমি.।
সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল = $\text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} = 2x \times x = 2x^2$ বর্গ সেমি.।
প্রশ্নানুসারে,
$2x^2 = 98$
বা, $x^2 = \frac{98}{2}$
বা, $x^2 = 49$
বা, $x = \sqrt{49} = 7$
সুতরাং, সামান্তরিকটির উচ্চতা = $7$ সেমি.।
এবং সামান্তরিকটির দৈর্ঘ্য (ভূমি) = $2 \times 7$ সেমি. = $14$ সেমি.।
উত্তর: সামান্তরিকটির দৈর্ঘ্য 14 সেমি. এবং উচ্চতা 7 সেমি.।
3. আমাদের বাড়ির পাশে একটি সামান্তরিক আকারের জমি আছে যার সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 মিটার ও 13 মিটার। যদি এই জমির একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 14 মিটার হয়, তবে হিসাব করে সামান্তরিক আকারের জমির ক্ষেত্রফল লিখি।
সমাধান:
মনে করি $ABCD$ একটি সামান্তরিক যার সন্নিহিত বাহুদ্বয় $AB = 15$ মিটার এবং $BC = 13$ মিটার।
কর্ণ $AC = 14$ মিটার।
সামান্তরিকের কর্ণ সামান্তরিককে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
সুতরাং, $\Delta ABC$ এবং $\Delta ADC$ এর ক্ষেত্রফল সমান। আমরা প্রথমে $\Delta ABC$-এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করব।
$\Delta ABC$-এর বাহুগুলো হলো $a = 15$ মি., $b = 13$ মি. এবং $c = 14$ মি.।
অর্ধপরিসীমা ($s$) = $\frac{15 + 13 + 14}{2} = \frac{42}{2} = 21$ মিটার।
হেরনের সূত্র অনুযায়ী, $\Delta ABC$-এর ক্ষেত্রফল
= $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
= $\sqrt{21(21-15)(21-13)(21-14)}$ বর্গ মিটার
= $\sqrt{21 \times 6 \times 8 \times 7}$ বর্গ মিটার
= $\sqrt{(7 \times 3) \times (3 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2) \times 7}$ বর্গ মিটার
= $\sqrt{7^2 \times 3^2 \times 2^4}$ বর্গ মিটার
= $7 \times 3 \times 4$ বর্গ মিটার
= $84$ বর্গ মিটার।
সামান্তরিক আকারের জমির মোট ক্ষেত্রফল = $2 \times \Delta ABC$-এর ক্ষেত্রফল
= $2 \times 84$ বর্গ মিটার
= $168$ বর্গ মিটার।
উত্তর: সামান্তরিক আকারের জমির ক্ষেত্রফল 168 বর্গ মিটার।
4. পৃথা একটি সামান্তরিক এঁকেছে যার সন্নিহিত বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 25 সেমি. ও 15 সেমি. এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 20 সেমি.। হিসাব করে 25 সেমি. বাহুর উপর সামান্তরিকের উচ্চতার পরিমাপ লিখি।
সমাধান:
আমরা জানি, সামান্তরিকের কর্ণ সামান্তরিককে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
এখানে সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় $a = 25$ সেমি. ও $b = 15$ সেমি. এবং কর্ণ $c = 20$ সেমি.।
উৎপন্ন ত্রিভুজটির অর্ধপরিসীমা ($s$) = $\frac{25 + 15 + 20}{2}$
= $\frac{60}{2} = 30$ সেমি.।
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
= $\sqrt{30(30-25)(30-15)(30-20)}$ বর্গ সেমি.
= $\sqrt{30 \times 5 \times 15 \times 10}$ বর্গ সেমি.
= $\sqrt{22500}$ বর্গ সেমি.
= $150$ বর্গ সেমি.।
সামান্তরিকটির মোট ক্ষেত্রফল = $2 \times \text{ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল}$
= $2 \times 150 = 300$ বর্গ সেমি.।
ধরি, $25$ সেমি. বাহুর উপর সামান্তরিকের উচ্চতা = $h$ সেমি.।
আমরা জানি, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = $\text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$
শর্তানুসারে,
$25 \times h = 300$
বা, $h = \frac{300}{25}$
বা, $h = 12$
উত্তর: 25 সেমি. বাহুর উপর সামান্তরিকের উচ্চতা 12 সেমি.।
5. একটি সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য 15 সেমি. ও 12 সেমি.। ক্ষুদ্রতর বাহু দুটির দূরত্ব 7.5 সেমি. হলে, বৃহত্তর বাহু দুটির দূরত্ব হিসাব করি।
সমাধান:
সামান্তরিকের ক্ষুদ্রতর বাহুর দৈর্ঘ্য = $12$ সেমি.।
ক্ষুদ্রতর বাহু দুটির মধ্যে দূরত্ব (উচ্চতা) = $7.5$ সেমি.।
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = $\text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$
= $12 \times 7.5$ বর্গ সেমি.
