নবম শ্রেণি গনিত: বহুপদী সংখ্যামালা কষে দেখি 7.2

১. যদি $f(x)=x^{2}+9x-6$ হয়, তাহলে $f(0), f(1)$ ও $f(3)$-এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

দেওয়া আছে: $f(x) = x^2 + 9x – 6$

• $f(0)$ এর মান:
  $f(0) = (0)^2 + 9(0) – 6 = 0 + 0 – 6 = -6$
• $f(1)$ এর মান:
  $f(1) = (1)^2 + 9(1) – 6 = 1 + 9 – 6 = 10 – 6 = 4$
• $f(3)$ এর মান:
  $f(3) = (3)^2 + 9(3) – 6 = 9 + 27 – 6 = 36 – 6 = 30$

উত্তর: $f(0) = -6$, $f(1) = 4$, এবং $f(3) = 30$।

---

২. নীচের বহুপদী সংখ্যামালা $f(x)$-এর $f(1)$ ও $f(-1)$-এর মান হিসাব করে লিখি:

(i) $f(x)=2x^{3}+x^{2}+x+4$

সমাধান (i):

• $f(1)$ এর মান:
  $f(1) = 2(1)^3 + (1)^2 + 1 + 4 = 2 + 1 + 1 + 4 = 8$
• $f(-1)$ এর মান:
  $f(-1) = 2(-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 4 = 2(-1) + 1 – 1 + 4 = -2 + 4 = 2$

(ii) $f(x)=3x^{4}-5x^{3}+x^{2}+8$

সমাধান (ii):

• $f(1)$ এর মান:
  $f(1) = 3(1)^4 – 5(1)^3 + (1)^2 + 8 = 3 – 5 + 1 + 8 = 7$
• $f(-1)$ এর মান:
  $f(-1) = 3(-1)^4 – 5(-1)^3 + (-1)^2 + 8 = 3(1) – 5(-1) + 1 + 8 = 3 + 5 + 1 + 8 = 17$

(iii) $f(x)=4+3x-x^{3}+5x^{6}$

সমাধান (iii):

• $f(1)$ এর মান:
  $f(1) = 4 + 3(1) – (1)^3 + 5(1)^6 = 4 + 3 – 1 + 5 = 11$
• $f(-1)$ এর মান:
  $f(-1) = 4 + 3(-1) – (-1)^3 + 5(-1)^6 = 4 – 3 – (-1) + 5(1) = 4 – 3 + 1 + 5 = 7$

(iv) $f(x)=6+10x-7x^{2}$

সমাধান (iv):

• $f(1)$ এর মান:
  $f(1) = 6 + 10(1) – 7(1)^2 = 6 + 10 – 7 = 9$
• $f(-1)$ এর মান:
  $f(-1) = 6 + 10(-1) – 7(-1)^2 = 6 – 10 – 7 = -11$

---

৩. নীচের বিবৃতিগুলি যাচাই করি:

সহজ ব্যাখ্যা: কোনো সংখ্যা কোনো বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য হবে, যদি সেই সংখ্যাটি চলরাশির পরিবর্তে বসালে বহুপদীর মান শূন্য ($P(x)=0$) হয়।

সমস্যা	বহুপদী	মান যাচাই	ফলাফল
(i)	$P(x)=x-1$ এর শূন্য 1	$P(1) = 1 – 1 = 0$	বিবৃতিটি সঠিক।
(ii)	$P(x)=3-x$ এর শূন্য 3	$P(3) = 3 – 3 = 0$	বিবৃতিটি সঠিক।
(iii)	$P(x)=5x+1$ এর শূন্য $-\frac{1}{5}$	$P(-\frac{1}{5}) = 5(-\frac{1}{5}) + 1 = -1 + 1 = 0$	বিবৃতিটি সঠিক।
(iv)	$P(x)=x^2-9$ এর শূন্যদ্বয় 3 ও $-3$	$P(3) = 3^2 – 9 = 0$ $P(-3) = (-3)^2 – 9 = 0$	বিবৃতিটি সঠিক।
(v)	$P(x)=x^2-5x$ এর শূন্যদ্বয় 0 এবং 5	$P(0) = 0^2 – 5(0) = 0$ $P(5) = 5^2 – 5(5) = 25 – 25 = 0$	বিবৃতিটি সঠিক।
(vi)	$P(x)=x^2-2x-8$ এর শূন্যদ্বয় 4 এবং $(-2)$	$P(4) = 4^2 – 2(4) – 8 = 16 – 8 – 8 = 0$ $P(-2) = (-2)^2 – 2(-2) – 8 = 4 + 4 – 8 = 0$	বিবৃতিটি সঠিক।

---

৪. নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলির শূন্য নির্ণয় করি:

সহজ ব্যাখ্যা: বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য নির্ণয় করার জন্য $f(x)=0$ ধরে $x$ এর জন্য সমাধান করতে হয়।

(i) $f(x)=2-x$

$f(x)=0$ → $2 – x = 0$ → $x = 2$

উত্তর: শূন্য হলো 2।

(ii) $f(x)=7x+2$

$f(x)=0$ → $7x + 2 = 0$ → $7x = -2$ → $x = -\frac{2}{7}$

উত্তর: শূন্য হলো $-\frac{2}{7}$।

(iii) $f(x)=x+9$

$f(x)=0$ → $x + 9 = 0$ → $x = -9$

উত্তর: শূন্য হলো $-9$।

(iv) $f(x)=6-2x$

$f(x)=0$ → $6 – 2x = 0$ → $2x = 6$ → $x = 3$

উত্তর: শূন্য হলো 3।

(v) $f(x)=2x$

$f(x)=0$ → $2x = 0$ → $x = 0$

উত্তর: শূন্য হলো 0।

(vi) $f(x)=ax+b, (a\ne0)$

$f(x)=0$ → $ax + b = 0$ → $ax = -b$ → $x = -\frac{b}{a}$

উত্তর: শূন্য হলো $-\frac{b}{a}$।