= $90$ বর্গ সেমি.।
এখন, বৃহত্তর বাহুর দৈর্ঘ্য = $15$ সেমি.।
ধরি, বৃহত্তর বাহু দুটির মধ্যে দূরত্ব = $h$ সেমি.।
শর্তানুসারে,
$15 \times h = 90$
বা, $h = \frac{90}{15}$
বা, $h = 6$
উত্তর: বৃহত্তর বাহু দুটির দূরত্ব 6 সেমি.।
6. একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের পরিমাপ 15 মিটার ও 20 মিটার হলে, উহার পরিসীমা, ক্ষেত্রফল ও উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য $d_1 = 15$ মিটার এবং $d_2 = 20$ মিটার।
(i) ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \text{কর্ণদ্বয়ের গুণফল}$
= $\frac{1}{2} \times 15 \times 20$ বর্গ মিটার
= $15 \times 10$ বর্গ মিটার
= $150$ বর্গ মিটার।
(ii) পরিসীমা নির্ণয়:
রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য ($a$) = $\frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2}$
= $\frac{1}{2}\sqrt{15^2 + 20^2}$ মিটার
= $\frac{1}{2}\sqrt{225 + 400}$ মিটার
= $\frac{1}{2}\sqrt{625}$ মিটার
= $\frac{1}{2} \times 25$ মিটার
= $12.5$ মিটার।
সুতরাং, পরিসীমা = $4 \times \text{বাহু}$
= $4 \times 12.5$ মিটার
= $50$ মিটার।
(iii) উচ্চতা নির্ণয়:
আমরা জানি, $\text{ক্ষেত্রফল} = \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$
এখানে ভূমি = বাহুর দৈর্ঘ্য = $12.5$ মিটার।
$12.5 \times \text{উচ্চতা} = 150$
বা, $\text{উচ্চতা} = \frac{150}{12.5}$
বা, $\text{উচ্চতা} = \frac{1500}{125}$
বা, $\text{উচ্চতা} = 12$ মিটার।
উত্তর: রম্বসটির পরিসীমা 50 মিটার, ক্ষেত্রফল 150 বর্গ মিটার এবং উচ্চতা 12 মিটার।
7. একটি রম্বসের পরিসীমা 440 মিটার এবং সমান্তরাল বাহুদুটির মধ্যে দূরত্ব 22 মিটার হলে, রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
রম্বসের পরিসীমা = $440$ মিটার।
রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $\frac{440}{4} = 110$ মিটার।
সমান্তরাল বাহুদুটির মধ্যে দূরত্ব অর্থাৎ রম্বসের উচ্চতা = $22$ মিটার।
রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $\text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$
(এখানে রম্বসের বাহুকেই ভূমি ধরা হয়)
= $110 \times 22$ বর্গ মিটার
= $2420$ বর্গ মিটার।
উত্তর: রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 2420 বর্গ মিটার।
8. যদি একটি রম্বসের পরিসীমা 20 সেমি. এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 6 সেমি. হয়, তবে ওই রম্বসের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
রম্বসের পরিসীমা = $20$ সেমি.।
রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ($a$) = $\frac{20}{4} = 5$ সেমি.।
ধরি, রম্বসের কর্ণদ্বয় $d_1$ এবং $d_2$।
প্রদত্ত আছে, $d_1 = 6$ সেমি.।
আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং, সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে যার অতিভুজ রম্বসের বাহু এবং লম্ব ও ভূমি হলো কর্ণদ্বয়ের অর্ধেক।
কর্ণের অর্ধেক = $\frac{6}{2} = 3$ সেমি.।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী অপর কর্ণের অর্ধেক ($x$) হলে,
$x^2 + 3^2 = 5^2$
বা, $x^2 + 9 = 25$
বা, $x^2 = 25 – 9 = 16$
বা, $x = 4$
সুতরাং, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য ($d_2$) = $2 \times 4 = 8$ সেমি.।
রম্বসের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$
= $\frac{1}{2} \times 6 \times 8$ বর্গ সেমি.
= $24$ বর্গ সেমি.।
উত্তর: রম্বসটির ক্ষেত্রফল 24 বর্গ সেমি.।
9. একটি ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 1400 বর্গ ডেকামিটার। উহার সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 20 ডেকামিটার এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3:4 হলে, ওই বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $3x$ ডেকামিটার এবং $4x$ ডেকামিটার।
সমন্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে লম্ব দূরত্ব (উচ্চতা) = $20$ ডেকামিটার।
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = $1400$ বর্গ ডেকামিটার।
আমরা জানি, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times (\text{সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি}) \times \text{উচ্চতা}$
শর্তানুসারে,
$\frac{1}{2} \times (3x + 4x) \times 20 = 1400$
বা, $7x \times 10 = 1400$
বা, $70x = 1400$
বা, $x = \frac{1400}{70}$
বা, $x = 20$
সুতরাং, বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য:
১ম বাহু = $3 \times 20 = 60$ ডেকামিটার।
২য় বাহু = $4 \times 20 = 80$ ডেকামিটার।
উত্তর: সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 60 ডেকামিটার এবং 80 ডেকামিটার।
10. 8 সেমি বাহুবিশিষ্ট সুষম ষড়ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
একটি সুষম ষড়ভুজের কর্ণগুলো যুক্ত করলে ৬টি সর্বসম সমবাহু ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়।
এখানে সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ($a$) = $8$ সেমি.।
১টি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$
= $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2$ বর্গ সেমি.
= $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 64$ বর্গ সেমি.
= $16\sqrt{3}$ বর্গ সেমি.।
সুতরাং, সুষম ষড়ভুজাকার ক্ষেত্রের মোট ক্ষেত্রফল = $6 \times 16\sqrt{3}$ বর্গ সেমি.
= $96\sqrt{3}$ বর্গ সেমি.।
উত্তর: সুষম ষড়ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $96\sqrt{3}$ বর্গ সেমি.।
11. ABCD চতুর্ভুজের $AB=5$ মিটার, $BC=12$ মিটার, $CD=14$ মিটার, $DA=15$ মিটার এবং $\angle ABC=90^{\circ}$ হলে, ABCD চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
$ABCD$ চতুর্ভুজের $AC$ কর্ণ যুক্ত করা হলো।
যেহেতু $\angle ABC = 90^\circ$, তাই $\Delta ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
ধাপ ১: $\Delta ABC$-এর ক্ষেত্রফল নির্ণয়
ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{লম্ব} = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30$ বর্গ মিটার।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী অতিভুজ $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$
= $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ মিটার।
ধাপ ২: $\Delta ACD$-এর ক্ষেত্রফল নির্ণয়
$\Delta ACD$-এর বাহুগুলো হলো $AC=13$ মি., $CD=14$ মি., $DA=15$ মি.।
অর্ধপরিসীমা ($s$) = $\frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ মিটার।
ক্ষেত্রফল = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
= $\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$
= $\sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}$
= $\sqrt{(7 \times 3) \times (2 \times 2 \times 2) \times 7 \times (2 \times 3)}$
= $\sqrt{7^2 \times 3^2 \times 2^4}$
= $7 \times 3 \times 4 = 84$ বর্গ মিটার।
মোট ক্ষেত্রফল:
ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = $\Delta ABC$-এর ক্ষেত্রফল + $\Delta ACD$-এর ক্ষেত্রফল
= $30 + 84 = 114$ বর্গ মিটার।
উত্তর: ABCD চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 114 বর্গ মিটার।
12. সাহিন $ABCD$ একটি ট্রাপিজিয়াম এঁকেছে, যার $BD$ কর্ণের দৈর্ঘ্য 11 সেমি. এবং $A$ ও $C$ বিন্দু থেকে $BD$ কর্ণের উপর দুটি লম্ব এঁকেছে যাদের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 সেমি. ও 11 সেমি.। হিসাব করে ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্র $ABCD$-এর ক্ষেত্রফল লিখি।
সমাধান:
$BD$ কর্ণ $ABCD$ ট্রাপিজিয়ামকে দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করেছে: $\Delta ABD$ এবং $\Delta BCD$।
উভয় ত্রিভুজের ভূমি হলো কর্ণ $BD = 11$ সেমি.।
$\Delta ABD$-এর উচ্চতা ($h_1$) = $A$ বিন্দু থেকে $BD$-এর উপর অঙ্কিত লম্ব = $5$ সেমি.।
$\Delta BCD$-এর উচ্চতা ($h_2$) = $C$ বিন্দু থেকে $BD$-এর উপর অঙ্কিত লম্ব = $11$ সেমি.।
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = $\Delta ABD$-এর ক্ষেত্রফল + $\Delta BCD$-এর ক্ষেত্রফল
= $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times h_1 + \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times h_2$
= $\frac{1}{2} \times 11 \times 5 + \frac{1}{2} \times 11 \times 11$
= $\frac{1}{2} \times 11 \times (5 + 11)$
= $\frac{1}{2} \times 11 \times 16$
= $11 \times 8$
= $88$ বর্গ সেমি.।
উত্তর: ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল 88 বর্গ সেমি.।
13. $ABCDE$ একটি পঞ্চভুজ যার $BC$ বাহুটি $AD$ কর্ণের সমান্তরাল। $EP$, $BC$-এর উপর লম্ব এবং $EP$, $AD$-কে $Q$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $BC = 7$ সেমি., $AD = 13$ সেমি., $PE = 9$ সেমি., এবং $PQ = \frac{4}{9} PE$ হলে, $ABCDE$ পঞ্চভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
পঞ্চভুজটি দুটি অংশে বিভক্ত: একটি ট্রাপিজিয়াম $ABCD$ (যেহেতু $BC \parallel AD$) এবং একটি ত্রিভুজ $\Delta ADE$।
প্রদত্ত আছে, $PE = 9$ সেমি.।
$PQ = \frac{4}{9} \text{ of } PE = \frac{4}{9} \times 9 = 4$ সেমি.।
যেহেতু $EP$ রেখাংশটি $BC$-এর উপর লম্ব এবং $AD$-কে $Q$ বিন্দুতে ছেদ করে, তাই $PQ$ হলো ট্রাপিজিয়াম $ABCD$-এর উচ্চতা।
ত্রিভুজ $\Delta ADE$-এর উচ্চতা $EQ = PE – PQ = 9 – 4 = 5$ সেমি.।
১. ট্রাপিজিয়াম $ABCD$-এর ক্ষেত্রফল:
= $\frac{1}{2} \times (\text{সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি}) \times \text{উচ্চতা}$
= $\frac{1}{2} \times (BC + AD) \times PQ$
= $\frac{1}{2} \times (7 + 13) \times 4$ বর্গ সেমি.
= $\frac{1}{2} \times 20 \times 4 = 40$ বর্গ সেমি.।
২. ত্রিভুজ $\Delta ADE$-এর ক্ষেত্রফল:
= $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$
= $\frac{1}{2} \times AD \times EQ$
= $\frac{1}{2} \times 13 \times 5 = \frac{65}{2} = 32.5$ বর্গ সেমি.।
মোট ক্ষেত্রফল:
= $40 + 32.5 = 72.5$ বর্গ সেমি.।
উত্তর: পঞ্চভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 72.5 বর্গ সেমি.।
14. একটি রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য ও একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য $40\sqrt{2}$ সেমি.। যদি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3:4 হয়, তাহলে রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = $40\sqrt{2}$ সেমি.।
আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = $\text{বাহু} \times \sqrt{2}$।
সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = $40$ সেমি.।
যেহেতু রম্বস ও বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য সমান, তাই রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য ($a$) = $40$ সেমি.।
ধরি, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $3x$ সেমি. এবং $4x$ সেমি.।
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$(\frac{3x}{2})^2 + (\frac{4x}{2})^2 = (\text{বাহু})^2$
বা, $\frac{9x^2}{4} + \frac{16x^2}{4} = (40)^2$
বা, $\frac{25x^2}{4} = 1600$
বা, $25x^2 = 6400$
বা, $x^2 = \frac{6400}{25} = 256$
বা, $x = \sqrt{256} = 16$
সুতরাং, কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য:
$d_1 = 3 \times 16 = 48$ সেমি.
$d_2 = 4 \times 16 = 64$ সেমি.
রম্বসের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$
= $\frac{1}{2} \times 48 \times 64$ বর্গ সেমি.
= $24 \times 64$ বর্গ সেমি.
= $1536$ বর্গ সেমি.।
উত্তর: রম্বসটির ক্ষেত্রফল 1536 বর্গ সেমি.।
15. একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সেমি. এবং সমান্তরাল বাহুদুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 সেমি. ও 17 সেমি.। ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, $ABCD$ একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম যেখানে $AB \parallel CD$, $AB = 5$ সেমি. এবং $CD = 17$ সেমি.।
তির্যক বাহুদ্বয় $AD = BC = 10$ সেমি.।
$A$ ও $B$ বিন্দু থেকে $CD$-এর উপর যথাক্রমে $AP$ ও $BQ$ লম্ব অঙ্কন করা হলো।
সুতরাং, $PQ = AB = 5$ সেমি.।
যেহেতু এটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম, তাই $DP = QC = \frac{CD – AB}{2} = \frac{17 – 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$ সেমি.।
উচ্চতা নির্ণয়:
সমকোণী ত্রিভুজ $\Delta APD$ থেকে পাই,
$AP = \sqrt{AD^2 – DP^2} = \sqrt{10^2 – 6^2} = \sqrt{100 – 36} = \sqrt{64} = 8$ সেমি.।
ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times (AB + CD) \times AP$
= $\frac{1}{2} \times (5 + 17) \times 8$ বর্গ সেমি.
= $\frac{1}{2} \times 22 \times 8$ বর্গ সেমি.
= $88$ বর্গ সেমি.।
কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
ধরি, কর্ণ $AC$। সমকোণী ত্রিভুজ $\Delta APC$-তে ভূমি $PC = PQ + QC = 5 + 6 = 11$ সেমি. এবং উচ্চতা $AP = 8$ সেমি.।
কর্ণ $AC = \sqrt{AP^2 + PC^2}$
= $\sqrt{8^2 + 11^2} = \sqrt{64 + 121} = \sqrt{185}$ সেমি.।
উত্তর: কর্ণের দৈর্ঘ্য $\sqrt{185}$ সেমি. এবং ক্ষেত্রফল 88 বর্গ সেমি.।
16. একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 19 সেমি. ও 9 সেমি. এবং তির্যক বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 8 সেমি. ও 6 সেমি.। ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, $ABCD$ ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয় $AB = 19$ সেমি. এবং $DC = 9$ সেমি.।
তির্যক বাহুদ্বয় $AD = 8$ সেমি. এবং $BC = 6$ সেমি.।
$C$ বিন্দু দিয়ে $AD$ বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা $CE$ অঙ্কন করা হলো যা $AB$ বাহুকে $E$ বিন্দুতে ছেদ করে।
সুতরাং, $AECD$ একটি সামান্তরিক।
অতএব, $AE = DC = 9$ সেমি. এবং $CE = AD = 8$ সেমি.।
এখন, ত্রিভুজ $EBC$-এর ভূমি $EB = AB – AE = 19 – 9 = 10$ সেমি.।
ত্রিভুজটির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $CE=8$ সেমি., $BC=6$ সেমি. এবং $EB=10$ সেমি.।
আমরা লক্ষ্য করি যে,
$8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$
এবং $10^2 = 100$
যেহেতু লম্ব$^2$ + ভূমি$^2$ = অতিভুজ$^2$, তাই পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য অনুযায়ী $\Delta EBC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার অতিভুজ $EB$ এবং $\angle ECB = 90^\circ$।
ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা নির্ণয়:
ধরি, ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা (যা $\Delta EBC$-এরও উচ্চতা) = $h$ সেমি.।
ত্রিভুজ $EBC$-এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$
বা, $\frac{1}{2} \times 10 \times h = \text{ক্ষেত্রফল}$
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ হিসেবে ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \text{সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল}$
= $\frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$ বর্গ সেমি.।
শর্তানুসারে,
$5h = 24$
বা, $h = \frac{24}{5} = 4.8$ সেমি.।
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times (\text{সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি}) \times \text{উচ্চতা}$
= $\frac{1}{2} \times (19 + 9) \times 4.8$ বর্গ সেমি.
= $\frac{1}{2} \times 28 \times 4.8$ বর্গ সেমি.
= $14 \times 4.8$ বর্গ সেমি.
= $67.2$ বর্গ সেমি.।
উত্তর: ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 67.2 বর্গ সেমি.।
১৭. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) একটি সামান্তরিকের উচ্চতা ভূমির এক-তৃতীয়াংশ। সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 192 বর্গসেমি. হলে, সামান্তরিকটির উচ্চতা
সমাধান:
ধরি, সামান্তরিকটির উচ্চতা = $h$ সেমি.।
প্রশ্নানুসারে, উচ্চতা ভূমির এক-তৃতীয়াংশ।
সুতরাং, ভূমি = $3 \times \text{উচ্চতা} = 3h$ সেমি.।
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = $\text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$
= $3h \times h = 3h^2$ বর্গ সেমি.।
শর্তানুসারে,
$3h^2 = 192$
বা, $h^2 = \frac{192}{3} = 64$
বা, $h = \sqrt{64} = 8$
সুতরাং, সামান্তরিকটির উচ্চতা $8$ সেমি.।
উত্তর: (b) 8 সেমি.
(ii) একটি রম্বসের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি. এবং একটি কোণের পরিমাপ $60^{\circ}$ হলে, রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
সমাধান:
রম্বসের একটি কোণ $60^{\circ}$ হলে, এর ক্ষুদ্রতর কর্ণটি রম্বসটিকে দুটি সর্বসম সমবাহু ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
কারণ, সন্নিহিত বাহুগুলি সমান হওয়ায় এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ $60^{\circ}$ হওয়ায় ত্রিভুজটি সমবাহু হয়।
রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য ($a$) = $6$ সেমি.।
১টি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$
= $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3}$ বর্গ সেমি.।
রম্বসের ক্ষেত্রফল = $2 \times 9\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ বর্গ সেমি.।
উত্তর: (b) $18\sqrt{3}$ বর্গ সেমি.
(iii) একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য অপর কর্ণটির দৈর্ঘ্যের তিনগুণ। যদি রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 96 বর্গ সেমি. হয়, তাহলে বড় কর্ণটির দৈর্ঘ্য
সমাধান:
ধরি, ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য = $d$ সেমি.।
সুতরাং, বড় কর্ণটির দৈর্ঘ্য = $3d$ সেমি.।
রম্বসের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \text{কর্ণদ্বয়ের গুণফল}$
শর্তানুসারে,
$\frac{1}{2} \times d \times 3d = 96$
বা, $3d^2 = 96 \times 2$
বা, $3d^2 = 192$
বা, $d^2 = \frac{192}{3} = 64$
বা, $d = 8$
ছোট কর্ণের দৈর্ঘ্য $8$ সেমি.।
বড় কর্ণটির দৈর্ঘ্য = $3 \times 8 = 24$ সেমি.।
উত্তর: (d) 24 সেমি.
(iv) একটি রম্বস ও একটি বর্গক্ষেত্র একই ভূমির উপর অবস্থিত। বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $x^{2}$ বর্গ একক এবং রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $y$ বর্গ একক হলে,
সমাধান:
ধরি, উভয়ের ভূমির দৈর্ঘ্য (বা বাহুর দৈর্ঘ্য) = $a$ একক।
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $x^2 = a^2$।
রম্বসের ক্ষেত্রফল $y = \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} = a \times h$।
যেহেতু রম্বসটি বর্গক্ষেত্র নয় (সাধারণ রম্বস), তাই এর উচ্চতা ($h$) বাহুর দৈর্ঘ্যের ($a$) চেয়ে ছোট হবে ($h < a$)। সুতরাং, $a \times h < a \times a$ বা, $y < a^2$ বা, $y < x^2$
উত্তর: (b) $y < x^2$
(v) একটি ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 162 বর্গ সেমি. এবং উচ্চতা 6 সেমি.। ট্রাপিজিয়ামটির একটি সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য 23 সেমি. হলে, অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য
সমাধান:
ধরি, অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ সেমি.।
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times (\text{সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি}) \times \text{উচ্চতা}$
শর্তানুসারে,
$\frac{1}{2} \times (23 + a) \times 6 = 162$
বা, $(23 + a) \times 3 = 162$
বা, $23 + a = \frac{162}{3} = 54$
বা, $a = 54 – 23 = 31$
উত্তর: (b) 31 সেমি.
১৮. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন
(i) ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 96 বর্গ সেমি. ও BD কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সেমি। A বিন্দু থেকে BD কর্ণের উপর লম্বের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
আমরা জানি, সামান্তরিকের কর্ণ সামান্তরিকটিকে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
সুতরাং, $\Delta ABD$-এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times$ সামান্তরিক $ABCD$-এর ক্ষেত্রফল
= $\frac{1}{2} \times 96$ বর্গ সেমি.
= $48$ বর্গ সেমি.।
ধরি, $A$ বিন্দু থেকে $BD$ কর্ণের উপর লম্বের দৈর্ঘ্য (উচ্চতা) = $h$ সেমি.।
$\Delta ABD$-এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$
বা, $48 = \frac{1}{2} \times BD \times h$
বা, $48 = \frac{1}{2} \times 12 \times h$
বা, $48 = 6h$
বা, $h = \frac{48}{6} = 8$
উত্তর: A বিন্দু থেকে BD কর্ণের উপর লম্বের দৈর্ঘ্য 8 সেমি.।
(ii) একটি সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং 3 সেমি.। বৃহত্তর বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 2 সেমি. হলে, ক্ষুদ্রতর বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব কত?
সমাধান:
সামান্তরিকের বৃহত্তর বাহু (ভূমি) = $5$ সেমি.।
বৃহত্তর বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব (উচ্চতা) = $2$ সেমি.।
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = $\text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} = 5 \times 2 = 10$ বর্গ সেমি.।
ধরি, ক্ষুদ্রতর বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব = $d$ সেমি.।
ক্ষুদ্রতর বাহু (ভূমি) = $3$ সেমি.।
প্রশ্নানুসারে,
$3 \times d = 10$
বা, $d = \frac{10}{3}$
বা, $d = 3\frac{1}{3}$
উত্তর: ক্ষুদ্রতর বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব $3\frac{1}{3}$ সেমি.।
(iii) একটি রম্বসের উচ্চতা 4 সেমি. এবং বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি.। রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
রম্বস একপ্রকার সামান্তরিক।
রম্বসের ক্ষেত্রফল = $\text{ভূমি (বাহু)} \times \text{উচ্চতা}$
এখানে, বাহু = $5$ সেমি. এবং উচ্চতা = $4$ সেমি.।
সুতরাং, ক্ষেত্রফল = $5 \times 4$ বর্গ সেমি. = $20$ বর্গ সেমি.।
উত্তর: রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 20 বর্গ সেমি.।
(iv) একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের যেকোনো সমান্তরাল বাহু সংলগ্ন একটি কোণ $45^{\circ}$; ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুর দৈর্ঘ্য 62 সেমি. হলে, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব কত?
সমাধান:
ধরি, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব (উচ্চতা) = $h$ সেমি.।
তির্যক বাহুর দৈর্ঘ্য = $62$ সেমি.।
ভূমি সংলগ্ন কোণ = $45^{\circ}$।
আমরা জানি, $\sin 45^{\circ} = \frac{\text{লম্ব (উচ্চতা)}}{\text{অতিভুজ (তির্যক বাহু)}}$
বা, $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{h}{62}$
বা, $h = \frac{62}{\sqrt{2}}$
বা, $h = \frac{62\sqrt{2}}{2}$
বা, $h = 31\sqrt{2}$
উত্তর: সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব $31\sqrt{2}$ সেমি.।
(v) ABCD সামান্তরিকের $AB=4$ সেমি., $BC=6$ সেমি. এবং $\angle ABC=30^{\circ}$ হলে, ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র = $AB \times BC \times \sin(\angle ABC)$
অথবা, জ্যামিতিক পদ্ধতিতে:
$A$ বিন্দু থেকে $BC$ বাহুর উপর লম্ব $AM$ অঙ্কন করি (ধরি উচ্চতা $h$)।
সমকোণী ত্রিভুজ $\Delta ABM$ থেকে পাই,
$\sin 30^{\circ} = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{h}{AB}$
বা, $\frac{1}{2} = \frac{h}{4}$
বা, $2h = 4$
বা, $h = 2$ সেমি.।
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = $\text{ভূমি} (BC) \times \text{উচ্চতা} (h)$
= $6 \times 2$ বর্গ সেমি.
= $12$ বর্গ সেমি.।
উত্তর: ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 12 বর্গ সেমি.।
শেয়ার